Gabarito lista 9 - HIPÓTESES

Prévia do material em texto

MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2012 
Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) 
Página 1 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae 
Exercício 1 
Um medicamento usual para uma determinada doença provoca sonolência em 15% dos pacientes. Um 
laboratório está pesquisando uma nova fórmula, visando diminuir a proporção de pacientes que sofrem 
desse efeito colateral. Numa amostra de n=30 pacientes tratados com o medicamento que usa a nova 
fórmula, 3 relataram sonolência. 
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses. (0,4 pontos) 
Defina p: proporção de pacientes que sofrem sonolência com o medicamento. 
Então as hipóteses a serem testadas são: 
H:p=0,15 e A:p<0,15 
 
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II no contexto do problema. (0,6 pontos) 
Erro tipo I: A conclusão seria que a nova fórmula diminui a proporção de pessoas que sofrem 
sonolência, mas na verdade não diminui. 
Erro tipo II: A conclusão seria que a nova fórmula não diminui a proporção de pessoas que sofrem 
sonolência, mas na verdade diminui. 
 
(c) Ao nível de significância de 1%, há evidências de que a nova fórmula provoca sonolência numa 
proporção menor de pacientes do que o medicamento usual? (0,6 pontos) 
Binomial com n=30, p=0,15. 
x Pr 
 
x Pr 
0 0,0076 
 
7 0,0828 
1 0,0404 
 
8 0,0420 
2 0,1034 
 
9 0,0181 
3 0,1703 
 
10 0,0067 
4 0,2028 
 
11 0,0022 
5 0,1861 
 
12 0,0006 
6 0,1368 
 
13 0,0001 
 
A probabilidade de é zero considerando 4 decimais. 
Note que: 
RC 
 0.0076 
} 0.0480 
Como o nível de significância pedido é 1%, então a RC= . Como foi observado x=3 pacientes 
que relataram sonolência e este número não pertence à RC, então não rejeitamos a hipótese nula. 
Desse jeito, a conclusão é que a nova fórmula não diminui a proporção de pacientes que sofrem 
sonolência. 
 
(d) Quais situações abaixo levam você a rejeitar a hipótese nula? Justifique. 
(d1) Use os mesmos valores mas aumente de 0,01 para 0,05. (0,4 pontos) 
Note que 
RC 
 0,0076 
 0,0480 
 0,1514 
Portanto, usando =0,05 tem-se que a RC= . Neste cenário, continuamos não rejeitando a hi-
pótese nula, pois x=3 também não pertence à RC. 
 
(d2) Use a mesma proporção amostral de pacientes com sonolência mas aumente n de 30 para 150 e 
use os dois valores de (0,01 e 0,05). (0,4 pontos) 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2012 
Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) 
Página 2 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae 
 
Binomial com n=150, p=0,15. 
x Pr x Pr x Pr 
0 0,0000 14 0,0132 28 0,0396 
1 0,0000 15 0,0211 29 0,0294 
2 0,0000 16 0,0314 30 0,0209 
3 0,0000 17 0,0436 31 0,0143 
4 0,0000 18 0,0569 32 0,0094 
5 0,0000 19 0,0697 33 0,0059 
6 0,0000 20 0,0806 34 0,0036 
7 0,0000 21 0,0881 35 0,0021 
8 0,0001 22 0,0911 36 0,0012 
9 0,0004 23 0,0895 37 0,0006 
10 0,0009 24 0,0836 38 0,0003 
11 0,0020 25 0,0743 39 0,0002 
12 0,0041 26 0,0631 40 0,0001 
13 0,0076 27 0,0511 
Portanto, 
RC 
 
 
0.0075 
 
0.0151 
 
0.0283 
 
0.0494 
 
0.0808 
 
Se =0,01, então RC= e se =0,05, então RC= . 
Logo, x=15 (i.e., proporção amostral de 10%) pertence à região crítica, se =0,05 e não pertence se 
=0,01. Portanto, ao nível de 1% de significância não rejeitamos a hipótese nula e ao nível de 5% rejeita-
mos. 
 
Exercício 2 
Sabe-se através de experiências passadas que, se uma determinada máquina estiver ajustada, apenas 5% 
dos itens produzidos serão defeituosos. Diariamente são inspecionados os primeiros 25 itens produzidos 
pela máquina. Se o número de itens defeituosos for no máximo 2, a produção continua sem interrupção. 
Caso sejam selecionados 3 ou mais itens defeituosos pára-se a máquina para que ela seja ajustada. 
(a) Formule este problema como um problema de teste de hipóteses especificando as hipóteses nula e 
alternativa. (0,4 pontos) 
Defina p: proporção de itens produzidos que são defeituosos. 
H: p=0,05 e A: p>0,05 
 
(b) Quais são os significados práticos dos erros tipo I e tipo II? (0,6 pontos) 
Erro tipo I: A conclusão seria que a máquina não está ajustada ou seja, parar a produção, mas na 
verdade a máquina está ajustada. 
Erro tipo II: A conclusão seria que a máquina está ajustada,ou seja não parar a produção, mas na 
verdade a máquina não está ajustada. 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2012 
Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) 
Página 3 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae 
(c) Qual é a região crítica do teste? (0,3 pontos) 
RC= . 
 
(d) Qual é o nível de significância do teste? (0,6 pontos) 
Binomial com n=25, p=0,05. 
X Pr 
0 0,2774 
1 0,3650 
2 0,2305 
3 0,0930 
4 0,0269 
5 0,0060 
6 0,0010 
7 0,0001 
 Para os demais valores de x, a probabilidade associado é 0 se for considerado 4 decimais. 
Assim, a RC= tem um nível de significância de 0,1271 (=1-0,2774-0,3650-0,2305). 
 
(e) Se num determinado dia forem observados dois itens defeituosos, qual seria a decisão com base na 
região crítica obtida no item (c)? (0,6 pontos) 
Como x=2 não pertence à RC, então não rejeitamos a hipótese nula. Assim, a conclusão seria que a 
máquina está ajustada. 
 
(f) Usando a região crítica obtida em (c), qual é a probabilidade de continuar a produção sem interrupção 
se a máquina estiver desajustada e a proporção de itens defeituosos for de 20%? E se for de 30%? Essas 
probabilidades são de que tipo de erro? (0,8 pontos) 
Binomial com n=25, p=0,20. 
x Pr 
0 0,0038 
1 0,0236 
2 0,0708 
Neste caso, a probabilidade de a máquina continuar em produção (i.e., não rejeitar a hipótese nula) é 
0,0982 (=0,0038+0,0236+0,0708). 
Para o segundo caso, Binomial com n=25, p=0,30. 
x Pr 
0 0,0001 
1 0,0014 
2 0,0074 
Neste caso, a probabilidade de que a máquina continue em produção (i.e., não rejeitar a hipótese 
nula) é 0,0089 (=0,0001+0,0014+0,0074). 
Ambas probabilidades estão associadas ao Erro tipo II. 
 
Exercício 3 
Em um certo município foi feita uma pesquisa em 1995 e constatou-se que 25% das crianças participavam 
de atividades esportivas nos centros esportivos construídos pela prefeitura. A prefeitura, em 2010, com o 
intuito de verificar se essa participação se alterou realizou uma pesquisa com 40 crianças e constatou-se 
que 16 participavam de atividades esportivas. 
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses, especificando quem é p. (0,4 pon-
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2012 
Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) 
Página 4 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae 
tos) 
Defina p: proporção de crianças que participavam de atividades esportivas nos centros esportivos da 
prefeitura em 2010. 
H: p=0,25 e A: p 0,25 
 
 
(b) Ao nível de significância de 10%, qual é a conclusão? (0,6 pontos) 
Binomial com n=40 e p=0,25. 
x Pr x Pr 
0 0,0000 11 0,1312 
1 0,0001 12 0,1057 
2 0,0009 13 0,0759 
3 0,0037 14 0,0488 
4 0,0113 15 0,0282 
5 0,0272 16 0,0147 
6 0,0530 17 0,0069 
7 0,0857 18 0,0029 
8 0,1179 19 0,0011 
9 0,1397 20 0,0004 
10 0,1444 21 0,0001 
Para os demais valores de x, a probabilidade associada é 0 se for considerado 4 decimais. 
Neste caso, a região crítica é da forma RC= . 
Portanto, P |p=0,25)=0,10 P( p=0.25)=0,05 e P |p=0,25)=0,05. 
Fazendo as contas, tem-se que 
P( p=0,25)=0,0432 e P( p=0,25)=0,0962 . 
P |p=0,25)=0,0263 e P |p=0,25)=0,0545 . 
Desse jeito, RC= . 
Como o valor observado X=16 pertence à RC, então rejeitamos a hipótese nula. Portanto, conclui-se 
que a proporção de crianças que participavam de atividades esportivas nos centros esportivos da 
prefeitura em 2010 não era a mesma que em 1995. 
 
(c) Se a hipótese nula foi rejeitada, estime a proporção de crianças que participam de atividades espor-
tivas em 2010, por meio de um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 90%. (0,3 pon-
tos) 
Note que . Assim, um intervalo de confiança aproximado de 90% para p éExercício 4 
Suponha que você trabalha em uma empresa que produz certo tipo de biscoito. Como as vendas desse bis-
coito vêm caindo nos últimos meses, você decide propor uma mudança na embalagem. Para verificar se os 
consumidores se sentem mais atraídos pela embalagem nova, você planeja selecionar uma amostra de 20 
consumidores e, para cada um, apresentar as duas embalagens e pedir que a pessoa escolha uma. Seja p a 
proporção de consumidores na população que preferem a embalagem nova. 
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses.(0,4 pontos) 
 Defina p: proporção de consumidores que preferem a embalagem nova. 
 H: p=0,5 e A:p 0,5 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2012 
Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) 
Página 5 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae 
 
(b) Qual é o significado dos erros do tipo I e do tipo II para esse problema? (0,5 pontos) 
 Erro tipo I: A conclusão seria que a nova embalagem ajuda a aumentar as vendas do biscoito, mas na 
verdade não ajuda. 
 Erro tipo II: A conclusão seria que a nova embalagem não ajuda a aumentar as vendas do biscoito, 
mas na verdade ajuda. 
 
(c) Qual é a região crítica para um nível de significância de 6%? (0,6 pontos) 
Binomial com n=20 e p=0,5. 
x Pr x Pr 
0 0,0000 11 0,1602 
1 0,0000 12 0,1201 
2 0,0002 13 0,0739 
3 0,0011 14 0,0370 
4 0,0046 15 0,0148 
5 0,0148 16 0,0046 
6 0,0370 17 0,0011 
7 0,0739 18 0,0002 
8 0,1201 19 0,0000 
9 0,1602 20 0,0000 
10 0,1762 
 
 
Assim, 
RC 
 0,0577 
 0,1316 
 
Desse jeito, RC= . 
 
(d) Se 12 dos 20 consumidores entrevistados escolheram a nova embalagem, qual é a conclusão? (0,6 
pontos) 
Como o valor 12 não pertence à RC, então não rejeitamos a hipótese nula. Assim, a conclusão é que a 
nova embalagem não ajuda a aumentar as ventas do novo biscoito. 
 
(e) Se a proporção de consumidores que preferem a embalagem nova for 0,7, qual é a probabilidade de 
você não mudar a embalagem? E se for 0,9? (0,9 pontos) 
Binomial com n=20 e p=0,7 
x Pr x Pr 
6 0.0002 14 0.1916 
7 0.0010 15 0.1789 
8 0.0039 16 0.1304 
9 0.0120 17 0.0716 
10 0.0308 18 0.0278 
11 0.0654 19 0.0068 
12 0.1144 20 0.0008 
13 0.1643 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2012 
Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) 
Página 6 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae 
Para os demais valores de x, a probabilidade associada é 0 se for considerado 4 decimais. 
 Assim, a probabilidade de não mudar a embalagem se p=0,7 é P(X 12)=0,2277. No segundo caso, 
 Binomial com n=20 e p=0,9 
x Pr 
11 0.0001 
12 0.0004 
13 0.002 
14 0.0089 
15 0.0319 
16 0.0898 
17 0.1901 
18 0.2852 
19 0.2702 
20 0.1216 
 
Para os demais valores de x, a probabilidade associada é 0 se for considerado 4 decimais. 
 Assim, probabilidade de não mudar a embalagem se p=0,9 é P(X 12)=0,0005.