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Curso de Fenômenos de 
Transporte 
Profa. Mônica F. Naccache 
E-mail: naccache@puc-rio.br 
PUC-Rio 
Capítulo 1: Princípios básicos 
•  Equações de conservação: massa, 
momentum, energia 
•  Equações constitutivas 
•  Condições de contorno 
•  Objetivo: descrição do movimento de 
fluidos sob a ação de uma força; 
transferência de calor por convecção 
em escoamentos não isotérmicos 
Hipótese de contínuo 
•  Fluido é modelado como sendo infinitamente 
divisível, sem mudança de suas 
características 
•  Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) 
e variáveis (p, v, T, …) são definidas num 
ponto como o limite da média da grandeza 
nas flutuações moleculares 
•  Estudo do movimento a nível macroscópico 
(p. ex.: escoamento em tubos, em volta de 
corpos, etc … 
Fundamentos 
•  Variáveis macroscópicas definidas como 
uma média da variável a nível molecular 
•  Média no volume: 
•  δ (micro-escala)<<V1/3<<L(macro-escala) 
€ 
u ≡ w ≡ 1V wdVV∫
Consequências da hipótese 
de contínuo 
•  Mecanismos de transporte: 
–  Transporte associado ao campo de velocidade 
macroscópico u 
–  Mecanismo de transporte “molecular”: 
contribuição de superfície nas eqs. momentum e 
energia. 
•  Na formulação contínua, são necessários 
modelos para descrever o fluxo de 
momentum e calor a nível molecular 
(incertezas) 
•  Incerteza nas condições de contorno 
Ponto material 
•  Vetor posição do ponto (partícula) material x0: 
•  Propriedade/variável associada a x0: 
•  Derivadas no tempo: 
–  Euleriana (posição fixa) 
–  Lagrangeana (ponto material fixo) 
•  Usando a regra da cadeia: 
€ 
x = x(x0,t) ≡ x0 + u(τ ,x0)dτ0
t
∫
€ 
B(x0,t) = B x(x0,t),t[ ]
€ 
∂
∂t ≡
∂
∂t
 
 
 
 
 
 
x
D
Dt ≡
∂
∂t
 
 
 
 
 
 
x0
€ 
DB
Dt =
∂B(x0,t)
∂t
 
 
 
 
 
 
x 0
=
∂B(x(x0,t), t)
∂t
 
 
 
 
 
 
x 0
=
∂B
∂xi
∂xi
∂t
 
 
 
 
 
 
x 0
+
∂B
∂t
 
 
 
 
 
 
x
= ui
∂B
∂xi
+
∂B
∂t
Derivada em relação ao tempo seguindo o material 
Derivada material ou convectada 
•  Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um 
certo número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move 
e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos 
os pontos na sua superfície é zero: 
•  Derivada material ou convectada: 
€ 
DB
Dt =
∂B
∂t + u•∇B
€ 
D
Dt ρdVVm ( t )∫[ ] = 0
Derivada no tempo 
da massa total 
associada a Vm 
Sm(0), Us=u(x) 
U(x) 
n 
Vm(0) 
Vm(t) 
Sm(t) 
n 
t 
expressa a variação com o 
tempo seguindo uma partícula 
material 
•  Derivada parcial com relação ao tempo: 
•  Derivada total: 
€ 
∂B
∂t ≡
∂B
∂t
 
 
 
 
 
 
z
expressa a variação com o 
tempo, numa posição fixa 
€ 
DB
Dt =
∂B
∂t + v•∇B
expressa a variação com o 
tempo em relação a um “material” 
arbitrário 
Conservação de massa (1) 
•  Balanço de massa num volume de 
controle arbitrário: 
•  Usando o Teorema da divergência, 
chega-se a Equação da continuidade: 
 
€ 
∂ρ
∂tV∫ dV
taxa de variação de massa em V
     
= − ρu
A∫ •ndA
fluxo líquido de massa através da fronteira de V
=- divu dV∫
       
€ 
∂ρ
∂t +∇ • ρu( ) = 0
V 
A 
u 
n 
Teorema do Transporte de Reynolds 
•  O teorema do transporte é uma generalização da Regra 
de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-D, 
quando ambos integrando e limites de integração variam 
€ 
D
Dt B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ δt→0lim
1
δt B t + δt( )dV - B t( )dV Vm ( t )∫Vm ( t+δt )∫[ ]
 
 
 
 
 
 
Adicionando e subtraindo o termo: 
€ 
B t + δt( )dVVm ( t )∫
 
€ 
D
Dt B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ δt→0lim
1
δt B t + δt( )dV - B t + δt( )dV Vm ( t )∫Vm ( t+δt )∫[ ]
= lim 1
δt B t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]
 
  
 
  
                 
+
1
δt B t + δt( )dV Vm ( t )∫ B t( )dVVm ( t )∫[ ]
≡
∂B
∂t dVVm( t )∫
               
€ 
D
Dt B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =
∂B
∂t + ∇ • Bu( )
 
  
 
  
dV
Vm ( t )∫
€ 
lim 1
δt B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]
 
  
 
  
= lim 1
δt B t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]
 
  
 
  
= B t( )u•nδdAAm ( t )∫
Usando o teorema da divergêngia, chega-se a forma final para 
o Teorema de Transporte: 
Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, 
diferente da velocidade do fluido u: 
€ 
D*
Dt* B x,t( )dVV *m ( t )∫[ ] =
∂B
∂t + ∇ • Bu
*( )   
 
  
dV
V *m ( t )∫
D*
Dt* ≡
∂
∂t + u
* •∇
Equação de Conservação de Massa (2) 
•  A equação de conservação de massa 
(continuidade) pode ser também 
derivada usando o conceito de volume 
material e o Teorema de Transporte: 
€ 
D
Dt ρdVVm ( t )∫[ ] =
∂ρ
∂t + ∇ • ρu( )
 
  
 
  
dV
Vm ( t )∫ = 0
€ 
∂ρ
∂t +∇ • ρu( ) = 0 ou 
Dρ
Dt + ρ∇ • u( ) = 0 
Casos particulares 
•  Densidade constante (fluido real: 
ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa 
hipótese quando M=|u|/usom<<1) 
•  Obs: a validade da equação acima não 
implica na incompressibilidade do fluido 
•  Regime permanente: € 
∇ •u ≡ div u = 0
€ 
∇ • ρu ≡ div ρu = 0
Exemplo: 
•  Ache uma expressão para dh/dt 
Função corrente 
•  Escoamentos 2-D 
•  Ex: fluidos incompressíveis, coord. 
esféricas 
€ 
vr = vr r,θ( ) vθ = vθ r,θ( ) vϕ = 0
1
r2
∂
∂r r
2vr( ) + 1rsinθ
∂
∂θ
vθ sinθ( ) = 0
∂
∂r r
2vr sinθ( ) = − 1rsinθ
∂
∂θ
vθ sinθ( )
vr ≡
1
r2 sinθ
∂ψ
∂θ
vθ ≡ −
1
rsinθ
∂ψ
∂r ⇒
∂ 2ψ
∂r∂θ =
∂ 2ψ
∂θ∂r
Taxa de deformação 
•  A taxa de deformação no ponto de 
interseção de 2 curvas materiais é 
descrita pela taxa instântanea de 
variação do comprimento das curvas e 
pela taxa de variação do ângulo entre 
elas 
Tensor taxa de deformação 
€ 
Dij =
taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = j
metade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j
 
 
 
D = 12 ∇v( ) + ∇v( )
T[ ] parte simétrica de ∇v( )
∇v( ) =D+ W
W : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))
Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da 
 mão direita, em torno da direção k de elementos 
 materiais instantâneamente alinhados com i e j 
€ 
w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =
1
2 εijk
∂vk
∂z j
−εijk
∂v j
∂zk
 
 
  
 
 
  ei = εijk
∂vk
∂z j
ei = rot v( )
vetor vorticidade: 
representação polar de W 
•  A direção de w é a do eixo de rotação do fluido 
•  Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do 
vetor vorticidade em qualquer direção é a soma das 
taxas de rotação (no sentido da regra da mão direita) 
sobre a direção dos elementos em quaisquer 
direções perpendiculares a ela e a cada uma outra” 
•  Se podemos escrever 
€ 
w = 0 esc. irrotacional
w ≠ 0 esc. rotacional
€ 
v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre
Tensor Taxa de Deformação: 
€ 
D = 12 ˙ γ 
Equação de conservação de 
momentum 
•  Da Segunda Lei de Newton: 
•  Aplicando num volume material de fluido: € 
taxa variação quantidade
movimento linear num corpo
em relação a um ref inercial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
soma das forças
agindo sobre o
corpo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
€ 
D
Dt ρudVVm ( t )∫[ ] =
soma das forças
agindo em Vm (t)
 
 
 
 
 
 
Tipos de força 
•  Forças de corpo: associadas a presença 
de campos externos (Ex.: força 
gravitacional). Neste curso só iremos 
considerar o efeito da força gravitacional.•  Forças de contato ou de superfície: forças 
do material fora de Vm(t) sobre Vm(t) 
Segunda Lei de Newton para Vm 
•  Vetor tensão t: força local de superfície 
por unidade de área 
•  Usando o Teorema do Transporte 
 
€ 
D
Dt ρdVVm ( t )∫[ ]
taxa variação QML em Vm
       
= ρgdV
Vm ( t )∫
força gravitacional
     
+ tdA
Am ( t )∫
força agindo sobre a superfície de Vm
     
€ 
∂ ρu( )
∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg
 
 
 
 
 
 dVVm ( t )∫ = tAm ( t )∫ dA
Tensor das tensões 
•  Seja l a dimensão característica 
de Vm. Quando l →0, a integral 
de volume vai a zero mais 
rapidamente do que a integral de 
área do vetor tensão. Assim: 
€ 
lim
l→0
t
Am ( t )∫ dA→ 0
Princípio de equilíbrio 
da tensão 
Para a condição acima ser satisfeita, o vetor tensão em x 
tem que depender também da orientação da superfície que 
ele age. Usando esta equação e o tetraedro: 
€ 
t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0
Mas 
Então: 
€ 
ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3
€ 
t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0
No limite l →0: 
 
€ 
t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]
Tensor das tensões T
             
t(x p ,n) = n•T(x p )
€ 
t
Am ( t )∫ dA = n•TAm ( t )∫ dA = ∇ •T( )Vm ( t )∫ dV
Então: 
Equação de momentum linear 
•  A equação de momentum fica então: 
€ 
∂ ρu( )
∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T
 
 
 
 
 
 dVVm ( t )∫ = 0
Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo: 
€ 
∂ ρu( )
∂t +∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T
Combinando a eq. acima com a eq. continuidade: 
€ 
ρ
∂ u( )
∂t + u•∇ u( )
 
 
 
 
 
 = ρg + ∇ •T Equação de Cauchy 
Equação de momento angular 
•  Observando as equações de massa e 
momentum, vemos que temos mais 
incógnitas (u, p, T) do que equações 
•  Generalização da Segunda Lei de 
Newton: 
€ 
D
Dt x × ρu( )dV = soma dos torques agindo sobre VmVm( t )∫
 
€ 
 
Taxa de variação de momento 
angular em Vm
         
 
€ 
D
Dt x × ρu( )dV = x × n•T( ) + r[ ]Am ( t )∫
Torque forças superfície
         Vm( t )
∫ dA + x × ρg + ρc[ ]Vm ( t )∫
Torque forças corpo
         
dV
Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, 
c=0). Obs: fluidos ferrosos, c≠0. Aplicando o Teo 
Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência: 
 
€ 
x × ∂ ρu( )
∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T
 
 
 
 
 
 + ε T
 
 
 
 
 
 
dV
Vm ( t )∫ = 0
€ 
ε ijk =
+1 se (ijk) for permutação par de (123)
-1 se (ijk) for permutação ímpar de (123)
0 qualquer outro caso (algum índice igual) 
 
 
 
 
 
Usando a Eq. momentum linear e considerando que Vm é 
arbitrário, chega-se a ε°T=0, e portanto: T=TT, i.e., o 
tensor das tensões tem que ser simétrico. 
Obs: se c≠0, ε°T-ρc=0, e T não é simétrico. 
Assim: 
Equação de conservação de energia 
•  u2: velocidade local do meio contínuo 
•  ρe: energia interna (representa en. 
cinética adicional a nível molecular) 
•  Primeira Lei da Termodinâmica 
 
€ 
D
Dt
ρu
2
2
+ ρe
 
 
 
 
 
 dVVm ( t )∫
taxa de variação de energia em Vm
           
=
Taxa de trabalho
feito sobre Vm pelas 
foraçs externas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
Fluxo de energia 
interna através das
fronteiras de Vm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de conservação de 
energia na forma diferencial 
€ 
D
Dt
ρu
2
2
+ ρe
 
 
 
 
 
 dVVm ( t )∫ = t(n) •u[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) •u[ ]dV − q•n[ ]dAAm ( t )∫Vm ( t )∫
q: vetor fluxo de calor (cruza a superfície de Vm). 
Positivo quando calor é transferido a Vm 
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: 
€ 
ρ
D
Dt
u2
2 + e
 
 
 
 
 
 = ρg•u+ ∇ • T•u( ) −∇ •q
•  Balanço de Energia Mecânica: u•(eq. Cauchy) 
•  Balanço de Energia Térmico: substituindo a eq. 
acima na Eq. conservação energia 
€ 
ρ
2
Du2
Dt = ρg( ) •u+ u• ∇ •T( )
 
€ 
ρ
2
De
Dt = T E + ∇ •q( )
 
€ 
E ≡ 12 ∇u+∇u
T( )
∇u ≡ 12 ∇u+∇u
T( )
parte simétrica
       
+
1
2 ∇u−∇u
T( )
parte anti-simétrica
       
= E + W
E:Tensor taxa de deformação 
Ω: Tensor vorticidade 
Análise da contribuição dos termos no 
balanço de energia, usando os balanços 
de energia mecânica e térmico 
•  T º E: contribuição para a energia interna pela 
presença de movimento - representa a 
conversão de en. cinética (Ec) em en. Interna 
(EI): dissipação de Ec em EI (geração de calor) 
•  Taxa de trabalho devido às forças de corpo e de 
superfície: contribuem diretamente na Ec, mas 
só alteram a EI através da dissipação 
•  Fluxo de calor contribui diretamente na variação 
da EI 
•  Usando a entalpia específica: h≡e+p/ρ o 
balanço de energia térmico fica: 
•  Novas incógnitas: e (ou h), q 
•  Relações entre e (ou h) e θ e p podem ser 
obtidas assumindo o equilíbrio termodinâmico: 
 
€ 
ρ
2
Dh
Dt = T E − ∇ •q( ) +
Dp
Dt + p∇ •u
€ 
dh = CPdθ +
1
ρ
−θ
∂ 1/ ρ( )
∂θ
 
 
 
 
 
 
p
 
 
 
  
 
 
 
  
dp
⇒
Dh
Dt = CP
Dθ
Dt +
1
ρ
−θ
∂ 1/ ρ( )
∂θ
 
 
 
 
 
 
p
 
 
 
  
 
 
 
  
Dp
Dt
Equação de energia em termos da 
temperatura 
•  A equação de balanço de energia 
térmico fica: 
 
€ 
ρCp
Dθ
Dt = T E + p∇ •udissipação viscosa       
− ∇ •q( ) − θ
ρ
∂ρ
∂θ
 
 
 
 
 
 
p
Dp
Dt
trabalho de compressão ≈ 0
     
Segunda Lei da 
Termodinâmica 
•  Princípio da desigualdade de entropia 
€ 
D
Dt ρs( )Vm ( t )∫ dV +
n•q
θAm ( t )
∫ dA ≥ 0
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: 
€ 
ρ
Ds
Dt + ∇ •
q
θ
 
 
 
 
 
 ≥ 0
Usando relações termodinâmicas, chega-se a: 
 
€ 
1
θ
T E + p∇ •u( ) − q•∇θ
θ 2
≥ 0
Comentários 
•  A solução de problemas de mecânica dos fluidos 
é obtida com a solução das equações de 
conservação de massa, momento linear e 
energia 
•  A equação de mometo angular e a Segunda Lei 
aparecem apenas indiretamente, como restrições 
às equações constitutivas para T e q 
•  Incógnitas: u (3), T (9), q (3), θ e p (total:17) 
•  Equações: Conservação de massa (1), momento 
linear (3), energia (1) e momento angular (reduz 
as 9 incógnitas Tij para 6). 
•  Temos então 14 incógnitas e 5 equações 
⇒Equações constitutivas para T e q 
Equações constitutivas 
•  Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura 
molecular definida, e não são indivisíveis e 
homogêneos como quando assumidos como 
meio contínuo 
•  Equações constitutivas são relações entre T e 
q (representam processos de transporte 
molecular) e os campos (macroscópicos) de 
velocidade e temperatura. Em outras palavras, 
elas vão fornecer a relação entre a resposta de 
um material a uma dada solicitação (campo de 
escoamento/temperatura) 
Princípios que devem ser satisfeitos 
•  Determinismo: A tensão em um corpo é 
determinada pela história do movimento que 
o corpo descreveu 
•  Ação local: O movimento do material for a de 
uma vizinhança arbitrariamente pequena em 
torno de uma partícula não influencia a 
tensão nesta partícula 
•  Indiferença ao referencial: As descrições do 
comportamento do material (relações 
constitutivas) têm que ser indiferentes ao 
referencial 
Tensor das tensões para o fluido 
estático 
•  Considerando o fluido isotérico e 
estacionário (u=0), a equação momentum 
fornece: 
•  A única força desuperfície é a devida a 
pressão termodinâmica, e age na direção 
normal a superfície: t(n)=-np⇒T=-pI 
•  A equação de estática de fluidos é então 
obtida: 
€ 
∇ •T+ ρg = 0
€ 
ρg −∇p = 0
Equação constitutiva para q: Lei 
de Fourier 
•  A equação foi proposta a partir da 
observação de que 
•  A equação é linear em 
•  A equação satisfaz ao princípio de 
objetividade (indiferença ao referencial) 
•  Processo de troca de calor é considerado 
instantâneo 
•  Fluido é considerado homogêneo 
•  A equação proposta foi validada 
experimentalmente 
 
€ 
q = − K
Tensor 
condutividade
térmica, > 0
 •∇θ
€ 
∇θ
€ 
q = q ∇θ ,derivadas de θ de maior ordem( )
Lei de Fourier de condução de calor 
•  Para um fluido isotrópico, i.e., fluxo de 
calor depende da magnitude do 
gradiente de temperatura e não da sua 
orientação (K=kI): 
•  A Segunda Lei impõe que k>0 
€ 
q = −k∇θ Lei de Fourier 
E: parte simétrica de 
Equação constitutiva para o tensor 
das tensões - Fluido Newtoniano 
€ 
T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )
τ: tensão desviadora 
Considerando que τ satisfaz ao princípio de objetividade, 
é simétrico e depende apenas da história do movimento: 
€ 
τ = τ E,...( )
€ 
∇u : 12 ∇u−∇u
T( )Ω: parte anti-simétrica de 
€ 
∇u : 12 ∇u+∇u
T( )
Significado físico de E e Ω 
•  Considere P e Q dois pontos materiais. 
Usando série de Taylor: 
€ 
u+ δu = u+ E +Ω( ) •δx +O δx 2( )
δu = E•δx +Ω •δx +O δx 2( )
δx = δx •δx( )1/ 2 δu = D δx( )Dt
δx •δu = δx • E•δx +Ω •δx +O δx 2( )[ ]
δx •Ω •δx = 0
⇒
1
2
D
Dt δx
2( ) = δx •E•δx +O δx 2( )
Vel de Q relativa a P: 
A taxa de variação da distância entre P e Q depende de E 
E: tensor taxa de defirmação 
•  A contribuição de Ω em δu é a mesma que o 
deslocamento devido a uma rotação de corpo 
rígido com velocidade angular ω/2, sendo 
ω=ε°Ω 
•  Ω representa a taxa de rotação (corpo-rígido) 
•  O vetor é o vetor vorticidade 
•  Hipótese: tensão τ indiferente ao referencial, 
depende linearmente de E, fluido 
homogêneo. Então: 
€ 
ω ,Ωu =ω ×u
 
€ 
τ =A E
Aijkl = A jikl
Equação constitutiva para Fluidos 
Newtonianos 
•  Pode-se mostrar (usando análise tensorial) 
que a forma mais geral para A é: 
•  Como A tem que satisfazer a condição de 
simetria, ν=0. Assim, a forma mais geral para 
T, consistente com as hipóteses anteriores é: 
€ 
Aijpq = λδ ijδ pq + µ δ ipδ jq + δ iqδ jp( ) + ν δ ipδ jq −δ iqδ jp( )
δ ij =
1 se i = j
0 se i ≠ j
 
 
 
 i, j =1,2,3
€ 
T = −p + λtrE( )I+ 2µE
Equação Constitutiva para Fluidos Newtonianos 
•  Se o fluido for também incompressível: 
•  A equação constitutiva é satisfeita pela 
maioria dos gases e líquidos com baixos e 
moderados pesos moleculares 
•  Observa-se que a restrição imposta pelo 
balanço de momento angular é satisfeita por 
T e q 
•  A Segunda Lei é satisfeita se: 
€ 
trE =∇ •u = 0
T = −pI+ 2µE
 
€ 
λ +
2
3µ
 
 
 
 
 
 
viscosidade de bulk
     
≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0

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