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Curso de Fenômenos de Transporte Profa. Mônica F. Naccache E-mail: naccache@puc-rio.br PUC-Rio Capítulo 1: Princípios básicos • Equações de conservação: massa, momentum, energia • Equações constitutivas • Condições de contorno • Objetivo: descrição do movimento de fluidos sob a ação de uma força; transferência de calor por convecção em escoamentos não isotérmicos Hipótese de contínuo • Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas características • Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares • Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc … Fundamentos • Variáveis macroscópicas definidas como uma média da variável a nível molecular • Média no volume: • δ (micro-escala)<<V1/3<<L(macro-escala) € u ≡ w ≡ 1V wdVV∫ Consequências da hipótese de contínuo • Mecanismos de transporte: – Transporte associado ao campo de velocidade macroscópico u – Mecanismo de transporte “molecular”: contribuição de superfície nas eqs. momentum e energia. • Na formulação contínua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular (incertezas) • Incerteza nas condições de contorno Ponto material • Vetor posição do ponto (partícula) material x0: • Propriedade/variável associada a x0: • Derivadas no tempo: – Euleriana (posição fixa) – Lagrangeana (ponto material fixo) • Usando a regra da cadeia: € x = x(x0,t) ≡ x0 + u(τ ,x0)dτ0 t ∫ € B(x0,t) = B x(x0,t),t[ ] € ∂ ∂t ≡ ∂ ∂t x D Dt ≡ ∂ ∂t x0 € DB Dt = ∂B(x0,t) ∂t x 0 = ∂B(x(x0,t), t) ∂t x 0 = ∂B ∂xi ∂xi ∂t x 0 + ∂B ∂t x = ui ∂B ∂xi + ∂B ∂t Derivada em relação ao tempo seguindo o material Derivada material ou convectada • Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um certo número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superfície é zero: • Derivada material ou convectada: € DB Dt = ∂B ∂t + u•∇B € D Dt ρdVVm ( t )∫[ ] = 0 Derivada no tempo da massa total associada a Vm Sm(0), Us=u(x) U(x) n Vm(0) Vm(t) Sm(t) n t expressa a variação com o tempo seguindo uma partícula material • Derivada parcial com relação ao tempo: • Derivada total: € ∂B ∂t ≡ ∂B ∂t z expressa a variação com o tempo, numa posição fixa € DB Dt = ∂B ∂t + v•∇B expressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário Conservação de massa (1) • Balanço de massa num volume de controle arbitrário: • Usando o Teorema da divergência, chega-se a Equação da continuidade: € ∂ρ ∂tV∫ dV taxa de variação de massa em V = − ρu A∫ •ndA fluxo líquido de massa através da fronteira de V =- divu dV∫ € ∂ρ ∂t +∇ • ρu( ) = 0 V A u n Teorema do Transporte de Reynolds • O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-D, quando ambos integrando e limites de integração variam € D Dt B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ δt→0lim 1 δt B t + δt( )dV - B t( )dV Vm ( t )∫Vm ( t+δt )∫[ ] Adicionando e subtraindo o termo: € B t + δt( )dVVm ( t )∫ € D Dt B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ δt→0lim 1 δt B t + δt( )dV - B t + δt( )dV Vm ( t )∫Vm ( t+δt )∫[ ] = lim 1 δt B t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ] + 1 δt B t + δt( )dV Vm ( t )∫ B t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ ∂B ∂t dVVm( t )∫ € D Dt B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] = ∂B ∂t + ∇ • Bu( ) dV Vm ( t )∫ € lim 1 δt B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ] = lim 1 δt B t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ] = B t( )u•nδdAAm ( t )∫ Usando o teorema da divergêngia, chega-se a forma final para o Teorema de Transporte: Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u: € D* Dt* B x,t( )dVV *m ( t )∫[ ] = ∂B ∂t + ∇ • Bu *( ) dV V *m ( t )∫ D* Dt* ≡ ∂ ∂t + u * •∇ Equação de Conservação de Massa (2) • A equação de conservação de massa (continuidade) pode ser também derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte: € D Dt ρdVVm ( t )∫[ ] = ∂ρ ∂t + ∇ • ρu( ) dV Vm ( t )∫ = 0 € ∂ρ ∂t +∇ • ρu( ) = 0 ou Dρ Dt + ρ∇ • u( ) = 0 Casos particulares • Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1) • Obs: a validade da equação acima não implica na incompressibilidade do fluido • Regime permanente: € ∇ •u ≡ div u = 0 € ∇ • ρu ≡ div ρu = 0 Exemplo: • Ache uma expressão para dh/dt Função corrente • Escoamentos 2-D • Ex: fluidos incompressíveis, coord. esféricas € vr = vr r,θ( ) vθ = vθ r,θ( ) vϕ = 0 1 r2 ∂ ∂r r 2vr( ) + 1rsinθ ∂ ∂θ vθ sinθ( ) = 0 ∂ ∂r r 2vr sinθ( ) = − 1rsinθ ∂ ∂θ vθ sinθ( ) vr ≡ 1 r2 sinθ ∂ψ ∂θ vθ ≡ − 1 rsinθ ∂ψ ∂r ⇒ ∂ 2ψ ∂r∂θ = ∂ 2ψ ∂θ∂r Taxa de deformação • A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas Tensor taxa de deformação € Dij = taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = j metade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j D = 12 ∇v( ) + ∇v( ) T[ ] parte simétrica de ∇v( ) ∇v( ) =D+ W W : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( )) Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j € w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei = 1 2 εijk ∂vk ∂z j −εijk ∂v j ∂zk ei = εijk ∂vk ∂z j ei = rot v( ) vetor vorticidade: representação polar de W • A direção de w é a do eixo de rotação do fluido • Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do vetor vorticidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sentido da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra” • Se podemos escrever € w = 0 esc. irrotacional w ≠ 0 esc. rotacional € v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre Tensor Taxa de Deformação: € D = 12 ˙ γ Equação de conservação de momentum • Da Segunda Lei de Newton: • Aplicando num volume material de fluido: € taxa variação quantidade movimento linear num corpo em relação a um ref inercial = soma das forças agindo sobre o corpo € D Dt ρudVVm ( t )∫[ ] = soma das forças agindo em Vm (t) Tipos de força • Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional.• Forças de contato ou de superfície: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t) Segunda Lei de Newton para Vm • Vetor tensão t: força local de superfície por unidade de área • Usando o Teorema do Transporte € D Dt ρdVVm ( t )∫[ ] taxa variação QML em Vm = ρgdV Vm ( t )∫ força gravitacional + tdA Am ( t )∫ força agindo sobre a superfície de Vm € ∂ ρu( ) ∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg dVVm ( t )∫ = tAm ( t )∫ dA Tensor das tensões • Seja l a dimensão característica de Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim: € lim l→0 t Am ( t )∫ dA→ 0 Princípio de equilíbrio da tensão Para a condição acima ser satisfeita, o vetor tensão em x tem que depender também da orientação da superfície que ele age. Usando esta equação e o tetraedro: € t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0 Mas Então: € ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3 € t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0 No limite l →0: € t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ] Tensor das tensões T t(x p ,n) = n•T(x p ) € t Am ( t )∫ dA = n•TAm ( t )∫ dA = ∇ •T( )Vm ( t )∫ dV Então: Equação de momentum linear • A equação de momentum fica então: € ∂ ρu( ) ∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T dVVm ( t )∫ = 0 Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo: € ∂ ρu( ) ∂t +∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T Combinando a eq. acima com a eq. continuidade: € ρ ∂ u( ) ∂t + u•∇ u( ) = ρg + ∇ •T Equação de Cauchy Equação de momento angular • Observando as equações de massa e momentum, vemos que temos mais incógnitas (u, p, T) do que equações • Generalização da Segunda Lei de Newton: € D Dt x × ρu( )dV = soma dos torques agindo sobre VmVm( t )∫ € Taxa de variação de momento angular em Vm € D Dt x × ρu( )dV = x × n•T( ) + r[ ]Am ( t )∫ Torque forças superfície Vm( t ) ∫ dA + x × ρg + ρc[ ]Vm ( t )∫ Torque forças corpo dV Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, c=0). Obs: fluidos ferrosos, c≠0. Aplicando o Teo Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência: € x × ∂ ρu( ) ∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T + ε T dV Vm ( t )∫ = 0 € ε ijk = +1 se (ijk) for permutação par de (123) -1 se (ijk) for permutação ímpar de (123) 0 qualquer outro caso (algum índice igual) Usando a Eq. momentum linear e considerando que Vm é arbitrário, chega-se a ε°T=0, e portanto: T=TT, i.e., o tensor das tensões tem que ser simétrico. Obs: se c≠0, ε°T-ρc=0, e T não é simétrico. Assim: Equação de conservação de energia • u2: velocidade local do meio contínuo • ρe: energia interna (representa en. cinética adicional a nível molecular) • Primeira Lei da Termodinâmica € D Dt ρu 2 2 + ρe dVVm ( t )∫ taxa de variação de energia em Vm = Taxa de trabalho feito sobre Vm pelas foraçs externas + Fluxo de energia interna através das fronteiras de Vm Equação de conservação de energia na forma diferencial € D Dt ρu 2 2 + ρe dVVm ( t )∫ = t(n) •u[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) •u[ ]dV − q•n[ ]dAAm ( t )∫Vm ( t )∫ q: vetor fluxo de calor (cruza a superfície de Vm). Positivo quando calor é transferido a Vm Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: € ρ D Dt u2 2 + e = ρg•u+ ∇ • T•u( ) −∇ •q • Balanço de Energia Mecânica: u•(eq. Cauchy) • Balanço de Energia Térmico: substituindo a eq. acima na Eq. conservação energia € ρ 2 Du2 Dt = ρg( ) •u+ u• ∇ •T( ) € ρ 2 De Dt = T E + ∇ •q( ) € E ≡ 12 ∇u+∇u T( ) ∇u ≡ 12 ∇u+∇u T( ) parte simétrica + 1 2 ∇u−∇u T( ) parte anti-simétrica = E + W E:Tensor taxa de deformação Ω: Tensor vorticidade Análise da contribuição dos termos no balanço de energia, usando os balanços de energia mecânica e térmico • T º E: contribuição para a energia interna pela presença de movimento - representa a conversão de en. cinética (Ec) em en. Interna (EI): dissipação de Ec em EI (geração de calor) • Taxa de trabalho devido às forças de corpo e de superfície: contribuem diretamente na Ec, mas só alteram a EI através da dissipação • Fluxo de calor contribui diretamente na variação da EI • Usando a entalpia específica: h≡e+p/ρ o balanço de energia térmico fica: • Novas incógnitas: e (ou h), q • Relações entre e (ou h) e θ e p podem ser obtidas assumindo o equilíbrio termodinâmico: € ρ 2 Dh Dt = T E − ∇ •q( ) + Dp Dt + p∇ •u € dh = CPdθ + 1 ρ −θ ∂ 1/ ρ( ) ∂θ p dp ⇒ Dh Dt = CP Dθ Dt + 1 ρ −θ ∂ 1/ ρ( ) ∂θ p Dp Dt Equação de energia em termos da temperatura • A equação de balanço de energia térmico fica: € ρCp Dθ Dt = T E + p∇ •udissipação viscosa − ∇ •q( ) − θ ρ ∂ρ ∂θ p Dp Dt trabalho de compressão ≈ 0 Segunda Lei da Termodinâmica • Princípio da desigualdade de entropia € D Dt ρs( )Vm ( t )∫ dV + n•q θAm ( t ) ∫ dA ≥ 0 Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: € ρ Ds Dt + ∇ • q θ ≥ 0 Usando relações termodinâmicas, chega-se a: € 1 θ T E + p∇ •u( ) − q•∇θ θ 2 ≥ 0 Comentários • A solução de problemas de mecânica dos fluidos é obtida com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia • A equação de mometo angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações constitutivas para T e q • Incógnitas: u (3), T (9), q (3), θ e p (total:17) • Equações: Conservação de massa (1), momento linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas Tij para 6). • Temos então 14 incógnitas e 5 equações ⇒Equações constitutivas para T e q Equações constitutivas • Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio contínuo • Equações constitutivas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/temperatura) Princípios que devem ser satisfeitos • Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu • Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma partícula não influencia a tensão nesta partícula • Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações constitutivas) têm que ser indiferentes ao referencial Tensor das tensões para o fluido estático • Considerando o fluido isotérico e estacionário (u=0), a equação momentum fornece: • A única força desuperfície é a devida a pressão termodinâmica, e age na direção normal a superfície: t(n)=-np⇒T=-pI • A equação de estática de fluidos é então obtida: € ∇ •T+ ρg = 0 € ρg −∇p = 0 Equação constitutiva para q: Lei de Fourier • A equação foi proposta a partir da observação de que • A equação é linear em • A equação satisfaz ao princípio de objetividade (indiferença ao referencial) • Processo de troca de calor é considerado instantâneo • Fluido é considerado homogêneo • A equação proposta foi validada experimentalmente € q = − K Tensor condutividade térmica, > 0 •∇θ € ∇θ € q = q ∇θ ,derivadas de θ de maior ordem( ) Lei de Fourier de condução de calor • Para um fluido isotrópico, i.e., fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI): • A Segunda Lei impõe que k>0 € q = −k∇θ Lei de Fourier E: parte simétrica de Equação constitutiva para o tensor das tensões - Fluido Newtoniano € T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( ) τ: tensão desviadora Considerando que τ satisfaz ao princípio de objetividade, é simétrico e depende apenas da história do movimento: € τ = τ E,...( ) € ∇u : 12 ∇u−∇u T( )Ω: parte anti-simétrica de € ∇u : 12 ∇u+∇u T( ) Significado físico de E e Ω • Considere P e Q dois pontos materiais. Usando série de Taylor: € u+ δu = u+ E +Ω( ) •δx +O δx 2( ) δu = E•δx +Ω •δx +O δx 2( ) δx = δx •δx( )1/ 2 δu = D δx( )Dt δx •δu = δx • E•δx +Ω •δx +O δx 2( )[ ] δx •Ω •δx = 0 ⇒ 1 2 D Dt δx 2( ) = δx •E•δx +O δx 2( ) Vel de Q relativa a P: A taxa de variação da distância entre P e Q depende de E E: tensor taxa de defirmação • A contribuição de Ω em δu é a mesma que o deslocamento devido a uma rotação de corpo rígido com velocidade angular ω/2, sendo ω=ε°Ω • Ω representa a taxa de rotação (corpo-rígido) • O vetor é o vetor vorticidade • Hipótese: tensão τ indiferente ao referencial, depende linearmente de E, fluido homogêneo. Então: € ω ,Ωu =ω ×u € τ =A E Aijkl = A jikl Equação constitutiva para Fluidos Newtonianos • Pode-se mostrar (usando análise tensorial) que a forma mais geral para A é: • Como A tem que satisfazer a condição de simetria, ν=0. Assim, a forma mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é: € Aijpq = λδ ijδ pq + µ δ ipδ jq + δ iqδ jp( ) + ν δ ipδ jq −δ iqδ jp( ) δ ij = 1 se i = j 0 se i ≠ j i, j =1,2,3 € T = −p + λtrE( )I+ 2µE Equação Constitutiva para Fluidos Newtonianos • Se o fluido for também incompressível: • A equação constitutiva é satisfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares • Observa-se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é satisfeita por T e q • A Segunda Lei é satisfeita se: € trE =∇ •u = 0 T = −pI+ 2µE € λ + 2 3µ viscosidade de bulk ≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0
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