Lista de exercícios de Limites - Cálculo I

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PRÉ-CÁLCULO 
 
 
Lista de Exercícios – Limites 
 
1) Calcule os limites: 
2 ) 
5
39
 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46
232
 lim) 
34
353
 lim) 
45
332
 lim)
43
523
 lim) 
35
32
 lim))574( lim)
3
2
2 
3
23
2 
2
1 
3
2
2
2 
2
3 
2
1 






















fedcba
x
xx
f
x
xxx
e
x
xx
d
xx
xx
c
x
xx
bxxa
xxx
xxx
 
 
2) Calcule os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58x4xx
46x3xx
 lim f) 
x4
x8
 lim e) 
1x
1x
 lim d)
25x2x
35x2x
 limc)
x2
x4
 limb) 
1x
1x
 lim a)
23
23
1 x2
3
2 x2
3
1 x
2
2
2
1 x
2
2 x
2
1 x














1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba 















 ) ) ) ))))):.Resp
1
1
 lim) 
1
1
 lim) 
3
21
 lim) 
2
4
 lim) 
253
 lim) 
)1(
31
 lim) 
)1(
32
 lim ) 
)2(
43
 lim)
1 1 
3 2 2
2
0 
21 21 22 
hgfedcba
x
h
x
g
x
x
f
x
x
e
x
xx
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
xx
xxx
xxx





) ) ) ) ):.Resp
)43(lim) )4(lim)
)345(lim) )54(lim) )32(lim)
3
 
2
 
2
 
edcba
xexd
xxcxbxa
xx
xxx
PRÉ-CÁLCULO 
 
5) Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS ESPECIAIS 
a) RESP 0 b) RESP -2 c) RESP 1/3 
 d) RESP 1/2 e) RESP 
2
1
3
A
a

 f) RESP 3X
2
 
g) RESP 1 h) RESP 1/2 i) RESP 3 
j) RESP 1 k) RESP -1/56 l) RESP 12 
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3 o) RESP 1 
p) RESP 
2
X : x q) RESP 
3 2
1
3 x
 
 r) RESP -1/3 
LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS 
Seja a função polinomial f(x) = an x
n + na-1x
n-1 + ... + a2 x
2 + a1x + a0 
( ) nn
x x
Lim f x Lima x
 

 Para o cálculo de limite com 
x
 toma-se o termo de maior grau da 
função e aplica-se o limite . 
Exemplos : 
2 2(2 3) 2
x x
Lim x x Lim x
 
    
 
Exercícios complementares: 
1) 3 2
4
2 4 1
3 2 2x
x x
Lim
x x
 
 
 2) 4
4 3
4 3
3 1x
x x
Lim
x x
 
 
 3) 3 2
2
4 2 3
2 3 8x
x x x
Lim
x x
  
 
 4) 4
2
2 1
2 1x
x x
Lim
x
 

 
RESPOSTAS 1) 2)R 4/3 3)R 

 4) R ½ 
 








 12
211
)
3lim x
x
c
x








 1032
74
)
2
3
lim
xx
xx
b
x 253) 2lim 

xxa
x








 12
13
)
2
3
lim
xx
xx
d
x








 124
121
)
2
3
lim
x
x
f
x 








 84
63
)
2
lim
x
xx
g
x








 xxx
xx
h
x 533
322
)
23
3
lim
 
3/2 )
 
 ) )
 )5/2 ) ) 0 ) ) ):.Resp


hgf
fedcba
PRÉ-CÁLCULO 
Exemplos: 
 a) 
93lim 22
3


x
x
 b) 
  2774575lim
4


x
x
 
Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função 
 
 
 
2
443 2



x
xx
xf
, com 
2x
 , isto é, 
 
0
0
2
443
lim
2
2




 x
xx
xf
x
 Indeterminação, 
 
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de 
 xf
 abrange todos os números reais, com exceção de 
2x
 que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. 
Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja, 
 
 02 cbxax
a
acbb
x
2
42

. Assim, 










32
2
6
84
6
48164
2
1
x
x
x
 
  23
2
)2)(23(
2
443 2






 x
x
xx
x
xx
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, tem-se que 
  823lim
2
)2)(23(
lim
2
443
lim
22
2
2








x
x
xx
x
xx
xf
xxx
, 
 
 
Exemplos: 
1) 
0
0
1
34
lim
2
2
1



 x
xx
x
 Indeterminação, Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se 
Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é, 
 0342 xx
2
12164 
x
 (Baskara), 








3
1
2
24
2
1
x
x
x
 
     3134221
2  xxxxxxxxcbxax
 
 
donde, 
 
)1(
)3)(1(
lim
21 

 x
xx
x
. Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é, 
  1111101 222  xxxxxx
 
 
O gráfico mostra que para 
x
 aproximando de 
2
, 
 xf
 se aproxima de 
8
, mas 
se substituir-se 
2x
 na 1
a
 expressão, 
 xf
 não está definida naquele ponto. 
 
 
  223  xxxf
 
Ponto
 8,2
 deve ser excluído do 
gráfico, pois naquele ponto a 
função é indefinida. 
X
 
2
 
8
 Y
 
 
x
 
 xf
 
 
300,8100,2
030,8010,2
003,8001,2
000,8000,2
997,7999,1
970,7990,1
700,7900,1
 
 
 
 
 
PRÉ-CÁLCULO 
assim, o 
1
2
2
)1(
)3(
lim
)1)(1(
)3)(1(
lim
11








 x
x
xx
xx
xx
 
 
2)   
  12lim
3
23
lim
0
0
3
65
lim
33
2
3







x
x
xx
x
xx
xxx
 
 
3) 
0
024
lim
0


 x
x
x
 Indeterminação 
 
Neste caso, para eliminar a indeterminação 
0
0
 , se deve racionalizar o numerador , isto é, 
    22 bababa 
. Desta forma, tem-se: 
 
  
24
44
lim
24
2424
lim
24
lim
000 






 xx
x
xx
xx
x
x
xxx
 
 
4
1
24lim
1
24
1
lim
24
lim
0
00







 xxxx
x
x
xx
 
 
Limites Notáveis 
Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) 

 tende a 
diminuir, o valor do 
 asen
 tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda 
para 
1
, e o limite notável no caso é 
 
Limite do seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcular 
 
 
 
x
x
x
5sen
lim
0
 faz-se 
5
5
t
xtx 
, para 
00  tx
 
 
 
     
  515
sen
lim5
sen5
lim
5
sen
lim
000

 t
t
t
t
t
t
ttt
 
 
5)  
 
 
 
   
    3
2
31
21
3
33sen
2
2
2sen
lim
3sen
2sen
lim
00







 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
8)    
 
 
 
  1
1
1
1
cos
1
lim
sen
lim
cos
1sen
lim
tan
lim
0000

























 xx
x
xx
x
x
x
xxxx
 
 
1
sen
lim
0

 


 
s 
 sen
 
 
 arS sen 
, se 
 aSr sen;1  
 
PRÉ-CÁLCULO 
Limite que define o número “e ” 
O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão 
e
x
y
x
x








1
1lim
 
x
 
y
 
 1 2 
 10 
5937,2
 
 100 
7048,2
 
 1000 
7169,2
 
 10000 
7181,2
 
 
x
 
7182818,2e
 
 
 
Exemplo: 
a
x
x
e
x
a








1lim
 põe-se 
azx
zx
a

1
 para 
 zx
 
 
a
a
z
z
az
z
x
x
e
zzx
a





























1
1lim
1
1lim1lim
 
Limites infinitos de funções racionais 
 Se a função for do tipo 
 )()(lim xQxPy
x 

, isto é, 






















01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1lim
bxbxbxbxbxb
axaxaxaxaxa
y
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x 

, 
 
que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador 
pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se 
mn 
, tem-se: 
 
























n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























nnnn
m
m
n
m
m
n
m
m
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 























nnnmn
m
mn
m
mn
m
nnn
nn
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
y
0
1
1
2
2
2
2
1
1
0
1
1
2
2
2
21
lim


, 
 
e passando ao limite, tem-se: 




0000000
00000 nn aay


. 
 
PRÉ-CÁLCULO 
Se 
nm 
, tem-se: 
























m
m
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























mmmm
m
m
m
m
m
m
m
m
mmmm
n
n
m
n
n
m
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 























mmm
mm
m
mmmmn
n
mn
n
nm
n
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
xa
y
0
1
1
2
2
2
21
0
1
1
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
e passando ao limite, tem-se: 
0
0
00000
000000




mm bb
y


. 
Se 
mn 
, tem-se: 
 
























n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 
























nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim


, 
 




















nnn
nn
n
nnn
nn
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
y
0
1
1
2
2
2
21
0
1
1
2
2
2
21
lim


, 
 
e passando ao limite, tem-se: 
n
n
n
n
b
a
b
a
y 



00000
00000


. 
 
Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos 
os limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja, 




















01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1lim
bxbxbxbxbxb
axaxaxaxaxa
y
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x 

 
 
PRÉ-CÁLCULO 
 
























 

mn
m
n
xm
m
n
n
xm
m
n
n
x
x
b
a
xb
xa
xb
xa
y limlim
00000
00000
lim


. 
 
Assim, se 
 ymn
, se 
m
n
b
a
ymn 
 e se 
0 ynm
. 
Exemplos: 
1) 






 32
5
lim
2
2
x
x
x
, o resultado daria 


 (indeterminação) 
 
Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem: 
 
2
5
02
5
3
lim2
5
3
2
5
lim
32
5
lim
2222
2
2
2








































xxxx
x
x
x
x
xx
 , ou simplesmente 
 
 
2
5
1lim
2
5
lim
2
5
2
5
lim
32
5
lim
2
2
2
2
2
2


















  xxxx x
x
x
x
x
x
 
 
2) Calcular o limite 
 


















































 0
1
00
01
11
lim
1
lim1
11
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
2
3
3
3
33
2
33
3
2
3
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
, ou 
 















x
x
x
x
x
xxx
limlim
1
1
lim
2
3
2
3 
 
3) Calcular o limite 
 
 
3
3
3
3
3
3
3 3
3 3 7
5
3
lim7
5
37
1
5
lim
37
1
5
lim
37
5
lim 









































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
, ou 
 
 
 
3333 333 33 3 7
5
1lim
7
5
lim
7
5
7
5
lim
7
5
lim
37
5
lim 
































  xxxxx x
x
x
x
x
x
x
x 
 
 
4) Calcular o limite 
    30lim37lim37lim37lim 33
3
3
3
2
332 

























x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxx
 
 
         

3lim33lim30lim 333 xxx
xxx
, ou simplesmente 
 
      

3232 lim3lim737lim xxxx
xxx
 
 
PRÉ-CÁLCULO 
Limites Laterais 
a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
a
 (ou que o limite de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
a
 pela esquerda) é 
L
 e representa-se por 
  Lxflim
ax


 
se for considerado que 
x
 tende a 
a
 pela esquerda, isto é, 
.ax 
 
 
Exemplo:   
 
 










 







 













 0
1
0
1
2
2
22 cos
sen
xcos
xsen
limxtanlim
xx
 
 
b) Definição: Diz-se que o limite direito de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
a
 (ou que o limite de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
a
 pela direita) é 
L
 e representa-se por 
 
 
  Lxflim
ax


 
se for considerado que 
x
 tende a 
a
 pela esquerda, isto é, 
.ax 
 
 
Exemplo:   
 
 










 







 













 0
1
0
1
2
2
22 cos
sen
xcos
xsen
limxtanlim
xx
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
2) Resolver os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 4. 
  y
y
y
1
0
1lim 

 
 
 1. 
2
65
lim
2
2 

 x
xx
x
 
 2. 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 
 3. 
1
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
6. 
h
h
h
9)3(
lim
2
0


 
 
7. 
h
h
h


42
lim
0
 
8. 
3
23 26
4
lim


 x
x
x
 
 9. 
  y
y
ay
1
0
1lim 

 
 
 5. 








 3 3 37
5
lim
x
x
x
 10) 
 32 37lim xx
x

