Capitulo13 Alunos

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Cinética de Partículas
Métodos de Energia e Quantidade de Movimento
Métodos de Energia e Quantidade de Movimento
	Para se projetar adequadamente o loop é necessário se assegurar de que os carrinhos tenham energia suficiente para fazer a volta sem perder contato com os trilhos.
Cinética das Partículas
Trabalho de uma Força
	Considere uma partícula que se move de um ponto A em direção a um ponto vizinho A’, figura ao lado. Se r representa o vetor posição correspondente ao ponto A, o pequeno vetor que liga A e A’ pode ser representado pela diferencial de, e o vetor dr é denominado deslocamento da partícula. Admitindo que uma força F esteja atuando sobre a partícula, então o trabalho da força F correspondente ao deslocamento dr, é definido pela grandeza: 
	O trabalho dU em função das componentes retangulares da força e do deslocamento, escreve-se:
	Obs.: Tratando-se de uma grandeza escalar, o trabalho tem intensidade e sinal mas não tem direção
Relembrando a definição de produto escalar de dois vetores, escreve-se:
Cinética das Partículas
	O trabalho realizado pela força F ao longo de um deslocamento finito da partícula desde 1 a 2 obtém-se pela integração da equação du=f.drrfg ao longo da trajetória descrita pela partícula.
Trabalho de uma Força
Cinética das Partículas
Trabalho de uma Força Constante em Movimento Retilíneo
	Quando uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta, sob a ação de uma força F de intensidade, direção e sentido constantes, tem-se:
Cinética das Partículas
Trabalho da Força da Gravidade
	Uma vez que P = Pj, aplicando a equação do trabalho, tem-se: 
	Logo, o trabalho realizado é igual à intensidade da força peso vezes o deslocamento vertical. No caso mostrado na figura acima, o trabalho é negativo, pois P é voltado para baixo e o deslocamento se dá para cima (Dy). Observemos que se o ponto material se desloca para baixo (-dy > 0) o trabalho é positivo.
	Considere um ponto material que se move ao longo da trajetória s mostrada na figura ao lado, deslocando-se da posição s1 até a posição s2. Em um ponto intermediário, o deslocamento infinitesimal é dado em coordenadas cartesianas por:
Cinética das Partículas
Trabalho da Força Exercida por uma Mola
	A intensidade da força desenvolvida numa mola elástica linear quando esta sofre uma deformação s (medida a partir da posição da mola não deformada) é dada por Fs = ks, onde k é a rigidez da mola. Se a mola é distendida ou comprimida de uma posição s1 até outra mais distante s2 (figura a), o trabalho realizado sobre a mola pela força Fs é positivo, pois a força e o deslocamento têm o mesmo sentido. Tem-se então:
	Esta equação representa a área do trapésio sob a reta Fs = ks (figura b).
Cinética das Partículas
Trabalho de uma Força Gravitacional
	Sabe-se que duas partículas de massa m e M, à distância r uma da outra, se atraem entre si com forças iguais e opostas, ffff e -Fa, dirigidas segundo a linha que as une e cuja intensidade é:
	Seja M a partícula que ocupa a posição fixa O enquanto a partícula m se desloca ao longo da trajetória representada pela figura ao lado. O trabalho realizado pela força exercida sobre a partícula m, durante o correspondente deslocamento infinitesimal desde a posição A até A’, pode obter-se multiplicando a intensidade da força FFpela componente radial dr do deslocamento.
Cinética das Partículas
Energia Cinética de uma Partícula. Princípio de Trabalho e Energia
	Se integrarmos desde A1, onde s = s1 e v = v1, até A2, em que s = s2 e v = v2, pode-se escrever:
	Considere uma partícula de massa m e sujeita à ação de uma força F e que se desloca ao longo de uma trajetória que pode ser retilínea ou curva. Expressando a segunda lei de Newton em função da componente tangencial da força e da aceleração, pode-se escrever:
Cinética das Partículas
Potência e Eficiência
	Potência – Define-se como sendo o trabalho realizado durante a unidade de tempo.
Cinética das Partículas
Energia Potencial
	Energia pode ser definida como a capacidade de se realizar trabalho. A energia proveniente do movimento de um ponto material é denominada de energia cinética. A energia associada à posição de um ponto material, medida em relação a uma linha ou plano de referência fixo, é chamada de energia potencial.
	Assim, a energia potencial é uma medida da quantidade de trabalho realizado por uma força conservativa, quando ela move seu ponto de aplicação de uma dada posição até a referência. Em mecânica são importantes as energias potenciais devidas à gravidade (peso) e a uma mola elástica.
	Se o ponto material se situa a uma distância y acima de uma referência escolhida arbitrariamente, como mostra a figura ao lado, pode-se associar a ele uma energia potencial gravitacional, Vg, uma vez que o seu peso P ‘tem a capacidade’ de realizar um trabalho positivo quando o ponto retorna à linha de refe- 
rência. Analogamente, se o ponto material se situa a uma distância y abaixo da linha de referência, Vg é negativo, pois o peso realiza trabalho negativo quando o ponto retorna à referência. Em geral se y é positivo para cima, a energia potencial gravitacional é:
Cinética das Partículas
Energia Potencial
	Seja M a partícula que ocupa a posição fixa O enquanto a partícula m se desloca ao longo da trajetória representada pela figura ao lado. Para o trabalho da força da gravidade, escreve-se:
	Portanto, o trabalho da força da gravidade pode então obter-se pela subtração do valor da função GMm/r, correspondente à segunda posição do corpo, ao valor que a referida função toma para a primeira posição. Assim, a expressão que se deve utilizar para a energia potencial Vg, sempre que não se puder desprezar a variação da força da gravidade, é:
Cinética das Partículas
Energia Potencial: Trabalho Realizado pela Força de uma Mola
Cinética das Partículas
Energia Potencial: Forças Conservativas
	Função Potencial – No caso geral, se o ponto material esta submetido simultaneamente a forças gravitacionais e elásticas, a energia potencial do ponto pode ser expressa como uma função potencial, que é a soma algébrica: 
	A medida de V depende da localização do ponto material em relação às referencias escolhidas de acordo com as equações:
	Se o ponto material se situa num ponto (x,y,z) do espaço, a função pontencia é V = V(x,y,z), (figura ao lado). O trabalho realizado por uma força conservativa que desloca seu ponto de aplicação da posição (x1,y1,z1) à posição (x2,y2,z2) é medido pela diferença da função potencial, isto é: 
Cinética das Partículas
Energia Potencial: Forças Conservativas
	Note-se que, se A2 for escolhido de modo a coincidir com A1, isto é, se a partícula descrever uma trajetória fechada, tem-se V1 = V2 e o trabalho é zero. Deste modo, para qualquer força conservativa nc pode-se escrever:
Cinética das Partículas
Energia Potencial: Forças Conservativas
	A equação pode ser escrita pela definição de diferencial de uma função de várias variáveis, escreve-se:
	No que resulta:
	Ou de forma mais concisa, escreve-se:
	O vetor entre parênteses é conhecido como o gradiente de uma função escalar V e é representado por grad V:
Cinética das Partículas
Conservação da Energia
	A equação (1) significa que, quando uma partícula se desloca sob a ação de forças conservativas, a soma de sua energia cinética e da sua energia potencial se mantém constante. A soma T + V designa-se por energia mecânica total da partícula e representa-se por E.
Cinética das Partículas
Princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento
Considere
uma partícula de massa m sob a ação de uma força 
	Multiplicando ambos os membros da equação (1) por dt e integrando desde o instante t1 até o instante t2, escreve-se:
	Quando uma partícula se encontra sob a ação de uma força Ff durante um certo intervalo de tempo, a quantidade de movimento final mv2 da partícula pode obter-se pela adição vetorial de sua quantidade de movimento inicial mv1 com o impulso exercido pela força F durante o intervalo de tempo considerado
Cinética das Partículas
Decomposição de nas suas Componentes Retangulares
	As componentes do impulso da força Fs são, respectivamente, iguais às áreas sob as curvas representadas pelas figuras abaixo:
Cinética das Partículas
Princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento
	Quando diversas forças agem sobre uma partícula, o impulso de cada uma das forças deve ser considerado. Tem-se:
	Quando um problema envolve duas ou mais partículas, cada partícula pode ser considerada separadamente e a equação acima pode ser escrita para cada partícula. Pode-se também somar vetorialmente as quantidades de movimento de todas as partículas e os impulsos de todas as forças envolvidas. Escreve-se então:
	Se nenhuma força externa é exercida sobre as partículas, ou, de modo mais geral, se a soma das forças externas é nula, o segundo termo da equação acima desaparece e essa equação reduz-se a:
Cinética das Partículas
Impacto
	Uma colisão entre dois corpos que ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno e durante o qual os dois corpos exercem forças relativamente grandes um sobre o outro é denominado impacto.
Impacto Central Direto
Impacto Central Oblíquo
Cinética das Partículas
Impacto Central Direto
	Considere duas partículas A e B, de massas mA e mB, que se movem na mesma linha reta e à direita com velocidades conhecidas vA e vB figuras abaixo. Se vA é maior que vB, a partícula A irá finalmente atingir a partícula B. Sob o impacto, as duas partículas irão se deformar e, ao final do período de deformação, elas terão a mesma velocidade U. Tem início então um período de restituição, ao final do qual, dependendo da intensidade das forças de impacto e de materiais envolvidos, as duas partículas ou retomarão a sua forma original ou ficarão permanentemente deformadas.
Logo, a quantidade de movimento total das duas partícula se conserva, então:
Cinética das Partículas
Período de Deformação e Restituição
	A razão das intensidades dos impulsos que correspondem, respectivamente, ao período de restituição e ao período de deformação designa-se por Coeficiente de Restituição e representa-se por e.
	Para obter as velocidades vA e vB, é necessário estabelecer uma segunda relação entre os escalares vA e vB.
Cinética das Partículas
Período de Deformação e Restituição
	Uma análise semelhante para a partícula B permitiria escrever:
Somando os quocientes das equações (4) e (5), tem-se:
	Resolvendo as equações (1) e (2) em relação aos impulsos e substituindo os respectivos valores na equação (3), tem-se:
Cinética das Partículas
e = 0 – Impacto Perfeitamente Plástico. Quando e = 0, resulta da equação que .
Casos Particulares de Impacto com Interesse Especial
	Não existe período de restituição, e as duas partículas permanecem juntas após o impacto.
	Significa que as velocidades relativas antes e depois do choque são iguais.
e = 1 – Impacto Perfeitamente Elástico. Quando e = 1, resulta da equação vb1 – va1 = e(va – vb que 
Cinética das Partículas
Choque Central Oblíquo
Representação Gráfica
	Escolhe-se como eixos de coordenadas o eixo n ao longo da linha de impacto, isto é, ao longo da normal comum às superfícies em contato, e o eixo t ao longo de sua tangente comum. Admite-se que as partículas sejam perfeitamente lisas e sem atrito, observa-se que os únicos impulsos exercidos sobre as partícula devem-se às forças internas ao longo da linha de impacto, isto é, ao longo do eixo n figuras abaixo. Então segue-se: 
Cinética das Partículas
Impacto Central Oblíquo
Normal
de Choque
	A componente, ao longo do eixo t, da quantidade de movimento de cada partícula, considerada em separado, mantém-se constante; assim, para cada partícula, a componente da velocidade segundo t não se altera. Pode-se escrever:
	A componente, ao longo do eixo n, da quantidade de movimento total das duas partículas, mantém-se constante. Pode-se escrever:
	A componente, ao longo do eixo n, da velocidade relativa das duas partículas depois do impacto pode obter-se pela multiplicação da componente, ao longo do eixo n, da velocidade relativa antes do impacto pelo coeficiente de restituição. Pode-se escrever: