Aula sistemas lineares escalonamento

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 SISTEMAS EQUIVALENTES, ESCALONAMENTO
Dado um sistema linear S, denominamos operações elementares sobre as equações de S
 as seguintes operações:
1ª) trocar de lugares entre si duas equações;
2ª) multiplicar uma equação por um número real não nulo;
3ª) somar a uma equação uma outra equação do sistema previamente multiplicada por um número real.
 
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1º) Trocando de lugares as duas equações, obtemos o sistema
É evidente que S1 e S possuem o mesmo conjunto-solução.
 
Como exemplo, vamos considerar o sistema linear
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Se um par de números reais é solução de S1 , temos que 
 também é solução de S2 e, reciprocamente, se é
solução de S2 também é solução de S1, porque
Logo, S1 e S2 têm o mesmo conjunto-solução.
2º) Se multiplicarmos a primeira equação de S1 pelo número real k, k diferente de 0, obteremos o sistema
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Se é uma solução de S1 então é solução também de S3 e, reciprocamente, se é solução de S3 também é de S1 . Logo, S3 e S1 tem o mesmo conjunto-solução.
	Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando um deles pode ser obtido a partir do outro por meio de um número finito de aplicações das operações elementares.
3º) Agora vamos somar à segunda equação de S1 a primeira multiplicada pelo número real k, obtendo o sistema
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são equivalentes, porque S2 é obtido a partir de S1 somando-se a primeira equação à Segunda.
Exemplo
Os sistemas lineares
Ao aplicar uma operação elementar sobre um sistema linear, obtemos um novo sistema que tem o mesmo conjunto-solução do primeiro. Decorre, então, a seguinte propriedade:
Sistemas equivalentes possuem conjuntos-solução iguais
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Escalonamento de sistemas a duas incógnitas
Para resolver um dado sistema linear podemos aplicar as operações elementares para transformá-lo num sistema equivalente e mais simples, através da “eliminação de incógnitas”. (Eliminar uma incógnita numa equação significa substituir esta equação por outra em que tal incógnita tenha coeficiente zero.)
Nos sistemas lineares com mais de duas equações, deixamos a incógnita x com coeficiente não nulo apenas na 1ª equação e a eliminamos nas demais; nestas, deixamos a incógnita y com coeficiente não nulo apenas na 2ª equação e a eliminamos nas demais.
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	Observamos que, ao escalonar um sistema a duas incógnitas:
1º) se ocorrer uma equação da forma 0x + 0y = 0, ela pode ser suprimida pois aceita qualquer solução. Neste caso, devemos resolver o sistema formado pelas equações restantes;
2º) se ocorrer uma equação da forma 0x + 0y = c, com c diferente de 0, então o sistema é impossível.
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Exemplos
1) Resolver o sistema 
Solução:
O conjunto-solução é V = {( -13, -2 )}. O sistema é possível e determinado.
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2) Resolver o sistema 
Solução:
Como a equação 0x + 0y = 12 não possui solução, o sistema dado é impossível. O conjunto-solução é V =.
 
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