Cálculo de incerteza

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Como Determinar a 
Incerteza de Medição
Curso
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Gilberto Carlos Fidélis
• Eng. Mecânico com Especialização em Metrologia pelo NIST -
Estados Unidos e NAMAS/UKAS - Inglaterra. 
• Instrutor de cursos desde 1984.
• Envolvido com calibração de instrumentos e padrões desde 
1982. 
• Experiência com credenciamento e com implantação de sistema 
da qualidade (NBR ISO/IEC 17025) em laboratórios desde 1988.
•Avaliador técnico do INMETRO
Instituição: CECT – Centro de Educação, Consultoria e 
Treinamento em Metrologia e Sistema da Qualidade 
Tel.: 48 3234 3920 / 48 9977-2827
e-mail: gcfidelis@cect.com.br cect@cect.com.br
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Instrutor
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VIM
Vocabulário Internacional de 
Termos Fundamentais e Gerais 
de Metrologia. 3ed.
Portaria n. 29 de 10 de março 
de 1995. Inmetro.
Para mais informações:
Inmetro
Divisão de Informação Tecnológica
Serviço de Produtos de Informação 
Av. Nossa Senhora das Graças, 50 - Xerém/RJ 
CEP: 25250-020 
Tel.: (21) 2679-9351/9381 
Fax: (21) 2679-1409 
publicacoes@inmetro.gov.br
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Grandeza específica submetida a medição.
Exemplo: Pressão de vapor de uma dada amostra de 
água a 20ºC.
Observação:
A especificação de um mensurando pode requerer 
informações de outras grandezas como tempo, 
temperatura ou pressão.
Mensurando (VIM 2.6)
Exemplos: 
A densidade de um óleo depende fortemente da 
temperatura
A gramatura do papel depende da umidade.
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Chama-se experimento aleatório o experimento cujo 
resultado não pode ser previsto.
Em outras palavras, um experimento é aleatório se, 
quando executado diversas vezes, produz resultados 
diferentes. Entretanto, pode-se descrever todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório. A 
noção de probabilidade está ligada diretamente a esse 
tipo de experimento.
As medições se enquadram como experimentos 
aleatórios.
Experimento Aleatório
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Os métodos estatísticos são próprios para o estudo 
de populações. 
População é um conjunto de dados que descreve 
algum fenômeno de interesse, ou seja, dados que 
têm, em comum, determinada característica. 
Amostra é um subconjunto de dados selecionados 
de uma população. 
Pretende-se, a partir da amostra, estudar a 
população. Portanto, uma amostra deve
ter as mesmas características que a população de 
onde foi retirada.
População e Amostra
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Podemos aumentar a quantidade de informação fazendo um número de 
medições repetidas e realizando alguns cálculos estatísticos. 
Os dois cálculos estatísticos mais importantes são a determinação da média 
ou média aritmética, e o desvio padrão do conjunto de números.
Obtendo a melhor estimativa – tomando a média das medições 
Se repetidas medições dão diferentes respostas, você pode não estar 
cometendo nenhum erro. Isto pode ser devido às variações naturais do 
processo de medição. 
Se existe variação nas medições quando elas são repetidas, o melhor é
realizar muitas medições e fazer a média. A média nos fornece uma 
estimativa do valor “verdadeiro”. 
Cálculos Estatísticos Básicos
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A média nos fornece uma estimativa do valor “verdadeiro”. 
Quanto maior o número de medições, melhor a estimativa 
do valor “verdadeiro”. O ideal seria obter a média de um 
conjunto infinito de valores. Quanto mais resultados usar, 
mais próximo da estimativa ideal da média.
Média
Considerando uma variável aleatória da qual n observações 
independentes foram obtidas sob as mesmas condições de 
medição, podemos dizer que o valor esperado é a média 
aritmética.
x
n
x
i
n
i=
=
å1
1
i
x
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Quando realizamos 3 repetições, por exemplo, na medição de uma 
mesma massa de um produto, podemos quantificar a média e a dispersão 
dos resultados, sendo esta última caracterizada pelo desvio padrão 
experimental.. Suponhamos que os valores encontrados nesta medição 
tenham sido 10,05_g, 10,03 g e 10,07 g, o que fornece uma média 
igual a 10,05_g. 
A dispersão dos resultados é medida pela extensão dos desvios das 
medidas em relação à média. Portanto devemos fazer:
Desvio1 = Indicação1- média = 10,05 – 10,05 = 0,00 g
Desvio2 =Indicação2-média = 10,03 – 10,05 = - 0,02 g
Desvio3 =Indicação3-média = 10,07 – 10,05 = 0,02 g
Qual o desvio médio em relação à média? 
Desvio médio = soma dos desvios/número de resultados
Desvio Padrão
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Quando medições repetidas fornecem resultados diferentes, nós queremos 
saber quão dispersas estão estas medições. Com o conhecimento da 
amplitude da dispersão, nós podemos iniciar o julgamento da qualidade das 
medições ou do conjunto de medições.
O modo usual de quantificar a dispersão é o desvio padrão. O desvio padrão 
de um conjunto de números mostra-nos o quanto as medições individuais 
são diferentes e se afastam da média do conjunto. 
De um número pequeno de medições, somente pode ser obtido um valor 
estimado do desvio padrão da população. O símbolo s é geralmente usado 
para o desvio padrão estimado.
Desvio Padrão e Variância
O desvio padrão elevado ao quadrado (s2) é denominado de variância.
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Toda medição está sujeita a alguma incerteza. 
O resultado de uma medição é completo somente se vem acompanhado 
com o valor estabelecido da incerteza na medição.
O que é incerteza de medição?
A incerteza de uma medição não é outra coisa senão a sua qualidade.
Incerteza de medição é a dúvida que existe sobre o resultado de qualquer 
medição.
Mesmo sabendo que o resultado da medição não é perfeito, é
possível obter informações confiáveis, desde que o resultado da 
medição venha acompanhado da respectiva incerteza.
Incerteza
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Num conjunto de dados obtidos por medição, muitas vezes os valores tendem a 
ficar mais próximos da média do que afastados dela. 
Este comportamento é típico de uma distribuição normal ou Gaussiana. 
Exemplo: a altura dos indivíduos num grupo de homens. A maioria dos homens 
tem altura próxima da média; poucos são extremamente mais altos ou baixos. 
A distribuição normal, portanto, é a distribuição de valores numa forma 
característica de dispersão (curva Gaussiana) na qual os valores mais prováveis 
caem mais perto da média do que longe dela. 
A média refere-se ao centro da 
distribuição e o desvio padrão ao 
espalhamento de curva. A distribuição 
normal é simétrica em torno da média.
x-s x s+x
Distribuição Normal
A curva normal é assintótica em relação ao 
eixo das abscissas, isto é, aproxima-se 
indefinidamente do eixo das abscissas 
sem,contudo, alcançá-lo.
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Indicação (de um instrumento de medição) (VIM 3.2)
Valor de uma grandeza fornecido por um instrumento de medição.
Erro (de Indicação) de um Instrumento de Medição (VIM 5.20)
Indicação de um instrumento de medição menos um valor verdadeiro de 
grandeza de entrada correspondente.
Observações:
1)Uma vez que um valor verdadeiro não pode ser determinado, na 
prática é utilizado um valor verdadeiro convencional.
2) Este conceito aplica-se principalmente quando o instrumento é
comparado a um padrão de referência.
3) Para uma medida materializada, a indicação é o valor atribuído a ela.
Desvio (VIM 3.11): Valor menos seu valor de referência.
Indicação, Erro de Indicação e Desvio
EI = I - VVC
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Grau de concordância entre os resultados de medições sucessivas de um 
mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas condições de medição.
Observações:
1) Estas condições são denominadas condições de repetitividade
2) Condições de repetitividade incluem: 
-mesmo procedimento de medição; 
-mesmo observador; 
-mesmo instrumento de medição, utilizando nas mesmas condições; 
-mesmo local; 
- repetição em curto período de tempo.
Repetitividade (de resultados de medições) (VIM 3.6)
y
f(y)
3) Repetitividade pode ser 
expressa quantitativamente em 
função das características da 
dispersão dos resultados.
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Grau de concordância entre os resultados das medições de um mesmo 
mensurando, efetuadas sob condições variadas de medição.
Observações:
1) para que uma expressão da reprodutibilidade seja válida, é
necessário que sejam especificadas as condições alteradas:
2) As condições alteradas podem incluir:
- princípio de medição;
- método de medição;
- observador;
- instrumento de medição;
- padrão de referência;
- local;
Reprodutibilidade (dos resultados de medições) (VIM 3.7)
f
B
Medidas 
realizadas 
pelo 
operador B
fA
Medidas 
realizadas 
pelo 
operador A
Reprodutibilidade
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Classe de instrumentos de medição que satisfazem a certas 
exigências metrológicas destinadas a conservar os erros dentro 
de limites especificados.
Uma classe de exatidão é usualmente indicada por um número ou 
símbolo adotado por convenção e denominado índice de classe.
Exemplos:
- Classe “K” de um bloco padrão de comprimento
-Classe “E2” de uma massa padrão
-Classe 1% de um instrumento de medição padrão
-Classe A1 de um manômetro 
Segundo NBR 14105 - Manômetros 
com sensor de elemento elástico
Classe de Exatidão (VIM 5.19)
- classe A4 = ± 0,10%;
- classe A3 = ± 0,25%;
- classe A2 = ± 0,50%;
- classe A1 = ± 1,0%.
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Curva de Erros
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
Indicação do Instrumento
E
rr
o
 d
e/
T
en
d
ên
ci
a 
Pressão Crescente
Pressão Decrescente
H
Curva de Erros - Histerese
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Grandeza que não é o mensurando mas que afeta o 
resultado da medição deste.
Exemplos:
a) A temperatura de um micrômetro usado na medição de 
um comprimento.
b) A freqüência na medição da amplitude de uma 
diferença de potencial em corrente alternada.
c) A concentração de bilirrubina na medição da 
concentração de hemoglobina em uma amostra de plasma 
sanguíneo humano.
Grandeza de influência (VIM 2.7)
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MEDIDA
MÉTODO AMOSTRA
CONDIÇÕES 
AMBIENTAIS
OPERADOR EQUIPAMENTOS
Resultado deve ser claro, incluindo informação 
sobre a incerteza de medição.
FATORES QUE INTERFEREM NO RESULTADO 
DE UMA MEDIÇÃO
Resultado de uma Medição 
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Resultado de uma MediResultado de uma Mediçção ão (VIM 3.1) 
Valor atribuído a um mensurando obtido por medição.
Observações:
1) Quando um resultado é dado, deve-se indicar claramente se ele se refere:
- à indicação;
- ao resultado não corrigido;
- ao resultado corrigido;
e se corresponde ao valor médio de várias medições.
2) Uma expressão completa do resultado de uma medição inclui informações 
sobre a incerteza de medição.
RM = Resultado Corrigido ± Incerteza [unidade de medida]
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Incerteza de Medição
A incerteza de medição deve vir acompanhada da probabilidade de 
abrangência. 
Ex.: V = (20,00 ± 0,05) mL com probabilidade de abrangência de 95% 
(nível de confiança).
O volume exato não é conhecido. Podemos afirmar com 95% de 
probabilidade que o volume está no intervalo de 19,95 até 20,05 mL.
A obtenção de forma confiável da incerteza requer:
- Conhecimento metrológico na área específica, ou seja, experiência e;
- Conhecimento da metodologia da avaliação da incerteza baseados nos 
procedimentos recomendados pela ISO GUM
Dois valores são necessários para quantificar uma incerteza:
-o intervalo, sempre simétrico, em torno do valor mais provável do mensurando. 
- a probabilidade de abrangência (nível de confiança), que estabelece o quanto 
seguro nós estamos de que o “valor verdadeiro” está neste intervalo.
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A incerteza expressa quantitativamente a qualidade de uma medição. Quanto 
menor numericamente for a incerteza maior é a qualidade do resultado da 
medição, calibração ou ensaio. 
Conhecendo se a componente de maior influência na incerteza, podemos 
tentar reduzí-la pois saberemos onde efetivamente buscar a melhoria.
- A incerteza nos ajuda a quantificar o quanto o nosso resultado representa 
bem o valor da grandeza medida.
- Fundamental para a comparação de dois ou mais resultados
- Fundamental na avaliação da conformidade de produtos
Por que a Incerteza de Medição é Importante?
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Guia para Expressão da Incerteza 
de Medição.
Terceira Edição Brasileira
do “Guide to the Expression
of Uncetainty in Measurement”.
Referências Bibliográficas 
EURACHEM / CITAC
Guide “Quantifying Uncertainty
in Analytical Measurement”.
Second Edition - 2000.
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Versão Brasileira do Documento de Referência EA-4/02 
“Expressão da Incerteza de Medição na Calibração” - 01/1999.
EA - European Co-operation for Accreditation. 
Referências Bibliográficas 
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Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a 
dispersão dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um 
mensurando.
Observações:
1) O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio padrão (ou um múltiplo dele), 
ou a metade de um intervalo correspondente a um nível de confiança 
estabelecido;
2) A incerteza de medição compreende, emgeral, muitos componentes. Alguns 
destes componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística 
dos resultados das séries de medições e podem ser caracterizados por desvios 
padrão experimentais. Os outros componentes, que também podem ser 
caracterizados por desvios padrão, são avaliados por meio de distribuição de 
probabilidade assumidas baseadas na experiência ou em outras informações;
3) Entende-se que o resultado da medição é a melhor estimativa do valor do 
mensurando e que todos os componentes da incerteza, incluindo aqueles 
resultantes dos efeitos sistemáticos, como os componentes associados com 
correções e padrões de referência, contribuem para a dispersão.
Incerteza de Medição (VIM 3.9)
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Qual a origem das incertezas? 
instrumento de medição – envelhecem 
e se desgastam, geram ruídos elétricos, 
desvios de linearidade, resolução, etc.
Habilidade do 
operador - algumas 
medições 
dependem da 
habilidade e 
julgamento do 
operador.
Incertezas importadas – a 
calibração do instrumento 
possui uma incerteza que 
contribui para a incerteza da 
medição que você está
realizando.
A amostra ou 
produto que está
sendo medido - o 
qual pode não ser 
estável.
O Processo de 
medição – a 
medição em si 
mesma pode ser 
difícil de ser feita.
O ambiente -
temperatura, pressão, 
umidade, vibração e 
muitas outras 
condições podem afetar 
o instrumento de 
medição ou o item que 
está sendo medido.
Amostras obtidas - as 
medições necessitam ser 
representativas do 
processo que você está
tentando determinar. 
Qual a origem das incertezas?
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-Formas de avaliação da incerteza:
• Tipo A
• Tipo B
- Incerteza Padrão (u)
- Incerteza Padrão Combinada (uc)
- Coeficiente de Sensibilidade (C)
- Incerteza Expandida (U)
- Graus de Liberdade (n)
- Fator de abrangência (k)
- Nível de confiança ou probabilidade de abrangência
Termos Metrológicos da ISO-GUM
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- AVALIAÇÃO TIPO A (da incerteza):
Método de avaliação da incerteza pela análise estatística 
de uma série de observações
São aquelas determinadas estatisticamente pelo 
usuário no momento da avaliação da incerteza.
Métodos de Avaliação da Incerteza 
- AVALIAÇÃO TIPO B (da incerteza):
São incertezas estimadas usando qualquer outra informação e 
já disponíveis para uso.
Pode ser informação de medições em experiências passadas, 
de certificados de calibração, especificações de fabricantes, de 
cálculos, de informações publicadas em normas técnicas ou em 
livros e manuais e do bom senso.
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Como a Incerteza de Medição é Determinada?
INCERTEZA DO INCERTEZA DO 
RESULTADO DA RESULTADO DA 
MEDIMEDIÇÇÃOÃO
CALIBRACALIBRAÇÇÃO ÃO 
DO INSTRUMENTODO INSTRUMENTO
MEDIMEDIÇÇÃOÃO
DO PRODUTO (MDO PRODUTO (Méédia das dia das 
MediMediçções)ões)
INCERTEZAINCERTEZA
DA CALIBRADA CALIBRAÇÇÃOÃO
C
O
M
P
O
N
E
N
T
E
C
O
M
P
O
N
E
N
T
E
PROCEDIMENTOPROCEDIMENTO
ESTABILIDADE DO ESTABILIDADE DO 
INSTRUMENTOINSTRUMENTO
OPERADOROPERADOR
AMBIENTEAMBIENTE
PRODUTOPRODUTO
22
3
2
2
2
1 ... nc uuuuu ++++=
incerteza padrão 
combinada (uc).
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Incerteza Expandida 
A incerteza expandida (U) é obtida pela multiplicação do fator de abrangência (k) 
pela incerteza padrão combinada (uc).
A Distribuição de Probabilidade da U é aproximadamente NORMAL. O 
FATOR DE ABRANGÊNCIA (k) é obtido na tabela da distribuição t 
para a probabilidade de abrangência (P) desejada (geralmente 
aproximadamente 95%).
cP ukU .=
Uma declaração típica obrigatória no certificado de calibração e relatório de 
medição ou ensaio:
" A incerteza apresentada foi obtida através da multiplicação da incerteza 
padrão combinada pelo fator de abrangência k= ____, proporcionando uma 
probabilidade de abrangência de aproximadamente 95%"
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A incerteza padrão Tipo B é obtida por meios, que não 
envolvem a análise estatística de observações repetitivas do 
mensurando, porém sim outras informações, como: 
- Certificados de calibração
- Especificações dos instrumentos e padrões
- Dados técnicos de fabricantes
- Resolução 
- Livros e Manuais Técnicos
- Estimativas baseadas na experiência
Exemplo:
Incerteza citada em Certificados de Calibração
A incerteza expandida U informada em certificados de calibração 
deverá ser transformada em incerteza padrão:
Ou seja:
Avaliação ² Tipo B² da Incerteza
u xi( )
u xi( )
k
U
u =