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p1_2012.1+GAB

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PUC-RIO – CB-CTC 
 
 G1 DE MECÂNICA NEWTONIANA B – 26.03.2012 
 
Nome :_____________________________________________________________ 
 
Assinatura: _________________________________________________________ 
 
Matrícula:_____________________________________Turma:_______________ 
 
 
 
 NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS 
E CÁLCULOS EXPLÍCITOS. 
 
 
 Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas. 
 
 
 A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta. 
 
 É permitido o uso de calculadoras científicas simples. Não é permitido o uso de 
calculadoras gráficas ou celulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Constantes físicas : g = 9.80 m/s2 
 
Questão Valor Grau Revisão 
1a Questão 3,5 
2a Questão 3,5 
3a Questão 3,0 
Total 10,0 
 
1a Questão: (3,5) 
 
O comandante da nave espacial USS Enterprise (nave A), Jean-Luc Picard, observa, na tela de 
seu computador de bordo, um objeto não identificado (O) em movimento. O aparelho, capaz 
de fornecer uma previsão da função horária do vetor posição do objeto, acusa o seguinte 
resultado: 
 !!,! ! = 12,0×10! − 1,5×10!! − 8,0×10!!!    !                                                                          + 1,0×10! − 6,0×10!!!  !        [!", ℎ] 
 
a) [1,0] Calcule os vetores velocidade e aceleração do objeto previstos pelo computador 
de bordo da nave USS Enterprise. 
O comandante de uma outra espaçonave da federação (nave B) observa o mesmo objeto, e 
seu computador de bordo acusa a seguinte função horária do vetor posição 
 !!,! ! = −8,0×10! − 8,0×10!!!    !+ 6,0×10! − 1,5×10!! − 6,0×10!!!  !    [!", ℎ] 
 
b) [1,5] Calcule as funções horárias dos vetores posição, velocidade e aceleração desta 
segunda nave (B) medidas pelo computador de bordo da Enterprise (A), 
respectivamente !!,!(!), !!,!(!), !!,!(!). 
 
c) [1,0] Suponha que, do interior de sua nave, Jean-Luc não observa nenhuma “força 
misteriosa” atuando sobre a Enterprise (além daquela criada para simular o campo 
gravitacional da Terra, que não possui nenhuma relação com o movimento da nave em 
si). Comparando os resultados dos itens acima, explique, baseando-se nas leis de 
Newton, se é possível afirmar que a nave B se movimenta enquanto a nave A 
permanece em repouso ou se, ao contrário, a nave A se movimenta enquanto a B se 
mantém em repouso. Justifique cuidadosamente. 
 
2a Questão: (3,5) 
 
Um bloco de massa m1 se encontra em 
uma mesa horizontal, sendo µ1 o 
coeficiente de atrito estático entre suas 
superfícies. Sobre o bloco 1, está o bloco 
de massa m2, mantido em posição fixa 
por um fio ideal (fio 2); µ2 é o 
coeficiente de atrito estático entre as 
superfícies dos blocos 1 e 2. Um terceiro 
bloco, de massa m3, está localizado em 
um plano inclinado de um ângulo θ com a 
horizontal, estando ligado ao bloco 1 pelo fio 1 (ideal) e através de uma polia (também ideal), 
conforme mostra a figura. Não há atrito entre o bloco 3 e o plano inclinado. 
 
Observa-se que o conjunto, nestas condições, se mantém em repouso. 	
  
	
  
a) [1,0] Represente os diagramas do corpo livre para os três blocos, explicitando todas as 
forças que atuam neles. 
b) [1,0] Escreva as equações resultantes das 2a e 3a Leis de Newton para os três corpos. 
(Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo, explicitando-os em seu 
desenvolvimento). 
c) [0,5] Encontre a relação que há entre o módulo da tensão no fio 2 e o módulo da força 
de atrito entre o bloco 1 e a mesa, em termos dos dados fornecidos. 
d) [1,0] Qual é o valor mínimo que m3 deveria ter para colocar o sistema em 
movimento? 	
  
 
3a Questão: (3.0) 
 
 Um automóvel descreve uma curva com inclinação θ = 60o (veja figura). O coeficiente de 
atrito estático é µe = 0,25 e o raio da trajetória circular é R = 190 m. Nestas condições, o 
automóvel pode se manter na curva sempre que sua velocidade escalar esteja dentro de certos 
valores mínimo e máximo, como deve ser discutido abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) vista lateral da curva 
 
 
 
Considere a situação em que o carro descreve a curva com a máxima velocidade possível sem 
deslizar. 
 
a) [1,0] Usando o esquema da vista lateral mostrado na Fig.(b) acima, represente o 
diagrama de corpo livre do automóvel, explicitando todas forças que agem sobre ele 
nesta condição. Estabeleça um sistema de coordenadas (indique-o claramente na 
resposta) e escreva as equações de Newton que descrevem o movimento. 
 
Suponha agora que o carro esteja descrevendo a curva com a velocidade mínima possível 
sem deslizar. 
 
b) [1,0] Novamente faça o diagrama de corpo livre para indicar todas forças que agem 
no carro nesta condição e escreva as equações de Newton para seu movimento. 
 
c) [1,0] Determine o valor desta velocidade mínima, com a qual o carro pode fazer a 
curva sem deslizar. 
 
car
ro 
GABARITO – G1 FIS1026 – 2012.1 
1a Questão: 
 
a) Derivando a equação para a posição em relação ao tempo, obtem-se a velocidade e 
derivando novamente obtem-se a aceleração: 
( ) ( ) [ ]
[ ]hkmjitv
dt
dta
hkmjtittr
dt
dtv
AOAO
AOAO
,102,1106,1)()(
,102,1106,1105,1)()(
44
,,
444
,,


×−×−==
×−+×−×−==
 
b) Relacionamos os referenciais das duas naves da seguinte maneira: 
 
Pela soma vetorial temos, então, 
BOAOABBOABAO rrrrrr ,,,,,,

−=⇒+= 
 
 
 
 
!rB,A = 12,0!102 "1,5!104 t "8,0!103t2( )
!
i + 1,0!103 " 6,0!103t2( )
!
j
" "8,0!102 "8,0!103t2( )
!
i " 6,0!103 "1,5!104 t " 6,0!103t2( )
!
j [km,h]
 
( ) ( ) ],[105,1100,4105,1100,2 4343, hkmjtitr AB

×+×+×−×= . 
Para encontrarmos a velocidade da nave B relativa à nave A, basta derivarmos o vetor posição 
de B em reação a A: !vB,A =
d
dt
!rB,A = !1,5"104
!
i +1,5"104 !i [km,h] . Para calcularmos a 
aceleração da nave B relativa à nave A, basta derivarmos o vetor velocidade de B em relação 
a A: jiv
dt
da ABAB
 0,00,0,, +== . Percebemos, assim, que se A se encontra em um 
referencial inercial, B também se encontra em um referencial inercial. 
c) Como não há nenhuma “força misteriosa“, podemos deduzir que Jean-Luc está em um 
referencial inercial. A aceleração da segunda nave em relação à de Jean-Luc é nula. Portanto, 
ou ela está em movimento retilíneo uniforme em relação à primeira nave, ou está em repouso, 
i.e., também em um referencial inercial. A primeira lei de Newton afirma que, na ausência de 
forças, todos os corpos permanecem em repouso ou em movimento retilíneo uniforme sendo, 
portanto, impossível discernir fisicamente entre esses referenciais. Assim, não é possível 
distinguir se uma nave está parada em relação à outra ou vice-versa, uma vez que todos os 
referenciais inerciais são fisicamente equivalentes ao referencial em repouso. 
 
A 
B 
O 
 
 
2a	
  Questão	
  	
  
a)	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
b)	
  Os	
  eixos	
  coordenados	
  estão	
  explicitados	
  no	
  item	
  (a).	
  
Para	
  o	
  corpo	
  1:	
  
ΣFx1	
  =	
  T1	
  –	
  fat1	
  –	
  fat2	
  =	
  m1.	
  ax1	
  =	
  0	
   (1)	
  
ΣFy1	
  =	
  Fn1	
  –	
  P1	
  –	
  F12	
  =	
  m1.	
  ay1	
  =	
  0	
   (2)	
  
Para	
  o	
  corpo	
  2:	
  
ΣFx2	
  =	
  fat2	
  –	
  T2	
  =	
  m2.	
  ax2	
  =	
  0	
   	
   (3)	
  
ΣFy2	
  =	
  F12	
  –	
  P2	
  =	
  m2.	
  ay2	
  =	
  0	
   	
   (4)	
  
Para	
  o	
  corpo	
  3:	
  
ΣFx3	
  =	
  P3x	
  –	
  T’1	
  =	
  m3.	
  ax3	
  =	
  0	
   	
   (5)	
   	
  
ΣFy1	
  =	
  Fn3	
  –	
  P3y	
  =	
  m3.	
  ay3	
  =	
  0	
   	
   (6)	
  
c)	
  	
  
Utilizando	
  a	
  equação	
  (3),	
  obtemos:	
  
T2	
  =	
  fat2→	
  	
  T2	
  =	
  µ2.m2.g	
  	
  
Substituindo	
  o	
  resulta	
  acima	
  na	
  equação	
  (1),	
  obtemos:	
  (e	
  usando	
  T1	
  =	
  T’1	
  )	
  
T1	
  –	
  fat1	
  –	
  fat2	
  =	
  0	
   →	
  T1	
  =	
  fat1	
  +	
  fat2	
  	
   →	
  T1	
  =	
  fat1	
  +	
  T2	
   	
   →	
  fat1	
  =	
  T1	
  -­‐	
  T2	
  
Ou,	
  utilizando	
  ainda	
  a	
  equação	
  (5):	
  
P3.senθ – T1 = 0 → T1 = P3.senθ = m3.g.senθ 
Obtemos: fat1 = m3.g.senθ - µ2.m2.g 
 
d) A partir das equações (2) e (4), a forças normais que atuam nos blocos 1 e 2 serão: 
Fn1	
  =	
  P1	
  +F12	
  =	
  P1	
  +	
  P2	
  =	
  (m1	
  +	
  m2).g	
  
Fn2	
  =	
  F12	
  =	
  P2	
  =	
  m2.g	
  
Na iminência do movimento do movimento, a força de atrito é máxima e ainda ax1 = ax3 = 0. 
Então: 
fat1	
  =	
  µ1.Fn1	
   	
   →	
  fat1	
  =	
  µ1.(m1	
  +	
  m2).g	
  
, 
fat2	
  =	
  µ2.Fn2	
   	
   →	
  fat2	
  =	
  µ2.Fn2	
  =	
  µ2.m2.g	
  
	
  
A	
  partir	
  das	
  equações	
  (1)	
  e	
  (5),	
  obtemos	
  o	
  menor	
  valor	
  de	
  m3	
  para	
  iniciar	
  o	
  movimento	
  do	
  
sistema:	
  
T1	
  –	
  fat1	
  –	
  fat2	
  =	
  0	
  
P3.senθ	
  –	
  T1	
  =	
  0	
   	
   +	
  
P3.senθ	
  –	
  fat1	
  –	
  fat2	
  =	
  0	
   	
  
→	
  m3.g.senθ	
  =	
  fat1	
  +	
  fat2	
   	
  
→	
  m3.g.senθ	
  =	
  µ1.(m1	
  +	
  m2).g	
  +	
  µ2.m2.g	
  	
  (÷g)	
  
→ m3.senθ = µ1.(m1 + m2) + µ2.m2 
→ m3 = [µ1.(m1 + m2) + µ2.m2].cossecθ 
 
3a Questão: 
a) 
eixo x
Nsen! + fat cos! =
mv2
r fat = µeN
eixo y
N cos! ! fatsen! !mg = 0
 
b) 
eixo x
Nsen! ! fat cos! =
mv2
r (1) fat = µeN (3)
eixo y
N cos! + fatsen! !mg = 0 (2)
 
c) substituindo (3) em (2) determina-se N 
)4(
)(cos θµθ sen
mgN
e+
= 
Substituindo (4) em (1) determina-se v 
[ ] [ ])5,0)(25,0()87,0(
)87,0)(25,0(5,0
)190)(8,9(cos
)(cos
−
+
=−
+
= θµθ
θµθ ee
sen
sen
grv 
 
v = 44 m/s 
 
 
mg 
fat 
N y 
x 
mg 
fat 
N 
y 
x

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