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Centro de Ciências e Tecnologia - CCTUnidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
Variáveis Complexas
Prof.: Diogo de Santana Germano
Sumário
1 Números Complexos 41.1 Somas e produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Propriedades algébricas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Conjugado Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Produtos e quocientes na forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Raízes de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11 Regiões no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Funções Analíticas 272.1 Funções de uma variável complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Limites envolvendo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Fórmulas de diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9 Equações de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.12 Funções analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.13 Funções harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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3 Funções Elementares 563.1 A função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 A função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Ramos e derivadas de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Algumas identidades envolvendo logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5 Expoentes complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7 Funções hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8 Funções trigonométrica e hiperbólica inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Integrais 714.1 Derivadas de funções w(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Integrais definidas de funções w(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4 Integrais Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 Limitação superior para o módulo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.7 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.8 O Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.9 Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.10 Derivadas de funções analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.11 Aplicações da Fórmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Capítulo 1
Números Complexos
1.1 Somas e produtos
Definição 1.1 (Número complexo como par ordenado) Um número complexo é um parordenado (x, y), com x, y ∈ R, que é identificado com um ponto ou vetor no plano queaqui será chamado de plano complexo ou z-plano.
Quando os números reais x são representados pelo pelo par (x, 0) no eixo real, torna-seevidente que o conjunto dos números complexos, denotado por C, incluem os números reaiscomo subconjunto. Números complexos da forma (0, y) correspondem a pontos no eixo y esão chamados números imaginários puros. O eixo y é chamado eixo imaginário.Utilizaremos a seguinte notação para números complexos:z = (x, y), x, y ∈ R. (1.1)
Os números x e y são conhecidos como parte real e imaginária de z, respectivamente;escrevemos Re z = x, Im z = y. (1.2)
Definição 1.2 (Igualdade) Dois números complexos z1 = (x1, x2) e z2 = (x2, y2) são iguaisquando x1 = x2 e y1 = y2, ou seja, as partes reais e imaginárias coincidem.
Assim, z1 e z2 representam o mesmo ponto no plano complexo.
Definição 1.3 (Soma e Produto) A soma z1+z2 e o produto z1z2 são definidos da seguinteforma: z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); (1.3)z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2). (1.4)
As operações (1.3) e (1.4) são as operações usuais de adição e multiplicação quando nosrestringimos aos números reias:(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).
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Figura 1.
Qualquer z = (x, y) pode ser escrito como z = (x, 0) +(0, y) e, é fácil ver, que (0, 1)(y, 0) = (0, y). Então
z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)
e, se escrevemos (x, 0) como x e denotamos (0, 1) por i (vejaFigura 1), temos a seguinte definição:
Definição 1.4 (Número complexo com a unidade imaginária)Um número complexo é qualquer número da forma
z = x + iy. (1.5)
onde x, y ∈ R e i é a unidade imaginária.
Com a convensão z2 = zz, z3 = zz2, etc., encontramos
i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0)
ou i2 = −1. (1.6)
Por (1.5), definimos (1.3) e (1.4) por
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (1.7)(x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(y1x2 + x1y2). (1.8)Observe que o lado direito da equação (1.8) pode ser obtido multiplicando os termos dolado esquerdo como se fossem números reais e substituindo i2 por −1.
1.2 Propriedades algébricas básicas
As familiares leis comutativas, associativas e distributivas são válidas para númeroscomplexos e são de fácil verificação.
1. Leis comutativas: z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1;2. Leis associativas: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3);3. Lei distributiva: z(z1 + z2) = zz1 + zz2.
Definição 1.5 (Elementos neutros) Os números complexos 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0) são oselementos neutros da adição e multiplicação, isto é,
z + 0 = z e z · 1 = z
para todo número complexo z.
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Definição 1.6 (Inverso aditivo) O inverso aditivo do complexo z = (x, y) é o número−z = (−x,−y), ou seja, satisfaz a equação
z + (−z) = 0.
Existe um único inverso aditivo para cada z complexo, pois
(x, y) + (u, v ) = (0, 0)⇒ u = −x e v = −y.
O inverso aditivo pode ser escrito como −z = −x − iy, pois −(iy) = (−i)y = i(−y)(Verifique!) e é utilizado para definir a subtração
z1 − z2 = z1 + (−z2).
Assim, se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então
z1 − z2 = (x1 − x2, y1 − y2) = (x1 − x2) + i(y1 − y2).
Para qualquer número complexo não nulo z = (x, y), existe um número z−1 tal quezz−1 = 1 chamado de inverso multiplicativo. Para encontrá-lo, consideramos dois númerosreais u e v tais que (x, y)(u, v ) = (1, 0).
De acordocom a definição de multiplicação de números complexos, u e v devem satisfazeras esquações lineares { xu− yv = 1yu+ xv = 0 .
Resolvendo o sistema anterior para u e v encontramos
u = xx2 + y2 , v = −yx2 + y2 .
Definição 1.7 (Inverso multiplicativo) O inverso multiplicativo do número complexo nãonulo z = (x, y) é o número
z−1 = ( xx2 + y2 , −yx2 + y2
) z 6= 0. (1.9)
O inverso z−1 não é definido quando z = 0. De fato, z = 0 implica x2 +y2 = 0, o que nãopode acontecer na expressão anterior.A existência do inverso multiplicativo nos permite mostrar que o produto z1z2 é zero se,e somente se pelo menos um dos fatores z1 ou z2 for zero. De fato, suponha que z1z2 = 0e z1 6= 0. O inverso z−11 existe; então,z2 = 1 · z2 = (z−11 z1)z2 = z−11 (z1z2) = z−11 · 0 = 0.
isto é, se z1z2 = 0 obtemos z1 = 0 ou z2 = 0; utilizando a definição de produto é fácilconstatar a recíproca.
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Definição 1.8 (Divisão) A divisão de números complexos é definida da seguinte forma:z1z2 = z1z−12 , z2 6= 0. (1.10)
Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), a equação (1.10) e a expressão (1.9) nos dizem quez1z2 = (x1, y1)
( x2x22 + y22 , −y2x22 + y22
) = (x1x2 + y1y2x22 + y22 , y1x2 − x1y2x22 + y22
)
ou seja, z1z2 = x1x2 + y1y2x22 + y22 + iy1x2 − x1y2x22 + y22 , z2 6= 0.Como a expressão anterior não é fácil de memorizar, podemos obtê-la escrevendoz1z2 = (x1 + iy1)(x2 − iy2)(x2 + iy2)(x2 − iy2) . (1.11)
Mais adiante apresentaremos a motiviação para a equação (1.11).Existem algumas identidades esperadas envolvendo quocientes, como a relação1z2 = z−12 , z2 6= 0,
que é a equação (1.10) com z1 = 1. Esta última identidade pode, por exemplo, ser utilizadapara escrever a equação (1.10) na forma
z1z2 = z1
( 1z2
) , z2 6= 0.
Podemos também observar que
(z1z2)(z−11 z−12 ) = (z1z−11 )(z2z−12 ) = 1, z1, z2 6= 0
e então que (z1z2)−1 = z−11 z−12 , donde segue que1z1z2 = (z1z2)−1 = z−11 z−12 =
( 1z1
)( 1z2
) , z1, z2 6= 0.
e z1z2z3z4 =
(z1z3
)(z2z4
) , z3, z4 6= 0.
Exemplo 1.1 Podemos agora justificar os seguintes cálculos:( 12− 3i
)( 11 + i
) = 1(2− 3i)(1 + i) = 15− i · 5 + i5 + i = 5 + i(5− i)(5 + i)= 5 + i26 = 526 + i26 = 526 + 126 i.
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Finalmente, observamos que a fórmula binomial envolvendo números reais continuavalendo para números complexos. Isto é, se z1 e z2 são dois números complexos,
(z1 + z2)n = n∑k=0
( nk ) zn−k1 zk2 , n = 1, 2, . . .
onde ( nk ) = n!k!(n− k)! , k = 0, 1, 2, . . . , ncom a convensão de que 0! = 1. A prova é por indução matemática e fica a cargo do leitor.
1.3 Exercícios
1. Verifique que(a) (√2− i)− i(1−√2i) = −2i; (b) (2,−3)(−2, 1) = (−1, 8);
(c) (3, 1)(3,−1)(15 , 110
) = (2, 1).
2. Mostre que(a) Re(iz) = − Im z; (b) Im(iz) = Re z; (c) Im [(1 + i)z] = Re(z) + Im(z)
3. Verifique que cada um dos números z = 1± i satisfazem a equação z2− 2z+ 2 = 0.
4. Use −1 = (−1, 0) e z = (x, y) para mostrar que (−1)z = −z.
5. Use i = (0, 1) e y = (y, 0) para verificar que −(iy) = (−i)y. Então, mostre que oinverso aditivo de um número complexo z = x+iy pode ser escrito como −z = −x−iysem ambiguidade.
6. Resolva a equação z2 + z + 1 = 0 para z = (x, y) escrevendo
(x, y)(x, y) + (x, y) + (1, 0) = (0, 0)
e, em seguida, resolvendo um par de equações simultâneas em x e y.
Resposta: z = (−12 ,±
√32
).
7. Use a definição 1.2 para resolver cada equação para z = x + iy.
(a) 2z = i(2 + 9i); (b) z + 2z = 2− i1 + 3i .Resposta: (a) z = −9/2 + i; (b) z = −1/30 + 7/10i.
8. Simplifique as expressões até obter um número complexo.
(a) 1 + 2i3− 4i + 2− i5i ; (b) 5i(1− i)(2− i)(3− i) ; (c) (1− i)4.Resposta: (a) −2/5; (b) −1/2; (c) −4.
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9. Prove que se z1z2z3 = 0, então pelo menos um dos três fatores é nulo.10. Resolva o seguinte sistema para as incógnitas z1, z2 ∈ C:{ iz1 − iz2 = 2 + 10i−z1 + (1− i)z2 = 3− 5i
Resposta: z1 = 17 + 11i, z2 = 7 + 13i.
1.4 Módulo
É natural associar qualquer número complexo não nulo, z = x + iy, com um vetorpartindo da origem até o ponto (x, y) que o representa no plano complexo. Na verdade,nos referimos a z como o ponto z ou vetor z. Na figura 2 os números z = x + iy e −2 + iestão representados geometricamente como pontos e vetores.
Figura 2.
Segundo a definição da soma de dois números complexos, o complexo z1 + z2 podeser obtido vetorialmente como mostrado na figura 3. A diferença z1 − z2 = z1 + (−z2)corresponde à soma dos vetores para z1 e −z2 (Figura 4).
Figura 3 Figura 4
É evidente que o produto de números complexos z1z2 é um ponto do plano (ou vetor)que não é nem o produto escalar, nem o produto vetorial utilizado na análise de um vetorcomum.A interpretação do vetor de números complexos é especialmente útil para estender oconceito de módulos dos números reais para o plano complexo.
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Definição 1.9 (Módulo) O módulo, ou valor absoluto, de um número complexo z = x + iyé definido como o número real não negativo √x2 + y2 e denotado por |z|; isto é,
|z| =√x2 + y2. (1.12)
Geometricamente, o número |z| é a distância entre o ponto (x, y) e a origem, ou ocomprimento do vetor que representa z. Este se reduz para o valor absoluto usual nosistema dos números reais quando y = 0. Note que, enquanto a desigualdade zl < z2 nãotem sentido a menos que zl e z2 sejam reais, a expressão |z1| < |z2| significa que o pontozl está mais próximo da origem do que o ponto z2.
Exemplo 1.2 Desde que | − 3 + 2i| = √13 e |1 + 4i| = √17, o ponto −3 + 2i está maisperto da origem do que o ponto 1 + 4i.
Definição 1.10 A distância entre dois pontos z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 é |z1 − z2|.
A definição anterior está justificada na figura 4, pois zl − z2 é o comprimento do vetorque representa zl− z2. A diferença zl− z2 pode ser interpretada como o segmento ligandoo ponto (x2, y2) a o ponto (xl, yl). Comoz1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2)
a definição de módulo nos fornece
|z1 − z2| =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Assim, os números complexos z correspondentes aos pontos sobre o círculo com centroz0 e raio R satisfazem a equação |z − z0| = R , e vice-versa. Logo, nos referiremos a esteconjunto de pontos simplesmento como o círculo |z − z0| = R .
Exemplo 1.3 A equação |z−1+3i| = 2 representa o círculo centrado no ponto z0 = (1,−3)e com raio R = 2.
Decorre também da definição (1.12) que os números reais |z|, Re z = x e Im z = yestão relacionados pela equação
|z|2 = (Re z)2 + (Im z)2. (1.13)
Então Re z ≤ |Re z| ≤ |z| e Im z ≤ | Im z| ≤ |z|. (1.14)
Voltamo-nos agora para a desigualdade triangular, que fornece um limite superior parao módulo da soma de dois números complexos zl e z2:|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|. (1.15)
Essa importante desigualdade é geometricamente percebida na figura 3, pois ela declaraque o comprimento de um lado de um triângulo é menor ou igual à soma dos comprimentos
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dos outros dois lados. Também podemos ver na Figura 3 que a desigualdade (1.15) é naverdade uma igualdade quando 0, zl e z2 são colineares.Uma conseqüência imediata da desigualdade triangular é o fato de que|z1 + z2| ≥ ||z1| − |z2|| . (1.16)Para justificar a inequação anterior escrevemos|z1| = |(z1 + z2) + (−z2)| ≤ |z1 + z2|+ | − z2|,isto é, |z1 + z2| ≥ |z1| − |z2|.Esta é a inequação (1.16) quando |z1| ≥ |z2|. Se |z1| < |z2|, basta trocar z1 e z2 nadesigualdade anterior para obter|z1 + z2| ≥ −(|z1| − |z2|),e assim, chegamos ao resultado desejado. A desigualdade (1.16) nos diz, é claro, queo comprimento de um lado de um triângulo é maior ou igual do que a diferença doscomprimentos dos outros dois lados.Como | − z2| = |z2|, podemos substituir z2 por −z2 nas desigualdades (1.15) e (1.16)para escrever as formas particularmente úteis:|z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|,|z1 ± z2| ≥ ||z1| − |z2|| .Exemplo 1.4 Se um ponto z está sobre o círculo unitário |z| = 1 centrado na origem,então |z − 2| ≤ |z|+ 2 = 3e |z − 2| ≥ ||z| − 2| = 1.
A desigualdade triangular pode ser generalizada por indução matemática para somasenvolvendo um número finito de termos:|z1 + z2 + · · ·+ zn| ≤ |z1|+ |z2|+ · · ·+ |zn|, n = 2, 3, . . . .De fato, quando n = 2, a desigualdadeanterior é apenas a desigualdade (1.15). Alémdisso, se a desigualdade anterior é válida quando n = m, ela também é verdadeira quandon = m+ 1, pois|(z1 + z2 + · · ·+ zm) + zm+1| ≤ |z1 + z2 + · · ·+ zm|+ |zm+1|≤ (|z1|+ |z2|+ · · ·+ |zm|) + |zm+1|.
1.5 Conjugado Complexo
Definição 1.11 O conjugado complexo, ou simplesmente conjugado, do número complexoz = x + iy é definido da seguinte forma:z = x − iy. (1.17)
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Figura 5.
O conjugado complexo é representado pelo ponto (x,−y),que é a reflexão em torno do eixo real do ponto (x, y)representado na figura 5. Note quez = z e |z| = |z|
para todo z.Se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, entãoz1 + z2 = (x1 + x2)− i(y1 + y2) = (x1 − iy1) + (x2 − iy2).Assim, o conjugado da soma é a soma dos conjugados:z1 + z2 = z1 + z2.Da mesma maneira, é fácil mostrar quez1 − z2 = z1 − z2,z1z2 = z1 z2,e (z1z2
) = z1z2 , z2 6= 0.A soma z + z de um número complexo z = x + iy e seu conjugado z = x − iy é onúmero real 2x , e a diferença z − z é o número imaginário puro 2iy. Logo
Re z = z + z2 , Im z = z − z2i .Uma identidade importante relacionada ao conjugado de um número complexo z =x + iy para seu módulo é zz = |z|2, (1.18)onde cada lado é igual a x2 + y2. Ela sugere o método para determinar um quociente denúmeros complexos z1/z2; basta multiplicar o numerador e o denominador de z1/z2 por z2,de modo que o denominador torna-se o número real |z2|2.Exemplo 1.5 Como ilustração−1 + 3i2− i = (−1 + 3i)(2 + i)(2− i)(2 + i) = −5 + 5i|2− i|2 = −5 + 5i5 = −1 + i.A identidade (1.18) é especialmente útil na obtenção de propriedades de módulo. Porexemplo, |z1z2| = |z1||z2| (1.19)e ∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , z2 6= 0. (1.20)A propriedade (1.19) segue diretamente de (1.18), como segue|z1z2|2 = (z1z2)(z1z2) = (z1z2)(z1 z2) = (z1z1)(z2z2) = |z1|2|z2|2 = (|z1||z2|)2.A propriedade (1.20) pode ser verificada utilizando (1.19).
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Exemplo 1.6 A propriedade (1.19) nos diz que |z2| = |z|2 e |z3| = |z|3. Então se zé um ponto dentro do círculo centrado na origem com raio 2, |z| < 2, segue da formageneralizada da desigualdade triangular
|z3 + 3z2 − 2z + 1| ≤ |z|3 + 3|z|2 + 2|z|+ 1 < 25.
1.6 Exercícios
1. Represente geometricamente como vetores os números z1 + z2 e z1 − z2 quando(a) z1 = 2i, z2 = 23 − i (b) z1 = (−√3, 1), z2 = (√3, 0)(c) z1 = (−3, 1), z2 = (1, 4) (d) z1 = x1 + iy1, z2 = x1 − iy12. Mostre que, quando |z3| 6= |z4|,Re(z1 + z2)|z3 + z4| ≤ |z1|+ |z2|||z3| − |z4|| .
3. Verifique que √2|z| ≥ |Re z|+ | Im z|.Sugestão: Reduza esta inequação para (|x| − |y|)2 ≥ 0.4. Em cada caso, esboce o conjunto dos pontos determinado pelas condições dadas.(a) |z − 1 + i| = 1 (b) |z + i| ≤ 3 (c) |z − 4i| ≥ 4(d) Re(z − i) = 2 (e) |2z + i| = 45. Usando o fato de que |z1−z2| é a distância entre os pontos z1 e z2 dê um argumentogeométrico para(a) |z − 4i|+ |z + 4i| = 10 representar uma elipse cujos focos são (0,±4);(b) |z − 1| = |z + i| representar uma reta que passa pela origem cuja inclinação é−1.6. Use as propriedades do conjugado e do módulo para mostrar que(a) z + 3i = z − 3i (b) iz = −iz(c) (2 + i)2 = 3− 4i (d) |(2z + 5)(√2− i)| = √3|2z + 5|7. Mostre que |Re(2 + z + z3)| ≤ 4, quando |z| ≤ 1.
8. Fatorando z4−4z2 +3 em fatores quadrados e usando uma desigualdade apropriadamostre que, se z pertence ao círculo |z| = 2, então∣∣∣∣ 1z4 − 4z2 + 3
∣∣∣∣ ≤ 13 .
9. Mostre que(a) z é real se, e somente se z = z;(b) z é apenas real ou imaginário puro se, e somente se z2 = z2.
13
10. Usando as expressões Re z = z + z2 , Im z = z − z2i .mostre que a hipérbole x2 − y2 = 1 pode ser escrita comoz2 + z2 = 2.
1.7 Forma exponencial
Definição 1.12 (Forma polar) Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x, y) ao qualcorresponde o número complexo não nulo z = x+ iy. Desde que x = r cosθ e y = r senθ,o número z pode ser escrito na forma polar comoz = r(cosθ + i senθ). (1.21)
Se z = 0, a coordenada θ não está definida.
Figura 6.
Em análise complexa, o número real r não pode sernegativo e representa o comprimento do vetor (raio) de z,isto é, r = |z|. O número real θ representa o ângulo, medidoem radianos, que z faz com o eixo real positivo quando z éinterpretado como um vetor (Figura 6). Como no cálculo, θtem um número infinito de valores, incluindo os negativos,que diferem por múltiplos inteiros de 2pi. Esses valorespodem ser determinados a partir da equação tanθ = y/x ,onde o quadrante que contém o ponto correspondendo a zdeve ser especificado. Cada valor de θ é chamado de umargumento de z, e o conjunto de todos esses valores é denotado por arg z. O valorprincipal de arg z, denotado por Arg z, é o único valor Θ tal que −pi < Θ < pi. Note quearg z = Arg z + 2npi, n = 0,±1,±2, . . . . (1.22)
Quando z é um número real negativo, Arg z tem valor pi e não −pi.
Exemplo 1.7 O número complexo −1 − i, que se encontra no terceiro quadrante, temargumento principal −3pi/4. Isto é,
Arg(−1− i) = −3pi4 .Deve ser enfatizado que, devido à restrição −pi < Θ < pi do argumento principal, não éverdade que Arg(−1− i) = 5pi/4. De acordo com a equação (1.22),
arg(−1− i) = −3pi4 + 2npi, n = 0,±1,±2, . . . .Note que o termo Arg z no lado direito da equação (1.22) pode ser substituído por qualquervalor determinado de arg z e, assim, também podemos escrever,
arg(−1− i) = 5pi4 + 2npi, n = 0,±1,±2, . . . .
14
O símbolo eiθ , ou exp(iθ), é definida por meio da fórmula de Euler como
eiθ = cosθ + i senθ, (1.23)
onde θ deve ser medido em radianos.
Definição 1.13 (Forma exponencial) A fórmula de Euler nos permite escrever a formapolar (1.21) de maneira mais compacta na forma exponencial:
z = reiθ. (1.24)
Exemplo 1.8 O número −1− i do exemplo anterior tem a seguinte forma exponencial:
−1− i = √2 exp [i(−3pi4
)] .
Como e−iθ = ei(−θ), podemos escrever também−1−i = √2e−i3pi/4. As expressões anterioressão apenas uma dentre um número infinito de possibilidades para a forma exponencial de−1− i: −1− i = √2 exp [i(−3pi4 + 2npi
)] n = 0,±1,±2, . . . .
Figura 7.
Note que a expressão (1.24) com r = 1 nos diz queos números eiθ estão sobre o círculo centrado na origemde raio unitário, conforme mostra a figura 7. Por exemplo,geometricamente observamos que
eipi = −1, e−ipi/2 = −i e e−i4pi = 1.
Note, também, que a equação
z = Reiθ, 0 ≤ θ ≤ 2pi
é a representação paramétrica do círculo |z| = R , centrado na origem com raio R . Comoo parâmetro θ aumenta de θ = 0 a θ = 2pi, o ponto z começa a partir do eixo realpositivo e atravessa o círculo uma vez no sentido anti-horário. Mas, geralmente, o círculo|z − z0| = R , cujo centro é z0 e cujo raio é R , tem a representação paramétricaz = z0 + Reiθ, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Figura 8.
Isto pode ser visto geometricamente (Figura 8), observandoque um ponto z percorrendo o círculo |z − z0| = R uma vez,no sentido anti-horário, corresponde à soma do vetor fixo z0com um vetor de comprimento R cujo ângulo de inclinaçãovaria de θ = 0 a 0 = 2pi.
15
1.8 Produtos e quocientes na forma exponencial
Da trigonometria decorre uma das propriedades da função exponencial do cálculo:
eiθ1eiθ2 = (cosθ1 + i senθ1)(cosθ2 + i senθ2)= (cosθ1 cosθ2 − senθ1 senθ2) + i(senθ1 cosθ2 + cosθ1 senθ2)= cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2) = ei(θ1+θ2).
Então, se z1 = r1eiθ1 e z2 = r2eiθ2 , o produto z1z2 tem forma exponencial
z1z2 = r1r2eiθ1eiθ2 = r1r2ei(θ1+θ2). (1.25)
Além disso, z1z2 = r1r2 · eiθ1e−iθ2eiθ2e−iθ2 = r1r2 · ei(θ1−θ2)ei0 = r1r2ei(θ1−θ2). (1.26)Como 1 = 1ei0, segue da expressão anterior que o inverso de um número complexo qualquernão nulo z = reiθ é z−1 = 1z = 1r e−iθ.A expressão (1.25) nos fornece uma identidade importante envolvendo argumentos:
arg(z1z2) = arg z1 + arg z2. (1.27)
Figura 9.
Para verificar a identidade anterior, considere θ1 =arg z1 e θ2 = arg z2. A expressão (1.25) nos diz que θ1 + θ2é um valor de arg(z1z2) (Veja a Figura 9). Se, por outrolado, os valores de arg(z1z2) e argz1 são especificados, essesvalores correspondem a escolhas particulares de n e n1 nasexpressões
arg(z1z2) = (θ1 + θ2) + 2npi, n = 0,±1,±2, . . . ,
e arg z1= θ1 + 2n1pi n1 = 0,±1,±2, . . . .Desde que (θ1 + θ2) + 2npi = (θ1 + 2n1pi) + [θ2 + 2(n− n1)pi],a equação (1.27) é evidentemente satisfeita quando
arg z2 = θ2 + 2(n− n1)pi
é escolhido. A verificação quando os valores de arg(z1z2) e arg z2 são especificados seguede forma análoga.A expressão (1.27) às vezes é válida quando substituimos arg por Arg. Mas, tal fatonem sempre é válido, como veremos no exemplo que segue.
16
Exemplo 1.9 Quando z1 = −1 e z2 = i,
Arg(z1z2) = Arg(−i) = −pi2 mas Arg z1 + Arg z2 = pi + pi2 = 3pi2 .
Se, no entanto, tomarmos os valores de arg z1 e arg z2 usados e selecionarmos o valor
Arg(z1z2) + 2pi = −pi2 + 2pi = 3pi2
de arg(z1z2), a equação (1.27) é satisfeita.
A expressão (1.27) também nos diz que
arg(z1z2
) = arg(z1z−12 ) = arg z1 + arg(z−12 ),
donde segue que arg(z−12 ) = − arg z2,pois z−1 = 1/z = 1/reiθ = (1/r)e−iθ . Então
arg(z1z2
) = arg z1 − arg z2. (1.28)
Exemplo 1.10 A fim de encontrar o argumento principal Arg z quando
z = −21 +√3i ,
observamos que arg z = arg(−2)− arg(1 +√3i).
Desde que Arg(−2) = pi e Arg(1 +√3i) = pi3 ,um valor de arg z é 2pi/3; e, como 2pi/3 está entre −pi e pi, encontramos Arg z = 2pi/3.
Outro resultado importante que pode ser obtido formalmente através de z = reiθ é
zn = rneinθ, n = 0,±1,±2, . . . . (1.29)
É fácil verificar (1.29) por indução matemática para valores positivos de n. Maisespecificamente, note primeiro que z = reiθ quando n = 1. Em seguida, suponha que(1.29) é válida quando n = m, onde m é um inteiro positivo qualquer. Pelo produto entrenúmeros complexos não nulos na forma exponencial, a afirmação torna-se verdadeira paran = m+ 1: zm+1 = zzm = reiθrmeimθ = rm+1ei(m+1)θ.
17
Assim, a expressão (1.29) é verificada para todo inteiro positivo n; também é válida quandon = 0, com a convensão z0 = 1. Se n = −1,−2, . . ., definimos zn em termos do inversomultiplicativo de z, escrevendo
zn = (z−1)m quando m = −n = 1, 2, . . . .
Então, já que a expressão (1.29) é válida para potências inteiras positivas, decorre daforma exponencial para z−1, que
zn = [1r ei(−θ)
]m = (1r
)m eim(−θ) = (1r
)−n ei(−n)(−θ) = rneinθ, n = −1,−2, . . . .
Portanto (1.29) fica estabelecida para todas as potências inteiras.Observe que se r = 1, a expressão (1.29) torna-se
(eiθ)n = einθ, n = 0,±1,∓2, . . . .
Então obtemos a forma
(cosθ + i senθ)n = cosnθ + i sennθ, n = 0,±1,±2, . . . ,
que é a conhecida fórmula de Moivre.A expressão (1.29) pode ser útil na busca de potências de números complexos.
Exemplo 1.11 Vamos escrever (√3 + i)7 em sua forma normal. Temos
(√3 + i)7 = (2eipi/6)7 = 27ei7pi/6 = (26eipi)(2eipi/6) = −64(√3 + i).
1.9 Exercícios
1. Encontre o argumento principal Arg z quando
(a) z = i−2− 2i ; (b) z = (√3− i)6.Respostas: (a) −3pi/4; (b) pi.2. Mostre que (a) |eiθ| = 1; (b) eiθ = e−iθ .3. Usando o fato de que o módulo |eiθ −1| é a distância entre os pontos eiθ e 1, dê umargumento geométrico para encontrar um valor de θ no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2pi quesatisfaça a equação |eiθ − 1| = 2.Resposta: pi.4. Escrevendo os fatores individualmente na sua forma exponencial, realizandoas operações necessárias e, finalmente, mudando de volta para coordenadasretangulares, mostre que(a) i(1−√3i)(√3 + i) = 2(1 +√3i); (b) 5i/(2 + i) = 1 + 2i;(c) (−1 + i)7 = −8(1 + i); (d) (1 +√3i)−10 = 2−11(−1 +√3i).
18
5. Mostre que se Re z1 > 0 e Re z2 > 0, entãoArg(z1z2) = Arg z1 + Arg z2.6. Mostre que 1 + z + z2 + ·+ zn = 1− zn+11− z (z 6= 1).Em seguida, use este fato para provar a identidade trigonométrica de Lagrange:
1 + cosθ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ = 12 + sin[(2n+ 1)θ/2]2 sin(θ/2) (0 < θ < 2pi).Sugestão: Para a primeira identidade escreva S = 1 + z+ z2 + · · ·+ zn e considerea diferença S − zS. Para a segunda, escreva z = eiθ e use a primeira.7. Use a fórmula de Moivre para provar as seguintes identidades trigonométricas:(a) cos 3θ = cos3 θ − 3 cosθ sin2 θ; (b) sin 3θ = 3 cos2 θ sinθ − sin3 θ.
1.10 Raízes de números complexos
Figura 10.
Considere um ponto z = reiθ , situado num círculocentrado na origem de raio r (Figura 10). Quando θ cresce,z se move ao longo do círculo no sentido anti-horário. Emparticular, quando θ cresce até 2pi, chegamos a origem; eo mesmo ocorre quando θ decresce até 2pi. É, portanto,evidente pela figura 10 que dois números complexos não-nulos z1 = r1eiθ1 e z2 = r2eiθ2são iguais se, e somente ser1 = r2 e θ1 = θ2 + 2kpionde k é algum inteiro k = 0,±1,±2, . . ..A última observação, juntamente com a expressão zn = rneinθ são bastante úteis paraencontrar as raízes n-ésimas de um número complexo não nulo z0 = r0eiθ0 arbitrário, onden assume os valores n = 2, 3, . . .. Uma raíz n-ésima de z0 é um número não-nulo z = reiθtal que zn = z0, ou rneinθ = r0eiθ0.Logo, rn = r0 e nθ = θ0 + 2kpi,onde k é um inteiro qualquer (k = 0,±1,±2, . . .). Assim, r = n√r0, onde este radicaldenota a única raíz n-ésima positiva do número real r0,θ = θ0 + 2kpin = θ0n + 2kpin , k = 0,±1,±2, . . . .Consequentemente, os números complexos
z = n√r0 exp [i(θ0n + 2kpin
)] , k = 0,±1,±2, . . .
19
Figura 11.
são as raízes n-ésimas de z0. Notamos que todas estasraízes estão sobre o círculo |z| = n√r0 centrado na origem eestão, cada uma, igualmente espaçadas por 2pi/n radianos,começando com o argumento θ0/n. Todas as raízes distintassão obtidas quando k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 e nenhuma novaraíz surge com outros valores de k . Usaremos a notação ck(k = 0, 1, 2, . . . , n− 1) para denotar estas raízes distintas eescrevemos (veja figura 11)
ck = n√r0 exp [i(θ0n + 2kpin
)] , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1(1.30)O número n√r0 é o comprimento de cada um dos vetores que representam o raio das nraízes. A primeira raíz c0 possui argumento θ0/n; e as duas raízes quando n = 2 estãonas extremidades opostas de um diâmetro do círculo |z| = n√r0, com a segunda raíz sendo−c0. Quando n ≥ 3, as raízes estão nos vétices de um polígono regular de n lados inscritono círculo.Façamos z1/n0 denotar o conjunto das n-ésimas raízes de z0. Se, em particular, z0 forum número real positivo r0, o símbolo r1/n0 denotará o conjunto de todas as raízes; e osímbolo n√r0 na expressão (1.30) é a raíz positiva. Quando o valor de θ0 que é usado naexpressão (1.30) é o valor principal do arg z0 (−pi < θ0 ≤ pi), o número c0 é chamado deraíz principal. Então, quando z0 é um número real positivo r0, sua raíz principal é n√r0.Finalmente, uma forma conveniente para lembrar a expressão (1.30) é escrever z0 nasua forma exponencial mais geral,
z0 = r0ei(θ0+2kpi), k = 0,±1,±2, . . . (1.31)
e formalmente aplicar as leis dos expoentes fracionários envolvendo números reais, tendoem mente que existem precisamente n raízes:
z1/n0 = [r0ei(θ0+2kpi)]1/n = n√r0 exp [ i(θ0 + 2kpi)n
]
= n√r0 exp [i(θ0n + 2kpin
)] , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Exemplo 1.12 A fim de determinar as raízes n-ésimas da unidade, escrevemos
1 = 1 exp [i(0 + 2kpi)] , k = 0,±1,±2, . . .
e encontramos
11/n = n√1 exp [i(0n + 2kpin
)] = exp(i2kpin
) , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1. (1.32)
Quando n = 2, estas raízes são, de fato, ±1. Quando n ≥ 3, o polígono regular (as raízesestão nos vértices) é inscrito no círculo unitário |z| = 1, com um vértice correspondentepara a raíz principal z = 1 (k = 0).
20
Se escrevemos ωn = exp(i2pin
)
então ωkn = exp(i2kpin
) , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Daí, as raízes n-ésimas distintas da unidade são simplesmente
1, ωn, ω2n, . . . , ωn−1n .
Veja a figura 12, onde os casos n = 3, 4 e 6 são ilustrados.
Figura 12.
Note que ωnn = 1. Finalmente, observamos que se c é qualquer raíz n-ésima particular deum número complexo não nulo z0, o conjunto das raízes n-ésimas pode ser posto na formac, cωn, cω2n, . . . , cωn−1n .
Isto ocorre porque a multiplicação de qualquer número complexo diferente de zero por ωnaumenta o argumento do número em 2pi/n, deixando seu módulo inauterado.
Exemplo 1.13 Vamos encontrar todos os valores de (−8i)1/3, ou as três raízes cúbicas de−8i.
Figura 13.
Primeiro precisamos escrever−8i = 8exp [i(−pi2 + 2kpi)] , k = 0,±1,±2, . . .
para ver que as raízes são
ck = 2exp [i(−pi6 + 2kpi3
)] , k = 0, 1, 2.
Elas situam-se nos vértices de um triângulo equilátero,inscrito no círculo |z| = 2, e são igualmente espaçadas emtorno desse círculo por 2pi/3 radianos, começando com a raíz principal (Figura 13).
c0 = 2exp [i(−pi6)] = 2(cos pi6 − i sen pi6) = √3− i.21
É evidente que c1 = 2i, e, desde que c2 é simétrico a c0, em relação ao eixo imaginário,concluimos que c2 = −√3− i.Estas raízes podem ainda serem escritas como
c0, c0ω3, c0ω23, onde ω3 = exp(i2pi3
) .
Exemplo 1.14 Os dois valores ck (k = 0, 1) de (√3 + i)1/2, que são as raízes quadradasde √3 + i, são encotradas escrevendo√3 + i = 2exp [i(pi6 + 2kpi)] , k = 0,±1,±2, . . .
Figura 14.
e (veja figura 14)
ck = √2 exp [i( pi12 + kpi)] , k = 0, 1.
A fórmula de Euler nos diz que
c0 = √2 exp(i pi12) = √2(cos pi12 + i sen pi12) ,
e as identidades trigonométricas
cos2 (α2) = 1 + cosα2 , sen2 (α2) = 1− cosα2
nos permitem escrever
cos2 pi12 = 12 (1 + cos pi6) = 12
(1 + √32
) = 2 +√34 ,
sen2 pi12 = 12 (1− cos pi6) = 12
(1− √32
) = 2−√34 ,
Consequentemente,
c0 = √2
√2 +√34 + i
√2−√34
 = 1√2
(√2 +√3 + i√2−√3) .
Desde que c1 = −c0, as duas raízes quadradas de √3 + i, são
± 1√2
(√2 +√3 + i√2−√3) .
1.11 Regiões no plano complexo
22
Figura 15.
Nesta seção, estudaremos conjuntos de númeroscomplexos e propriedade de aproximação entre pontosno plano z.
Definição 1.14 (Vizinhanças) Uma ε-vizinhança
|z − z0| < ε (1.33)
de um determinado ponto z0 é o conjunto formadopor todos os pontos z que estão no interior de umcírculo centrado em z0 e com raio ε > 0 (Figura 15). Quando o valor de ε éirrelevante na discussão, o conjunto (1.33) é muitas vezes referido apenas como vizinhança.Ocasionalmente, é conveniente falar da vizinhança excluída
0 < |z − z0| < ε
consistindo de todos os pontos z na ε-vizinhança de z0 excluindo o ponto z0.
Definição 1.15 (Disco e anel) O conjunto dos pontos z que satisfazem a desigualdade
|z − z0| ≤ ρ
é chamado de disco de raio ρ centrado em z0. Se 0 < ρ1 < ρ2, o conjunto de pontossatisfazendo as desigualdades ρ1 ≤ |z − z0| ≤ ρ2anel circular centrado em z0.
Definição 1.16 (Pontos interior, exterior, de fronteira e de acumulação) Um ponto z0 éum ponto interior de um conjunto S, quando existe uma vizinhança de z0 inteiramentecontida em S; z0 é chamado ponto exterior de S quando existe uma vizinhança do mesmoque não contém ponto algum de S. Se z0 não é ponto interior nem exterior, ou seja, setoda vizinhança de z0 contiver pontos que estão em S e fora de S ao mesmo tempo, esteponto é dito um ponto de fronteira de S. Um ponto z0 é chamado ponto de acumulação deum conjunto S, se cada vizinhança excluída de z0 contém pelo menos um ponto de S.
O conjuntos de todos os pontos de fronteira de S é chamado fronteira de S. O círculo|z| = 1, por exemplo, é a fronteira dos conjuntos
|z| < 1 e |z| ≤ 1.
Evidentemente, um ponto z0 não é um ponto de acumulação de um conjunto S, sempreque existe alguma vizinhança excluída de z0 que não contém pontos de S. Note que aorigem é ponto de acumulação apenas do conjunto z = i/n (n = 1, 2, . . .).
Definição 1.17 (Conjuntos aberto e fechado) Um conjunto S é aberto se todos os seuspontos são pontos interiores. Um conjunto é fechado se contém todos os pontos de suafronteira, e o fecho de um conjunto S é o conjunto fechado constituído de todos os pontosde S, juntamente com sua fronteira.
23
Note que o conjunto |z| < 1 é aberto e |z| ≤ 1 é o seu fecho.Alguns conjuntos não são nem abertos nem fechados. Para um conjunto não ser aberto,deve existir um ponto de fronteira que está contido no conjunto, e para um conjunto nãoser fechado, basta existir um ponto de fronteira que não pertence ao conjunto. Observeque o disco perfurado 0 < |z| ≤ 1 não é nem aberto nem fechado. O conjunto de todos osnúmeros complexos é, por outro lado, aberto e fechado, uma vez que não possui pontos defronteira.Se um conjunto S é fechado, então ele contém cada um dos seus pontos de acumulação.Se um ponto de acumulação z0 não estivesse em em S, seria um ponto de fronteira de S, oque contradiz o fato de que um conjunto fechado contém todos os pontos de sua fronteira.É deixado como exercício mostrar que o inverso é verdade. Assim, um conjunto é fechadose, e somente se ele contém todos os seus pontos de acumulação.
Definição 1.18 (Conjunto conexo) Um conjunto aberto S é conexo se cada par de pontosz1 e z2 podem ser unidos por uma linha poligonal, composta por um número finito desegmentos de reta, inteiramente contida S.
Figura 16.
O conjunto aberto |z| < 1 é conexo. O anel1 < |z| < 2 é aberto e conexo (veja figura 16).
Definição 1.19 (Domínios e regiões)Um conjunto aberto e conexo é chamado de domínio.Um domínio juntamente com alguns, nenhum ou todosos seus pontos de fronteira é chamado de região.
Note que qualquer vizinhança é um domínio.
Definição 1.20 (Conjunto limitado) Um conjunto S élimitado se todos os pontos de S estão dentro de umcírculo |z| = R ; caso contrário ele é dito ilimitado.
Ambos os conjuntos |z| < 1 e |z| ≤ 1 são regiões limitadas, e o meio plano Re z ≥ 0 éilimitado.
1.12 Exercícios
1. Encontre as raízes quadradas de (a) 2i; (b) 1−√3i e expresse elas em coordenadasretangulares.
Respostas: (a) ±(1 + i); (b) ±√3− i√2 .2. Em cada caso, encontre todas as raízes em coordenadas retangulares, exiba elascomo vértices de um quadrado e diga quem é a raíz principal.(a) (−16)1/4; (b) (−8− 8√3i)1/4.Respostas: (a) ±√2(1 + i), ±√2(1− i); (b) ±(√3− i), ±(1 +√3i).
24
3. Em cada caso, encontre todas as raízes em coordenadas retangulares, exiba elascomo vértices de um polígono regular e diga quem é a raíz principal.(a) (−1)1/3; (b) 81/6.
Respostas: (b) ±√2, ±1 +√3i√2 , ±1−
√3i√2 .4. As três raízes cúbicas de um número complexo z0 não nulo podem ser escritas comoc0, c0ω3, c0ω23 onde c0 é a raíz cúbica principal de z0 e
ω3 = exp(i2pi3
) = −1 +√3i2 .
Mostre que se z0 = −4√2 + 4√2i, então c0 = √2(1 + i) e as outras duas raízescúbicas são, na forma retangular, os números
c0ω3 = −(√3 + 1) + (√3− 1)i√2 , c0ω23 = (
√3− 1)− (√3 + 1)i√2 .
5. (a) Seja a um número real fixo. Mostre que as duas raízes quadradas de a+ i são
±√A exp(iα2)
onde A = √a2 + 1 e α = Arg(a+ i).(b) Mostre que as raízes obtidas em (a) podem ser escritas como
± 1√2 (√A+ a+ i√A− a) .
6. Encontre os quatro zeros do polinômio z4 + 4, onde um deles é
z0 = √2eipi/4 = 1 + i.
Então, use estes zeros para o fator z2 + 4 nos fatores quadráticos com coeficientesreais.Resposta: (z2 + 2z + 2)(z2 − 2z + 2).7. Mostre que se c é qualquer raíz n-ésima da unidade, diferente da própria unidade,então 1 + c + c2 + ·+ cn−1 = 0.
8. Esboce os seguinte conjuntos e determine quem são domínios:(a) |z − 2 + i| ≤ 1; (b) |2z + 3| > 4;(c) Im z > 1; (d) Im z = 1;(e) 0 ≤ arg z ≤ pi/4 (z 6= 0); (f ) |z − 4| ≥ |z|.Resposta: (b), (c) são domínios.9. Quais conjuntos do exercício 8) são nem aberto nem fechado?Resposta: (e).
25
10. Quais conjuntos do exercício 8) são limitados?Resposta: (a).
11. Em cada caso, esboce o fecho do conjunto:(a) − pi < arg z < pi (z 6= 0); (b) |Re z| < |z|;(c) Re(1z
) ≤ 12; (d) Re(z2) > 0.12. Seja S o conjunto aberto consistindo de todos os pontos tal que |z| < 1 ou |z−2| < 1.Diga por que S não é conexo.
13. Determine os pontos de acumulação de cada um dos seguintes conjuntos:(a) zn = in (n = 1, 2, . . .); (b) zn = in/n (n = 1, 2, . . .);(c) 0 ≤ arg z < pi/2 (z 6= 0); (d) zn = (−1)n(1 + i)n− 1n (n = 1, 2, . . .).Respostas: (a) não existe; (b) 0; (d) ±(1 + i).
26
Capítulo 2
Funções Analíticas
2.1 Funções de uma variável complexa
Definição 2.1 (Função) Seja S um conjunto de números complexos. Uma função f definidaem S é uma regra que atribui a cada z em S um único número complexo w . O número wé chamado de valor de f em z e é denotada por f (z), ou seja, w = f (z). O conjunto S échamado de domínio dedefinição de f .
Deve ser enfatizado que tanto um domínio de definição quanto uma regra sãonecessários para que uma função seja definida. Quando o domínio de definição não émencionado, convencionamos que tal domínio é todo o conjunto dos números complexos.
Exemplo 2.1 Se f é definida sobre o conjunto z 6= 0 por meio da equação w = 1/z, elapode ser referida apenas como a função w = 1/z, ou simplesmente a função 1/z.
Suponha que w = u+ iv é o valor de uma função f em z = x + iy, isto é
u+ iv = f (x + iy).
Cada um dos números reais u e v dependem das variáveis reais x e y, donde podemosescrever f (z) = u(x, y) + iv (x, y). (2.1)
Se as coordenadas polares r e θ são usadas, em vez de x e y, então
u+ iv = f (reiθ),
onde w = u+ iv e z = reiθ . Neste caso, podemos escrever
f (z) = u(r, θ) + iv (r, θ). (2.2)
Exemplo 2.2 Se f (z) = z2, então
f (x + iy) = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy.
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Daí, u(x, y) = x2 − y2 e v (x, y) = 2xy.
Quando as coordenadas polares são usadas,
f (reiθ) = (reiθ)2 = r2ei2θ = r2 cos 2θ + ir2 sen 2θ.
Consequentemente, u(r, θ) = r2 cos 2θ e v (r, θ) = r2 sen 2θ.
Se, em qualquer uma das equações (2.1) e (2.2), a função v é zero, então o valor de fé sempre real. Isto é, f é uma função real de uma variável complexa.
Exemplo 2.3 Uma função real que é usada para ilustrar alguns conceitos importantesneste capítulo é f (z) = |z|2 = x2 + y2 + i0.
Se n é zero ou um número inteiro positivo e se a0, a1, a2, . . ., an são constantescomplexas, onde an 6= 0, a funçãoP(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn
é um polinômio de grau n. Note que a soma aqui tem um número finito de termos e queo domínio de definição é todo o plano complexo. Quocientes de polinômios P(z)/Q(z) sãochamados funções racionais e são definidos em todo ponto z onde Q(z) 6= 0. Os polinômiose funções racionais constituem importantes classes de funções de uma variável complexa.
Definição 2.2 (Função multivalente) Uma função multivalente é uma regra que atribuimais de um valor a um ponto z no domínio de definição.
As funções multivalentes são abordadas na teoria das funções de uma variável complexa.Quando funções multivalentes são estudadas, geralmente apenas um dos possíveis valoresatribuídos a cada ponto é tomado, de forma sistemática, e uma (valor único) função éconstruída a partir da função de valor múltiplo.
Exemplo 2.4 Seja z um número complexo não nulo. Sabemos que z1/2 possui dois valores:
z1/2 = ±√r exp(iΘ2
) ,
onde r = |z| e Θ (−pi < Θ ≤ pi) é o valor principal de arg z. Trata-se de uma funçãomultivalente. Mas, se escolhermos apenas o valor positivo de ±√r e escrevermos
f (z) = √r exp(iΘ2
) , r > 0, −pi < Θ ≤ pi,
a função fica bem definida sobre o conjunto de números complexos tais que z 6= 0. Desdeque zero é a única raiz quadrada de zero, escrevemos f (0) = 0. A função f fica, assim,bem definido em todo o plano.
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2.2 Exercícios
1) Descreva o domínio de definição de cada função abaixo.
(a) f (z) = 1z2 + 1; (b) f (z) = Arg
(1z
) ;
(c) f (z) = zz + z ; (d) f (z) = 11− |z|2 .Respostas: (a) z 6= ±i; (c) Re z 6= 0.2) Escreva a função f (z) = z3 + z + 1 na forma f (z) = u(x, y) + iv (x, y).Resposta: f (z) = (x3 − 3xy2 + x + 1) + i(3x2y− y3 + y).3) Suponha que f (z) = x2−y2− 2y+ i(2x − 2xy), onde z = x + iy. Use as expressões
x = z + z2 e y = z − z2ipara escrever f (z) em termos de z, e simplificar o resultado.Resposta: f (z) = z2 + 2iz.4) Escreva a função f (z) = z + 1zna forma f (z) = u(r, θ) + iv (r, θ).
Resposta: f (z) = (r + 1r
) cosθ + i(r − 1r
) senθ.
5) Encontre um domínio no z plano cuja imagem sob a transformação w = z2 é odomínio quadrado no w plano delimitado pelas retas u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.6) Localizar e faça um esboço, mostrando as orientações correspondentes, das imagensdas hipérboles
x2 − y2 = c1 (c1 < 0) e 2xy = c2 (c2 < 0)pela transformação w = z2.7) Faça um esboço da região na qual o setor r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi/4 é mapeado pelatransformação (a) w = z2; (b) w = z3; (c) w = z4.8) Uma interpretação de uma função w = f (z) = u(x, y) + iv (x, y) é a de umcampo vetorial no domínio da definição de f . A função atribui um vector w , comcomponentes u(x, y) e v (x, y), para cada ponto z na qual está definida. Identifiquegeometricamente os campos de vetores representados por (a) w = iz; (b) w = z/|z|.9) Definimos a função exponencial de uma variável complexa como sendow = ez = exeiy (z = x + iy).
Então, se w = ρeiφ podemos escrever ρ = ex e φ = y. Determine as imagens no wplano pela transformação w = ez das seguintes regiões:
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(a) retas x = c1 e y = c2;(b) regângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d;(c) faixa infinita 0 ≤ y ≤ pi.
2.3 Limites
Seja uma função f definida em todos os pontos z numa vizinhança excluída de z0.Dizemos que o limite de f (z) quando z se aproxima z0 é um número w0, ou que
limz→z0 f (z) = w0 (2.3)
quando o ponto w = f (z) pode ser feito arbitrariamente próximo de w0 se escolhermosz suficientemente próximo de z0, mas diferente desse ponto. Vamos agora expressar adefinição de limite de forma mais precisa.A afirmação em (2.3) significa que, para cada ε > 0, existe um número δ > 0 tal que
|f (z)− w0| < ε sempre que O < |z − z0| < δ. (2.4)
Figura 7.
Geometricamente, essa definição diz que, paracada ε vizinhança |w − w0| < ε de wo, existeuma vizinhança excluída 0 < |z − z0| < δ de z0de tal forma que cada ponto z pertencente a elapossui uma imagem w pertencente a ε vizinhança(Figura 7). Note que, apesar de todos os pontosna vizinhança excluída 0 < |z − z0| < δ seremconsiderados, suas imagens não precisam nãoestar em sua totalidade contidos na vizinhança|w − w0| < ε. Se f tem o valor constante w0, por exemplo, a imagem de z é sempre ocentro dessa vizinhança. Note, também, que uma vez que δ foi encontrado, ele pode sersubstituído por qualquer número menor positivos, como o δ/2.É fácil mostrar que quando o limite de uma função f (z) existe em um ponto z0 estelimite é único. Para provar isto, supomos que
limz→z0 f (z) = w0 e limz→z0 f (z) = w1.
Então, para qualquer número positivo ε, existem números positivos δ e δ1 tais que
|f (z)− w0| < ε sempre que 0 < |z − z0| < δ0
e |f (z)− w1| < ε sempre que 0 < |z − z0| < δ1Assim, se 0 < |z − z0| < δ , onde δ denota o menor dos dois números δ0 e δ1, obtemos
|w1 − w0| = |[f (z)− w0]− [f (z)− w1]| ≤ |f (z)− w0|+ |f (z)− w1| < ε + ε = 2ε.
30
Mas |w1 − w0| é uma constante não negativa, e ε pode ser escolhido arbitrariamentepequeno. Então w1 − w0 = 0, ou w1 = w0.A definição (2.4) requer que f seja definida em todos os pontos em alguma vizinhançaexcluída de z0. Tal vizinhança excluída, é claro, sempre existe quando z0 é um pontointerior de uma região na qual f está definida. Podemos estender a definição de limitepara o caso em que z0 é um ponto de fronteira da região; basta observar que a primeiradas desigualdades (2.4) precisa ser satisfeita pelos pontos z que se encontram em ambasas regiões e na vizinhança excluída.
Exemplo 2.5 Vamos mostrar que se f (z) = iz/2 num disco aberto |z| < 1, então
limz→1 f (z) = i2 ,
com o ponto 1 pertencente a fronteira do domínio de definição de f . Observe que, quandoz está na região |z| < 1, ∣∣∣∣f (z)− i2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ iz2 − i2
∣∣∣∣ = |z − 1|2 .
Então, para qualquer z e qualquer número positivo ε (veja figura 8),∣∣∣∣f (z)− i2
∣∣∣∣ < ε sempre que 0 < |z − 1| < 2ε.
Figura 8.
Portanto, a condição (2.4) é satisfeita pelos pontos na região |z| < 1, quando δ é igual a2ε ou qualquer número positivo menor.
Exemplo 2.6 Se f (z) = zz o limite limz→0 f (z) não existe.
31
Figura 9.
Caso contrário, seria possível que o ponto z =(x, y) se aproximasse da origem em qualquerdireção. Mas quando z = (x, 0) é um pontodiferente de zero sobre o eixo real (Figura 9),
f (z) = x + i0x − i0 = 1;
e quando z = (0, y) é um ponto não nulo no eixoimaginário, f (z) = 0 + iy0− iy = −1.Assim, fazendo z se aproximar da origem ao longo do eixo real, poderíamos encontrar olimite 1. Por outro lado, uma aproximação ao longodo eixo imaginário nos fornece o limite−1. Como o limite é único, concluímos que o mesmo não existe.
Teorema 2.1 Suponha que
f (z) = u(x, y) + iv (x, y), z0 = x0 + iy0, e w0 = u0 + iv0.
Então limz→z0 f (z) = w0 (2.5)se, e somente se
lim(x,y)→(x0,y0)u(x, y) = u0 e lim(x,y)→(x0,y0) v (x, y) = v0. (2.6)
Demonstração: (⇐) Os limites em (2.6) nos dizem que, para cada ε > 0, existem δ1 > 0e δ2 > 0 tais que
|u− u0| < ε2 sempre que 0 <√(x − x0)2 + (y− y0)2 < δ1e |v − v0| < ε2 sempre que 0 <√(x − x0)2 + (y− y0)2 < δ2.Seja δ = min{δ1, δ2}. Desde que
|(u+ iv )− (u0 + iv0)| = |(u− u0) + i(v − v0)| ≤ |u− u0|+ |v − v0|
e √(x − x0)2 + (y− y0)2 = |(x − x0) + i(y− y0)| = |(x + iy)− (x0 + iy0)|,obtemos |(u+ iv )− (u0 + iv0)| < ε2 + ε2 = εsempre que 0 < |(x + iy)− (x0 + iy0)| < δ.
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(⇒) Pela hipótese, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que|(u+ iv )− (u0 + iv0)| < ε (2.7)sempre que 0 < |(x + iy)− (x0 + iy0)| < δ. (2.8)Mas |u− u0| ≤ |(u− u0 + i(v − v0)| = |(u+ iv )− (u0 + iv0)|,|v − v0| ≤ |(u− u0) + i(v − v0)| = |(u+ iv )− (u0 + iv0)|,e |(x + iy)− (x0 + iy0)| = |(x − x0) + i(y− y0)| =√(x − x0)2 + (y− y0)2.Então, segue das inequações (2.7) e (2.8) que|u− u0| < ε e |v − v0| < εsempre que 0 <√(x − x0)2 + (y− y0)2 < δ,o que finaliza a prova do teorema.
Teorema 2.2 Suponha que limz→z0 f (z) = w0 e limz→z0 F (z) = W0.Então limz→z0[f (z) + F (z)] = w0 +W0,limz→z0[f (z)F (z)] = w0W0;e, se W0 6= 0, limz→z0 f (z)F (z) = w0W0 .Demonstração: Este teorema pode ser provado usando a definição de limite de umafunção de uma variável complexa. Mas, com a ajuda do Teorema anterior, segue-se quaseimediatamente dos teoremas sobre limites de funções reais de duas variáveis. Deixamosa cargo do leitor verificar os detalhes dessa demonstração.
É fácil ver, pela definição de limite, quelimz→z0 c = c e limz→z0 z = z0,onde z0 e c são números complexos arbitrários; e pelo Teorema 2.2 segue quelimz→z0 zn = zn0 , n = 1, 2, . . . .Assim, considerando o polinômioP(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anznsegue, pelo Teorema 2.2, que limz→z0 P(z) = P(z0).
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2.4 Limites envolvendo infinito
Figura 10.
Pode ser conveniente incluir no planocomplexo o ponto infinito, denotado por∞, que poderá ser usado no estudo doslimites. O plano complexo juntamentecom este ponto é chamado de planocomplexo estendido. Para visualizar oponto infinito, pode-se pensar no planocomplexo passando pelo equador de umaesfera unitária centrada em z = 0(Figura 10). Para cada ponto z no planocorresponde exatamente um ponto P sobrea superfície da esfera. O ponto P é determinado pela interseção da reta ligando z ao polonorte N da superfície esférica. Da mesma maneira, a cada ponto P sobre a esfera, excetoo polo norte N , corresponde exatamente um ponto z no plano. Ao deixar o ponto N daesfera corresponder ao ponto infinito, obtemos uma correspondência 1-1 entre os pontosda esfera e os pontos do plano complexo estendido. Esta esfera é conhecida como a esferade Riemann, e a correspondência é chamada de projeção estereográfica.Observe que o exterior do círculo unitário centrado na origem no plano complexocorresponde ao hemisfério superior da esfera com o equador e o ponto N excluídos. Alémdisso, para cada ε > 0 pequeno, os pontos no plano complexo exterior ao círculo |z| = 1/εcorrespondem a pontos sobre a esfera fechada emN . Assim, chamamos o conjunto |z| > 1/εde ε vizinhança, ou vizinhança, de ∞.Em geral, quando nos referimos a um ponto z, estamos falando de um ponto no planofinito. Quando o ponto infinito é considerado, especificaremos.
Teorema 2.3 Se z0 e w0 são pontos nos planos z e w , respectivamante, então
limz→z0 f (z) =∞ se, e somente se limz→z0 1f (z) = 0 (2.9)e limz→∞ f (z) = w0 se, e somente se limz→0 f
(1z
) = w0. (2.10)
Além disso, limz→∞ f (z) =∞ se, e somente se limz→0 1f (1/z) = 0. (2.11)
Demonstração: Inicialmente observe que (2.9) significa que, para cada ε > 0, existe umδ > 0 tal que |f (z)| > 1ε sempre que 0 < |z − z0| < δ.Ou seja, o ponto w = f (z) pertence a vizinhança |w| > 1/ε de ∞ sempre que z pertencea vizinhança 0 < |z − z0| < δ de z0. Podemos reescrever a última expressão como∣∣∣∣ 1f (z) − 0
∣∣∣∣ < ε sempre que 0 < |z − z0| < δ,
34
donde segue o segundo limite em (2.9).O primeiro dos limites em (2.10) significa que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f (z)− w0| < ε sempre que |z| > 1δ .
Trocando z por 1/z, escrevemos∣∣∣∣f (1z
)− w0∣∣∣∣ < ε sempre que 0 < |z − 0| < δ,
chegamos ao segundo dos limites em (2.10).Finalmente, o primeiro dos limites em (2.11) significa que, para todo ε > 0, existe umδ > 0 tal que |f (z)| > 1ε sempre que |z| > 1δ .Trocando z por 1/z, obtemos∣∣∣∣ 1f (1/z) − 0
∣∣∣∣ < ε sempre que 0 < |z − 0| < δ;
e isto prova o segundo limite em (2.11).
Exemplo 2.7 Observe que
limz→−1 −iz + 3z + 1 =∞ desde que limz→−1 z + 1iz + 3 = 0e limz→∞ 2z + iz + 1 = 2 desde que limz→0 (2/z) + i(1/z) + 1 = limz→0 2 + iz1 + z = 2.Além disso,
limz→∞ 2z3 − 1z2 + 1 =∞ desde que limz→0 (1/z2) + 1(2/z3)− 1 = limz→0 z + z32− z3 = 0.
2.5 Continuidade
Definição 2.3 Uma função f é contínua em um ponto z0 se todas as três seguintescondições são satisfeitas:
1. limz→z0 f (z) existe;2. f (z0) existe3. limz→z0 f (z) = f (z0).
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Observe que a terceira condição diz que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que
|f (z)− f (z0)| < ε sempre que |z − z0| < δ.
Uma função de uma variável complexa é dita contínua em uma região R quando forcontínua em cada ponto de R .Se duas funções são contínuas num ponto, sua soma e produto também são contínuasnesse ponto; o quociente é contínuo em algum ponto onde o denominador é não nulo. Notetambém que, um polinômio é contínuo em todo o plano.
Teorema 2.4 A composição de funções contínuas também é contínua.
Demonstração: Seja w = f (z) definida na vizinhança |z − z0| < δ de z0 e considere afunção W = g(w), cujo domínio contém a imagem da vizinhança mensionada por f . Acomposição W = g[f (z)] fica definida para todo z na vizinhança |z − z0| < δ . Suponhaque f é contínua em z0 e que g é contínua no ponto g(z0) no plano w . Como g é contínuaem f (z0), para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que|g[f (z)]− g[f (z0)]| < ε sempre que |f (z)− f (z0)| < γ.
Figura 11.
(Veja figura 11) Mas a continuidade de f em z0 garante que a vizinhança |z−z0| < δ podeser feita pequena o suficiente para que a segunda destas desigualdades se mantenha. Acontinuidade da composição g[f (z)] é, portanto, estabelecida.
Teorema 2.5 Se uma função f (z) é contínua num ponto e não nula num ponto z0, entãof (z) 6= 0 ao longo de alguma vizinhança deste ponto.
Demonstração: Assumindo que f (z) é, de fato, contínua e diferente de zero em z0, podemosprovar o teorema, tomando ε = |f (z0)|/2. Isso nos diz que existe δ > 0 tal que
|f (z)− f (z0)| < |f (z0)|2 sempre que |z − z0| < δ.
Assim, se existesse um ponto z na vizinhança |z − z0| < δ na qual f (z) = 0, e teríamos
|f (z0)| < |f (z0)|2 ;
que é uma contradição. Assim, o teorema está provado.
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A continuidade de uma função
f (z) = u(x, y) + iv (x, y)
está relacionada com a continuidade de duas componentes u(x, y) e v (x, y). Note que, afunção f (z) é contínua no ponto z0 = (x0, y0) se, e somente se suas funções componentessão contínuas neste ponto.Por fim, suponha que f (z) é contínua numa região R que é fechada e limitada. A função√[u(x, y)]2 + [v (x, y)]2
é contínua em R e então atinge um valor máximo em algum ponto nessa região. Isto é, fé limitada em R e |f (z)| possui um valor máximo em R . Mais precisamente, existe M > 0tal que |f (z)| ≤ M, para todo z ∈ R.
2.6 Exercícios
1) Use a definição forma de limite para provar que(a) limz→z0 Re z = Re z0; (b) limz→z0 z = z0;(c) limz→1−i[x + i(2x + y)] = 1 + i (z = x + iy).2) Seja n um inteiro positivo e P(z) e Q(z) polinômios, onde Q(z0) 6= 0. Use aspropriedades de limites para calcular
(a) limz→z0 1zn (z0 6= 0); (b) limz→z0 iz3 − 1z + i ; (c) limz→z0 P(z)Q(z) .Respostas: (b) 0.3) Mostre que o limite da função f (z) = (zz)2quando z tende a 0 não existe. Para istoutilize pontos z = (x, 0) e z = (x, x) parase aproximar da origem.4) Use a definição formal de limite para provar que se limz→z0 f (z) = w0 então limz→z0 |f (z)| =|w0|.5) Suponha que se limz→z0 f (z) = 0 e se existe um número positivo M tal que |g(z)| ≤ Mpara todo z numa vizinhança de z0 entãolimz→z0 f (z)g(z) = 0.6) Calcule os limtes.
(a) limz→∞ 4z2(z − 1)2 ; (b) limz→1 1(z − 1)3 ; (c) limz→∞ z2 + 1z − 1 .
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7) Seja T (z) = az + bcz + d (ad− bc 6= 0).Calcule:(a) limz→∞T (z) se c = 0; (b) limz→∞T (z) se c 6= 0;(c) limz→−d/c T (z) se c 6= 0.
2.7 Derivada
Definição 2.4 Seja f uma função cujo domínio contém uma vizinhança do ponto z0. Aderivada de f em z0, escrita f ′(z0), é definida pela equaçãof ′(z0) = limz→z0 f (z)− f (z0)z − z0 , (2.12)desde que este limite exista. A função f é dita diferenciável em z0 quando a derivadaexiste neste ponto.
Expressando a variável z na definição (2.12) em termos da nova variável complexa∆z = z − z0podemos escrever a definição como
f ′(z0) = lim∆z→0 f (z0 + ∆z)− f (z0)∆z . (2.13)
Figura 12.
Note que, como f é definida em toda uma vizinhançade z0, o número f (z0 +∆z) é sempre definido para |∆z|suficientemente pequeno (Figura 12).Na forma (2.13) podemos abandonar a notação comz0 e introduzir o número∆w = f (z + ∆z)− f (z),
que denota a mudança no valor de f correspondente amundança ∆z no ponto em que f está sendo calculada.Então, escrevemos dw/dz para f ′(z), e a equação(2.13) se torna dwdz = lim∆z→0 ∆w∆z .Exemplo 2.8 Suponha que f (z) = z2. Em qualquer ponto z,
lim∆z→0 ∆w∆z = lim∆z→0 (z + ∆z)2 − z2∆z = lim∆z→0(2z + ∆z) = 2z.desde que 2z + ∆z é um polinômio em ∆z. Então dw/dz = 2z, ou f ′(z) = 2z.
Exemplo 2.9 Considere agora a função f (z) = |z|2. Aqui∆w∆z = |z + ∆z|2 − |z|2∆z = (z + ∆z)(z + ∆z)− zz∆z = z + ∆z + z∆z∆z .
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Figura 13.
Se o limite de ∆w/∆z existe, ele pode serencontrado, deixando o ponto ∆z = (∆x,∆y) seaproximar da origem no plano ∆z em qualquerdireção. Em particular, quando ∆z se aproxima daorigem horizontalmente através dos pontos (∆x, 0)no eixo real (Figura 13),
∆z = ∆x + i0 = ∆x − i0 = ∆x + i0 = ∆z.
Neste caso, ∆w∆z = z + ∆z + z.Então, se o limite existe, seu valor deve ser z+ z. Por outro lado, quando ∆z se aproximada origem verticalmente através dos pontos (0,∆y) no eixo imaginário,
∆z = 0 + i∆y = −(0 + i∆y) = −∆z,
e encontramos ∆w∆z = z + ∆z − z.Então, o limite deve ser z− z se existir. Pela unicidade do limite, dw/dz só poderá existirse z + z = z − z,
ou seja, z = 0. Para mostrar que, de fato, dw/dz existe em z = 0, precisamos apenasobservar que nossa expressão para ∆w/∆z se reduz a ∆z quando z = 0. Concluimos,portanto, que dw/dz existe apenas em z = 0, e seu valor nesse ponto é 0.No exemplo anterior, observe que as partes real e imaginária de f (z) = |z|2 são
u(x, y) = x2 + y2 e v (x, y) = 0,
Isto mostra que as componentes real e imaginária de uma função de uma variável complexapodem ter derivadas parciais contínuas de todas as ordens em um ponto com a função nãosendo diferenciável lá.A função f (z) = |z|2 é contínua em cada ponto no plano desde que suas componentessejam contínuas em cada ponto. Assim, a continuidade de uma função num ponto nãoimplica na existência da derivada nesse ponto. No entanto, é verdade que a existência daderivada de uma função num ponto implica na continuidade da função nesse ponto. Paraver isto, assuma que f ′(z0) existe e escrevemos
limz→z0[f (z)− f (z0)] = limz→z0 f (z)− f (z0)z − z0 limz→z0(z − z0) = f ′(z0) · 0 = 0,
donde segue que limz→z0 f (z) = f (z0).ou seja, f é contínua em z0.
39
2.8 Fórmulas de diferenciação
As fórmulas de diferenciação básica que veremos a seguir podem ser obtidas a partirda definição de derivada, seguindo essencialmente os mesmos passos como os usados emcálculo. Nestas fórmulas, a derivada de uma função f em um ponto z é denotada porddz f (z) ou f ′(z).
Seja c uma constante complexa e f , F duas funções função diferenciáveis em z. Temosas seguintes fórmulas:
1. ddz c = 0, ddz z = 1, ddz [cf (z)] = cf ′(z);
2. ddz zn = nzn−1, n inteiro positivo. Esta fórmula também vale quando n é um inteironegativo, desde que z 6= 0;
3. ddz [f (z) + F (z)] = f ′(z) + F ′(z);
4. ddz [f (z)F (z)] = f (z)F ′(z) + f ′(z)F (z);
5. ddz
[ f (z)F (z)
] = F (z)f ′(z)− f (z)F ′(z)[F (z)]2 , F (z) 6= 0.
Teorema 2.6 (Regra da Cadeia) Suponha que f possui derivada em z0 e que g possuiderivada em f (z0). Então a função F (z) = g[f (z)] possui derivada em z0, e
F ′(z0) = g′[f (z0)]f ′(z0).
Se escrevemos w = f (z) e W = g(w), temos W = F (z), e a regra da cadeia se tornadWdz = dWdw dwdz .
Demonstração: Seja z0 um ponto onde f ′(z0) existe. Escrevemos w0 = f (z0) e tambémassumimos que g′(w0) existe. Então, existe alguma vizinhança |w −w0| < ε de w0 tal que,para todos os pontos w nesta vizinhança podemos definir uma função Φ tal que
Φ(w) =
 0, quando w = w0g(w)− g(w0)w − w0 − g′(w0), quando w 6= w0 .
Note que, pela definição de derivada
limw→w0 Φ(w) = 0.
Então Φ é contínua em w0.
40
Agora, podemos usar a expressão de Φ para obter a forma
g(w)− g(w0) = [g′(w0) + Φ(w)](w − w0), |w − w0| < ε,
que é válida quando w = w0; e, desde que, f ′(z0) existe e f é, portanto, contínua em z0,podemos escolher δ > 0 tal que o ponto f (z) pertence a vizinhança |w − w0| < ε de w0se z pertencer a vizinhança |z − z0| < δ de z0. Assim, podemos substituir w na últimaequação por f (z) quando z é um ponto qualquer na vizinhança |z − z0| < δ . Com essasubstituição e com w0 = f (z0), a equação anterior torna-seg[f (z)]− g[f (z0)]z − z0 = {g′[f (z0)] + Φ[f (z)]}f (z)− f (z0)z − z0 , 0 < |z − z0| < δ,
onde devemos estipular que z 6= z0. Como já observamos, f é contínua em z0 e Φ écontínua no ponto w0 = f (z0). Assim, a composição Φ[f (z)] é contínua em z0; e, uma vezque Φ(w0) = 0, limz→z0 Φ[f (z)] = 0.o que finaliza a prova do teorema.
Exemplo 2.10 Para encontrar a derivada de (2z2 + i)5, escrevemos w = 2z2 + i e W = w5.Então ddz (2z2 + i)5 = 5w44z = 20z(2z2 + i)4.
2.9 Equações de Cauchy-Riemann
Teorema 2.7 Suponha que f (z) = u(x, y) + iv (x, y)
e que f ′(z) existe no ponto z0 = x0 + iy0. Então as derivadas parciais de primeira ordemde u e v existem no ponto (x0, y0) e satisfazem as equações de Cauchy-Riemannux = vy, uy = −vx
no ponto (x0, y0). Além disso, f ′(z0) pode ser escrita comof ′(z0) = ux + ivx ,
onde as derivadas parciais são calculadas em (x0, y0).
Demonstração: Começamos escrevendo z0 = x0 + iy0, ∆z = ∆x + i∆y e∆w = f (z0 + ∆z)− f (z0)= [u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− u(x0, y0)] + i[v (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− v (x0, y0)].
Sabendo que a derivada f ′(z0) = lim∆z→0 ∆w∆z
41
existe, obtemos f ′(z0) = lim(∆x,∆y)→(0,0) Re ∆w∆z + i lim(∆x,∆y)→(0,0) Im ∆w∆z . (2.14)Agora é importante notar que a expressão anterior é válida quando (∆x,∆y) tende a(0, 0) em qualquer direção. Em particular, façamos (∆x,∆y) tender a (0, 0) horizontalmenteatravés dos pontos (∆x, 0). Neste caso ∆y = 0 e o quociente ∆w/∆z torna-se∆w∆z = u(x0 + ∆x, y0)− u(x0, y0)∆x + iv (x0 + ∆x, y0)− v (x0, y0)∆x .Então lim(∆x,∆y)→(0,0) Re ∆w∆z = lim∆x→0 u(x0 + ∆x, y0)− u(x0, y0)∆x = ux(x0, y0)e lim(∆x,∆y)→(0,0) Im ∆w∆z = lim∆x→0 v (x0 + ∆x, y0)− v (x0, y0)∆x = vx(x0, y0)onde ux(x0, y0) e vx(x0, y0) denotam as derivadas parciais de primeira ordem com respeitoa x das funções u e v no ponto (x0, y0). Substituindo esses limites na expressão (2.14),obtemos f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0). (2.15)Por outro lado, fazendo ∆z tender a zero na direção vertical através dos pontos (0,∆y),temos ∆x = 0 e∆w∆z = u(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)i∆y + iv (x0, y0 + ∆y)− v (x0, y0)i∆y= v (x0, y0 + ∆y)− v (x0, y0)∆y − iu(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)∆y .
Então, lim(∆x,∆y)→(0,0) Re ∆w∆z = lim∆y→0 v (x0, y0 + ∆y)− v (x0, y0)∆y = vy(x0, y0)e lim(∆x,∆y)→(0,0) Im ∆w∆z = − lim∆y→0 u(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)∆y = −uy(x0, y0).Então segue pela expressão (2.14) quef ′(z0) = vy(x0, y0)− iuy(x0, y0), (2.16)
onde as derivadas parciais de u e v são efetuadas com respeito a y. Note que a expressãoanterior pode serreescrita comof ′(z0) = −i[uy(x0, y0) + ivy(x0, y0)].
Pelas equações (2.15) e (2.16) temos condições necessárias para a existência de f ′(z0).Igualando as partes real e imaginária nessas duas equações, vemos que a existência def ′(z0) exige que ux(x0, y0) = vy(x0, y0) e uy(x0, y0) = −vx(x0, y0),que são conhecidas como equações de Cauchy-Riemann. Assim, fica concluída a prova doteorema.
42
Exemplo 2.11 Vimos que a função
f (z) = z2 = x2 − y2 + i2xy
é diferenciável em todo o plano complex e f ′(z) = 2z. Para verificar que as equações deCauchy-Riemann são satisfeitas em todo plano, note que
u(x, y) = x2 − y2 e v (x, y) = 2xy.
Então ux = 2x = vy, uy = −2y = −vx .Além disso, podemos calcular f ′(z) da seguinte forma:
f ′(z) = 2x + i2y = 2(x + iy) = 2z.
Uma vez que as equações de Cauchy-Riemann são condições necessárias para aexistência da derivada de uma função f em um ponto z0, muitas vezes podemos utilizá-las para localizar pontos onde f não possui derivada.
Exemplo 2.12 Quanto f (z) = |z|2, temos
u(x, y) = x2 + y2 e v (x, y) = 0.
Se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas num ponto (x, y), segue-se que 2x = 0e 2y = 0, ou seja, x = y = 0. Conseqüentemente, f ′(z) não existe em qualquer pontodiferente de zero, como já foi visto anteriormente. Note que o teorema anterior nãoassegura a existência de f ′(0). O próximo teorema, no entanto, assegura isso.
Teorema 2.8 Seja f (z) = u(x, y) + iv (x, y) definida em toda uma vizinhança do pontoz0 = x0 + iy0, e suponha que as derivadas parciais de primeira ordem das funções u ev com respeito a x e y existem em toda a vizinhança de z0. Se essas derivadas parciaisforem contínuas em (x0, y0) e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
ux = vy, uy = −vx
em (x0, y0), então f ′(z0) existe.
Demonstração: Começamos a demonstração escrevendo ∆z = ∆x + i∆y, onde 0 < |∆z| <ε, e ∆w = f (z0 + ∆z)− f (z0).Então ∆w = ∆u+ i∆v , onde
∆u = u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− u(x0, y0)
∆v = v (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− v (x0, y0).
43
As hipóteses de continuidade das derivadas parciais de primeira ordem de u e v no ponto(x0, y0), nos permintem escrever 1∆u = ux(x0, y0)∆x + uy(x0, y0)∆y+ ε1√(∆x)2 + (∆y)2e ∆v = vx(x0, y0)∆x + vy(x0, y0)∆y+ ε2√(∆x)2 + (∆y)2,onde ε1 e ε2 tendem a 0 quando (∆x,∆y) se aproxima de (0, 0) no plano ∆z. Substituindoas últimas expressões em ∆w = ∆u+ i∆v , vem∆w = ux(x0, y0)∆x + uy(x0, y0)∆y+ ε1√(∆x)2 + (∆y)2+i [vx(x0, y0)∆x + vy(x0, y0)∆y+ ε2√(∆x)2 + (∆y)2] .
Sabendo que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em (x0, y0), podemossubstituir uy(x0, y0) por −vx(x0, y0) e vy(x0, y0) por ux(x0, y0) na equação anterior edividindo tudo por ∆z, obtemos∆w∆z = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0) + (ε1 + iε2)
√(∆x)2 + (∆y)2∆z . (2.17)Mas √(∆x)2 + (∆y)2 = |∆z|, e assim∣∣∣∣∣
√(∆x)2 + (∆y)2∆z
∣∣∣∣∣ = 1.
Além disso, ε1 + iε2 tende a 0 quando (∆x,∆y) se aproxima de (0, 0). Assim, o últimotermo à direita na equação (2.17) tende a 0 quando a variável ∆z = ∆x + i∆y tende a 0.Isso significa que o limite do lado esquerdo da equação (2.17) existe e quef ′(z0) = ux + ivx ,onde as derivadas parciais são calculadas em (x0, y0).Exemplo 2.13 Considere a função exponencialf (z) = ez = exeiy, z = x + iy,
Pela fórmula de Euler, esta função pode ser escrita comof (z) = ex cosy+ iex seny,
onde y deve ser tomado em radianos. Entãou(x, y) = ex cosy e v (x, y) = ex seny.
Desde que ux = vy e uy = −vx em todo plano complexo e essas derivadas são contínuasem todo plano, as condições do teorema anterior são satisfeitas em todos os pontos doplano z. Então f ′(z) existe em todo o plano complexo, ef ′(z) = ux + ivx = ex cosy+ iex seny.Note que f ′(z) = f (z).
1Veja, por exemplo, a seção sobre diferenciabilidade do Cálculo II do Thomas, ou um livro de CálculoAvançado (este último é mais recomendado).
44
Exemplo 2.14 Também segue do teorema anterior que a função f (z) = |z|2, cujascomponentes são u(x, y) = x2 + y2 e v (x, y) = 0,
possui derivada em z = 0. De fato, f ′(0) = 0 + i0 = 0. Vimos que esta função não podeter derivada em qualquer ponto diferente de zero, pois as equações de Cauchy-Riemannnão são satisfeitas nesses pontos.
2.10 Coordenadas polares
Assumindo que z0 6= 0, usaremos nesta seção a transformação de coordenadasx = r cosθ, y = r senθ.
Dependendo se nós escrevemosz = x + iy ou z = reiθ, z 6= 0
quando w = f (z), as partes real e imaginária de w = u + iv são expressadas em termosdas variáveis x e y ou r e θ. Suponha que as derivadas parciais de primeira ordem de u ev em relação a x e y existe em toda parte de alguma vizinhança de um ponto z0 diferentede zero e que são contínuas nesse ponto. As derivadas parciais de primeira ordem comrespeito a r e θ também têm essas propriedades, e a regra da cadeia para diferenciarfunções reais de duas variáveis reais pode ser usada para escrevê-las em termos de x ey. Mais precisamente, desde que∂u∂r = ∂u∂x ∂x∂r + ∂u∂y ∂y∂r , ∂u∂θ = ∂u∂x ∂x∂θ + ∂u∂y ∂y∂θ ,
podemos escreverur = ux cosθ + uy senθ, uθ = −uxr senθ + uyr cosθ. (2.18)
e vr = vx cosθ + vy senθ, vθ = −vxr senθ + vyr cosθ. (2.19)Se as derivadas parciais com respeito a x e y satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, ux = vy e uy = −vx , em z0, obtemosvr = −uy cosθ + ux senθ, vθ = uyr senθ + uxr cosθ
em z0. Assim, é claro pela equação (2.18) e pela anterior querur = vθ, uθ = −rvr (2.20)
no ponto z0.Se, por outro lado, as equações (2.20) são satisfeitas em z0, é muito simples mostrar(Exercício) que as equações de Cauchy-Riemann nas variáveis x e y também são válidasem z0. Assim, as equações (2.20) são as equações de Cauchy-Riemann em coordenadaspolares.
45
Teorema 2.9 Seja f (z) = u(r, θ) + iv (r, θ) definida numa vizinhança de um númerocomplexo não nulo z0 = r0 exp(iθ0), e suponha que as derivadas parciais de primeiraordem das funções u e v com respeito a r e θ, existem nesta vizinhança. Se essasderivadas parciais são contínuas em (r0, θ0) e satisfazem as equação de Cauchy-Riemannem coordenadas polares rur = vθ, uθ = −rvrno ponto (r0, θ0), então f ′(z0) existe.
A derivada f ′(z0) pode ser escrita como (Exercício)
f ′(z0) = e−iθ(ur + ivr),
onde o lado direito da equação é calculado no ponto (r0, θ0).
Exemplo 2.15 Considere a função
f (z) = 1z = 1reiθ = 1r e−iθ = 1r (cosθ − i senθ), z 6= 0.
Desde que u(r, θ) = cosθr e v (r, θ) = −senθr ,as condições do teorema anterior são satisfeitas em todo ponto z = reiθ não nulo no plano.Em particular, as equações de Cauchy-Riemann
rur = −cosθr = vθ e uθ = −senθr = −rvr
são satisfeitas. Então a derivada de f existe quando z 6= 0; e, portanto,
f ′(z) = e−iθ (−cosθr2 + isenθr2
) = −e−iθ e−iθr2 = − 1(reiθ)2 = − 1z2 .
Exemplo 2.16 O teorema anterior pode ser utilizado para mostrar que, quando α é umnúmero real fixado, a função
f (z) = 3√reiθ/3, r > 0, α < θ < α + 2pi
possui derivada em todo seu domínio de definição. Aqui
u(r, θ) = 3√r cos θ3 e v (r, θ) = 3√r sen θ3 .
Como rur = 3√r3 cos θ3 = vθ e uθ = − 3
√r3 sen θ3 = −rvr
46
e as outras condições do teorema são satisfeitas, a derivada f ′(z) existe em cada pontoonde f (z) está definida. Logo,
f ′(z) = e−iθ [ 13 ( 3√r)2 cos θ3 + i 13 ( 3√r)2 sen θ3
]
ou f ′(z) = e−iθ3 ( 3√r)2eiθ/3 = 13 ( 3√reiθ/3)2 = 13 [f (z)]2 .Note que quando um ponto específico z é tomado no domínio de definição de f , o valorde f (z) é um valor de z1/3. Portanto, esta última expressão para f ’(z) pode ser colocadana forma ddz z1/3 = 13 (z1/3)2quando este valor é tomado.
2.11 Exercícios
1) Determine f ′(z).(a) f (z) = 3z2 − 2z + 4; (b) f (z) = (1− 4z2)3;(c) f (z) = z − 12z + 1 (z 6= −1/2) (d) f (z) = (1 + z2)4z2 (z 6= 0).2) Sabemos que um polinômio
P(z) = a0 + a1z + a2z2 + . . .+ anzn (an 6= 0)
de grau n (n ≥ 1) é diferenciável em todo z-plano. Calcule P ′(z) e mostre que
a0 = P(0), a1 = P ′(0)1! , a2 = P ′′(0)2! , . . . an = P (n)(0)n! .
3) Suponha que f (z0) = g(z0) = 0 e que f ′(z0) e g′(z0) existem, com g′(z0) 6= 0. Use adefinição de derivada para mostrar que
limz→z0 f (z)g(z) = f ′(z0)g′(z0) .
4) Sem utilizaras condições de Cauchy-Riemann, mostre que f ′(z) não existe emqualquer ponto z quando(a) f (z) = Re z; (b) f (z) = Im z.5) Seje f a função definida por
f (z) = { z2/z quando z 6= 00 quando z = 0 .
Mostre que f ′(0) não existe.
47
6) Use as condições de Cauchy-Riemann para mostrar que f ′(z) não existe em qualquerponto do z-plano.(a) f (z) = z; (b) f (z) = z − z;(c) f (z) = 2x + ixy2; (d) f (z) = exe−iy.7) Mostre que f ′(z) e f ′′(z) existem em todo plano complexo e encontre f ′′(z) quando(a) f (z) = iz + 2; (b) f (z) = e−xe−iy;(c) f (z) = z3; (d) f (z) = cos x coshy− i sen x senhy.Respostas: (b) f ′′(z) = f (z); (d) f ′′(z) = −f (z).8) Determine onde f ′(z) existe e encontre seu valor quando(a) f (z) = 1/z; (b) f (z) = x2 + iy2;(c) f (z) = z Im z.Respostas: f ′(z) = −1/z2 (z 6= 0); (b) f ′(x + ix) = 2x; (c) f ′(0) = 0.9) Mostre que cada uma das funções é diferenciável no domínio indicado e calcule f ′(z).(a) f (z) = 1/z4 (z 6= 0);(b) f (z) = √reiθ/2 (r > 0, α < θ < α + 2pi);(c) f (z) = e−θ cos(ln r) + ie−θ sen(ln r) (r > 0, 0 < θ < 2pi).
Respostas: (b) f ′(z) = 12f (z) ; (c) f ′(z) = if (z)z .10) Mostre que quando f (z) = x3 + i(1− y)3 podemos escrever
f ′(z) = ux + ivx = 3x2
apenas quando z = i.11) Seje f a função definida por
f (z) = { z2/z quando z 6= 00 quando z = 0 .
Verifique que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas na origem.(Compare com o exercício 5).
2.12 Funções analíticas
Definição 2.5 Uma função f de uma variável complexa z é analítica num conjunto abertose ela tem uma derivada em cada ponto do conjunto. Quando falamos de uma função f queé analítica em um conjunto S que não é aberto, devemos entender que f é analítica emum conjunto aberto contendo S. Em particular, f é analítica em um ponto z0 se é analíticaem alguma vizinhança de z0.
Notamos, por exemplo, que a função f (z) = 1/z é analítica em cada ponto diferente dezero no plano finito. Mas a função f (z) = |z|2 não é analítica em ponto algum, pois suaderivada existe apenas em z = 0 e não em alguma vizinhança desse ponto.
48
Definição 2.6 Uma função inteira é uma função que é analítica em cada ponto no planofinito.
Desde que a derivada de um polinômio existe em qualquer ponto, segue-se que cadafunção polinomial é uma função inteira.
Definição 2.7 Se uma função f não é analítica em um ponto z0, mas é analítica em algumavizinhança do ponto z0, dizemos que z0 é ponto singular, ou singularidade, de f .
O ponto z = 0 é, evidentemente, um ponto singular da função f (z) = 1/z. A funçãof (z) = |z|2, por outro lado, não tem pontos singulares, uma vez que não é nem analítica.Uma condição necessária, mas não suficiente, para que uma função f seja analíticaem um domínio D é a continuidade de f ao longo D. A satisfação das equações deCauchy-Riemann também é necessário, mas não suficiente. Condições suficientes paraanaliticidade em D já foram fornecidas nas seções anteriores.Assim, se duas funções são analíticas em um domínio D, a sua soma e seus produtostambém são analíticas em D. Da mesma forma, o quociente é analítico em D desde que afunção no denominador não se anule em qualquer ponto de D. Em particular, o quocientede P(z)/Q(z) de dois polinômios é analítica em qualquer domínio no qual Q(z) 6= 0.Da regra da cadeia para a derivada de uma função composta, temos que a composiçãode duas funções analíticas é analítica. Mais precisamente, suponha que uma função f (z) éanalítica em um domínio D e que a imagem de D pela transformação w = f (z) está contidano domínio de definição de uma função g(w). Então a composição g[f (z)] é analítica emD, com derivativa ddzg[f (z)] = g′[f (z)]f ′(z).O seguinte teorema é especialmente útil, além de esperado.
Teorema 2.10 Se f ′(z) = 0 num domínio D, então f (z) é constante em D.
Demonstração: Começamos a demonstração escrevendo f (z) = u(x, y) + iv (x, y).Assumindo que f ′(z) = 0 em D, notamos que ux + ivx = 0; e, pelas equações de Cauchy-Riemann, vy − iuy = 0. Consequentemente,ux = uy = vx = vy = 0
em cada ponto de D.
Figura 14.
Agora, mostremos que u(x, y) é constante aolongo de qualquer segmento de reta L ligando umponto P a um ponto P ′ e inteiramente contido em D.Seja o parâmetro s denotando a distância ao longode L a partir do ponto P e seja U um vetor unitárioao longo de L na direção crescente de s (ver figura14). Sabemos do cálculo que a derivada direcionaldu/ds pode ser escrita como o produto escalarduds = (gradu) · U, 49
onde gradu é o vetor gradiente
gradu = ux i+ uyj.
Como ux e uy são iguais a zero em todos os pontos de D, então gradu = 0 em todos ospontos de L. Daí, segue pela equação anterior que a derivad adu/ds é zero ao longo L;e isso significa que u é constante em L.Finalmente, como existe sempre um número finito de tais segmentos de reta conectandodois pontos quaisquer P e Q em D, os valores de u em P e Q deve ser o mesmo. Podemosconcluir, então, que existe uma constante real a tal que u(x, y) = a para todo D. Damesma forma, u(x, y) = b, e vemos que f (z) = a+ bi em cada ponto de D.
Exemplo 2.17 O quociente f (z) = z3 + 4(z2 − 3)(z2 + 1)
é evidentemente analítico em todo plano z exceto nos pontos singulares z = ±√3 ez = ±i.
Exemplo 2.18 Quando
f (z) = cosh x cosy+ i senh x seny,
as funções componentes são
u(x, y) = cosh x cosy e v (x, y) = senh x seny.
Como ux = senh x cosy = vy e uy = − cosh x seny = −vxem todo plano, f é inteira.
Exemplo 2.19 Suponha que uma função
f (z) = u(x, y) + iv (x, y)
e seu conjugado f (z) = u(x, y)− iv (x, y)
são ambas analíticas num domínio D. É fácil mostrar que f (z) é constante em D.Para ver isto, escrevemos f (z) como
f (z) = U(x, y) + iV (x, y),
onde U(x, y) = u(x, y) e V (x, y) = −v (x, y). (2.21)
Pela analiticidade de f (z), as equações de Cauchy-Riemann
ux = vy, uy = −vx
50
são válidas em D. Além disso, a analiticidade de f (z) em D nos diz que
Ux = Vy, Uy = −Vx .
Por (2.21), obtemos ux = −vy, uy = vx .Adicionando a primeira das equações anteriores com a primeira das de Cauchy-Riemann,obtemos ux = 0 em D. Semelhantemente, subtraindo as segundas, obtemos vx = 0.Portanto, f ′(z) = ux + ivx = 0 + i0 = 0;e segue do teorema anterior que f (z) é constante em D.
2.13 Funções harmônicas
Definição 2.8 Uma função real H de duas variáveis reais x e y é harmônica em um dadodomínio no plano xy se, em todo seu domínio ela possui derivadas parciais de primeira esegunda ordem contínuas e satisfazendo a equação diferencial parcial
Hxx(x, y) +Hyy(x, y) = 0,
conhecida como equação de Laplace;
Funções harmônicas desempenham um papel importante em matemática aplicada. Porexemplo, a temperatura T (x, y) em chapas finas deitada no plano xy são muitas vezesharmônicas. A função V (x, y) é harmônica quando denota um potencial eletrostático quevaria apenas com x e y no interior de uma região do espaço tridimensional que é livre decargas.
Exemplo 2.20 É fácil verificar que a função T (x, y) = e−y sen x é harmônica num domíniodo plano xy e, em particular, no semi-plano vertical 0 < x < pi, y > 0.
Figura 15.
Esta função também assume os valores nas bordas dafaixa que são indicados na figura 15. Mais precisamente,ela satisfaz todas as condições
Txx(x, y) + Tyy(x, y) = 0,
T (0, y) = 0, T (pi, y) = 0,T (x, 0) = sen x, limy→∞T (x, y) = 0,que descrevem temperaturas estáveis T (x, y) em umaplaca fina homogênea no plano xy que não tem fontes decalor ou sumidouros e é isolada, exceto para as condiçõesestabelecidas ao longo das bordas.
51
Teorema 2.11 Se uma função f (z) = u(x, y)+ iv (x, y) é analítica num domínio D, as suasfunções componentes u e v são harmônicas em D.
Demonstração: Para mostrar isso, precisamos de um resultado que será provado noCapítulo 4, ou seja, se uma função de uma variável complexa é analítica em um ponto,então a suas partes real e imaginária têm derivadas parciais contínuas de todas as ordensnesse ponto.Assumindo que f é analítica em D, começamos com a observação de que as derivadasparciais de primeira ordem das funções