G1_2012-2_Gabarito

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PUC-RIO – CB-CTC 
 
G1 DE MECÂNICA NEWTONIANA B – 03.09.2012 
 
Nome :_____________________________________________________________ 
 
Assinatura: _________________________________________________________ 
 
Matrícula:_____________________________________Turma:_______________ 
 
 
 
NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS 
E CÁLCULOS EXPLÍCITOS. 
 
 
Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas. 
 
 
A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta. 
 
É permitido o uso de calculadoras científicas simples. Não é permitido o uso de 
calculadoras gráficas ou celulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Constantes físicas : g = 9.80 m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
Questão Valor Grau Revisão 
1a Questão 3,0 
2a Questão 3,5 
3a Questão 3,5 
Total 10,0 
 
G1 DE FIS1026 – 03/09/2012 
 
Nome: ______________________________________________ 
 
1a Questão: (3,0 pontos) 
Observe a figura e leia atentamente o texto: 
 
No instante t = 0 s, um carro, dirigido por Bruno (B), se 
encontra na esquina de um cruzamento enquanto que outro 
carro, dirigido por Ângela (A), está em uma rua a 10 m da 
esquina. Bruno viaja para Norte (eixo y) enquanto Ângela 
viaja para o Leste (eixo x). Em relação ao solo, as 
velocidades de Ângela (v!")  e Bruno (v!")  são constantes 
e têm mesmo módulo de 10 m/s. 
 
a) Escreva o vetor velocidade de Ângela em relação a Bruno v!". 
b) Encontre o vetor posição de Ângela em relação a Bruno !!", em função do 
tempo. 
c) Qual é a aceleração relativa de Ângela em relação a Bruno? 
 
2a Questão: (3,5 pontos) 
 
Esta questão consta de duas partes independentes 
 
Parte A 
 
Um bloco de peso 80 N está deslizando para baixo em um plano inclinado de 30° com 
a horizontal. Existe atrito entre o bloco e o plano. A aceleração do bloco é de 
0,80 m/s2 dirigida para cima ao longo do plano. 
 
a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o bloco durante a descida. 
 
b) Calcule o valor do coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano. 
 
Parte B 
 
Um bonde antigo, trafegando a 20 km/h, faz uma curva (plana) à direita com 10 m de 
raio. Neste bonde, existem alças de mão fixas ao teto, com liberdade para inclinar-se 
em qualquer direção. 
 
c) Vistas por algum passageiro no fundo do bonde, em que direção as alças de mão 
se inclinam quando o bonde faz a curva? Justifique. 
 
d) Qual é o ângulo que as alças de mão fazem com a vertical? 
 
 
 
3aQuestão: (3,5 pontos) 
Considere o mecanismo apresentado na figura, onde o bloco 1 está apoiado em uma 
superfície sem atrito e o bloco 2 está sustentado por uma polia móvel sem massa 
(corpo 3 na figura). A polia fixa é ideal. O fio A (ideal) conecta o bloco 1 à polia 
móvel e está fixo ao teto. O fio B (ideal) sustenta o bloco 2 à polia 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste mecanismo, devido ao vínculo existente entre o fio A e a polia móvel, o módulo 
da aceleração do bloco 1, a1 é o dobro do módulo da aceleração do bloco 2, a2. 
 
As massas dos blocos são m1 = 1,0 kg e m2 = 0,90 kg. A massa da polia móvel 
m3 = 0 kg. Use g = 9,8 m/s2. 
 
a) Represente os diagramas de corpo livre para os blocos 1 e 2 e para a polia móvel 
3, explicitando todas as forças que atuam neles. 
 
b) Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo (explicite-os!) e 
escreva as equações literais (não substitua ainda os valores das massas ou g!) 
resultantes das leis de Newton para os três corpos. 
 
c) A partir das equações do item (b) obtenha literalmente a1 e então substitua os 
valores fornecidos para encontrar o valor numérico do módulo de a1. 
 
d) Obtenha o módulo da tração exercida pelo fio B sobre o bloco 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fio A 
fio B 
fio A 
3 
fio A 
GABARITO 
 
1a Questão 
(a) [1,0] Pela lei de transformação de velocidades temos que: v!" = v!"+ v!". 
São dados v!" = (10!) m/s e v!" = (10!) m/s => v!" = (−10!) m/s, portanto, v!" = (10! − 10!)  m/s  ) 
 
(b) [1,0] Como v!" é constante, temos r!" = r!" 0 +    v!"  !  . 
As posições iniciais foram dadas r!" 0 = (10!)  m  e r!" 0 = 0  portanto 
 r!" 0 = (10!)  m. Assim: r!" =   10+ 10! ! − (10!)! [m,s] 
 
(c) [1.0] Como v!" é constante, a!" =  0 . 
 
2a Questão 
(a) [1,0] 
 
 
 
 
 
 
Escolhemos o eixo x paralelo ao plano inclinado e o sentido positivo no sentido do 
movimento, e o eixo y paralelo ao vetor da força Normal e sentido positivo no mesmo 
sentido da normal. 
(b) [1,0] A segunda lei de Newton neste caso fica: ! +  ! + !!" = !! 
Por componentes: 
Px + Fat x = max e Py + Ny = may, porém ay = 0 e ax = -a (no sistema de eixos 
escolhido). Entao 
P sen30o - µ N = - ma e N – P cos30o = 0  N = P cos30o 
 P sen30o – µ P cos30o = - ma  µ g cos30o = g sen30o + a  
µ = tan 30o + a/(g cos30o ) = 0,577 + 0,8/(9,8*0,866)  µ = 0,671 
 
(c) [0,5] As alças de mão se inclinam para a esquerda. A justificativa é a seguinte: 
pela primeira lei de Newton quando o bonde entra na curva a tendência da alça é 
continuar seu movimento original, e então ele segue na direção da tangente à curva. 
Porém, uma vez que a alça sai da vertical, a soma das forças peso e tensão ao longo 
da alça deve ser condizente com o movimento circular uniforme, pois a alça está presa 
ao bonde e a tensão na alça força a mesma a fazer o movimento circular. Assim, as 
soma do peso e a tensão deve produzir um vetor resultante que aponta para o centro 
da circunferência. Para que isto seja possível, a alça deve apontar sempre no sentido 
contrário ao centro da curva, de tal forma a tensão nela tenha uma componente 
dirigida para o centro. Para quem esta sentado no fundo do bonde, acompanhando a 
curva, a alça esta sempre apontando no sentido contrário ao centro da curva. Assim, 
para este observador, a alça está inclinada sempre para a esquerda. A resposta 
esquerda vale 0,2. A justificativa vale 0,3. 
(d) [1,0] A figura mostra o diagrama de corpo livre para a alça. Neste caso, o eixo 
radial é escolhido com o sentido positivo apontado para o centro da circunferência e o 
eixo y é a vertical. A tensão T esta a longo da alça. Assim, o ângulo procurado é o 
ângulo do vetor T com o eixo y. 
A segunda lei de Newton neste caso fica: ! +  ! = !! 
Eixo y: Tcos θ – P = 0 
Eixo r: T sen θ = m ac = mv2/R 
Divindo a equação do eixo r com a do eixo y temos: 
tan θ = mv2/mgR  tan θ = v2/gR. Neste caso 
v = 20 km/h= 5,5 m/s. 
Então: tan θ = (5,5)2/ (9,8*10) = 0,308  θ = 17,1° 
 
 
3a Questão 
 
a) [0,6] 
 
 
 
 
b) [0,9] O bloco 1 só tem movimento para a direita, enquanto o bloco 2 e a polia tem 
movimento vertical para baixo. Assim, pelo acoplamento dos dois movimentos, 
vamos definir para o bloco 1 o eixo x positivo para a esquerda e para o bloco 2 e 
polia, definimos o eixo y positivo para baixo. 
Para o corpo 1: 
Σ Fx1 = T1 = m1.a1 (1); ΣFy1 = N1 – P1 = 0 (2) [não será importante aqui] 
Para o corpo 2: 
ΣFy2 = P2 – T2 = m2.a2 (3) 
Para a polia móvel: 
ΣFy3 = T2 – T1’ – T1’ = m3.a3 = 0 (4) 
c) [1,0] Foi dado que a1 = 2a2 (equação de vínculo) (5) 
Por outro lado, como as polias são não massivas e o fio 1 inextensível, o módulo de 
T1 é igual ao módulo de T1’ => T1 = T1’ (6). Usando estas informações, ficamos 
com as seguintes equações: 
T1 = m1.a1 (A) ; T2 – 2T1 = 0 (B) ; m2g – T2 = m2 (a1/2) (C) 
Se somamos 2(A) + (B) + C temos: m2g = 2 m1.a1 + ½ m2.a1 
=> a1 = g. (2m2)/(4m1+m2) = 9,8.(2.0,9)/(4+0,9) => a1 = 3,6 m/s2 
d) [1,0] Da equação (3) => T2 = m2 (g – a2). Temos: a2 = a1/2 = 1,8 m/s2. Daí: 
T2 = 0,9 . (9,8 – 1,8) => T2 = 7,2N 
 
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