Calculo diferencial e integral III CORTE

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Ana Paula Arantes Lima
Fernando de Melo Lopes
Leandro Martins da Silva 
José Ricardo Manzan
Cálculo diferencial e 
integral, volume 3
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
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Universidade de Uberaba
Reitor
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
C126 Cálculo diferencial e integral: volume 3 / Ana Paula Arantes Lima 
 ... [et al.]. – Uberaba : Universidade de Uberaba, 2017. 
 127 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 
 
 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Lima, Ana Paula 
 Arantes. II. Universidade de Uberaba. Programa de Educação a 
 Distância. 
 
 CDD 515.33
Sobre os autores
Ana Paula Arantes Lima
Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – UFLA. 
Licenciada em Matemática e Pedagogia pela Universidade de Uberaba. É professora 
das disciplinas de Cálculo, Álgebra Linear e Geometria Analítica dos cursos de engenha‑
ria da Universidade de Uberaba e professora de referência dos cursos de engenharia 
ambiental, civil, elétrica e de produção na modalidade EAD da mesma universidade.
Fernando de Melo Lopes
Graduado pela UNIUBE em Engenharia Elétrica com especialidade em telecomunica‑
ções, professor da UNIUBE, engenheiro eletricista do Shopping Uberaba responsável 
pela área de manutenção, ar‑condicionado e obras. Leciona em cursos de eletrônica.
José Ricardo Manzan
Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – UFLA. 
Licenciado em Matemática pela Universidade de Uberaba. Professor das disciplinas 
de Cálculo, Álgebra Linear, Geometria Analítica e Estatística do Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia do Triângulo Mineiro – IF Triângulo. 
Leandro Martins da Silva 
Licenciado em Matemática pela Universidade de Uberaba – UNIUBE. Professor de Ma‑
temática da rede pública estadual de Minas Gerais. Professor no curso de Licenciatura 
em Matemática na Universidade de Uberaba – UNIUBE – desde 2005.
Sumário
Apresentação ................................................................................................ VII
Capítulo 1 Funções com mais de uma variável real, limites, 
continuidade e derivadas parciais .................................................1
1.1 Funções com mais de uma variável real ....................................................................3
1.1.1 Valor da função, domínio e imagem .....................................................................3
1.1.2 Representação gráfica de funções de duas variáveis .........................................5
1.2 Limite e continuidade de funções de duas variáveis reais .......................................15
1.2.1 Limites de funções de duas variáveis ................................................................15
1.2.2 Continuidade de funções de duas variáveis .......................................................22
1.3 Derivadas parciais ....................................................................................................25
1.3.1 Interpretação geométrica e algébrica das derivadas parciais ............................25
1.3.2 Notação de derivadas de primeira ordem ..........................................................28
1.3.3 Cálculo de derivadas parciais ............................................................................29
1.3.4 Aplicações de derivadas parciais .......................................................................32
1.3.5 Derivação implícita .............................................................................................34
1.3.6 Cálculo de derivadas de funções com mais de duas variáveis ..........................35
1.3.7 Derivadas parciais de ordens superiores ...........................................................35
Capítulo 2 Diferenciais, regras da cadeia, derivadas direcionais e 
gradientes de funções com duas variáveis .................................41
2.1 Diferenciais ..............................................................................................................42
2.2 Regras da cadeia .....................................................................................................44
2.3 Vetor direção .............................................................................................................48
2.4 Derivada direcional ...................................................................................................48
2.5 Vetor gradiente .........................................................................................................52
2.6 Derivadas direcionais utilizando o gradiente ............................................................55
2.7 Propriedades do gradiente .......................................................................................57
Capítulo 3 Extremos de funções de duas variáveis, multiplicadores 
de Lagrange e aplicações ...........................................................69
3.1 Extremos de funções de duas variáveis ..................................................................70
3.1.1 Teste das derivadas parciais de segunda ordem ...............................................70
3.2 Multiplicadores de Lagrange .....................................................................................78
VI UNIUBE
Capítulo 4 Integrais múltiplas e suas aplicações ..........................................91
4.1 Integrais duplas em coordenadas retangulares ........................................................92
4.1.1 Teorema de Fubini ..............................................................................................96
4.1.2 Integrais duplas em regiões não retangulares .................................................100
4.2 Integrais duplas em coordenadas polares ..............................................................105
4.3 Integrais triplas em coordenadas retangulares .......................................................112
4.4 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas ........................................119
4.4.1 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas ....................................................119
4.4.2 Integrais triplas em coordenadas esféricas ......................................................121
Apresentação
Caro aluno,
Continuamos com nosso propósito de proporcionar a você condições para compreen‑
der e utilizar os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral, assim como desenvolver 
habilidades para analisar, discutir e identificar diferentes modos de resolução de 
problemas.
Neste livro, iniciaremos nossos estudos por meio do capítulo “Funções com mais de 
uma variável real, limites, continuidade e derivadas parciais”. Nele, você aprenderá a 
utilização de funções de mais de uma variável. Poderá compreendero limite e outras 
questões relacionadas à continuidade destas funções. Abordaremos também a utiliza‑
ção das derivadas parciais na resolução de problemas de mínimos e máximos locais 
de funções de duas variáveis.
Em seguida, temos o segundo capítulo, intitulado “Diferenciais, regras da cadeia, deri‑
vadas direcionais e gradientes de funções com duas variáveis”. Você estudará algumas 
aplicações de derivadas direcionais e aprenderá a interpretar, extrair os dados do pro‑
blema e decidir qual ferramenta matemática usar para chegar no resultado esperado.
No terceiro capítulo, intitulado “Extremos de funções de duas variáveis, Multiplicadores 
de Lagrange e aplicações”, você aprenderá a identificar quando utilizar multiplica‑
dores de Lagrange no cálculo de extremos e a usá‑lo na resolução de problemas do 
cotidiano. Verá, ainda, máximos e mínimos. 
No último capítulo, intitulado “Integrais múltiplas e suas aplicações”, você aprenderá 
as integrais de funções de mais de uma variável real e suas aplicações. Enfocare‑
mos as integrais duplas e triplas
Acreditamos na possibilidade de sua percepção quanto à importância da continuidade 
e do aprofundamento dos estudos propostos neste material didático. 
Bons estudos!
André Luís Teixeira Fernandes / Valeska Guimarães Rezende da Cunha
INTRODUÇÃO
Sabemos que o estudo é fundamental na vida das pessoas e por meio dele 
buscamos alcançar os diversos tipos de conhecimento, que serão aplicados 
em inúmeras situações de nossa vida. Durante sua formação escolar, você 
encontrará exigências, obstáculos e desafios que o(a) farão ter uma nova 
postura diante dos estudos. Daí a necessidade de você repensar e avaliar a 
forma como vem estudando até agora.
Muitos(as) alunos(as), apesar de seu esforço, não conseguem obter o 
sucesso escolar que estaria ao seu alcance, pois trabalham com métodos 
inadequados. A obtenção de bons resultados escolares, que é o objetivo de 
todos os estudantes, consegue-se com métodos e estratégias de estudo 
eficazes. A princípio, é preciso que você se conscientize de que o resultado 
de todo o processo depende de você mesmo(a), ao assumir uma postura 
com maior autonomia para a efetivação da aprendizagem.
Além disso, você deve empenhar-se num projeto de estudo altamente individu-
alizado, apoiado no domínio e na manipulação de uma série de instrumentos, 
que o(a) auxiliarão na organização de sua vida de estudo e na disciplina de 
sua vida acadêmica.
Neste capítulo, você encontrará orientações para a organização de seus 
estudos e sobre a melhor forma de registro de sua aprendizagem. Posterior-
mente, será orientado aos procedimentos necessários para a leitura e estudo 
dos textos acadêmicos. Você verá como esses textos são organizados, os 
procedimentos adequados para a leitura desse tipo de texto e as diversas 
formas de registro de seus estudos. E, no final do capítulo, você aprenderá as 
normas para a elaboração e apresentação de trabalhos acadêmicos, utilizando 
corretamente as formatações de acordo com aquilo que a ABNT (Associação 
Brasileira de Normas Técnicas) estabelece.
Concepções e fatores 
que intervêm no 
desenvolvimento 
humano
Capítulo
1
Ana Paula Arantes Lima
Introdução
Até o presente momento estudamos as funções com uma variável real, ou 
seja, funções que têm uma única variável independente. Mas será que ape‑
nas estas funções são suficientes para explicar todos os fenômenos físicos 
existentes na física, na química, na geometria ou, de um modo geral, nas 
ciências? Podemos listar diversas situações que são explicadas pelo compor‑
tamento de uma única variável independente, como por exemplo o perímetro 
de uma circunferência que depende exclusivamente do tamanho do seu raio. 
Podemos também identificar outra situação em que o tempo gasto em uma 
viagem depende da velocidade com que o veículo trafega. 
 saiba mais 
Variáveis dependentes e independentes são comuns no estudo de funções e 
continuam tendo o mesmo significado e importância no estudo das funções 
com mais de uma variável real. Uma variável é dependente quando ela de‑
pende da(s) variação(ões) de outra(s) variável(is). Por outro lado, as variáveis 
independentes não dependem de outras variáveis e interferem diretamente 
no comportamento da função. Ao longo da introdução, são citados alguns 
exemplos, e neles as variáveis dependentes estão destacadas em negrito e 
as variáveis independentes estão sublinhadas.
Entretanto, muitos fenômenos práticos e científicos são explicados pela va‑
riação de mais de uma variável. É o caso do volume de um cilindro, que 
depende do raio de sua base e também de sua altura. Também podemos 
lembrar que o valor dos juros a serem pagos num regime de financiamento 
dependem do tempo no pagamento e do valor a ser financiado. Neste capítulo, 
abordaremos estas funções, estudando suas características fundamentais 
como domínio e imagem, além de suas representações gráficas, que são co‑
mumente feitas por meio das curvas de nível. Mostraremos algumas situações 
científicas, que são explicadas por funções com mais de uma variável real.
Funções com mais 
de uma variável real, 
limites, continuidade e 
derivadas parciais
Capítulo
1
2 UNIUBE
Também faz parte deste estudo a análise do comportamento de tais funções 
por meio do estudo do limite e continuidade para funções com mais de uma 
variável real. Finalizaremos este estudo com as derivadas destas funções, 
que são chamadas de derivadas parciais em sua interpretação geométrica e 
dispositivos de cálculo. 
Objetivos 
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você esteja 
apto a:
• interpretar as funções com mais de uma variável real num contexto for‑
mal e prático, sabendo analisar seu domínio e imagem e representá‑las 
graficamente por meio das curvas de nível e mapas de contorno;
• compreender os limites de funções com mais de uma variável, en‑
tendendo suas condições com a respectiva extensão ao conceito de 
continuidade;
• entender as derivadas de funções com mais de uma variável real em 
seus significados geométrico e prático, com habilidades para o cálculo 
das derivadas parciais;
• resolver algumas aplicações das derivadas parciais na perspectiva 
das taxas de variação.
Esquema
1.1 Funções com mais de uma variável real
1.1.1 Valor da função, domínio e imagem
1.1.2 Representação gráfica de funções de duas variáveis 
1.2 Limite e continuidade de funções de duas variáveis reais
1.2.1 Limites de funções de duas variáveis
1.2.2 Continuidade de funções de duas variáveis
1.3 Derivadas parciais
1.3.1 Interpretação geométrica e algébrica das derivadas parciais
1.3.2 Notação de derivadas de primeira ordem
1.3.3 Cálculo de derivadas parciais
1.3.4 Aplicações de derivadas parciais
1.3.5 Derivação implícita
1.3.6 Cálculo de derivadas de funções com mais de duas variáveis
1.3.7 Derivadas parciais de ordens superiores
UNIUBE 3
 1.1 Funções com mais de uma variável real
1.1.1 Valor da função, domínio e imagem
No estudo das funções de uma variável, representamos mate‑
maticamente uma função ( )y f x= com a função da variável 
dependente y pela variável independente x. A cada número 
real x é associado um único número real y, caracterizando uma 
relação de entrada e saída. Consideraremos agora relações 
em que uma variável dependente dependerá de mais de uma 
variável independente.
Se uma regra associa um único número real ( , )f x y a cada 
ponto ( , )x y de um conjunto D devidamente definido com 
valores reais para x e y, esta regra é denominada como fun‑
ção f de duas variáveis e é genericamente representada por 
( , )z f x y= .
De forma análoga, se a regra compreende pontos do es‑
paço ( , , )x y z como variáveis independentes associadas a 
um único valor ( , , )f x y z , estamos falando de uma função de 
três variáveis reais, que é representada genericamentepor 
( , , )w f x y z= .
Podemos ainda considerar funções com mais de três variáveis 
dependendo da situação e dos objetivos que regem o fenômeno 
em estudo. As formas de obtenção dos valores da função são as mesmas para as fun‑
ções com uma variável real, exceto pelo fato de que os valores a serem substituídos 
na função serão mais de um.
Exemplo 1: Seja a função de duas variáveis 3( , ) 2 3f x y y x= − .
Determine (2,1)f , ( 1, 4)f − , (0,0)f , 2 3( , )f a a e o domínio da função.
Resolução:
Para calcular (2,1)f , é necessário apenas substituir o valor 2 para a variável x da 
função e o valor 1 para a variável y da função.
(2,1) 2 1 4 3 2 2 3 1= ⋅ − = ⋅ − =
Variável 
independente
No estudo das funções 
em uma variável, a 
variável independente 
ocorria em pontos na 
reta real do eixo dos 
x. Já no estudo das 
funções com mais de 
uma variável, elas 
são encontradas em 
pontos do plano para 
funções com duas 
variáveis, em pontos 
do espaço para três 
variáveis e ainda em 
pontos de dimensões 
que não podem ser 
visualizadas.
4 UNIUBE
Da mesma forma procedemos para os outros valores.
( 1, 4)f − não é possível de ser calculada, pois 1− não é um número real e estamos 
trabalhando com funções reais.
3(0,0) 2 0 0 3 3f = ⋅ − = −
( )32 3 3 2 9 10( , ) 2 3 2 3 2 3f a a a a a a a= − = ⋅ − = −
Para determinar o domínio da função, precisamos estar atentos nas condições de 
existência presentes na lei de formação e obter os intervalos válidos a partir das 
restrições existentes. No caso da função 3( , ) 2 3f x y y x= − , temos a presença 
de uma raiz de índice par na lei de formação referente à variável x. Sabemos que 
raízes de índice par não admitem valores menores que zero. Portanto, o domínio 
desta função pode ser descrito pela sentença { }2( , ) | 0D x y IR x= ∈ ≥ . Também 
podemos representar este domínio graficamente preenchendo todos os pontos do 
plano ( , )x y que fazem parte do domínio descrito na sentença anterior, conforme 
mostra a Figura 1. 
Exemplo 2: Esboce o domínio da função 2( , ) log( 2 )f x y y x= − .
Figura 1: Domínio da função 3( , ) 2 3f x y y x= − .
UNIUBE 5
Resolução:
Como esta função envolve um logaritmo, precisamos recorrer a sua condição de exis‑
tência para obter informações acerca do domínio. Um logaritmo só está definido quando 
o logaritmando for maior do que 0. Desta forma, a função ( , )f x y estará definida se 
2 22 0 2y x y x− > ⇒ > . Assim, o domínio será válido para todos os valores de ( , )x y 
acima da parábola 22y x= , como mostra a Figura 2.
1.1.2 Representação gráfica de funções de duas variáveis 
Representar graficamente uma função de duas variáveis não é tarefa tão simples como 
o é para as funções de uma variável. Não existem regras específicas ou algoritmos 
para a construção destes gráficos, assim como fazemos para funções quadráticas ou 
lineares. O número de pontos necessários para a construção gráfica de uma função 
de duas variáveis é demasiadamente grande e a tarefa torna‑se tediosa, ou melhor, 
impraticável. 
 saiba mais 
Lembre‑se de que para construir o gráfico de uma função quadrática é necessário apenas 
plotar dois pontos da função e traçar a reta que os contém. Para construir o gráfico de uma 
função quadrática, é preciso observar a concavidade, obter as coordenadas do vértice e das 
raízes quando elas existem, traçar o intercepto com o eixo y e traçar a parábola.
Figura 2: Domínio da função 2( , ) log( 2 )f x y y x= − .
6 UNIUBE
Se a função for uma superfície quádrica ou um plano, essa 
tarefa pode ser mais simples. Entretanto, quando a função 
não se enquadra nos casos anteriores, essa tarefa pode ser 
solucionada com o uso de um software de computação gráfica 
ou pelo esboço e curvas de nível, que representa no plano um 
aspecto superficial da função a ser representada.
No espaço tridimensional, a representação de um plano pode 
ser facilmente obtida com a determinação de sua interseção 
com eixos coordenados e com a ligação destes pontos.
Exemplo 3: Determine as superfícies equivalentes a cada 
função abaixo.
a) 
2 2
22( , ) 1 3
2
x yf x y −= −
 
 
 
b) ( , ) 1f x y x y= − −
c) 2 2( , ) 4f x y x y= − −
Resolução:
a) Esta é a equação de um paraboloide elíptico. Seu gráfico ocorre abaixo do plano xy 
e está representado pela Figura 3.
Superfície quádrica
As superfícies 
quádricas são 
paraboloide elíptico, 
paraboloide 
hiperbólico, elipsoide, 
cone, hiperboloide de 
uma e de duas folhas. 
Elas foram estudadas 
na segunda etapa 
juntamente com as 
superfícies cônicas.
Figura 3: Gráfico do paraboloide 
2 2
22( , ) 1 3
2
x yf x y −= −
 
 
 
.
UNIUBE 7
b) A função ( , ) 1f x y x y= − − é um plano que passa pelo primeiro octante do sistema 
tridimensional. O seu gráfico é obtido por meio das suas intersecções com os eixos 
coordenados. Basta atribuirmos o valor 0 para x e y para obter a intersecção com o 
eixo z, atribuir 0 para y e z para obter a intersecção com o eixo x e finalmente atribuir 
0 para x e z para então obter a intersecção com o eixo y. Obtemos então os pontos 
(0,0,1) , (0,1,0) e (1,0,0) . Veja o gráfico da função na Figura 4.
c) Se considerarmos a função 2 2( , ) 4f x y x y= − − como 2 24z x y= − − e ele‑
varmos ambos os membros da igualdade ao quadrado, obtemos a equação da esfera 
de raio 2 2 2 2 22x y z+ + = . Como o sinal que antecede a raiz é positivo, então a fun‑
ção em estudo é a parte superior da esfera com centro na origem e raio 2. A Figura 5 
mostra o gráfico.
Figura 4: Gráfico do plano ( , ) 1f x y x y= − − .
Figura 5: Gráfico da função 2 2( , ) 4f x y x y= − − .
8 UNIUBE
 
Mas afinal, o que são curvas de nível?
Imagine uma montanha qualquer como mostra a Figura 6. Ela constitui uma superfície 
que pode ser comparada a uma superfície de funções de mais de uma variável.
Se fizermos projeções destes contornos no plano, obtemos um grupo de curvas com 
variadas formas geométricas, como mostra a Figura 7.
Figura 6: Montanha com contornos seccionados por planos 
imaginários.
Fonte: Thomas (2008, p. 294).
Figura 7: Mapa de contornos da montanha.
Fonte: Thomas (2008, p. 294).
UNIUBE 9
Cada curva projetada no plano é chamada de curva de nível e o conjunto de todas es‑
sas curvas é chamado de mapa de contornos. Os locais em que as curvas apresentam 
um distanciamento maior correspondem a regiões em que a inclinação da superfície é 
pequena. Por outro lado, os locais em que as curvas apresentam um pequeno distan‑
ciamento correspondem a partes da superfície que são mais íngremes. Dessa maneira, 
é possível avaliarmos um aspecto geral da superfície e, dependendo do número de 
curvas de nível a serem escolhidas para representar a superfície, essa tarefa pode ser 
feita de modo manual. Se a quantidade de mapas de contorno for grande, então o uso 
de um software de computação gráfica se faz necessário.
Exemplo 4: Esboce o mapa de contornos de 2 2( , )f x y x y= + usando as curvas de 
nível de altura 0,1, 2,3, 4,5k = .
Resolução:
Neste caso, é necessário substituir os valores de k para a cota z da função 2 2z x y= + . 
Dessa forma, ficamos com:
( )22 2 2 2 2 20 0 0k x y x y= ⇒ = + ⇒ = + . Trata‑se de um ponto na origem do plano 
xy ou uma circunferência de raio 0;
2 2 21 1k x y= ⇒ = + . Circunferência de raio 1;
2 2 22 2k x y= ⇒ = + . Circunferência de raio 2;
2 2 23 3k x y= ⇒ = + . Circunferência de raio 3;
2 2 24 4k x y= ⇒ = + . Circunferência de raio 4;
2 2 25 5k x y= ⇒ = + . Circunferência de raio 5.
 saiba mais 
Lembre‑se de que a equação de uma circunferência centrada na origem com raio k é dada 
por 2 2 2x y k+ = .
10 UNIUBE
Assim, podemos esboçar um mapa de contornos na Figura 8.
 Figura 8: Mapa de contornos da função 
2 2( , )f x y x y=+ .
Exemplo 5: Esboce o mapa de contornos de 2 2( , ) 4f x y x y= + usando as curvas de 
nível de altura 0,1, 2,3, 4,5k = .
Resolução:
Se tomarmos os valores de k para ( , )f x y , obteremos as equações de elipse da 
forma:
2 2
1
/ 4
x y
k k
+ =
 relembrando 
Lembre‑se de que uma elipse é escrita com equação geral 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = .
Esse conjunto de pontos produz um mapa de contornos em que as curvas de nível são 
as elipses com forma geral de acordo com a equação anterior. A Figura 9 apresenta um 
mapa de contornos da função 2 2( , ) 4f x y x y= + .
Veja que as curvas de nível servem para representar os níveis de elevação do terreno 
e trazem inclusive as altitudes em cada parte.
UNIUBE 11
Lembre‑se de que, para funções de uma variável, o número de dimensões do gráfico 
é 2. Para funções com duas variáveis, o número de dimensões do gráfico é 3. Logica‑
mente, para uma função de três variáveis, o número de dimensões é 4. Nesse caso, 
a visualização de gráficos de funções com três variáveis torna‑se confusa ou fora dos 
objetivos de estudo da disciplina. Por outro lado, existe uma forma de se representar 
graficamente tais funções. Isso ocorre por meio das superfícies de nível. Assim como 
as funções de duas variáveis têm as curvas de nível para suas superfícies, as funções 
de três variáveis possuem as superfícies de nível. Da mesma forma que fazemos para 
as curvas de nível, as superfícies podem ser obtidas ao se estabelecer constantes k 
para o valor da função ( , , )f x y z em uma função ( , , )w f x y z= .
 parada para reflexão 
O número de dimensões de um gráfico é sempre igual ao número de variáveis da função mais 
um. Você já havia pensado nisso?
Exemplo 6: Obtenha as superfícies de nível da função 
2 2
2( , , )
4 9
x zf x y z y= + + para 
os valores de ( , , )f x y z iguais a 1, 2 e 3.
Resolução:
Fazendo ( , , ) 1f x y z = , ficamos com a superfície 
2 2
2 1
4 9
x zy+ + = , que é a equação 
do elipsoide com 2a = , 0b = e 3c = . Sua representação é feita por meio da 
Figura 10. 
Figura 9: Mapa de contornos da função 2 2( , ) 4f x y x y= + .
12 UNIUBE
 relembrando 
Lembre‑se que um elipsoide tem equação geral 
22 2
2 2 2 1
x y z
a b c
+ + = .
Por outro lado, se fizermos ( , , ) 2f x y z = e ( , , ) 3f x y z = , obteremos também elipsoide 
com equações equivalentes a 
2 2 2
1
8 2 18
x y z
+ + = e 
2 2 2
1
12 3 27
x y z
+ + = . Suas representações 
gráficas que são semelhantes ao do primeiro elipsoide são dadas nas figuras 11 e 12.
Figura 10: Gráfico do elipsoide 
2 2
2 1
4 9
x zy+ + = .
Figura 11: Gráfico do elipsoide 
2 2 2
1
8 2 18
x y z
+ + = .
UNIUBE 13
Figura 12: Gráfico do elipsoide 
2 2 2
1
12 3 27
x y z
+ + = .
Veja agora, por meio da Figura 13, as camadas das diferentes superfícies de nível 
plotadas no mesmo sistema tridimensional.
 
Figura 13: Gráfico de camadas das superfícies de nível de 
2 2
2( , , )
4 9
x zf x y z y= + +
.
 agora é a sua vez 
Atividade 1
Considere que a função 0,1533,5 0,6 (0,45 35)W T T v= + + − descreva o índice de sen‑
sação térmica W em função da temperatura real do ambiente T em graus Fahrenheit e da 
velocidade do vento v em milhas por hora.
a) Obtenha o índice de sensação térmica quando a velocidade do vento for de 30 ºF e a ve‑
locidade do vento for de 5 milhas por hora;
14 UNIUBE
b) Se a temperatura ambiente for mantida em 30 ºF, quanto deve aumentar a velocidade do 
vento para que a sensação térmica diminua em 1 ºF, considerando o item anterior?
Atividade 2
Determine o domínio das funções a seguir e represente‑os graficamente.
a) 
2
3 2( , )
3 2
x yf x y
x y
+
=
+ −
 b) 2
2( , )f x y x y
y x
= + −
−
c) 2 2( , ) 16f x y x y= − − d) 2 2( , ) 4 2f x y x y x y= + − + −
Atividade 3
Faça o esboço do mapa de contorno das funções a seguir para 0,1, 2,3, 4,5k = .
a) 2 2( , ) 16f x y x y= + − b) 2 2( , ) 25f x y x y= + −
c) ( , ) 3 7f x y x y= + −
Atividade 4
O potencial elétrico do ponto (x,y) é dado por 
2 2
4
16
V
x y
=
− −
 (V em volts). Determine 
e represente no plano xy as curvas equipotenciais para 2V e 3V.
Atividade 5
Relacione o gráfico da função com sua equação:
a) ( , ) 3 1f x y x y= − + d) ( )22 2( , )f x y x y= −
b) ( , )f x y x y= + e) ( )( , )f x y sen x y= +
c) 2 2( , ) 5f x y x y= +
UNIUBE 15
1) 2) 
3) 4) 
5) 
 1.2 Limite e continuidade de funções de duas variáveis reais
1.2.1 Limites de funções de duas variáveis
O conceito de limite de funções de uma variável está intimamente ligado ao com‑
portamento da função na vizinhança de um ponto. Lembre‑se de que, quando 
16 UNIUBE
aproximamos os valores de x pela direita e pela esquerda de 0x e os valores da 
função se aproximam de 0y , então existe o limite em 0x . Veja que, para essas 
funções, o estudo do limite se resume a analisar seu comportamento à direita e à 
esquerda do ponto dado. Com as funções de duas variáveis, o processo de análise 
do limite não é tão simples assim.
Nas funções de duas variáveis, a aproximação deve ocorrer em relação a pontos do 
plano xy. Logo, a aproximação do ponto não ocorrerá apenas pela direita ou pela es‑
querda. Na verdade, há uma infinidade de direções pela qual podemos aproximar de 
um ponto ( )0 0,x y . Portanto, vamos estudar inicialmente os limites ao longo de curvas 
que se dirigem ao ponto ( )0 0,x y .
 dicas 
Veja que, nesse caso, a tarefa de determinar um limite não pode ser feita com a análise desses 
vários caminhos que chegam ao ponto ( )0 0,x y , pois eles são infinitos.
Consideremos, então, um ponto no plano xy denominado por ( )0 0,x y e uma curva C 
qualquer pela qual podemos aproximar deste ponto. Se a curva C na forma paramétrica 
for lisa no espaço bi ou tridimensional, de equações
( )x x t= , ( )y y t= ou ( )x x t= , ( )y y t= e ( )z z t=
e se 0 0( )x x t= , 0 0( )y y t= e 0 0( )z z t= , então os limites 
0 0( , ) ( , )
(ao longo de C)
lim ( , )
x y x y
f x y
→
 e 
0 0 0( , , ) ( , , )
 (ao longo de C)
lim ( , , )
x y z x y z
f x y z
→
são definidos na forma paramétrica por 
( )
0 0 0( , ) ( , )
(ao longo de C)
lim ( , ) lim ( ), ( )
x y x y t t
f x y f x t y t
→ →
=
( )
0 0 0 0( , , ) ( , , )
 (ao longo de C)
lim ( , , ) lim ( ), ( ), ( )
x y z x y z t t
f x y z f x t y t z t
→ →
=
As fórmulas apresentadas anteriormente devem ser encaradas com meio para deter‑
minação de limites laterais ao redor do ponto ( )0 0,x y ou ( )0 0 0, ,x y z . 
UNIUBE 17
Exemplo 7: Considere a função 2 2
2( , )
2
xyf x y
x y
=
+ . Determine os limites dessa função 
ao longo das curvas indicadas a seguir em relação ao ponto (0,0):
a) do eixo x; d) da reta y x= − ;
b) do eixo y; e) da parábola 2y x= .
c) da reta y x= ;
Resolução:
a) Uma curva ao longo do eixo x é da forma x t= e 0y = , com (0,0) correspondendo 
a 0t = .
2 2 2 2( , ) (0,0) 0 0
2 2 0lim lim lim 0 0
2 2 0x y t t
xy t
x y t→ → →
⋅ ⋅
= = =
+ ⋅ +
b) Uma curva ao longo do eixo y é da forma 0x = e y t= , com (0,0) correspondendo 
a 0t = .
2 2 2 2( , ) (0,0) 0 0
2 2 0lim lim lim 0 0
2 2 0x y t t
xy t
x y t→ → →
⋅ ⋅
= = =
+ ⋅ +
c) A reta tem por equações paramétricas x t= e y t= , com (0,0) correspondendo a 
0t = .
2
2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0 0 0
2 2 2 2 2lim lim lim lim
2 2 3 3 3x y t t t
xy t t t
x y t t t→ → → →
⋅ ⋅
= = = =
+ ⋅ +
d) A reta tem por equações paramétricas x t= e y t= − , com (0,0) correspondendo 
a 0t = .
2
2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0 0 0
2 2 ( ) 2 2 2lim lim lim lim
2 2 ( ) 3 3 3x y t t t
xy t t t
x y t t t→ → → →
⋅ ⋅ − −
= = =− = −
+ ⋅ + −
18 UNIUBE
e) A reta tem por equações paramétricas x t= e 2y t= , com (0,0) correspondendo 
a 0t = .
( )
( )
2 3
22 2 2 4( , ) (0,0) 0 02 2
3
22 20 0
2 2 2lim lim lim
2 22
2 2lim lim 0
22
x y t t
t t
xy t t t
x y t tt t
t t
tt t
→ → →
→ →
⋅ ⋅
= =
+ +⋅ +
= = =
++
 importante! 
Veja que os limites calculados ao longo das diferentes curvas não apresentam o mesmo 
resultado. Isso mostra que 2 2( , ) (0,0)
2lim
2x y
xy
x y→
= ∃/
+
.
Nesse sentido, os limites de funções de duas variáveis têm exatamente a mesma exi‑
gência que os limites de funções de uma variável. Para que o limite exista, é necessá‑
rio que todas as curvas que se aproximam do ponto ( )0 0,x y em estudo tendam a um 
mesmo valor. Vamos definir, então, os limites de funções de duas variáveis.
Para uma função f de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente 
próximos de ( )0 0,x y . O limite de ( , )f x y quando ( , )x y tende a ( )0 0,x y é L e es‑
crevemos
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y L
→
=
se para todo número 0ε > existe um número correspondente 0δ > tal que 
( , )f x y L ε− < sempre que o ponto ( , )x y D∈ e 2 2
0 00 ( ) ( )x x y y δ< − + − < ,a 
definição anterior é mais bem entendida se analisarmos a Figura 14. 
Para cada ponto dentro do círculo de raio δ, temos que a condição ( , )f x y L ε− < 
é satisfeita. De forma equivalente, fazemos a mesma representação geométrica da 
definição de limites por meio da Figura 16. Veja que, neste caso, contamos com o 
plano xy, que representa o domínio da função e um eixo em separado representando 
a cota z.
 explicando melhor 
Veja que a condição 2 20 00 ( ) ( )x x y y δ< − + − < também é satisfeita de acordo com a figura.
UNIUBE 19
 
Mas podemos questionar: como determinamos limites gerais de funções de duas variáveis? 
Figura 14: Interpretação geométrica do limite de 
uma função de duas variáveis.
Figura 15: Interpretação geométrica de limites de 
uma função de duas variáveis no plano.
20 UNIUBE
Quando calculamos limites de funções polinomiais, exponen‑
ciais, seno e cosseno, não temos nenhum problema. O limite 
é calculado pelo método direto com a simples substituição dos 
valores do ponto de tendência na função. Nesse cálculo são 
utilizadas todas as propriedades já conhecidas no cálculo de 
limites de funções de uma variável. Por outro lado, quando 
existe problemas de domínio no ponto em estudo, o limite é 
determinado com o uso da definição, mas ela extrapola os 
objetivos deste roteiro de estudos. Quando temos evidências 
para crer que o limite não existe, usamos uma regra conhecida 
como “regra dos dois caminhos”.
Se uma função 1( , )f x y L→ quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ ao 
longo do caminho 1C e se a mesma função 2( , )f x y L→ 
quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ ao longo do caminho 2C , onde os 
valores 1L e 2L são diferentes, então 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
= ∃/ .
A definição da regra apresentada anteriormente é muito útil 
em vários casos para mostrar que o limite de uma função não 
existe. O exemplo 7 pode ser relacionado a essa regra. Lem‑
bre‑se de que, por caminhos diferentes que se aproximavam 
do ponto (0,0), verificamos a existência de valores diferentes 
para eles. Assim, 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
= ∃/ .
Exemplo 8: Determine os limites a seguir.
a) ( )3 2
( , ) (2, 3)
lim 4 5 7
x y
x xy y
→ −
− + −
b) 
2 2
2 2( , ) (3,4)
lim
x y
x y
x y→
−
+
Resolução:
a) Como se trata de uma função polinomial, não temos problemas de domínio e o limite 
pode ser calculado pelo método direto.
( )3 2 3 2
( , ) (2, 3)
lim 4 5 7 2 4(2)( 3) 5( 3) 7 86
x y
x xy y
→ −
− + − = − − + − − = −
Regra dos dois 
caminhos
Em funções com 
duas variáveis, é 
mais simples mostrar 
que o limite de uma 
função não existe do 
que mostrar que o 
limite existe, quando 
for o caso. Se for 
possível encontrar um 
contra exemplo, ou 
seja, dois caminhos 
diferentes que 
apresentam limites 
diferentes, isso 
será suficiente para 
mostrar que o limite 
de uma função não 
existe.
UNIUBE 21
b) Como a função não apresenta problemas de domínio na vizinhança do ponto (3,4), 
então o limite pode ser calculado com o uso das propriedades usuais dos limites.
2 2
2 2
( , ) (3,4)
2 2 2 2 2 2( , ) (3,4)
( , ) (3,4) ( , ) (3,4)
lim 9 16lim
lim lim
7 7
59 16
x y
x y
x y x y
x yx y
x y x y x y
→
→
→ →
−− −
= =
+ + +
−
= = −
+
 explicando melhor 
Veja que as propriedades usuais dos limites de funções de uma variável são utilizadas sem 
nenhum problema nas funções com duas variáveis.
Exemplo 9: Mostre que 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
−
+
 não existe.
Resolução:
Podemos escolher dois caminhos diferentes e mostrar que os limites ao longo desses 
caminhos são diferentes.
Ao longo do eixo x, temos que as equações paramétricas são x t= e 0y = com (0,0) 
correspondendo a 0t = . Dessa forma, o limite é calculado por
2 2 2
2 2 20 0 0
0lim lim lim1 1
0t t t
t t
t t→ → →
−
= = =
+ 
Se tomarmos o caminho da reta y x= , temos que as equações paramétricas são 
dadas por x t= e y t= , com (0,0) correspondendo a 0t = . Dessa forma, o limite é 
calculado por
2 2
2 2 20 0 0
0lim lim lim 0 0
2t t t
t t
t t t→ → →
−
= = =
+
Como dois caminhos diferentes conduzem a valores diferentes para o limite, concluímos 
que 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
−
= ∃/
+
.
22 UNIUBE
 agora é a sua vez 
Atividade 6
Mostre que 
2
4 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→ +
 não existe.
Atividade 7
Mostre que 
2
2 4( , ) (0,0)
lim
x y
xy
x y→ +
 não existe.
Atividade 8
Determine ( )5 3 2
( , ) (5, 2)
lim 4 5
x y
x x y xy
→ −
+ − .
Atividade 9
Determine ( )
( , ) (6,3)
lim cos 2
x y
xy x y
→
− .
1.2.2 Continuidade de funções de duas variáveis
No estudo das funções de uma variável, uma função ( )y f x= é contínua em um ponto 
0x quando 0lim ( )x x f x→ existir e for igual ao valor da função em 0x 0( )f x . Em linguagem matemática, dizemos que se ( )f x L→ quando 0x x→ e 0( )f x L= , então ( )f x é 
contínua em 0x x= . No caso das funções de duas variáveis, essa condição prevalece 
considerando o domínio em 2IR . Formalmente, enunciamos essa definição da seguinte 
forma:
Uma função ( , )f x y é contínua em um ponto 0 0( , )x y se 0 0( , )f x y estiver definido 
e, além disso, se
0 0
0 0( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
=
Se ( , )f x y obedecer a essa condição em cada ponto de um conjunto D, dizemos que 
( , )f x y é contínua em todo o conjunto D. Se obedecer a essa condição em cada ponto 
do plano xy, dizemos que ( , )f x y é contínua em toda parte.
UNIUBE 23
Nas funções de uma variável, comumente dizemos que uma função é contínua quando 
o gráfico não tem saltos ou buracos. Este conceito pode ser estendido para funções 
de duas variáveis observando que agora não tratamos de uma curva, mas de uma 
superfície. Dizemos que uma função ( , )f x y é contínua quando não são encontra‑
das na superfície rupturas nem buracos. A Figura 16 nos mostra o gráfico da função 
2 2
1( , )f x y
x y
=
+ . Esta função não é definida no ponto (0,0) , fato que a coloca na 
condição de descontínua neste ponto. 
Já a Figura 17 apresenta o gráfico da função 
( )2 2
2 2
2
( , )
sen x y
f x y
x y
+
=
+ . Veja que esta 
função também não está definida no ponto (0,0) , o que faz dela uma função descon‑
tínua neste ponto.
Figura 16: Gráfico da função 2 2
1( , )f x y
x y
=
+
.
Figura 17: Gráfico da função ( )
2 2
2 2
2
( ,)
sen x y
f x y
x y
+
=
+
.
24 UNIUBE
Com relação à continuidade, podemos obter novas funções contínuas a partir de algumas 
já sabidamente contínuas. Esta obtenção ocorre obedecendo as seguintes condições:
1ª) Se uma função ( )h x é contínua em 0x e se ( )g y é contínua em 0y , então 
( , ) ( ) ( )f x y h x g y= ⋅ será contínua em 0 0( , )x y ;
2ª) Se uma função ( , )g x y é contínua em 0 0( , )x y e se ( )h u é contínua em 0 0( , )u g x y= , então a função composta ( , ) ( ( , ))f x y h g x y= será contínua em 0 0( , )x y ;
3ª) Se uma função ( , )f x y é contínua em 0 0( , )x y e ( )x t e ( )y t forem contínuas em 0t , 
com 0 0( )x t x= e 0 0( )y t y= , então a composição ( ( ), ( ))f x t y t será contínua em 0t .
Exemplo 10: Mostre que as funções 3 2( , ) 5f x y x y= e ( )3( , ) cos 2f x y x y= são 
contínuas em toda a parte.
Resolução:
Para a função 3 2( , ) 5f x y x y= , sabemos que 3( ) 5h x x= e 2( )g y y= são contínuas 
em cada ponto das retas reais x e y. Logo, pela primeira regra, concluímos que o 
produto ( ) ( )h x g y⋅ também o será. Assim, 3 2( , ) 5f x y x y= é contínua em toda a 
parte.
Para a função ( )3( , ) cos 2f x y x y= , sabemos que a função 3( , ) 2g x y x y= é contínua 
em toda a parte. Assim, pela segunda regra, a composição ( )3( ( , )) cos 2f g x y x y= 
também é contínua em toda a parte.
Exemplo 11: Use os conceitos de continuidade para calcular 
3
2 4( , ) (2, 4)
3lim
2x y
xy
x y→ − +
.
Resolução:
As funções 1( ) 3h x x= e 22 ( ) 2h x x= são contínuas em 2x = . Por outro lado, as fun‑
ções 31( )g y y= e 
4
2 ( )g y y= são contínuas em 4y = − . Dessa forma, o limite pode 
ser calculado pelo método direto.
3 3
2 4 2 4( , ) (2, 4)
3 3 2 ( 4) 384 16lim
2 2 2 ( 4) 264 11x y
xy
x y→ −
⋅ ⋅ − −
= = = −
+ ⋅ + −
UNIUBE 25
 agora é a sua vez 
Atividade 10
Determine onde a função 
2 2
2 2
( 3) ( 2)( , )
( 3) ( 2)
x yf x y
x y
− − +
=
− + +
 é contínua.
Atividade 11
Determine onde a função 2
( )( , )
2
tg xf x y
y
=
+
 é contínua.
 1.3 Derivadas parciais
1.3.1 Interpretação geométrica e algébrica das derivadas parciais
No estudo das funções de uma variável, entendemos as derivadas como taxas de 
variação instantâneas, que serviam como instrumentos de interpretação de diversas 
situações da física, química, biologia, engenharia e economia. A velocidade instantânea 
de um veículo é a taxa de variação instantânea do quociente correspondente à variação 
do espaço pela variação do tempo, quando esta variação do tempo é tão pequena que 
se aproxima de zero. 
 exemplificando! 
Quando um motorista recebe em casa uma notificação por excesso de velocidade, é porque 
o seu carro foi identificado por um aparelho chamado radar. A desagradável correspondência 
é possível por que o aparelho identifica uma taxa de variação, quando a taxa de variação 
tende a zero. 
Para as funções com duas variáveis, essa interpretação ocorre 
de forma semelhante, exceto pelo fato de que ela é parcial, ou 
seja, em relação a uma ou outra variável. Neste caso, temos 
a derivada em relação à variável x ou em relação à variável y, 
fato que justifica a denominação de derivadas parciais. Por 
meio da Figura 18 podemos rever o significado geométrico das 
derivadas de funções de uma variável.
Derivada parcial
Recebe esse nome 
pelo fato de que 
podemos derivar 
uma função de duas 
variáveis parcialmente 
em relação à variável 
x ou em relação à 
variável y.
26 UNIUBE
Para aprofundarmos qualitativamente no estudo das derivadas parciais, vamos fazer 
definir formalmente este conceito: 
Consideremos uma função ( , )z f x y= em um ponto 0 0( , )x y pertencente ao domínio 
da função. A derivada parcial de ( , )z f x y= em relação à variável x no ponto 0 0( , )x y 
é a derivada em 0x da função resultante na fixação de y y e permitindo a variação 
de x. Podemos escrevê‑la da seguinte forma:
[ ] ( ) ( )
0
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
( , ) ( , ) limx x
x x
f x x y f x ydf x y f x y
dx x∆ →=
+ ∆ −
= =
∆
Por outro lado, consideremos uma função ( , )z f x y= em um ponto 0 0( , )x y perten‑
cente ao domínio da função. A derivada parcial de ( , )z f x y= em relação à variável 
y no ponto 0 0( , )x y é a derivada em 0y da função resultante na fixação de 0x x= e 
permitindo a variação de y. Podemos escrevê‑la da seguinte forma:
[ ] ( ) ( )
0
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
( , ) ( , ) limy y
y y
f x y y f x ydf x y f x y
dy y∆ →=
+ ∆ −
= =
∆
Essa é a definição e ela traz significado algébrico para o conceito de derivadas. No 
entanto, as derivadas parciais também possuem significado geométrico que são dados 
parcialmente em relação a x e em relação a y. A Figura 19 representa a derivação em 
relação à variável x. Já a Figura 20 representa a derivação em relação à variável y.
Figura 18: Interpretação geométrica das funções de uma variável.
UNIUBE 27
Figura 19: Interpretação geométrica da derivada parcial em relação à variável x.
Fonte: Thomas (2008, p. 308).
Veja que, mantendo fixa a variável y, obtemos uma curva na direção do eixo x. Nela, 
a variável x varia e a taxa de variação dos valores da função ao longo da curva pela 
variação de x, quando essa variação de x tende a zero, representa a derivada parcial 
da função ( , )z f x y= em relação a variável x. Veja que essa interpretação é bastante 
Figura 20: Interpretação geométrica da derivada parcial em relação à variável y.
Fonte: Thomas (2008, p. 309).
28 UNIUBE
semelhante à interpretação da derivada de funções de uma variável. Essa mesma 
derivada tem a interpretação de inclinação como sendo o coeficiente angular da reta 
tangente ao ponto 0 0( , )x y em relação ao eixo x.
 relembrando 
Lembre‑se de que, nas funções de uma variável, a reta tangente à curva no ponto 0x forma 
um ângulo θ com o eixo x. A derivada da função nesse ponto é a tangente do ângulo θ, ou 
seja, 0'( ) ( )f x m tg θ= = .
Como mantemos fixa a variável x, obtemos uma curva na direção do eixo y. Nela, a 
variável y varia e a taxa de variação dos valores da função ao longo da curva pela 
variação de y, quando essa variação de y tende a zero, representa a derivada parcial 
da função ( , )z f x y= em relação à variável y. Veja que essa interpretação é bastante 
semelhante à interpretação da derivada de funções de uma variável. Assim como ocorre 
na derivação parcial em relação à variável x, essa derivada também tem a interpretação 
de inclinação onde seu valor representa o coeficiente angular da reta tangente ao ponto 
0 0( , )x y em relação ao eixo x.
 curiosidade 
O conceito da derivada parcial é um dos mais belos dentro da matemática. Ele se estende a 
diversas aplicações dentro das ciências e da engenharia.
1.3.2 Notação de derivadas de primeira ordem
Existem várias formas de representar as derivadas parciais:
f
x
∂
∂
, xf , ( , )
d f x y
dx
 e z
x
∂
∂
 são formas diferentes para representar a derivada de uma 
função em relação à variável x.
Por outro lado, f
y
∂
∂
, yf , ( , )d f x y
dy
 e 
z
y
∂
∂
 são formas diferentes para representar a 
derivada de uma função em relação à variável y. O símbolo ∂ , que se lê ‘d‑round’, é 
usado somente em derivadas de funções com mais de uma variável. 
UNIUBE 29
Se quisermos representar o cálculo da derivada parcial em um ponto, também temos 
as notações indicadas a seguir, referindo‑se à derivada no ponto 0 0( , )x y .
0 0,x x y y
f
x = =
∂
∂ 0 0( , )xf x y 0 0,x x y y
z
x = =
∂
∂
0 0,x x y y
f
y = =
∂
∂
 0 0
( , )yf x y 0 0,x x y y
z
y = =
∂
∂
1.3.3 Cálculo de derivadas parciais
Calcular derivadas parciais por meio da definição com limites é uma tarefa impraticável 
e pouco usual. Por essarazão nos preocuparemos com o método usual de cálculo, 
que é bastante prático. 
Exemplo 12: Calcule as derivadas (2,5)xf e (1, 2)yf − para a função 4( , ) 3 5 3f x y x y y x= − + .
Resolução:
[ ] 4 4
3
3
( ,5) ( ,5) 3 5 5 5 3 15 3 25
( ,5) 60 3
(2,5) 60 2 3 483
x
x
x
d d df x f x x x x x
dx dx dx
f x x
f
   = = ⋅ − ⋅ + = + −   
= +
= ⋅ + =
 explicando melhor 
Nesta resolução substituímos 5y = na função, derivamos o resultado em relação à variável 
x e substituímos o valor 2 no lugar da variável x.
Por outro lado, (2,5)xf também pode ser calculada quando mantemos a variável y 
constante e derivamos a função em relação à x. Finalmente, substituímos as coorde‑
nadas do ponto no resultado da derivada.
[ ] [ ]4 4
3 3
3 5 3 3 5 3
3 4 0 3 12 3
f d d d dx y y x x y y x
x dx dx dx dx
f x y x y
x
∂    = − + = + − +   ∂
∂
= ⋅ ⋅ + + = +
∂
30 UNIUBE
 explicando melhor 
Nesta resolução, consideramos a variável y como uma constante e procedemos ao cálculo 
da derivada em relação à variável x.
3(2,5) 12 2 5 3 483xf = ⋅ ⋅ + =
Calculando (1, 2)yf − :
[ ] [ ]4(1, ) (1, ) 3 1 5 3 1 2 3
(1, ) 2
y
y
d d df y f y y y y
dy dy dy
f y
 = = ⋅ ⋅ − + ⋅ = − + 
= −
 
(1, 2) 2yf − = −
 explicando melhor 
Nesta resolução substituímos 1x = na função, derivamos o resultado em relação à variável 
y e substituímos o valor – 2 no lugar da variável x.
Pelo outro método, temos:
[ ] [ ] [ ]4 4
4 4
3 5 3 3 5 3
3 5 0 3 5
f d d d dx y y x y x y x
y dy dy dy dy
f x x
y
∂  = − + = + − + ∂
∂
= − + = −
∂
4(1, 2) 3 1 5 2yf − = ⋅ − = −
 explicando melhor 
Nesta resolução, consideramos a variável x uma constante e procedemos ao cálculo da de‑
rivada em relação à variável y.
UNIUBE 31
Exemplo 13: Calcule f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
 para a função 
3
5
3( , )
4
x yf x y
y x
+
=
+
.
Resolução:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 5 5 3
25
2 5 3 2 5 3
2 25 5
3 4 4 3
4
3 4 1 3 3 4 3
4 4
d dx y y x y x x y
f dx dx
x y x
x y x x y x y x x yf
x y x y x
   + ⋅ + − + ⋅ +   ∂    =
∂ +
⋅ + − ⋅ + ⋅ + − +∂
= =
∂ + +
 explicando melhor 
Todas as vezes que derivamos uma função em relação à variável x, consideramos a variável 
em relação à variável y uma constante.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 5 5 3
25
5 4 3 5 4 3
2 25 5
3 4 4 3
4
3 4 20 3 3 4 20 3
4 4
d dx y y x y x x y
dy dyf
y y x
y x y x y y x y x yf
x y x y x
   
+ ⋅ + − + ⋅ +   ∂    =
∂ +
⋅ + − ⋅ + + − +∂
= =
∂ + +
 explicando melhor 
Todas as vezes que derivamos uma função em relação à variável y, consideramos a variável 
em relação à variável x uma constante.
Exemplo 14: Calcule ( , )xf x y e ( , )yf x y para a função ( )3 2 3( , ) 4 2f x y x y sen xy= − 
e use os resultados para determinar (3, 4)xf − e ( 3, 2)yf − .
32 UNIUBE
Resolução:
( ) ( ) ( )2 2 3 3 2 2 3 3( , ) 12 cos 2 2 12 2 cos 2x df x y x y xy xy x y y xydx
 = − ⋅ = −  
( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 3( , ) 8 cos 2 2 8 6 cos 2y df x y x y xy xy x y xy xydy
 
= − ⋅ = − 
 
( )
( )
2 2 3 3(3, 4) 12 3 ( 4) 2 ( 4) cos 2 3 ( 4)
(3, 4) 1728 128cos 384 1823,75
x
x
f
f
− = ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ −
− = + − ≈
( )
( )
3 2 3( 3, 2) 8 ( 3) 2 6 ( 3) 2 cos 2 ( 3) 2
( 3,2) 432 72cos 48 478,09
y
y
f
f
− = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
− = − + − = −
Exemplo 15: Seja 3 2( , ) 2 4f x y x y y= − .
a) Determine a inclinação da superfície ( , )z f x y= na direção x do ponto (2, 1)− .
b) Determine a inclinação da superfície ( , )z f x y= na direção y do ponto (2, 1)− . 
Resolução:
a) 2 2( , ) 2 3 0 6xf x y x y x y= ⋅ − =
2(2, 1) 6 2 ( 1) 24x xm f= − = ⋅ ⋅ − = −
b) 3 3( , ) 2 1 8 2 8yf x y x y x y= ⋅ − = −
3(2, 1) 2 2 8 ( 1) 24y ym f= − = ⋅ − ⋅ − =
1.3.4 Aplicações de derivadas parciais
As derivadas parciais possuem diversas aplicações, assim como as derivadas de fun‑
ções com uma variável. Muitas dessas aplicações serão vistas nos próximos roteiros. 
Entretanto, neste roteiro citaremos algumas poucas aplicações com a simples interpre‑
tação geométrica das derivadas parciais. 
UNIUBE 33
Exemplo 16: Lembre‑se de que na atividade 1 deste capítulo mostramos que o ín‑
dice de sensação térmica W pode ser modelado em determinada região pela função 
0,1533,5 0,6 (0,45 35)W T T v= + + − para a temperatura real do ambiente T em graus 
Fahrenheit e da velocidade do vento v em milhas por hora. Calcule a derivada 
parcial desta função em relação a v no ponto ( , ) (13,7)T v = e interprete essa 
derivada parcial como uma taxa de variação.
Resolução:
Mantendo T fixo e derivando a função em relação a v, temos: 
0,85
0,85
( , ) 0 0 (0,45 35) 0,15
( , ) (0, 45 35) 0,15
W T v T v
v
W T v T v
v
−
−
∂
= + + − ⋅ ⋅
∂
∂
= − ⋅ ⋅
∂
Assim:
0,85 º(13,7) (0,45 13 35) 0,15 7 4,3725 0,1913 0,8365
/
W F
v milhas h
−∂ = ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ≈ −
∂
Interpretando esse resultado, podemos dizer que no ponto ( , ) (13,7)T v = , ou seja, 
para 13º F e 7 milhas por hora, o índice de sensação térmica diminui aproximadamente 
0,8365º F para o aumento de cada unidade na velocidade dada em milhas/h por hora, 
mantendo a temperatura real na mesma temperatura.
Exemplo 17: A temperatura (graus Celsius) em qualquer ponto ( , )x y de uma placa 
de aço é dada por 2 2500 0,6 1,5T x y= − − , onde x e y são medidos em metros. De‑
termine as taxas de variação da temperatura com a distância ao longo dos eixos x e y 
no ponto (2,3).
Resolução:
Nesse caso, precisamos calcular em relação a ambos os eixos x e y.
2, 3
º1, 2 1,2 2 2,4
x y
T T Cx
x x m= =
∂ ∂
= − ⇒ = − ⋅ = −
∂ ∂
34 UNIUBE
Podemos entender que no ponto (2,3) a temperatura na placa diminui em 2,4ºC para 
cada 1 metro em que ele se afastar da origem, seguindo a direção do eixo x positivo.
2, 3
º3 3 3 9
x y
T T Cy
x y m= =
∂ ∂
= − ⇒ = − ⋅ = −
∂ ∂
Para cada metro em que o ponto se afasta da origem na direção do eixo y positivo, a 
temperatura diminui em 9ºC analisando no ponto (2,3).
1.3.5 Derivação implícita
Mostraremos os métodos de cálculo para derivação implícita por meio de um exemplo, 
visto que eles são de fácil manipulação.
Exemplo 18: Determine a inclinação da esfera 2 2 2 9x y z+ + = na direção x no ponto 
1 ,2, 5
3
 − 
 
.
Resolução:
A derivação implícita é feita após a derivação de ambos os membros em relação à 
variável y e mantendo o diferencial 
z
x
∂
∂
 todas as vezes que derivarmos em relação à 
variável z.
[ ]2 2 2
2 2 2
9
0
2 2 0
2
2
z zx y z
x x
z z zx y z
x x x
zx z
x
z x x
x z z
∂ ∂ + + = ∂ ∂
∂ ∂ ∂     + + =     ∂ ∂ ∂
∂
+ =
∂
∂ −
= = −
∂
 
1, 2, 5
3
1
1 1 13
5 3 5 15x y z
z
x = = =−
∂
= − = ⋅ =
∂ −
 relembrando 
Veja que a derivação implícita de funções com mais de uma variável é extremamente seme‑
lhante à derivação implícita de funções de uma variável.
UNIUBE 35
1.3.6 Cálculo de derivadas de funções com mais de duas variáveis
O cálculo de derivadas de funções com mais de duas variáveis pode ser feito simples‑
mente com os mesmos métodos utilizados para as funções de duas variáveis. A única 
observação a se fazer é quanto ao número de variáveis que pode aumentar sem limites. 
Assim, podemos aprender um pouco mais por meio dos exemplos seguintes:
Exemplo 19: Calcule xf , yf e zf para 
2 3 6( , , ) 5 3f x y z x y z xyz= − .
Resolução:
3 6( , , ) 10 3xf x y z xy z yz= −
2 2 6( , , ) 15 3yf x y z x y z xz= −
2 3 5( , , ) 30 3zf x y z x y z xy= −
1.3.7 Derivadas parciais de ordens superiores
Assim como as funções de uma variável,as funções com mais de uma variável também 
possuem derivadas sucessivas, que nesse caso são dadas em relação a diferentes 
variáveis. 
2
2 xx
f f
x x x
∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ 
 são todas notações usadas para representar a derivada de 
segunda ordem, sendo que as duas derivadas ocorrem em relação a x.
2
2 yy
f f
y y y
 ∂ ∂ ∂
= = ∂ ∂ ∂ 
 são todas notações usadas para representar a derivada de 
segunda ordem, sendo que as duas derivadas ocorrem em relação a y.
2
xy
f f
y x y x
∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 
 são todas notações usadas para representar a derivada de 
segunda ordem, sendo que a primeira ocorre em relação à variável x e a segunda 
ocorre em relação à y.
2
yx
f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= = ∂ ∂ ∂ ∂ 
 são todas notações usadas para representar a derivada de 
segunda ordem, sendo que a primeira ocorre em relação à variável y e a segunda 
ocorre em relação à x.
36 UNIUBE
 importante! 
2 f f
y x y x
∂ ∂ ∂ =  ∂ ∂ ∂ ∂ 
 da direita para a esquerda. Derivando dentro dos parênteses primeiro.
( )xy x yf f= da esquerda para a direita. Derivando dentro dos parênteses primeiro.
Exemplo 20: Seja a função 4 3( , ) 5 2f x y x y xy= +
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
a) xxf c) xyf
b) yyf d) yxf
Resolução:
Primeiro devemos derivar parcialmente em relação a cada variável.
3 3( , ) 20 2xf x y x y y= + e 
4 2( , ) 15 2yf x y x y x= +
a) 2 360xxf x y= c) 
3 260 2xyf x y= +
b) 430yyf x y= d) 
3 260 2yxf x y= +
Em relação às derivadas parciais de ordem superior, temos um importante resultado. 
Quando às derivadas parciais de segunda ordem, xyf e yxf são iguais, e denominamos 
a existência da igualdade mista. O teorema a seguir explica melhor em que condições 
isso ocorre.
Teorema
Seja f uma função de duas variáveis. Se xy e yxf forem contínuas em algum disco 
aberto, então xy yxf f= nesse disco.
UNIUBE 37
 agora é a sua vez 
Atividade 12
Seja 3 2( , ) 3f x y x y= . Determine:
a) ( , )xf x y e) (1, )yf y
b) ( , )yf x y f) ( ,1)yf x
c) (1, )xf y g) (1, 2)xf
d) ( ,1)xf x h) (1, 2)yf
Atividade 13
Seja ( , ) 3 2f x y x y= + .
a) Determine a inclinação da superfície ( , )z f x y= na direção x no ponto (4,2).
b) Determine a inclinação da superfície ( , )z f x y= na direção y no ponto (4,2).
Atividade 14
Seja ( )2 4z sen y x= − .
a) Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (2,1) com y fixado.
b) Determine a taxa de variação de z em relação a y no ponto (2,1) com x fixado.
Atividade 15
Determine 
z
x
∂
∂
 e 
z
y
∂
∂
.
a) 2 34 x yz e=
b) ( )3 3 5ln 1z x xy−= +
c) 
2 2
xyz
x y
=
+
38 UNIUBE
Atividade 16
Determine ( , )xf x y e ( , )yf x y , onde 
5 3( , ) 3 7f x y x y x y= − .
Atividade 17
Seja 2 4 3 2( , , ) 1f x y z x y z xy z= + + + . Determine:
a) ( , , )xf x y z d) (1, , )xf y z
b) ( , , )yf x y z e) (1, 2, )yf z
c) ( , , )zf x y z f) (1, 2,3)zf
Atividade 18
Determine xf , yf e zf , onde ( )2( , , ) ln cos( )f x y z z x y z= .
Atividade 19
Calcule 
z
x
∂
∂
 e 
z
y
∂
∂
 usando a diferenciação implícita.
a) ( )
3
2 2 2 2 1x y z+ + =
b) 2 ( ) 0x ysen xyz+ =
Atividade 20
Seja cosz x y= . Determine:
a) 
2
2
z
x
∂
∂
 c) 
2z
x y
∂
∂ ∂
b) 
2
2
z
y
∂
∂
 d) 
2z
y x
∂
∂ ∂
UNIUBE 39
Atividade 21
Seja 2 4 5( , ) 4 2 7f x y x y x y= − + . Determine:
a) xxf c) xyf
b) yyf d) yxf
Atividade 22
Encontre as derivadas parciais:
2 3 4 5( , , , ) 4f v w x y v w x y=
, , ,f f f f
v w x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
Atividade 23
Uma medida da sensação de calor é o chamado Índice de Temperatura Aparente, dado pela 
equação
( , ) 0,885 22,4 1,20 0,544A t h t h th= − + −
onde A é a temperatura aparente em graus Celsius, t é a temperatura do ar em graus Celsius 
e h é a umidade relativa em forma decimal. (Fonte: The UMAP Journal.)
a) Determine 
A
t
∂
∂
 e 
A
h
∂
∂
.
b) Use o resultado do item (a) para determinar as taxas de aumento da temperatura aparente 
em relação à temperatura do ar e em relação à umidade quando a temperatura ambiente é 
de 32ºC e a umidade relativa do ar é de 80%.
Resumo
Apresentamos a você a existência e utilização das funções com mais de uma variável 
real, onde foi possível mostrar que elas estão presentes no nosso contexto mais do 
que podemos imaginar. Nesse sentido, trabalhamos no intuito de estender os concei‑
tos próprios das funções de uma variável, como domínio, imagem, valor da função e 
representação gráfica para as funções com duas variáveis, obedecendo as devidas 
particularidades aqui existentes. Verificamos que a representação gráfica das funções 
40 UNIUBE
de duas variáveis não pode ser obtida de forma tão simples como as funções de uma 
variável, fato que nos conduz a buscar alternativas de representação com as curvas 
de nível e os mapas de contorno.
Fizemos também o estudo acerca do limite e continuidade para esta nova classe de 
funções. Constatamos que a definição de limite aqui existente é bastante próxima da 
conhecida definição das funções de uma variável, exceto pelo fato de que os sentidos 
pelo qual podemos aproximar de um ponto em estudo são infinitos em vez de dois. Em 
muitos casos, é mais fácil mostrar que um limite não existe para uma função com tal 
realidade do que mostrar que um limite existe quando for o caso. No item continuidade 
essa extensão de conceitos não foi diferente, e pudemos inclusive explorar algumas 
técnicas para produzir novas funções contínuas a partir de outras.
Fechamos esse estudo com a definição e discussão das derivadas parciais. Estabele‑
cemos seu conceito como taxas de variação, apresentamos sua definição algébrica e 
geométrica, desenvolvemos técnicas de cálculo e trabalhamos no sentido de não deixar 
de lado nenhum item importante nesse estudo, como as diferentes notações usadas 
para a representação de derivadas. Embora as principais aplicações dessa importante 
ferramenta matemática serão vistas nos próximos capítulos, procuramos mostrar de 
forma bastante pontual e particular algumas dessas aplicações. 
Referências 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Bookman, 2007. v. 2.
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 2. Capítulo 14.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo. Makron do Brasil, 1994 v. 2. 
Capítulo 16.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson 
Addison‑Wesley, 2008. v. 2. Capítulo 14.
Fernando de Melo Lopes / 
Leandro Martins da Silva
Introdução
Neste capítulo daremos continuidade ao nosso estudo referente às derivadas par‑
ciais de uma função de duas variáveis. Neste momento expandiremos os conceitos 
de diferencial e da regra da cadeia para funções de duas variáveis. Em seguida, 
vamos determinar a inclinação em um ponto qualquer da superfície, definindo um 
novo tipo de derivada, chamada de derivada direcional. Por fim, utilizaremos o 
vetor gradiente para encontrar a direção de maior crescimento da função.
No decorrer deste estudo você encontrará diversas aplicações que o auxiliarão 
na compreensão de tais conceitos.
 Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você esteja 
apto a:
• entender o conceito de diferenciais;
• usar a diferencial como uma aproximação;
• usar as regras da cadeia para funções de diversas variáveis;
• calcular e usar derivadas direcionais de uma função de duas variáveis;
• usar as derivadas direcionais em aplicações práticas;
• compreender o conceito e as propriedades do vetor gradiente;
• utilizar o vetor gradiente como ferramenta para o cálculo de derivadas 
direcionais.
Diferenciais, regrasda cadeia, derivadas 
direcionais e gradientes 
de funções com duas 
variáveis
Capítulo
2
42 UNIUBE
Esquema
2.1 Diferenciais
2.2 Regras da cadeia
2.3 Vetor direção 
2.4 Derivada direcional
2.5 Vetor gradiente
2.6 Derivadas direcionais utilizando o gradiente 
2.7 Propriedades do gradiente
 2.1 Diferenciais 
Você se lembra de que no Capítulo 1 do livro Cálculo diferencial e integral II definimos 
a diferencial de uma função como ? Acreditamos que sim! De 
maneira análoga, podemos dizer que, dada uma função de duas variáveis , o 
diferencial é definido por ou .
Geometricamente, essa equação representa a variação na altura em um plano que é 
tangente à superfície no ponto , conforme a Figura 1.
Veja que representa a variação da altura da superfície quando 
varia de para . O interessante é que, quando e ten‑
dem a zero, , ou seja, temos uma aproximação linear da superfície com o plano 
tangente. Muito bem! Agora acompanhe o exemplo.
Figura 1: Interpretação geométrica do diferencial e do incremento .
Fonte: Adaptado de Stewart (2006, p. 926). Acervo EAD – Uniube.
UNIUBE 43
Exemplo 1: Use a diferencial para aproximar a variação em 
quando se move do ponto para o ponto . Em seguida, compare 
esta aproximação com a variação real .
Resolução:
1o passo: Calcule: 
obtemos e 
Assim obtemos (2,05;2,96) (2,3) 0,6449f fz∆ = =− , que é o valor real da variação.
2o passo: encontre 
( )
( )
,
,
x
y
f x y
f x y
Fazendo as derivadas parciais de z, obtemos e .
3o passo: calcule 
( )
( )
2,3
2,3
x
y
f
f
 e 
4o passo: calcule 
____
____
x dx
y dy
∆ = =
∆ = =
Como e 
5o passo: calcule 
 e obtenha dz.
Assim, 0,65dz = é o valor estimado da variação.
 importante! 
Você percebeu que o valor estimado possui um erro de aproximação de 0,0051? Para encontrar 
o erro, basta calcular 0,65 0,0051 0,0051z dz∆ − = − = .
44 UNIUBE
 
 agora é a sua vez 
Atividade 1
O erro possível envolvido na medida de cada dimensão de uma caixa retangular é 
. As dimensões da caixa são , e . Estime o erro 
propagado e o erro relativo no cálculo do volume da caixa. 
As medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto são 10 cm e 25 cm, respec‑
tivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 cm. Utilize o diferencial para estimar 
o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone. 
 2.2 Regras da cadeia 
Você se lembra de que no livro Cálculo diferencial e integral I trabalhamos pela pri‑
meira vez com a derivada de uma função composta? Acreditamos que sim! Naquele 
momento você aprendeu que se e , sendo f e g diferenciáveis, a 
derivada dy
dt
 pode ser encontrada utilizando a seguinte regra: ,dy dy du
dt du dt
= ⋅ certo? 
Muito bem! Agora suponha que , e que cada uma dessas variáveis estejam 
em função de uma única variável independente , ou seja e . Você 
pode encontrar a derivada 
dz
dt
 utilizando a seguinte regra: .dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
 
Vamos ver como a regra funciona na prática!
Exemplo 2: Seja , onde e . Calcule dz
dt
.
Resolução: 
1o passo: encontre z
x
∂
∂
2o passo: encontre z
y
∂
∂
3o passo: encontre dx
dt
 
UNIUBE 45
4o passo: dy
dt
5o passo: reescreva a expressão dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
 substituindo os resultados 
obtidos nos passos anteriores. 
Agora, veja nossa resolução e compare os resultados!
22 (cos ) ( 2 ) tdz z dx z dy xy t x y e
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = + −
∂ ∂
Reescrevendo a expressão em função de t, obtemos 
22( )( )(cos ) ( 2 )t t tdz sent e t sen t e e
dt
= + −
22 cos ( 2 )t t tdz e sent t e sen t e
dt
= ⋅ ⋅ + ⋅ −
Muito bem! Você acertou! Esperamos que sim! 
 agora é a sua vez 
Atividade 2
2.1 Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar 
dw
dt
.
a) 2 2; ,t tw x y x e y e−= + = =
b) sec ; ,tw x y x e y tπ= = = −
c) 13cos ; , 3w x sen xy x y tt= − = =
d) 1 1/3 3; ,xyw e x t y t−= = =
e) 2 2 2; cos , ,t t tw x y z x e t y e sent z e= + + = = =
 
46 UNIUBE
f) 2; 1, 1,w xy xz yz x t y t z t= + + = − = − =
2.2 Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar 
z
u
∂
∂
 e 
z
v
∂
∂
.
a) 28 2 3 ; ,z x y x y x uv y u v= − + = = −
b) ; 2cos , 3xz x u y senv
y
= = =
c) 2 2; ,xz e sen y x uv y u v= = =
No capítulo anterior você estudou que a derivada pode ser interpretada de duas maneiras: 
1a maneira: como uma inclinação de uma reta tangente a um ponto na superfície de 
uma figura, ou seja:
• Quando derivamos uma função em relação a em um determinado ponto, ou seja, 
, estamos encontrando a inclinação de uma reta tangente ao ponto 
na direção do eixo x, mantendo constante (veja Figura 20 do capítulo 1).
• Ou então, quando derivamos uma função em relação a , , estamos 
encontrando a inclinação da reta tangente ao ponto na direção do eixo , 
mantendo‑se constante (veja Figura 21 do capítulo 1).
2a maneira: como uma taxa de variação.
• Dessa forma, a derivada pode representar a taxa de variação da função em re‑
lação a , ou seja, como a função se altera quando o é alterado e o se mantém 
constante. E é a taxa de variação de em relação a y, isto é, como a função se 
altera quando o se altera e se mantém constante.
Veja um exemplo prático:
Exemplo 3: Imagine uma chapa de assar alimentos que possui sua chama no centro. 
Sendo assim, a chapa começa a esquentar a partir do centro, sendo que a temperatura 
em qualquer ponto da chapa é dada pela equação , onde T 
é dado em °C, x e y são as dimensões da chapa dada em cm. Uma formiga cai sobre 
esta chapa em um ponto dado pelas coordenadas . Pergunta‑se:
 
UNIUBE 47
A formiga, devido ao calor, decide caminhar na direção do eixo . Qual será a taxa de 
variação da temperatura em relação ao deslocamento na direção do eixo ?
Resolução:
Sabemos que a taxa de variação de em relação a é a derivada , assim 
obtemos:
Portanto, se ela decide caminhar na direção a partir do ponto , a temperatura 
irá diminuir em .
Suponha agora que ela queira caminhar na direção do eixo . Qual será a taxa de 
variação da temperatura em relação ao deslocamento na direção do eixo ?
Resolução:
Temos agora que derivar a função em relação a , portanto:
Assim, se ela decide caminhar na direção a partir do ponto , a temperatura ira 
diminuir em .
 
E se ela desejar caminhar em qualquer outra direção diferente das paralelas ao eixo ou ? 
Qual será a melhor direção para ela caminhar, ou seja, que a chapa esfrie a uma taxa maior 
possível? 
48 UNIUBE
Essas e outras questões poderão ser respondidas com o estudo das derivadas dire-
cionais. E, para compreender derivadas direcionais, vamos inicialmente estudar o vetor 
direção.
 2.3 Vetor direção
Considerando ainda o Exemplo 3, como existe uma infinidade de direções para a qual 
a formiga pode caminhar, precisamos de algum método para descrever uma direção 
específica a partir de um ponto . Uma maneira de fazer isso é utilizando um vetor 
unitário (versor) que tenha ponto inicial em e aponte na direção 
desejada. Esse vetor determina uma reta no plano e que pode ser representada 
parametricamente como: , .
Caso o vetor direção não seja unitário, calcule o unitário do vetor da seguinte forma:
Sendo , o unitário de será
Sendo , teremos
 dicas 
Para calcular a derivada direcional, o vetor que representa a direção deve sempre ser unitário.
 2.4 Derivada direcional
Veja a seguir a definição de derivada direcional.
Considere a função e o vetor unitário . A derivada direcional de 
f na direção e sentido de u em é denotada por e definida por:
UNIUBE 49
Geometricamente, esta derivada pode ser interpretada como a inclinação da superfície 
 na direçãode u no ponto .
Exemplo 4: Considerando o exemplo 3, onde o ponto é e a função é 
, se a formiga desejar caminhar na direção , 
qual será a taxa de variação da temperatura nesta direção, ou seja, ?
Veja os procedimentos para calcular a taxa de variação da temperatura nesta direção!
1o passo: encontre , 
2o passo: substitua as expressões obtidas em 
3o passo: calcule 
4o passo: calcule 
Resolução:
A partir da fórmula de parametrização , , temos que:
 e 
Segue da definição que:
Figura 2: Versor apontando para várias direções.
50 UNIUBE
Como a função é , teremos:
Sendo assim, teremos:
E assim, com , teremos:
Concluímos que, se a formiga decidir caminhar nesta direção a partir do ponto na 
direção e sentido de , então a temperatura irá diminuir a uma taxa de .
UNIUBE 51
Exemplo 5: Dada , encontre , onde .
Resolução:
Segue da definição que:
Como
Temos que:
E assim:
 agora é a sua vez 
Atividade 3
Encontre em .
a) ; ; 
b) ; ; 
c) ; ; 
52 UNIUBE
d) ; ; 
e) ; ; 
f) ; ; 
 2.5 Vetor gradiente
Você percebeu que para representar uma direção específica fizemos uso de um vetor? 
Existe um vetor especial e de muita importância devido a suas propriedades específicas, 
que é muito utilizado em várias situações práticas e que iremos utilizá‑lo para facilitar os 
cálculos das derivadas parciais. Chama‑se vetor gradiente. Este vetor é construído a partir 
das derivadas parciais da função e cada ponto de uma função tem seu vetor gradiente.
Definição:
Se for uma função, então o gradiente de f é definido por:
Dizemos: Gradiente de no ponto 
 curiosidade 
O símbolo ∇ é um delta invertido. Ele pode ser lido como “del” ou “nabla”, que vem a ser o 
nome de uma antiga harpa hebraica de dez cordas com esse formato.
Veja, agora, como calcular o gradiente!
Exemplo 6: Dada , encontre .
Resolução:
Temos que:
UNIUBE 53
Sendo assim:
Exemplo 7: Dada , encontre .
Resolução:
1o passo: encontre 
2o passo: encontre 
3o passo: substitua as expressões obtidas nos passos anteriores na equação 
4o passo: calcule 
 comparando 
Agora veja nossa resolução e compare os resultados!
Temos:
Logo:
Exemplo 8: Obtenha , sendo .
Resolução:
54 UNIUBE
1o passo: encontre 
2o passo: encontre 
3o passo: encontre 
4o passo: substitua as expressões obtidas nos passos anteriores na equação 
5o passo: calcule 
 comparando 
Agora veja nossa resolução e compare os resultados!
Temos:
Logo:
 agora é a sua vez 
Atividade 4
Dadas as funções a seguir, calcule o gradiente de no ponto dado:
; 
; 
UNIUBE 55
; 
; 
; 
; 
; 
 2.6 Derivadas direcionais utilizando o gradiente
Já vimos como calcular uma derivada direcional e como encontrar o vetor gradiente, 
certo? Agora vamos unir os dois conceitos para entender como o gradiente nos ajudará 
no cálculo da derivada direcional. 
Conhecendo o gradiente, a fórmula para o cálculo da derivada direcional pode ser 
reescrita como segue:
Ou seja, a derivada direcional de na direção no ponto é igual ao produto 
escalar entre o vetor gradiente e o vetor . 
 relembrando 
Em uma multiplicação escalar, multiplicamos os fatores da direção e os fatores com direção 
j separadamente. O resultado será um escalar, ou seja, um número.
Exemplo 9: Lembrando que a formiga está sobre o ponto e a função é 
, se a formiga desejar caminhar na direção , 
qual será a taxa de variação da temperatura nesta direção, ou seja, ?
Resolução:
56 UNIUBE
1o passo: calcule 
2o passo: calcule 
3o passo: encontre 
 comparando 
Agora, veja nossa resolução e compare os resultados!
Primeiro vamos calcular o 
Sabendo que
Teremos
Fazendo a multiplicação escalar, isto é, multiplicando com e com , teremos:
Compare esta forma de calcular a derivada com a primeira que vimos.
Vamos refazer o Exemplo 5 utilizando o produto escalar .
UNIUBE 57
Exemplo 10: Dada , encontre , onde .
Resolução: Calculando o gradiente, teremos
Achando a derivada na direção , teremos:
Compare esta forma de calcular a derivada com a do Exemplo 5.
Veja agora algumas propriedades deste vetor e descubra por que ele é tão impor‑
tante.
 2.7 Propriedades do gradiente
Atente‑se! O gradiente não é simplesmente um dispositivo para facil i‑
tar o cálculo da derivada direcional; ele possui algumas propriedades que de‑
vem ser consideradas e que o torna muito importante em muitas áreas do 
cálculo. Você lembra que o produto escalar pode ser escrito como 
? Pois iremos utilizar essa ideia para reescrever o produto escalar 
. Veja a seguir:
Supondo que , reesc reveremos a der i vada d i rec iona l 
 como conforme vimos 
anteriormente, e como é um vetor unitário, sua norma , então reescrevemos 
a expressão como:
Onde é o ângulo entre e . 
58 UNIUBE
Veja que essa interpretação gera algumas situações interessantes:
1a situação
Quando e se coincidem, isto é, possuem a mesma direção, significa que o 
ângulo entre eles é zero. Sendo assim, . Com isso, , que é 
o valor máximo que o cosseno pode atingir. Ou seja:
Analisando a 1a situação, como 1 é o valor máximo que o cosseno pode atingir, 
também tem seu valor máximo positivo. Sendo assim, podemos afirmar que quando 
está na direção e sentido do , a derivada direcional é máxima nesta direção. 
Geometricamente falando, significa dizer que tem sua incli‑
nação máxima crescente em um ponto na direção do gradiente e 
a inclinação máxima é .
2a situação
Analogamente, quando u tem a mesma direção de , porém com sentido oposto, 
, . Assim, , ou seja, tem seu valor 
máximo decrescente na direção oposta ao gradiente. Geometricamente, a superfície 
 tem sua inclinação máxima decrescente em na direção 
contrária ao gradiente.
3a situação
Finalmente, no caso em que a direção é perpendicular ao , 
teremos e , o que significa dizer que nas dire‑
ções perpendiculares ao gradiente a derivada direcional vale zero, . Mais 
uma vez, geometricamente falando, a superfície tem inclinação nula nas 
direções perpendiculares ao gradiente.
UNIUBE 59
 sintetizando... 
Seja uma função de duas variáveis e consideremos o ponto , teremos:
• Se em , então todas as derivadas direcionais de em 
são nulas.
• Se em , então a derivada direcional de em na direção 
e sentido de é máxima positiva, e seu valor é .
• Se em , então a derivada direcional de em no sentido 
oposto ao é máxima negativa, e seu valor é .
Exemplo 11: Seja . Determine o valor máximo de 
uma derivada direcional em , e determine o vetor unitário na 
direção e sentido do qual o valor máximo ocorre.
Resolução:
1o passo: calcule 
2o passo: encontre 
3o passo: determine o valor máximo da derivada direcional
 
4o passo: calcule o vetor unitário 
 comparando 
Agora, veja nossa resolução e compare os resultados!
Temos que 
Calculando , obtemos
60 UNIUBE
Pelas propriedades do gradiente, o valor máximo da derivada é:
Este máximo ocorre na direção de . O vetor unitário nessa direção é:
Exemplo 12: Certo tipo de ave migra de uma região para outra durante o inverno. Elas 
voam durante dias e noites sem parar. Mas, para diminuir a fadiga, elas não podem voar 
em direções onde a temperatura sofra uma grande variação, acima de ±4°C/km. Elas 
estão passando por uma região onde a temperatura é dada por 2 2( ; ) 60 2T x y x y= − − , 
sendo T dado em °C e x e y dados em km. Se elas estão em um ponto da região com 
coordenadas (1;2), diga se:
a) elas estiverem voando em uma direção dada pelo vetor 2= +a i j, as mesmas so‑
frerão com a fadiga?
b) elas decidirem voar na direção 2= −a i j, será possível continuar nesta direção sem 
que sofram com a fadiga?
Resolução:
Você precisa