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Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o
Prof. Dr. Josinaldo Menezes
EC&T - UFRN
16 de maio de 2013
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 1 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Seja uma func¸a˜o racional f(x)g(x) , se
1 a frac¸a˜o for pro´pria, ou seja, se o grau de f(x) for menor que g(x)
2 conhecemos os fatores de g(x)
fazemos o procedimento ilustrado nos exemplos a seguir:
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 2 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Exemplo 1: Calcular
∫
x2+4 x+1
(x−1)(x+1)(x+3) dx
Decompomos a frac¸a˜o em frac¸o˜es parciais:
x2 + 4x+ 1
(x− 1)(x+ 1)(x+ 3) =
A
x− 1 +
B
x+ 1
+
C
x+ 3
(1)
onde A, B e C sa˜o determinados fazendo-se
x2 + 4x+ 1 = A(x+ 1)(x+ 3) +B(x− 1)(x+ 3) (2)
+ C(x− 1)(x+ 1) (3)
= (A+B + C)x2 + (4A+ 2B)x (4)
+ (3A− 3B − C) (5)
ou seja,
 A+B + C = 14A+ 2B = 43A− 3B − C = 1
que nos da´ A = 34 , B =
1
2 e C = − 14 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 3 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
A integral e´ enta˜o∫
x2 + 4x+ 1
(x− 1)(x+ 1)(x+ 3) dx (6)
=
∫ (3
4
1
x− 1 +
1
2
1
x+ 1
− 1
4
1
x+ 3
)
dx (7)
=
3
4
ln |x− 1|+ 1
2
ln |x+ 1| − 1
4
ln |x+ 3|+K. (8)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 4 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Exemplo 2: Calcular
∫
6x+7
(x+2)2 dx
6x+ 7
(x+ 2)2
=
A
x+ 2
+
B
(x+ 2)2
(9)
onde
6x+ 7 = A(x+ 2) +B (10)
= Ax+ (2A+B). (11)
ou seja,
{
A = 6
2A+B = 7
resultando A = 6 e B = −5.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 5 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
A integral e´ ∫
6x+ 7
(x+ 2)2
=
∫
6
x+ 2
dx−
∫
5
(x+ 2)2
dx (12)
= 6 ln |x+ 2| − 5
x+ 2
+ C. (13)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 6 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Exemplo 3: Calcular
∫
2x3−4 x2−x−3
x2−2 x−3 dx
A frac¸a˜o impro´pria, por isso a escrevemos com a soma de um polinoˆmio com
uma frac¸a˜o pro´pria∫
2x3 − 4x2 − x− 3
x2 − 2x− 3 dx =
∫
2xdx+
∫
5x− 3
x2 − 2x− 3 dx (14)
Resolvemos separadamente:
1 Z
2xdx = x2 + C1 (15)
2 Z
5x− 3
x2 − 2x− 3 dx =
Z
A
x+ 1
+
B
x− 3
=
Z
2
x+ 1
+
3
x− 3
= 2 ln |x+ 1|+ 3 ln |x− 3|+ C2
resultando A = 6 e B = −5.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 7 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Assim,∫
2x3 − 4x2 − x− 3
x2 − 2x− 3 dx = x
2 + 2 ln |x+ 1|+ 3 ln |x− 3|+ C
onde C = C1 + C2.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 8 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Exemplo 4:
∫ −2x+4
(x2+1)(x−1)2 dx
O denominador possui um fator quadra´tico irredut´ıvel. Assim,
−2x+ 4
(x2 + 1)(x− 1)2 =
Ax+B
x2 + 1
+
C
x− 1 +
D
(x− 1)2
ou seja,
−2x+ 4 = (Ax+B)(x− 1)2 + C(x− 1)(x2 + 1) +D(x2 + 1)
= (A+ C) (x− 1)2 + (−2A+B − C +D)x2
+ (A− 2B + C)x+ (B − C +D).
ou seja,

A = 2
B = 1
C = −2
D = 1
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 9 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
A integral e´ enta˜o,∫ −2x+ 4
(x2 + 1)(x− 1)2 dx
=
∫ (
2x+ 1
x2 + 1
− 2
x− 1 +
1
(x− 1)2
)
dx
=
∫ (
2x
x2 + 1
+
1
x2 + 1
− 2
x− 1 +
1
(x− 1)2
)
dx
= 2 ln(x2 + 1) + tg−1 x− 2 ln |x− 1| − 1
x− 1 + C.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 10 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais O me´todo de Heaviside
O me´todo de Heaviside
Exemplo 5: Encontrando A, B e C na decomposic¸a˜o de frac¸o˜es parciais usando o
me´todo de Heaviside
x2 + 1
(x− 1)(x− 2)(x− 3) =
A
x− 1 +
B
x− 2 +
C
x− 3 . (16)
Para encontrar A, ocultamos o primeiro termo e substituimos na expressa˜o a
raiz escondida x = 1
A =
12 + 1
(1− 2)(1− 3) =
2
(−1)(−2) = 1 (17)
Da mesma forma, para encontrar B, ocultamos o segundo termo e
substituimos x = 2
B =
22 + 2
(2− 1)(2− 3) =
5
1(−1) = −5 (18)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 11 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais O me´todo de Heaviside
Por fim, encontramos C ocultando o terceiro termo e substituindo x = 3
C =
32 + 1
(3− 1)(3− 2) =
10
2
= 5 (19)
Conclusa˜o:
x2 + 1
(x− 1)(x− 2)(x− 3) =
1
x− 1 −
5
x− 2 +
5
x− 3 . (20)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 12 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o
Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o
Exemplo 6: Encontrando A, B e C na equac¸a˜o
x− 1
(x+ 1)3
=
A
x+ 1
+
B
(x+ 1)2
+
C
(x+ 1)3
. (21)
Eliminando as frac¸o˜es
x− 1 = A(x+ 1)2 +B(x+ 1) + C. (22)
Substituimos pela primeira vez a raiz x = −1
−x− 1 = C → C = −2 (23)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 13 / 24
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o
Derivamos a equac¸a˜o com relac¸a˜o a x e substituimos a raiz x = −1 pela
segunda vez
1 = 2A(x+ 1) +B (24)
1 = B → B = 1 (25)
Repetimos o procedimento, derivando e substituindo a raiz
0 = 2A→ A = 0 (26)
Conclusa˜o:
x− 1
(x+ 1)3
=
2
(x+ 1)2
− 2
(x+ 1)3
. (27)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 14 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
As treˆs substituic¸o˜es ba´sicas sa˜o retiradas dos triaˆngulos retaˆngulos:
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 15 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Exemplo 7: Calcular
∫
dx√
4+x2
.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 16 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Utilizamos a substituic¸a˜o x = 2 tg θ e dx = 2 sec2 θdθ, com −pi2 ≤ θ ≤ pi2 .
Assim,
4 + x2 = 4 + 4 tg2 θ = 4(1 + tg2 θ) = 4 sec2 θ. (28)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 17 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
A integral e´ ∫
dx√
4 + x2
=
∫
2 sec2 θ dθ√
4 sec2 θ
(29)
=
∫
sec2 θ
| sec θ| dθ =
∫
sec θdθ (30)
= ln | sec θ + tg θ|+ C1 (31)
= ln |
√
4 + x2 + x|+ C2. (32)
onde C2 = C1 − ln 2.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 18 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Exemplo 8: Calcular
∫
x2 dx√
9−x2 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 19 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Utilizamos a substituic¸a˜o x = 3 sen θ e dx = 3 cos θdθ, com −pi2 ≤ θ ≤ pi2 .
Assim,9− x2 = 9− 9 sen2 θ = 9(1− sen2 θ) = 9 cos2 θ. (33)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 20 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Temos enta˜o a integral e´∫
x2 dx√
9− x2 =
∫
(9 sen2 θ) (3 cos θ) dθ√
9 cos2 θ
(34)
=
∫
(9 sen2 θ) (3 cos θ) dθ
|3 cos θ| dθ (35)
= 9
∫
sen2 θdθ (36)
= 9
∫
1− cos(2θ)
2
dθ (37)
=
9
2
(
θ − sen(2θ)
2
)
+ C (38)
=
9
2
(θ − sen θ cos θ) + C (39)
=
9
2
(
sen−1
(x
3
)
− x
√
9− x2
9
)
+ C. (40)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 21 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Exemplo 9: Calcular
∫
x2 dx√
25 x2−4 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 22 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Primeiro, reescrevemos o denominador como
√
25x2 − 4 =
√
25
(
x2 − 4
25
)
= 5
√
x2 − 4
25
. (41)
Nesse caso, a substituic¸a˜o e´ x = 25 sec θ e dx =
2
5 sec θ tg θdθ, com−pi2 ≤ θ ≤ pi2 .
Assim,
x2 − 4
25
=
4
25
sec2 θ − 4
25
=
4
25
(sec2 θ − 1) = 4
25
tg2 θ. (42)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 23 / 24
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
A integral e´ ∫
dx√
25x2 − 4 =
∫
dx
5
√
x2 − 425
(43)
=
∫ 2
5 sec θ tg θ dθ
5
√
4
25 tg
2 θ
(44)
=
∫ 2
5 sec θ tg θ dθ
5 25 tg θ
(45)
=
1
5
∫
sec θdθ (46)
=
1
5
ln | sec θ + tg θ|+ C (47)
=
1
5
ln
∣∣5x
2
+
√
25x2 − 4
2
∣∣+ C. (48)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 24 / 24
	Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
	O método de Heaviside
	Encontrando os Coeficientes por Derivação
	Substituições Trigonométricas

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