8ª AULA(Inversa de Matrizes)

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7ª AULA
Cálculo da Inversa de uma Matriz.
Inversa de Matrizes
MATRIZ INVERSÍVEL E MATRIZ INVERSA
Definição 1: Uma matriz quadrada A de ordem n é chamada matriz inversível ( ou matriz inversível) se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = In. Quando existe a matriz B, ela é chamada matriz inversa de A
Definição 2: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa da matriz A, se e somente se:
		
				A . B = B . A = In
	A matriz quadrada A denomina-se não singular se e somente se A possui uma inversa. Se A não possui uma inversa, A denomina-se singular. Diz-se também que, se a matriz quadrada A possui uma inversa, A é invertível; se A não possui uma inversa, A é não invertível.
Exemplo
	Sejam as matrizes: A = 
; então:
A . B = 
B . A = 
Observe que A . B = B . A = I2; então, B é inversa de A, ou A é invertível, ou A é não singular.
Teorema
	“ Se a matriz A é invertível , então é única a matriz B tal que:
				A . B = B . A = I.
Isto é, se A possui uma inversa, essa inversa é única.”
Demonstração
		Admitimos que exista uma matriz H tal que:
	A . H = H . A = I
Então:
	H = I . H = ( B . A ) . H = B . ( A . H ) = B . I = B,
o que demonstra nossa tese.
Observações
	Dada uma matriz quadrada A, invertível, de ordem n; a única matriz , A-1, quadrada de ordem n, tal que:
		A . A-1 = A-1 . A = I
é a matriz inversa de A.
Note que A e A-1 comutam e que:
					(A-1)-1 = A
Exemplo:
Verificar se A = 
é matriz inversível e obter sua inversa.
Se existir A-1 = 
, devemos ter A . A-1 = I2.
AA-1 = I2 
Portanto, a matriz A é inversível e A-1 = 
Observação
	Não é necessário verificar a igualdade A-1 A = I2, pois ela será certamente verdadeira.
Observe que para invertermos uma matriz A, de ordem n, pelo processo exposto acima, devemos resolver um sistema, com n equações e n incógnitas.
É exaustivo!
	Há outros métodos para a inversão de matrizes cada um deles com suas vantagens e desvantagens
Teorema:
	Seja A uma matriz invertível, respeitadas a conformabilidade, vale a equivalência:
Demonstração
	Se A é invertível, existe A-1; então , multiplicando-se por A-1, “à esquerda”, ambos os membros da equação A . X = B, obtemos sucessivamente:
Então, A . X = B 
 X = A-1 . B (I)
Inversamente , para X = A-1 . B, a equação A . X = B fica satisfeita:
	A . X = A . ( A-1 . B ) = ( A . A-1 ) . B = I . B = B
Então, X = A-1 . B 
 A . X = B (II)
De (I) e (II) vem a tese: A . X = B 
 X = A-1 . B
Teorema
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, invertíveis; então A . B é invertível e:
Demonstração
Temos:
	( A . B ) . ( B-1 . A-1 ) = A . ( B . B-1 ) . A-1 = A . In . A-1 = A . A-1 = In 
	 ( B-1 . A-1 ) . ( A . B ) . = B-1 . ( A . A-1 ) . B = B-1 . In . B = B-1 . B = In
Das duas igualdades acima concluímos que A . B é invertível e sua inversa é B-1 . A-1.
Teorema : Seja A uma matriz quadrada de ordem n, invertível; então
									
Demonstração
Temos:
				A . A-1 = A-1 . A = In
	Então , tomando as transpostas das matrizes iguais acima:
					( A . A-1 )t = ( A-1 . A )t = Itn
					( A . A-1 )t = ( A-1 . A )t = In
					( A-1 )t . At = At . ( A-1 )t = In
	A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação acima, que ( At )-1 = ( A-1)t.
Teorema
	Seja A uma matriz quadrada de ordem n, invertível e 
 um número real não nulo; então:
Demonstração
Temos:
		A . 
Daí: 		
	A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação acima, que ( ( . A)-1 = 
OBS.: Para obtermos de maneira prática a inversa de uma matriz de ordem 2, devemos seguir o seguinte processo:
Exemplo:
 se 
, existirá a inversa e ela é obtida da seguinte maneira: 
Exemplo: A = 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 logo, 
(1)	 De (1) e (2) decorre que c = 2 e a = -3.
(2)
(3)	De (3) e (4) decorre que d = -1 e b = 2.
(4)
A . X = B � EMBED Equation.3 ���X = A-1 . B
( A . B )-1 = B-1 . A-1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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