Integral Dupla

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos Aplicados 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Integrais Múltiplas 
 
Texto 01: A Integral Dupla em Região Retangular. Integrais Iteradas 
 
 
A integral definida de uma função de uma variável pode ser estendida a uma função de 
várias variáveis. A integral definida de uma função de uma variável é chamada de integral 
simples para diferenciar de uma integral múltipla que envolve funções de várias variáveis. 
Vamos trabalhar com integrais de funções de duas variáveis, ou seja, a integral dupla. 
Na discussão de uma integral simples exigimos que a função fosse definida em um 
intervalo fechado em R. Para a integral dupla, a função de duas variáveis deve estar 
definida numa região fechada do R2. Entende-se por região fechada do R2, uma região 
que contém a sua fronteira. O tipo mais simples de uma região fechada do R2 é um 
retângulo fechado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um retângulo fechado R do R2 é a região do plano limitada pelas retas x = a; 
x = b; y = c e y = d, ou seja, R = { (x,y)  R2; a  x  b e c  y  d } 
a b 
d 
c 
R 
 2 
A região R pode ser considerada como uma região de integração para z = f(x,y), supondo 
f definida em R e corresponde ao intervalo de integração [a,b], quando f é uma função de 
uma variável. 
Para definir a integral dupla nosso primeiro passo é estabelecer uma partição em R. 
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos e o intervalo [c,d] em m subintervalos. 
Traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos pontos que dividem os 
intervalos obtemos uma rede de sub-regiões retangulares que cobrem R. 
a = xo < x1 < x2 <....< xn-1 < xn = b e c = yo < y1 < y2 <....< ym-1 < ym = d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada sub-retângulo indicamos por Rij, com largura ix = xi  xi-1 e altura jy = yj  yj-1 
 
Se ijA unidades quadradas é a área do retângulo Rij, de largura ix e altura jy , temos 
que ijA = ixjy 
Seja ( i, j ) um ponto arbitrário em Rij. Consideremos f(i, j ) ixjy e a soma, que é 
chamada de soma de Riemann 

 

m
1j
n
1i
jiji yx),(f
. Quando maxix  0 e maxjy  0, 
ou, equivalentemente n  + e m  + , se a soma acima tiver limite finito temos a 
seguinte definição: 
 
 
 
 
 
i 
j 
Rij 
xi-1 xi 
yj-1 
yj 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação Geométrica 
 
Para interpretar geometricamente o significado da integral dupla, vamos supor, 
inicialmente, z = f(x,y) contínua em R e f(x,y)  0 em R 
O gráfico de z = f(x,y) é uma superfície situada acima do plano XY. É fácil compreender 
que 
  
 
m
1j
n
1i
jiji yx),(f
 corresponde à soma dos volumes dos paralelepípedos cujas 
bases são os sub-retângulos Rij e cujas alturas são os valores correspondentes a f(i, j ). 
Assim, ijV = f(i, j ) ixiy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja z = f(x,y) definida numa região retangular R fechada do plano. 
Dizemos que f é integrável em R se existir o limite 
 
 


m
1j
n
1i
jiji
m
n
yx),(flim
 
= L. 
Neste caso, L é chamado de integral dupla de f em R e escrevemos 
  
 


m
1j
n
1i
jiji
m
n
yx),(flim
 = 

R
dxdy)y,x(f
, 
ou 

R
dA)y,x(f
, sendo ijA = ixjy 
 
f(i, j ) 
ix 
jy 
Se f é uma função contínua numa região retangular do plano então, 
pode-se mostrar que f é integrável. 
 
 
 4 
Quando n  +  e m  +  esta soma vai se aproximar do volume do sólido limitado 
por R, pelo gráfico de z = f(x,y) e pelas retas que passam pela fronteira de R e são 
paralelas ao eixo OZ. 
 
 
 
 
Observação: Se f(x,y) é positiva em alguns pontos de R e negativa em outros, o volume 
do sólido correspondente é obtido dividindo-se a região e somando-se a parcela em que 
f(x,y)  0 com o módulo da parcela correspondente em que f(x,y)  0. 
 
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas: Integrais Repetidas ou Iteradas 
 
Obtivemos a definição da integral dupla com a sua interpretação como volume, porém não 
dispomos, até agora, de um método para calculá-las. Veremos como é possível avaliar 
tais integrais reduzindo o seu cálculo ao de duas integrais simples. 
Nossa abordagem será intuitiva e usará a interpretação geométrica da integral dupla 
como volume. O desenvolvimento rigoroso desse método pertence a um curso de análise 
Matemática 
 
Vamos analisar a integral dupla numa região retangular. 
Seja z = f(x,y) uma função dada, integrável numa região fechada R, cujo gráfico em R é o 
sólido S e R = { (x,y)  R2; a  x  b e c  y  d }. 
Seja yo  [c, d]. A função f(x,yo) é contínua na variável x, logo a integral 

b
a
o dx)y,x(f
existe 
e tem um valor definido para cada valor de yo escolhido, sendo portanto uma função de y 
em [c,d]. Seja A(y) = 

b
a
dx)y,x(f
. Geometricamente A(y) corresponde à área da região 
plana obtida pela intersecção do plano que passa por (0,y,0) e é perpendicular ao plano 
XY, com a superfície S, cuja fronteira superior é o gráfico de z = f(x,y). 
 
Se S é o sólido que tem R como base e uma altura de medida f(x,y) para cada 
ponto (x,y) de R, então o volume de S é dado por V(S) = 

R
dxdy)y,x(f
 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A(y) é, portanto, a área de uma secção plana perpendicular ao eixo OY. 
 
O volume do sólido S corresponde ao limite da soma de todas essas áreas, ou seja, 
V(S) = 

d
c
dy)y(A
. Logo, 
 
d
c
b
a
d
cR
dy]dx)y,x(f[dy)y(Adxdy)y,x(f)S(V
 
 
Esta última integral é chamada de integral repetida ou iterada e também pode ser escrita 
como 
  
b
a
d
c
d
c
b
aR
dydx)y,x(fdy]dx)y,x(f[dxdy)y,x(f
 
 
a 
b 
A(y) 
y 
a b 
f(x,y) 
A(y) 
x 
z 
 6 
 
Observações: 
 
1) Desde que a função seja contínua em R a ordem das integrais pode ser trocada, 
como mostra a última notação. 
2) Ao calcularmos 
 
d
c
b
a
dy]dx)y,x(f[
, a integral “interna” 

b
a
dx)y,x(f
 deve ser calculada 
considerando-se x como a variável de integração e y constante. 
3) Ao calcularmos 
 
b
a
d
c
dx]dy)y,x(f[
, a integral “interna” 

d
c
dy)y,x(f
 deve ser calculada 
considerando-se y omo a variável de integração e x constante. 
4) A escolha da 1ª ordem de integração vai depender do grau de dificuldade de 
integração, considerando-se x ou y constantes. 
 
 
 
Propriedades 
 
As propriedades operatórias da integral dupla são semelhantes às propriedades da 
integral simples. 
Se f(x,y) e g(x,y) são funções integráveis em R, então: 
 
1) 
  
R RR
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(fdxdy))y,x(g)y,x(f(
 
2) 
 
R R
dxdy)y,x(fcdxdy)y,x(cf
 
3) Se f(x,y)  g(x,y) em R, então 
 
R
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(f
 
Além disso, valem todas as técnicas de integração vistas para uma integral simples. 
 
 
 
 
 
 
 7 
Exemplos: 
 
1) Calcule 
 
R
2 dxdy)y3x2(
, sendo R = {(x,y)R2; 1  x  2 e 1  y  3 } 
nas duas ordens de integração 
 
 
Solução: 
 
i) 1ª integração em x: 
 
 
R
2 dxdy)y3x2(
= 
3
1
23
1
3
1
3
1
2
1
3
3
1
2
1
2 ]
2
y9
y6[dy)y96(dy]y33
2
y6
3
16
[dy]xy3x
3
2
[dy]dx)y3x2([       

 
= 
24
2
98124
2
9
6
2
81
18 


 
 
ii) 1ª integração em y 
 
 
R
2 dydx)y3x2(
 = 
 









     

2
1
32
1
2
2
1
22
2
1
3
1
2
2
2
1
3
1
2 x12
3
x4
dx]12x4[dx]
2
3
x2
2
27
x6[dx]
2
y
3yx2[dx]dy)y3x2([
 
24361236
3
36
12
3
4
24
3
32

 
 
 
2) Calcule 
  Ad y,xfR
, sendo 
  xyxey,xf 
; e R = 
  1y0 e 3x1 /y,x 2 
. 
 
Solução: Neste caso, é mais conveniente fazer a primeira integração em y, pois a 
integração fica mais simplificada. 
 
 8 

R
xydAxe
  2ee1e3exedx)1e(dx)ee(dx
x
xe
dydxxe 33
3
1
x
3
1
x
3
1
3
1
0x
1
0
xy3
1
1
0
xy    








 
 
 
Observação: Vejamos o que acontece na resolução na ordem 
dydxxe
1
0
3
1
xy
 
. 
Inicialmente a integral interna deve ser resolvida por partes: 








y
e
vdxedv
dxduxu
dxxe xy
xy
xy
 
C
y
e
y
e
xdx
y
e
y
e
xvduuvdxxe
2
xyxyxyxy
xy  
 
2
yy
2
y3y33
1
2
xyxy3
1
xy
y
e
y
e
y
e
y
e
3
y
e
y
e
xdxxe 









 
dydxxe
1
0
3
1
xy
 
=
 
1
0
2
yy
2
y3y3
dy)
y
e
y
e
y
e
y
e
3(
 
Esta última integral NÃO tem solução por métodos elementares. 
 
 
 
3) Encontre o volume do sólido limitado pela superfície 
16
y
9
x
4)y,x(f
22

, os planos 
x = 3 e y = 2 e os três planos coordenados 
 
Solução: O sólido está limitado inferiormente pela região 
R = 
  2y0 e 3x0 /y,x 2 
, que será a região de integração, 
 
 
 
 
 e superiormente pelo parabolóide 
16
y
9
x
4)y,x(f
22

 
3 
2 
R 
 9 
 
V(S) = 2
0
2
0
32
0
22
0
3
0
232
0
3
0
22
]
16
y
y11[dy]
16
y3
112[dy]
16
xy
27
x
x4[dy]dx)
16
y
9
x
4([      
= 
2
43
2
1
22 
 unidades de volume. 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 
2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 
3. Cálculo B – Diva Fleming 
4. Cálculo – James Stewart vol 2