cálculo nemérico 1

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1-INTRODUÇÃO:
Equações diferenciais são interessantes para os não matemáticos, principalmente devido à possibilidade de serem usadas para investigar uma ampla gama de problemas nas ciências físicas, biológicas e sociais. Uma razão para isso é que os modelos matemáticos e suas soluções levam as equações que relacionam as variáveis e o parâmetro do problema. Essas equações permitem, muitas vezes, que se façam previsões sobre o comportamento do processo natural em circunstâncias diversas. É fácil, com frêquencia, fazer com que os parâmetros no modelo matemático variem em intervalos grandes, mas isso pode ser um modelo de processamento muito longo ou caro em um contexto experimental. De qualquer jeito, a modelagem matemática e a experimentação ou observação têm, ambas, uma importância crítica e um papel um tanto ou quanto complementar nas investigações científicas. Modelos matemáticos são validados comparando-se suas previsões com os resultados experimentais. Por outro lado, análises matemáticas podem sugerir as direções mais promissoras a serem exploradas experimentalmente e podem indicar, com precisão razoável, que dados experimentais serão muito úteis. (Boyce, Diprima)
2- OBJETIVOS:
	Testar os algoritmo desenvolvido, em Fortran, para a resolução de um problema de valor inicial, com solução conhecida, e o erro, nos métodos de Euler e de Runge-Kutta de ordem 4, estudar a convergência dos dois métodos citados acima, e resolver um problema de valor inicial pré-determinado, no método de Runge-Kutta de ordem 4, além de fazer as análises dos gráficos das soluções e da convergência dos métodos. 
3-METODOLOGIA:
	Foram desenvolvido três algoritmos em Fortran: 
Um para calcular a solução de um problema de valor inicial escolhido pelo grupo (y’=x-2y+1, com y(0)=1) e o seu erro, pelo método de Euler e Runge-Kutta de ordem 4;
Um segundo algoritmo para testar a convergência dos métodos utilizados;
Um terceiro algoritmo para calcular a solução do problema de valor inicial pré-determinado no método de Runge-Kutta de ordem 4.
Posteriormente foram plotados os gráficos referentes aos algoritmos citados acima, em Matlab, e feita uma análise dos mesmo:
Um gráfico com a solução calculada do problema de valor inicial escolhido pelo grupo(y’=x-2y+1, com y(0)=1), nos métodos de Euler e Runge-Kutta de ordem 4, juntamente com a solução real, onde foi analisada o erro dos métodos.
Dois gráficos, um do método de Euler e outro de método de Runge-Kutta, para analisar a convergência dos métodos.
Um gráfico com a solução do problema de valor inicial pré-determinado, no método de Runge-Kutta de ordem 4. 	
4-APROXIMAÇÃO NUMÉRICA:
4.1-PROBLEMA DE VALOR INICIAL:
	O problema de valor inicial (PVI), de primeira ordem, apresenta a fórmula:
	
 	A solução do PVI é uma função y=y(x) contínua e diferenciável.
	Os métodos numéricos utilizados calculam uma aproximação de yi da solução exata y(xi) do PVI nos pontos:
Onde m é o número de subintervalos de [a,b] e h é o incremento ou passo. Deste modo, a solução numérica do PVI será uma tabela contendo os pares (xi,yi) sendo que .
4.2-O MÉTODO DE EULER OU DA RETA TANGENTE:
	Seja uma expansão da solução exata y(x) em série de Taylor, em torno do valor inicial xo:
	
Truncando a série após o termo de derivada primeira, sendo x1=x0+h e y1 uma aproximação de y(x1) e sabendo que y’=f(x,y), tem-se:
As sucessivas aproximações de yi de y(xi) podem então ser obtidas pela fórmula de recorrência:
Que é conhecida como método de Euler.
Os parâmetros de entrada no algoritmo são o limite inferior a, o limite superior b, o número de subintervalos m e o valor inicial yo. A função derivada y’=f(x,y) deve ser especificada de acordo com a linguagem de programação adotada . 
4.3-O MÉTODO DE RUNGE-KUTTA :
Os chamados métodos explícitos de s estágios apresentam a forma geral:
	
Sendo a, b e c constantes definidas para cada método particular.
Os métodos de Runge-Kutta podem ser classificados de acordo com a sua ordem. 
4.3.1-O MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEM 4:
	A exatidão dos resultados pode ser melhorada se o passo h for reduzido. No entanto, se a exatidão requerida for elevada, esta metodologia pode acarretar um grande esforço computacional. Uma melhor exatidão pode ser obtida mais eficientemente por uma formulação denominada o método de Runge-Kutta.. Esse método tem um erro de truncamento local proporcional à h5 . Assim, é duas ordens de grandeza mais preciso que o método de Euler aprimorado e de três ordens de grandeza mais preciso que o método de Euler.
	A fórmula de Runge-Kutta envolve uma média ponderada de valores de f(t,y), 
em pontos diferentes no intervalo: 
É dada por:
onde:
5- DISCUSSÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS:
5.1-ANÁLISE DOS VALORES OBTIDOS:
1ª PARTE: COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENTRE OS MÉTODOS
Comparação da solução do PVI nos métodos de Euler e Runge-Kutta com a solução real do PVI, e a comparação dos erros dos respectivos métodos variando o tamanho do passo h.
Problema de valor inicial estudado: y’=x-2y+1, com y(0)=1
 Valores de entrada: a=0, b=1, m1=10, m2=15, yo=1
Valores obtidos de x, y e o erro com o método de Euler para m=10
X
Y
ERRO
 0.000000E+00
 1.000000
0.000000E+00
 1.000000E-01
 9.000000E-01
1.404809E-02
 2.000000E-01
 8.300000E-01
2.274005E-02
 3.000000E-01
 7.840000E-01
2.760874E-02
 4.000000E-01
 7.572000E-01
2.979672E-02
 5.000000E-01
 7.457600E-01
3.014956E-02 (erro máximo)
 6.000000E-01
 7.466080E-01
2.928764E-02
 7.000000E-01
 7.572864E-01
2.766129E-02
 8.000000E-01
 7.758291E-01
2.559325E-02
 9.000000E-01
 8.006633E-01
2.331088E-02
 1.000000
 8.305306E-01
2.097082E-02
Tabela 1
Valores obtidos de x, y e o erro com o método de Euler para m=15
X
Y
ERRO
0.000000E+00
 1.000000
 0.000000E+00
 6.666667E-02
 9.333333E-01
 6.379982E-03
 1.333333E-01
 8.800000E-01
 1.111292E-02
 2.000000E-01
 8.382222E-01
 1.451782E-02
 2.666667E-01
 8.064592E-01
 1.685875E-02
 3.333333E-01
 7.833758E-01
 1.835370E-02
 4.000000E-01
 7.678146E-01
 1.918214E-02
 4.666667E-01
 7.587726E-01
 1.949126E-02 (erro máximo)
 5.333334E-01
 7.553807E-01
 1.940132E-02
 6.000000E-01
 7.568855E-01
 1.901019E-02
 6.666667E-01
 7.626341E-01
 1.839709E-02
 7.333333E-01
 7.720607E-01
 1.762586E-02
 8.000001E-01
 7.846748E-01
 1.674758E-02
 8.666667E-01
 8.000515E-01
 1.580267E-02
 9.333334E-01
 8.178224E-01
 1.482299E-02
 1.000000
 8.376683E-01
 1.383316E-02
Tabela 2
Valores obtidos de x, y e o erro com o método de Runge-Kutta para m=10
X
Y
ERRO
 0.000000E+00 
 1.000000
0.000000E+00
 1.000000E-01
 9.140500E-01
1.919301E-06
 2.000000E-01
 8.527432E-01
3.175388E-06
 3.000000E-01
 8.116126E-01
3.882831E-06
 4.000000E-01
 7.870010E-01
4.232100E-06
 5.000000E-01
 7.759139E-01
4.313298E-06 (erro máximo)
 6.000000E-01
 7.758999E-01
4.227001E-06
 7.000000E-01
 7.849517E-01
4.025058E-06
 8.000000E-01
 8.014262E-01
3.781410E-06
 9.000000E-01
 8.239776E-01
3.474032E-06
 1.000000
 8.515046E-01
3.161462E-06
Tabela 3
Valores obtidos de x, y e o erro com o método de Runge-Kutta para m=15
X
Y
ERRO
 0.000000E+00 
 1.000000
 0.000000E+00
 6.666667E-02
 9.397136E-01
 2.775080E-07
 1.333333E-01
 8.911134E-01
 4.845314E-07
 2.000000E-01
 8.527406E-01
 6.199206E-07
 2.666667E-01
 8.233187E-01
 7.271826E-07
 3.333333E-01
 8.017303E-01
 7.718965E-074.000000E-01
 7.869976E-01
 8.398210E-07 (erro máximo)
 4.666667E-01
 7.782647E-01
 8.302383E-07
 5.333334E-01
 7.747828E-01
 8.300730E-07
 6.000000E-01
 7.758965E-01
 8.295366E-07
 6.666667E-01
 7.810320E-01
 8.368156E-07
 7.333333E-01
 7.896873E-01
 7.796862E-07
 8.000001E-01
 8.014231E-01
 7.298220E-07
 8.666667E-01
 8.158549E-01
 7.235132E-07
 9.333334E-01
 8.326461E-01
 6.897906E-07
 1.000000
 8.515021E-01
 6.580674E-07
Tabela 4
EXPERIMENTOS:
Quanto menor o h o erro diminui?
	Para os valores analisados pode-se perceber que quanto menor o h menor é o erro obtido na solução do problema de valor inicial escolhido, resultado que pode ser visto nas tabelas 1,2,3,4. 
Para o mesmo h qual método fornece o menor erro?
O método de Runge-Kutta 4. O que já era, também esperado. Por ser um método de passo 4, o método de Runge-Kutta 4 converge mais rapidamente para a solução do problema de valor inicial do que o método de Euler. 
Os gráficos plotados 
 Gráfico 1 para m=10
Figura 1
Gráfico 2 para m=15
Figura 2
2ºPARTE: ESTUDO DA ORDEM DE CONVERGÊNCIA DOS MÉTODOS:
TEORICAMENTE: Erro Euler = ch
 Erro em Runge-Kutta de ordem 4 = 
log( erro) = log c + alogh
Dados de entrada: a=0, b=1, yo=1
Dados do programa: n=5, ho=5
Estudo do erro para Euler 
- log(h)
-log(erro)
 1.000000000000000 
 1.852383497885644
 1.301029995663981 
 1.454345790507761
 1.778151250383644 
 1.955989430305950
 2.380211241711606 
 2.458460738405234
 3.079181246047625 
 3.104259276372504
Tabela 5
= 1,000
Figura 3
Estudo do erro para Runge-Kutta 4 
- log(h)
-log(erro)
 1.000000000000000 
 5.713276049156606
 1.301029995663981 
 6.953714810478729
 1.778151250383644 
 9.143966025603966
 2.380211241711606 
 12.009416724017100
 3.079181246047625 
 15.352529778863040
Tabela 6
= 4
Figura 4
3ºPARTE: RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL:
Problema de valor inicial: dy/dx +0,6= 10*(exp((-((x-2)**2)))/0.01125)-0.6*y
 Y(0)=0,5
 
Dados de entrada: a=0, b=4, yo=0,5,n=10 
a)Valores de x, y e o erro obtidos h=0,1
X
Y
 0.000000E+00 
 5.000000E-01
 4.000000E-01 
 14.062870
 8.000000E-01 
 58.322600
 1.200000 
 165.516600
 1.600000 
 351.958900
 2.000000 
 577.833300
 2.400000 
 753.633100
 2.800000 
 810.459100
 3.200000 
 753.479400
 3.600000 
 637.942500
 4.000000 
 514.746600
Tabela 7
Figura 5
7-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
FILHO, Frederico Ferreira Campos, Algoritmos Numéricos, Rio de Janeiro, 2001
RUGGIERO, Márcia A. Gomes e LOPES, Vera Lúcia da Rocha, Cálculo Numérico- Aspectos teórico e computacionais, São Paulo, 1988
BOYCE,DIPRIMA, Equações diferenciais elementares e valores de problema de contorno, sétima ed., Rio de Janeiro, 2002
S.D.CONTE, Elementos de análise numérica, Porta Alegre, 1975
6-ANEXOS:
ANEXO I – PROGRAMA EQUAÇÕES_RESOLUÇÃO
ANEXOII – PROGRAMA CONVERGÊNCIA
ANEXO III – PROGRAMA EQUAÇÕES
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
_1125338737.unknown
_1125338740.unknown
_1125491669.unknown
_1125493284.unknown
_1125495424.unknown
_1125338741.unknown
_1125338738.unknown
_1125338735.unknown
_1125338736.unknown
_1125338731.unknown