2º Texto - Integral Dupla Em Regiões Não Retangulares

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos Aplicados 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Integrais Múltiplas 
 
Texto 02: A Integral Dupla em Regiões não Retangulares. 
 
 
Vamos agora considerar a integral dupla de uma função z = f(x,y), sobre uma região mais 
geral R do plano. Vamos admitir que R é uma região limitada por um número finito de 
curvas regulares, ou seja, curvas que são gráficos de funções com derivadas contínuas e 
que a região inteira R pode ser envolvida por um retângulo R´. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma maneira que fizemos com uma região retangular, tomamos uma partição de 
R. Desprezamos as sub-regiões que contêm pontos que não estão em R e consideramos 
aquelas que estão inteiramente contidas em R. Há erros nessa aproximação. Entretanto 
se repetirmos o processo com cada vez mais subdivisões, de modo que os comprimentos 
e as larguras dos sub-retângulos tendam a zero, então é intuitivamente admissível que a 
área das regiões omitidas tendam a zero. Podemos então considerar 
 

´RR
dA)y,x(fdA)y,x(f
 
 
 
R 
R´ 
 2 
Observações: 
1) A interpretação geométrica da integral dupla como volume é equivalente nesse 
caso 
2) As propriedades já enunciadas valem igualmente. Acrescentamos a seguinte: 
3) Se R = R1  R2 tal que R1  R2 =  ou R1  R2 é uma curva suave, então 
 

2R1RR
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
 
 
 
Cálculo da Integral dupla em regiões não retangulares 
 
A região R pode ser extremamente complexa e os casos mais complicados não são 
tópicos para este curso. Vamos limitar nosso estudo a dois tipos de região que 
chamaremos região tipo I ( ou Rx) e região tipo II ( ou Ry). que definiremos a seguir: 
 
I) 1ª Integração em relação a y 
 
 Uma região do tipo I ( Rx) é limitada à esquerda e à direita pelas retas x = a 
e x = b e abaixo e acima pelas curvas contínuas y = g1(x) e y = g2(x), onde 
g1(x)  g2(x) para a  x  b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se R é uma região do tipo I, na qual f(x,y) é contínua, então 
g2(x) 
g1(x) 
a b 
 3 
 
b
a
)x(2g
)x(1gR
dxy)dy f(x, dA)y,x(f
 
 
 
Estabelecimento dos Limites de Integração para o Cálculo da Integral Dupla em R. 
 
Para o cálculo da integral dupla 

R
dA)y,x(f
 não precisamos esboçar o gráfico de 
f(x,y), mas é importante fazer um esboço bidimensional de R. 
 
Para o caso da região tipo I 
 
b
a
)x(2g
)x(1gR
dxdy )y f(x, dA)y,x(f
, damos os seguintes 
passos: 
 
1o) Uma vez que x é mantido fixo na 1a integração, os limites de integração são as 
curvas g1(x) e g2(x). O limite inferior é a curva que está abaixo, g1(x), e o superior a 
que está acima, g2(x). 
 
 
 
 
 
 
 
2o ) Imaginando que uma reta paralela ao eixo OY deslize sobre a região R, a posição 
extrema à esquerda na qual a reta intercepta R é x = a ( limite inferior de integração para 
a integral em dx) e a posição extrema à direita é x = b ( limite superior de integração para 
a integral em dx) . 
 
 
 
 
 
 
g2(x) 
g1(x) 
g2(x) 
g1(x) 
a b 
 4 
 
II) 1ª Integração em relação a x 
 
 Uma região do tipo II ( Ry) é limitada acima e abaixo por retas horizontais y = c 
e y = d e à esquerda e à direita pelas curvas contínuas x = h1(y) e x = h2(y), 
onde h1(x)  h2(x) para c  y  d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se R é uma região do tipo II, na qual f(x,y) é contínua, então 
 
d
c
)y(2h
)y(1hR
dyy)dx f(x, dA)y,x(f
 
 
 
Analogamente, e com as adaptações adequadas, para estabelecer os limites de 
integração, se procede para o caso da região tipo II da mesma maneira descrita para o 
caso da 1ª integração em y. 
 
Nos dois casos, o processo de integração é o mesmo que no caso de R ser uma região 
retangular. Calculamos a integral “interna” utilizando as técnicas de integração para a 
integral simples, supondo uma das variáveis constantes, substituímos os limites de 
integração, que correspondem às equações das curvas que limitam a região, e depois, a 
última integral, que é uma integral simples, no intervalo [a,b] , se a 2ª integração for em x; 
ou no intervalo [c,d], se a 2ª integração for em y. Os intervalos de integração da última 
integral correspondem à projeção de R em x ou y, a depender do caso. 
c 
d 
h1(y) 
h2(y) 
 5 
Exemplos: 
1) Calcule 
 
1
0
x
2x
dx xydy 
, identifique a região de integração e reescreva a integral 
iterada invertendo a ordem de integração. 
 
Solução: 


  
1
0
531
0
x
2x
1
0
x
2x
2
dx]
2
xx
[dx]
2
xy
[dx xydy
 
24
1
12
1
8
1
]
12
x
8
x
[ 10
64

 
 
 
Para identificarmos a região de integração observamos os limites de integração. Neste 
caso, y varia de x2 a x e x de o a 1. 
A região de integração corresponde a 






1x0
xyx
:R
2 
 
Invertendo a ordem, a 1ª integração 
é feita da reta x = y ( curva à esquerda) 
até a parábola, que está à direita (
yxxy 2 
) 
A limitação em y corresponde ao intervalo que 
é a projeção de R no eixo OY 









   dyy
2
x
dy xydx dx xydy 
y
y
1
0
21
0
y
y
1
0
x
2x
 
 
1
0
322
1
0
2 dy)yy(
2
1
dy)yyy)y(
2
1
= 
=
24
1
12
1
2
1
4
1
3
1
2
1
4
y
3
y
2
1
1
0
43
















 
 
 
 
 
 
 6 
2) Calcule 

R
dA)xycos(x
, sendo R a região limitada por y = 0, x = /4 e 
xy 
 
 
Solução: 
Vamos identificar os limites de integração. 
Optamos por integrar 1º em relação a y, pela maior facilidade 
com a integral. 
Integramos na variável y ( supondo x constante) 
 e os limites são y = 0 ( curva que limita a região inferiormente) 
 e 
xy 
 ( curva que limita superiormente a região) 
Na 2ª integral, na variável x , os limites são x = 0 e x = /4 ( corresponde ao intervalo que 
é a projeção da região de integração sobre o eixo OX. 
 
A integral fica então: 
 
 

4/
0
xy
0y
dx dy)xycos(x 
 = 
1
2
2
]xcos[dxsenx .0))dxxsen-) xxsen( ( dx ]x[seny 4/0
4/
0
4/
0
4/
0
x
0


   


 
 
3) Calcule 

R
dAyx
, sendo R a região limitada pelas retas y = 0; y = 2  x e a 
parábola 
2yx 
, no 1º quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a x com limites de integração inferior 
x = y2 ( curva que está á esquerda ) e superior x = 2 y ( curva que está à direita) e 
depois em relação a y com limites de integração inferior y = 0 e superior y = 1 
 
/4 
xy 
 
 
 7 
 
dy
2
yyy)y2(
dy]
2
yx
[dy ]dxyx[ 
1
0
421
0
y2
2y
21
0
y2
2y


 


 = 
dy)
2
y
2
y
y2y2(dy
2
yyy4y4
dy
2
yyy)yy44( 1
0
2/92/5
2/32/1
1
0
2/92/52/32/11
0
42
 




 
1155
676
1155
1051654.231.4.385
11
1
7
1
5
4
3
4
y
11
2
2
1
y
7
2
2
1
y
5
2
.2y
3
2
.2
1
0
2/112/72/52/3 








 
 
Neste exemplo, se quisermos integrar 1o em relação a y e depoisem relação a x temos 
que dividir a região R em duas regiões 
R1: região limitada pelas curvas 
xy 
; y = 0 e x = 1 
R2: região limitadas pelas curvas 
 y = 2  x; y = 0 e x = 1 
 

2R1RR
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
 = 
   
2
1
x2
0
1
0
x
0
dx dyyx dx dyyx 
 
 
 
 
4) Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver a integral 
dydx
y
e
 
4
0
2
x
y/x
 
 
 
Solução: A região de integração é 






4x0
2yx
:R
 
 
 
 
 
 
R1 R2 
 
 8 
Invertendo a ordem temos que 
dxdy
y
e
 dydx
y
e
 
2
0
2y
0
y/x4
0
2
x
y/x
  
= 
  3ee2eyedy)1e(dy
y
ye 2022
0
y
2
0
2
0
y
2y
0
y/x
  







 
 
 
 
 
 
5) Seja R a região limitada pelo triângulo 
 determinado pelos pontos O, A e B. 
Escreva a integral dupla iterada 

R
dA)y,x(f
 com 1ª integração em y 
 
 
 
Solução: Inicialmente encontramos as equações das retas que passam por AO, OB e AB 
 
- A reta que passa por OA tem equação 
2
x
y 
 
- A reta que passa por OB tem equação 
x2y 
 
- A reta que passa por AB tem equação 
x3y 
 
A região de integração deve ser dividida em duas 






1x0
x2y
2
x
:R1
 e 






2x1
x3y
2
x
:R1
 

2R1RR
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
= 
dxdy)y,x(f dxdy)y,x(f 
2
1
x3
2/x
1
0
x2
2/x
  

 
 
 
 
 
 
 
1 2 
1 
2 
B 
A 
y 
O 
 
 9 
Referências Bibliográficas: 
1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 
2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 
3. Cálculo B – Diva Fleming 
4. Cálculo – James Stewart vol 2