Álgebra Linear II - Psub - 2005

Prévia do material em texto

Turma A 
 
 
 
Como B é uma base do 3R então {T(0,0,1), T(0,1,1), T(-2,1,0)} gera a Im(T), mas 
T(0,0,1) = (-1,1,-1), T(0,1,1) = (0,0,0), T(-2,1,0) = (2,-1,0) e {(-1,1,-1), (2,-1,0)} é L.I. logo 
 
(b) {(-1,1,-1), (2,-1,0)} é uma base da Im(T) e dim Im(T) = 2. 
 
(a) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dim ker(T) = 3 – 2 = 1, logo {(0,1,1)} é uma 
base do ker(T) e daí dim ker(T)=1. 
 
(c) Como ( 1,1, 1),(0,1,1) 1.0 1.1 1.1 0 (2, 1,1),(0,1,1)− − = − + − = = − , então 
, por outro lado Im(T) (ker(T))⊥⊂ 3 ker( ) (ker( ))R T T ⊥= ⊕ , assim dim(ker( )) 2T ⊥ = , 
portanto . (ker( )) Im( )T T⊥ =
 
(d) Notemos que B não é uma base ortonormal do 3R , assim determinemos . Temos [ ]canT
1 1 1(1,0,0) (0,0,1) (0,1,1) ( 2,1,0)
2 2 2
= − + − − e (0,1,0) (0,0,1) (0,1,1)= − + , assim 
1 1 1 1 1 1(1,0,0) (0,0,1) (0,1,1) ( 2,1,0) ( 1,1, 1) (2, 1,1) ( ,0,0)
2 2 2 2 2 2
T T T T= − + − − = − − − − − = − 
 e (0,1,0) (0,0,1) (0,1,1) ( 1,1, 1)T T T= − + = − − − (0,0,1) (1, 1,1)T = − 
logo 
1 1 1
2
[ ] 0 1 1
0 1 1
canT
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
⎟ que não é uma matriz simétrica, assim T não é um operador 
simétrico. 
 
 
 
 
 
A matriz associada ao sistema acima é . 
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Seja T o operador linear do 5R tal que [ ]canT A= . Como 4( ) (1 )( 1)Ap λ λ λ= − − então 
. Determinemos 2( ) ( 1) ( 1)( )( )Ap iλ λ λ λ λ= − − + + − i (1), ( 1), ( )V V V i− e . ( )V i−
 
(1)V 
01 0 0 1 0
0
00 0 0 0 0
0
00 0 1 0 1
0
00 0 1 1 0
0
01 0 0 0 1
x
x t
y
z w
z x
z t
t
x w
w
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − + =⎧⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + =⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ z t w= ⇒ ⇒ = =− ⎨ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ − =⎩⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 
 
Assim , logo (x,y,z,t,w)=y(0,1,0,0,0)+w(1,0,1,1,1) (1) [(0,1,0,0,0),(1,0,1,1,1)]V = 
( 1)V − 
0 01 0 0 1 0
0 2 00 2 0 0 0
0 0 , 0,0 0 1 0 1
0 00 0 1 1 0
0 01 0 0 0 1
x x t
y y
z z w x w y z w
t z t
w x w
+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⇒ + = ⇒ = − = = − =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
,t w 
 
Assim , logo (x,y,z,t,w)=w(-1,0,-1,1,1) ( 1) [(-1,0,-1,1,1)]V − = 
( )V i 
0 00 0 1 0
0 (1 ) 00 1 0 0 0
0 0 , 0,0 0 0 1
0 00 0 1 0
0 01 0 0 0
x ix ti
y i yi
z iz w x it y z iti
t z iti
w x iwi
− + =− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ − =− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ,w t= ⇒ − + = ⇒ = − = = = −− ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ − =− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − =− ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
 
 
Assim , logo (x,y,z,t,w)=t(-i,0,i,-1,1) ( ) [(-i,0,i,-1,1)]V i = . 
 
Seja , então {(0,1,0,0,0),(1,0,1,1,1),( 1,0, 1,1,1),(0,0,0, 1,1),(1,0, 1,0,0)}B = − − − −
 
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
[ ] 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
BT
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Seja , então a solução do sistema 
1
2
3
4
5
y
y
Y y
y
y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎟ ' [ ]BY T Y= é dada por: 
1 1
2 2
3 3
4 4 5
5 4 5
( )
( )
( )
( ) cos( ) ( )
( ) ( ) cos( ),
t
t
t
y t c e
y t c e
y t c e
y t c t c sen t
y t c sen t c t
−
⎧ =⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ = −⎪⎪ = +⎩
 
onde . 1 2 3 4 5, , , ,c c c c c R∈
 
Sabemos que X MY= , onde 
0 1 1 0 1
1 0 0 0 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
0 1 1 1 0
M
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= − −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. Portanto 
1 2 3 4 5
2 1
3 2 3 4 5
4 2 3 4 5
5 2 3 4 5
( ) ( ) cos( )
( )
( ) ( ) cos( )
( ) cos( ) ( )
( ) cos( ) ( )
t t
t
t t
t t
t t
x t c e c e c sen t c t
x t c e
x t c e c e c sen t c t
x t c e c e c t c sen t
x t c e c e c t c sen t
−
−
−
−
⎧ = − + +⎪ =⎪⎪ = − − −⎨⎪ = + − +⎪⎪ = + + −⎩
 
 
Como , então 1 2 3 4 5(0) (0) (0) (0) (0) 1x x x x x= = = = =
1, 0
 
2 3 5
1
2 3 5 1 4 5 2 3
2 3 4
2 3 4
1
1
1 1, 0 ,
1
1 ,
c c c
c
c c c c c c c c
c c c
c c c
= − +⎧⎪ =⎪⎪ = − − ⇒ = = = = =⎨⎪ = + −⎪⎪ = + +⎩
 
 
Assim 1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tx t x t x t x t x t e= = = = = . 
 
 
 
 
(a) Se ker( )x T∈ , então ( ) 0T x = , logo 2 ( ) (0) 0T x T= = , assim 2ker( )x T∈ . Portanto 
. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que 2ker( ) ker( )T ⊂ T
T2 2dim dimker( ) dimIm( ) dimker( ) dimIm( )V T T T= + = + 
Como , então e de 
temos que 
2dimIm( ) dimIm( )T T= 2dimker( ) dimker( )T T= 2ker( ) ker( )T T⊂
2ker( ) ker( ).T T=
(b) Dado ker( ) Im( ),x T∈ ∩ T então ( )x T y= para algum y V∈ e , logo 
, assim logo 
( ) 0T x =
20 ( ) (T x T y= = ) T2ker( ) ker( )y T∈ = ( ) 0x T y= = . Portanto 
 ker( ) Im( ) 0.T T∩ =
(c) Como então ker( ) Im( ) 0T T∩ = Tdim(ker( ) Im( )) dim ker( ) dim Im( )T T T⊕ = + . 
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que dim ker( ) dim Im( ) dimT T V+ = , 
assim e como então 
 
dim(ker( ) Im( )) dimT T⊕ = V V
V
ker( ) Im( )T T⊕ ⊂
ker( ) Im( ) .T T⊕ =