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1 Universidade Salvador – UNIFACS Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos Aplicados Profa: Ilka Rebouças Freire Integrais Múltiplas Texto 01: A Integral Dupla em Região Retangular. Integrais Iteradas A integral definida de uma função de uma variável pode ser estendida a uma função de várias variáveis. A integral definida de uma função de uma variável é chamada de integral simples para diferenciar de uma integral múltipla que envolve funções de várias variáveis. Vamos trabalhar com integrais de funções de duas variáveis, ou seja, a integral dupla. Na discussão de uma integral simples exigimos que a função fosse definida em um intervalo fechado em R. Para a integral dupla, a função de duas variáveis deve estar definida numa região fechada do R2. Entende-se por região fechada do R2, uma região que contém a sua fronteira. O tipo mais simples de uma região fechada do R2 é um retângulo fechado. Um retângulo fechado R do R2 é a região do plano limitada pelas retas x = a; x = b; y = c e y = d, ou seja, R = { (x,y) R2; a x b e c y d } a b d c R 2 A região R pode ser considerada como uma região de integração para z = f(x,y), supondo f definida em R e corresponde ao intervalo de integração [a,b], quando f é uma função de uma variável. Para definir a integral dupla nosso primeiro passo é estabelecer uma partição em R. Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos e o intervalo [c,d] em m subintervalos. Traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos pontos que dividem os intervalos obtemos uma rede de sub-regiões retangulares que cobrem R. a = xo < x1 < x2 <....< xn-1 < xn = b e c = yo < y1 < y2 <....< ym-1 < ym = d Cada sub-retângulo indicamos por Rij, com largura ix = xi xi-1 e altura jy = yj yj-1 Se ijA unidades quadradas é a área do retângulo Rij, de largura ix e altura jy , temos que ijA = ixjy Seja ( i, j ) um ponto arbitrário em Rij. Consideremos f(i, j ) ixjy e a soma, que é chamada de soma de Riemann m 1j n 1i jiji yx),(f . Quando maxix 0 e maxjy 0, ou, equivalentemente n + e m + , se a soma acima tiver limite finito temos a seguinte definição: i j Rij xi-1 xi yj-1 yj 3 Interpretação Geométrica Para interpretar geometricamente o significado da integral dupla, vamos supor, inicialmente, z = f(x,y) contínua em R e f(x,y) 0 em R O gráfico de z = f(x,y) é uma superfície situada acima do plano XY. É fácil compreender que m 1j n 1i jiji yx),(f corresponde à soma dos volumes dos paralelepípedos cujas bases são os sub-retângulos Rij e cujas alturas são os valores correspondentes a f(i, j ). Assim, ijV = f(i, j ) ixiy. Seja z = f(x,y) definida numa região retangular R fechada do plano. Dizemos que f é integrável em R se existir o limite m 1j n 1i jiji m n yx),(flim = L. Neste caso, L é chamado de integral dupla de f em R e escrevemos m 1j n 1i jiji m n yx),(flim = R dxdy)y,x(f , ou R dA)y,x(f , sendo ijA = ixjy f(i, j ) ix jy Se f é uma função contínua numa região retangular do plano então, pode-se mostrar que f é integrável. 4 Quando n + e m + esta soma vai se aproximar do volume do sólido limitado por R, pelo gráfico de z = f(x,y) e pelas retas que passam pela fronteira de R e são paralelas ao eixo OZ. Observação: Se f(x,y) é positiva em alguns pontos de R e negativa em outros, o volume do sólido correspondente é obtido dividindo-se a região e somando-se a parcela em que f(x,y) 0 com o módulo da parcela correspondente em que f(x,y) 0. Cálculo de Integrais Duplas: Integrais Repetidas ou Iteradas Obtivemos a definição da integral dupla com a sua interpretação como volume, porém não dispomos, até agora, de um método para calculá-las. Veremos como é possível avaliar tais integrais reduzindo o seu cálculo ao de duas integrais simples. Nossa abordagem será intuitiva e usará a interpretação geométrica da integral dupla como volume. O desenvolvimento rigoroso desse método pertence a um curso de análise Matemática Vamos analisar a integral dupla numa região retangular. Seja z = f(x,y) uma função dada, integrável numa região fechada R, cujo gráfico em R é o sólido S e R = { (x,y) R2; a x b e c y d }. Seja yo [c, d]. A função f(x,yo) é contínua na variável x, logo a integral b a o dx)y,x(f existe e tem um valor definido para cada valor de yo escolhido, sendo portanto uma função de y em [c,d]. Seja A(y) = b a dx)y,x(f . Geometricamente A(y) corresponde à área da região plana obtida pela intersecção do plano que passa por (0,y,0) e é perpendicular ao plano XY, com a superfície S, cuja fronteira superior é o gráfico de z = f(x,y). Se S é o sólido que tem R como base e uma altura de medida f(x,y) para cada ponto (x,y) de R, então o volume de S é dado por V(S) = R dxdy)y,x(f 5 A(y) é, portanto, a área de uma secção plana perpendicular ao eixo OY. O volume do sólido S corresponde ao limite da soma de todas essas áreas, ou seja, V(S) = d c dy)y(A . Logo, d c b a d cR dy]dx)y,x(f[dy)y(Adxdy)y,x(f)S(V Esta última integral é chamada de integral repetida ou iterada e também pode ser escrita como b a d c d c b aR dydx)y,x(fdy]dx)y,x(f[dxdy)y,x(f a b A(y) y a b f(x,y) A(y) x z 6 Observações: 1) Desde que a função seja contínua em R a ordem das integrais pode ser trocada, como mostra a última notação. 2) Ao calcularmos d c b a dy]dx)y,x(f[ , a integral “interna” b a dx)y,x(f deve ser calculada considerando-se x como a variável de integração e y constante. 3) Ao calcularmos b a d c dx]dy)y,x(f[ , a integral “interna” d c dy)y,x(f deve ser calculada considerando-se y omo a variável de integração e x constante. 4) A escolha da 1ª ordem de integração vai depender do grau de dificuldade de integração, considerando-se x ou y constantes. Propriedades As propriedades operatórias da integral dupla são semelhantes às propriedades da integral simples. Se f(x,y) e g(x,y) são funções integráveis em R, então: 1) R RR dxdy)y,x(gdxdy)y,x(fdxdy))y,x(g)y,x(f( 2) R R dxdy)y,x(fcdxdy)y,x(cf 3) Se f(x,y) g(x,y) em R, então R dxdy)y,x(gdxdy)y,x(f Além disso, valem todas as técnicas de integração vistas para uma integral simples. 7 Exemplos: 1) Calcule R 2 dxdy)y3x2( , sendo R = {(x,y)R2; 1 x 2 e 1 y 3 } nas duas ordens de integração Solução: i) 1ª integração em x: R 2 dxdy)y3x2( = 3 1 23 1 3 1 3 1 2 1 3 3 1 2 1 2 ] 2 y9 y6[dy)y96(dy]y33 2 y6 3 16 [dy]xy3x 3 2 [dy]dx)y3x2([ = 24 2 98124 2 9 6 2 81 18 ii) 1ª integração em y R 2 dydx)y3x2( = 2 1 32 1 2 2 1 22 2 1 3 1 2 2 2 1 3 1 2 x12 3 x4 dx]12x4[dx] 2 3 x2 2 27 x6[dx] 2 y 3yx2[dx]dy)y3x2([ 24361236 3 36 12 3 4 24 3 32 2) Calcule Ad y,xfR , sendo xyxey,xf ; e R = 1y0 e 3x1 /y,x 2 . Solução: Neste caso, é mais conveniente fazer a primeira integração em y, pois a integração fica mais simplificada. 8 R xydAxe 2ee1e3exedx)1e(dx)ee(dx x xe dydxxe 33 3 1 x 3 1 x 3 1 3 1 0x 1 0 xy3 1 1 0 xy Observação: Vejamos o que acontece na resolução na ordem dydxxe 1 0 3 1 xy . Inicialmente a integral interna deve ser resolvida por partes: y e vdxedv dxduxu dxxe xy xy xy C y e y e xdx y e y e xvduuvdxxe 2 xyxyxyxy xy 2 yy 2 y3y33 1 2 xyxy3 1 xy y e y e y e y e 3 y e y e xdxxe dydxxe 1 0 3 1 xy = 1 0 2 yy 2 y3y3 dy) y e y e y e y e 3( Esta última integral NÃO tem solução por métodos elementares. 3) Encontre o volume do sólido limitado pela superfície 16 y 9 x 4)y,x(f 22 , os planos x = 3 e y = 2 e os três planos coordenados Solução: O sólido está limitado inferiormente pela região R = 2y0 e 3x0 /y,x 2 , que será a região de integração, e superiormente pelo parabolóide 16 y 9 x 4)y,x(f 22 3 2 R 9 V(S) = 2 0 2 0 32 0 22 0 3 0 232 0 3 0 22 ] 16 y y11[dy] 16 y3 112[dy] 16 xy 27 x x4[dy]dx) 16 y 9 x 4([ = 2 43 2 1 22 unidades de volume. Referências Bibliográficas: 1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 3. Cálculo B – Diva Fleming 4. Cálculo – James Stewart vol 2
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