Aula 12 Sistemas Lineares

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Disciplina: ÁLGEBRA,		Ano Escolar: 2º.			Aula nº: 15
Título: Sistemas Lineares.		Nº do PE.:				Aula Rest.:
										Data: ___/___/___
RESUMO TEÓRICO
SISTEMA LINEARES
EQUAÇÃO LINEAR. SOLUÇÃO
Uma equação linear a n incógnita sobre lR é uma equação da forma
	
onde a1, a2, a3 , ... an e b são números reais conhecidos e x1, x2, ... xn são as incógnitas. Os números a1, a2, ..., an são chamados coeficientes e b é o termo independente.
	Uma solução da equação a1 x1 + a2x2 + ... + anxn = b é um conjunto ordenado de números reais ( 
	) para o qual a sentença a1
1 + a2
2 + ... + an
n = b é verdadeira.
	Conjunto-solução ou conjunto-verdade é o conjunto de todas as soluções da equação.
	Uma equação linear a n incógnitas, n > 1, pode ser indeterminada ( quando possui infinitas soluções ) ou impossível ( quando não possui solução ).
Exemplos
Considerando a equação linear x + 2y – 3z = 6 temos:
Os coeficientes são 1, 2 e –3 e o termo independente é 6.
Para x = 5, y = 2 e z =1 temos x + 2y – 3z = (5) + 2(2) – 3(1) = 6; logo ( 5, 2, 1) é uma solução da equação.
Para x = 4, y = 3 e z = 2 temos x + 2y – 3z = (4) + 2(3) – 3(2) = 4; logo ( 4, 3, 2) não é solução da equação.
Podemos obter soluções da equação atribuindo valores para y e para z e depois calculando x. Por exemplo, para y = 1 e z = 2 vem x + 2 (1) – 3(2) = 6 , logo x = 10; então ( 10, 1, 2 ) é solução da equação.
Para y = 
 e z = 
 vem x + 2
 + 3
; então o conjunto solução da equação é V = { ( 6 - 2
 + 3
, 
,
) ; 
 
lR,
 
lR}. Trata-se de uma equação indeterminada.
A equação linear 0x + 0y + 0z = 3 não possui solução. É uma equação impossível.
SISTEMA LINEAR. SOLUÇÃO
Um sistema linear a n incógnitas é um conjunto de duas ou mais equações lineares a n incógnitas, consideradas simultaneamente.
Uma seqüência ordenado de números reais ( 
 é solução do sistema se for solução de todas as equações do sistema.
Conjunto-solução ou conjunto-verdade é o conjunto de todas as soluções do sistema. Um sistema linear a n incógnitos pode ser classificado em determinado ( quando possui uma única solução ), indeterminado ( quando possui infinitas soluções ) ou impossível ( quando não possui solução).
Exemplos
Considerando o sistema 
S é um sistema linear de 2 equações a 3 incógnitas;
( 2, 0, 1) é solução de S, porque 
( 1, 1, 1) é solução da 1ª equação, pois (1) + (1) + 2(1) = 4, mas não é solução da 2ª equação, pois (1) – (1) – 2(1) 
0. Então não é solução do sistema;
S possui outras soluções, como por exemplo ( 2, 2, 0), (2, -2,2), (2, 10, -4), (2, -4, 3) etc. Logo, S é um sistema indeterminado.
Considerando o sistema 
S é um sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas;
( 1, 3, 2) é a única solução de S; logo é um sistema determinado.
EXERCÍCIOS
Verifique se é solução da equação 5x – 2y + 4 z = 10;
a) ( 4, 7, 1)	b) ( -1, -10, 2 )		c) ( 2, -1 , - 
)	d) ( -4, -3, 6)
Dê três soluções da equação 2x + y + 6z = 18.
Determine o conjunto-solução de cada equação.
a) x + y – z = 1.		B) 0x + 0y + 0z = 1
Determine o conjunto-solução de cada equação.
x – y – z = 0
2x + y + 0z = 1
0x + 2y – z = 2
0x + 0y + 2z = 3.
Calcule 
 sabendo que ( 1; 
; -1; 
 + 1 ) é solução da equação
Verifique se é solução do sistema 
a) ( -6, 0, 7)		b) ( 1, 1, 2)		c) ( 4, 1, 0)		d) ( 14, 2, -7)
Calcule a e b sabendo que ( 3, - 1, 7) é solução do sistema 
Calcule 
sabendo que ( -1; 3; 0; 
 ) é uma solução dos sistema 
.
Classifique em determinado, indeterminado ou impossível.
a) 
		b) 
MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR
Consideremos o sistema linear
Denominamos matriz completa de S a matriz
onde colocamos em cada linha, ordenadamente, os coeficientes e o termo independente de cada equação de S.
A matriz dos coeficientes (matriz incompleta)
é denominada matriz incompleta de S.
REGRA DE CRAMER
Dado um sistema linear de n equações a n incógnitas,
se o determinante D da matriz dos coeficientes for diferente de zero, então, S é possível e determinado. A única solução é 
onde Dj, j 
{ 1, 2, ..., n } , é o determinante obtido substituindo em D a coluna j pela coluna dos termos independentes.
Exemplos
Resolver o sistema 
Temos:
D = 
 = - 25, Dx = 
 = - 50,
Dy = 
 = 0, Dz = 
 = - 125.
Então: x = 
O conjunto-solução é V = {( 2, 0, 5)}.
EXERCÍCIOS
18) Resolva aplicando a regra de Cramer:
	
19) Resolva os sistemas.
	a) 
			b) 
20) Se 
.
21) Calcule z no sistema 
22) Resolva o sistema 
23) Resolva o sistema 
24) Resolva o sistema 
25) Se 
, calcule x, y e z em função de a, b e c.
SISTEMAS EQUIVALENTE, ESCALONAMENTO.
	Aplicando a regra de Cramer podemos, por exemplo, resolver sistemas lineares de 3 equações que tenham três incógnitas e apresentem o determinante da matriz incompleta D ( 0. Como fazer se D = 0? E no caso dos sistemas de 2 equações a 3 incógnita? E os de 4 equações a 3 incógnita? Um método geral para resolver sistemas lineares é o método de escalonamento, que emprega as operações elementares sobre as equações do sistema.
	Dado um sistema linear S, denominamos operações elementares sobre as equações de S as seguintes operações:
1ª) trocar de lugares entre si duas equações;
2ª) multiplicar uma equação por um número real não nulo;
3ª) somar a uma equação uma outra equação do sistema previamente multiplicada por um número real.
Como exemplo, vamos considerar o sistema linear
	S
 
1º) Trocando de lugares as duas equações, obtemos o sistema
	
S 
É evidente que S1 e S possuem o mesmo conjunto-solução.
2º) Se multiplicarmos a primeira equação de S
 pelo número real k, k 
0, obteremos o sistema
	S 
Se um par ordenado de números reais ( 
) é solução de S
, temos que ( 
) também é solução de S e, reciprocamente, se ( 
) é solução de S
 também é solução de S
, porque
	
�� EMBED Equation.3 
Logo, S
 e S têm o mesmo conjunto-solução.
3º) Agora vamos somar à Segunda equação de S
 a primeira multiplicada pelo número real k, obtendo o sistema
	
	
Se ( 
) é uma solução de S
, então é solução também de S3 e, reciprocamente, se ( 
) é solução de S3 também é de S
. Logo, S3 e S
 têm o mesmo conjunto-solução.
Sistemas equivalentes
	Dizemos que dois sistemas lineares são equivalente quando um deles pode ser obtido a partir do outro por meio de um número finito de aplicações das operações elementares.
Exemplo
Os sistemas lineares
	e	
são equivalente , porque S2 é obtido a partir de S1 somando-se a primeira equação à Segunda.
Propriedade
	Ao aplicar uma operação elementar sobre um sistema linear, obtemos um novo sistema que tem o mesmo conjunto-solução do primeiro. Decorre, então, a seguinte propriedade:
Escalonamento de sistemas a duas incógnitas
	Para resolver um dado sistema linear podemos aplicar as operações elementares para transformá-lo num sistema equivalente e mais simples, através da “eliminação de incógnitas”. (Eliminar uma incógnita numa equação significa substituir esta equação por outra em que tal incógnita tenha coeficiente zero.)
	Nos sistemas lineares com mais de duas equações, deixamos a incógnita x com coeficiente não nulo apenas na 1ª equação e a eliminamos nas demais; nestas, deixamos a incógnita y com coeficiente não nulo apenas na 2ª equação e a eliminamos nas demais.
	Um sistema linear na forma escalonada também é chamado sistema escalonado.
	Observamos que, ao escalonar um sistema a duas incógnitas:
1º) se ocorrer uma equação da forma 0x + 0y = 0, ela pode ser suprimida pois aceita qualquer solução.Neste caso, devemos resolver o sistema formado pelas equações restantes;
2º) se ocorrer uma equação da forma 0x + 0y = c, com c 
0, então o sistema é impossível.
Exemplos
Resolver o sistema 
Temos:
		
	
 
 
 
	
 
Somamos à 2ª eq. A 1ª multiplicada por 2; somamos à 3ª eq. a 1ª multiplicada por 5.
Somamos à 3ª. eq. a 2ª multiplicada por ( -1 ).
Suprimimos a 3ª. eq. , que aceita qualquer solução, e calculamos as incógnitas.
O conjunto-solução é V = {( -13, -2 )}. O sistema é possível e determinado.
Resolver o sistema 
Começaremos trocando de lugares a 1ª e 2ª equações. Temos:
		
	
 
 
 
 	
 
Somamos à 2ª eq. a 1ª multiplicada por ( -2); somamos à 3ª. eq. a 1ª multiplicada por ( -3).
Dividimos a 2ª eq. por 17 ( equivale a multiplicar por 
)
Somamos a 3ªeq. a 2ª multiplicada por ( -29).
Como a equação 0x + 0y = 12 não possui solução, o sistema dado é impossível. O conjunto-solução é V =(.
EXERCÍCIOS
Resolva cada sistema pelo método do escalonamento.
			 
		 
		 
Resolva os sistemas seguintes aplicando o método de escalonamento de cada um.
DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
	Considerando o sistema linear ( nas incógnitas x e y)
			S 
o determinante da matriz incompleta é 
			D = 
	Notemos que D = 0 
k² - 1 = 0 
 ( k = 1 ou k = -1 ).
	Então, se k 
1 e k 
 -1, concluímos ( pela regra de Cramer ) que S é um sistema determinado.
	Caso k =1, substituindo no sistema, a matriz completa ficará sendo 
Escalonando essa matriz ( somando à 2ª linha a 1ª multiplicada por –1) obtemos
					
Como a equação 0x + 0y = -2 é impossível, o sistema S é neste caso, impossível.
	Caso k = -1, a matriz completa ficará sendo 
. Adicionando a primeira linha à Segunda obtemos 
. Suprimindo a equação 0x + 0y = 0, o sistema ficará reduzido a uma equação com duas incógnitas: - x + y = 1 . Neste caso, o sistema S é indeterminado.
OBS: 
EXERCÍCIOS
Nos exercícios de (a) a (f) discuta os sistemas lineares de incógnitas x e y.
Nos exercícios de (a) a (h) discuta os sistemas de incógnitas x, y e z.
03) Calcule a e b de modo que o sistema 
 seja indeterminado.
04) Sob que condição o sistema 
 admite uma infinidade de soluções?
05) Para que valores de k o sistema 
 admite apenas uma solução?
06) Dê a condição para que o sistema 
não tenha solução.
07) Dê a condição para que o sistema 
 tenha solução.
08) Dê os valores de m para os quais o sistema 
 admite uma única solução. ( Sugestão : 2m³ - 3m² + 1 = 2m³ - 2m² - m² + 1 )
Para que valor de a o sistema 
 não tem solução?
Determine a e b de modo que o sistema 
 tenha infinitas soluções.
8. SISTEMAS HOMOGÊNEOS
	Um sistema linear onde os termos independentes em todas as equações são iguais a zero é denominado sistema homogêneo.
	Por exemplo, os sistemas S1 e S2 são sistemas homogêneos.
	
	
			
Solução Trivial
	O par (0, 0) é solução de todo sistema homogêneo a duas incógnitas. Observe que (0, 0), isto é, x = y = 0, é solução de S1 e também de S2. A solução (0, 0) é denominada solução trivial ou solução nula ou solução imprópria .
	Todo sistema homogêneo a n incógnitas admite a solução trivial (0; 0; 0; ...; 0).
Discussão
	Todo sistema linear homogêneo é sistema possível, pois admite pelo menos uma solução ( a trivial). Assim, um sistema linear homogêneo só pode ser classificado em sistema determinado: tem apenas a solução trivial,
	ou
 sistema indeterminado: tem a solução trivial e outras soluções, denominadas soluções próprias.
	No caso de um sistema linear homogêneo S de n equações a n incógnitas, sendo D o determinante da matriz incompleta , temos:
	
Exemplos
Classificar e resolver os sistemas homogêneos:
a)
		b) 
Temos:
a) D = 
	Como D 
 0 o sistema é determinado. ( Admite apenas a solução trivial).
	Logo, V = {(0, 0)}
b) D = 
	Como D = 0 o sistema é indeterminado. ( Admite a solução trivial e soluções próprias.)
	
	Fazendo x = 
 vem y = 2
	Logo, V = {( 
); 
}.
EXERCÍCIOS
Resolva os sistemas homogêneos.
			c) 
		d) 
Classifique em determinado ou indeterminado:
a) 
			b) 
Para que valores de k o sistema 
 é determinado?
Discuta o sistema 
em função dos valores do parâmetro real k.
Para que valores de m o sistema 
 admite apenas a solução trivial ?
Discuta o sistema homogêneo 
Para que valores de 
 o sistema 
admite apenas a solução trivial?
Para que valores de m o sistema 
admite soluções distintas da solução ( 0, 0, 0)?
Considere o sistema linear S:
Prove que S é possível e indeterminado.
Encontre a solução geral de S.
Para que valores de a o sistema 
admite soluções próprias ?
Para que valores de 
 o sistema 
admite soluções distintas da trivial ?
Discuta em função dos valores do parâmetro real 
 o sistema 
Calcule os valores de a, b e c de modo que o sistema 
 seja homogêneo e admita soluções próprias.
O sistema homogêneo
é determinado ou indeterminado?
Calcule k de modo que a equação
	
 tenha apenas a solução nula 
PROBLEMAS PROPOSTOS
Resolva os sistemas:
a) 
		b) 
Resolva os sistemas:
a) 
		b) 
Há três anos Carlinhos tinha o triplo da idade de André e daqui a três anos a idade de Carlinhos será o dobro da de André. Quais são suas idades hoje?
Se Danilo der Cz$ 2.500,00 a Edu, os dois ficarão com a mesma quantia; mas se Edu der Cz$ 2.200,00 a Danilo este ficará com o dobro do primeiro. Quanto tem cada um ?
Resolva o sistema 
Resolva o sistema 
Determine, sob a forma mais simples possível, o valor de x no sistema
sendo a 
1 e a 
-2.
Resolva pela regra de Cramer o sistema
Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:
		e		
Discuta e resolva: 
Discuta e resolva o sistema 
Discuta e resolva o sistema 
, onde a 
0 e b 
0.
Resolva o sistema 
Discutir o sistema 
Dadas as matrizes A = 
 e X = 
, determine os valores de 
 para os quais a equação AX = 
 admite solução X 
 
Sejam 
 os valores distintos de 
 para os quais a equação
Para quais valores de a o sistema linear
 	
admite solução?
Qual é a relação que a, b e c devem satisfazer de modo que o sistema
	tenha pelo menos uma solução?
CARACTERÍSTICAS DE UMA MATRIZ – TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI
Matriz escalonada
	Dada a matriz A = ( aij)m x n, dizemos que A é uma matriz escalonada ou que está na forma escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta, linha após linha, até que restem eventualmente apenas linhas nulas.
	Exemplo
	As matrizes A, B, C estão na forma escalonada.
	A = 
	B = 
 C = 
Matrizes linha-equivalente
	Dizemos que a matriz A’ é linha-equivalente à matriz A, se A’ for obtida de A por meio de uma seqüência finita de operações, chamadas operações elementares sobre linhas. Tais operações são:
Troca de posição de duas linhas.
Multiplicação de uma linha qualquer por um número K 
 0.
Substituição de uma linha, pela soma desta com outra qualquer.
Com estas três operações podemos, dada uma matriz A, encontrar uma matriz A’ na forma escalonada, linha-equivalente a A.
Exemplo
Dada a matriz 
Vamos encontrar uma matriz A’ escalonada, linha-equivalente a A
Temos
		(-1)
substituição da 2ª linha pela soma as mesma com a 1ª multiplicada por –3
		 (-3)
substituição da 3ª linha pela soma damesma com 1ª multiplicada por –3
 (-1)
substituição da 3ª linha pela soma da mesma com 2ª multiplicada por –1.
A matriz 
			A’ = 
É uma matriz escalonada linha-equivalente a A.
	Notemos que as operações elementares sobre linhas de uma matriz A são análogas às operações para o escalonamento de um sistema linear. Tal fato será evidenciado quando, mais adiante, estudaremos o teorema de Rouché-Capelli.
Característica de uma matriz
	Seja A uma matriz qualquer e A’ uma matriz escalonada, linha-equivalente a A. Chamamos de característica da matriz A, e indicamos por 
 (A), ao número de linhas não nulas de A’.
Exemplos
1º) A = 
, escalonando a matriz A, obteremos:
 
 A’ = 
. Logo, 
 (A) = 2.
2º) A = 
, escalonando a matriz A, obteremos:
 A’ = 
. Logo, 
 (A) = 2.
3º)
A = 
, escalonando a matriz A, obteremos:
A’ = 
. Logo, 
 (A) = I.
Determine as características das seguintes matrizes:
O que é característica de uma matriz?
Qual é a característica da matriz abaixo ?
 
	Justificando a resposta, calcule a característica da matriz:
	
	Qual o valor máximo da característica de uma matriz 3 x 4 ?
	Discuta, segundo os valores do parâmetro a, as características das seguintes matrizes:
	a) 
		b) 
Determine m de modo que a características da matriz seja igual a 2.
Determine m de modo que a característica da matriz seja 3.
TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI
Consideremos um sistema linear
	
Sejam A e B as matrizes incompletas e completa do sistema, isto é:
A = 
		B = 
Então
Se 
(A) = 
(B) = n 		O sistema é possível e determinado
Se 
(A) = 
(B) < n		O sistema é possível e indeterminado
Se 
(A) <
(B)		O sistema é impossível
EXERCÍCIOS
Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
Dado o sistema:
Para que valores de a e b este sistema é:
a) possível?		b) simplesmente indeterminado?		c) duplamente indeterminado?
Justifique as respostas utilizando o teorema de Rouché.
Determine o valor de k, de modo que o sistema
Seja: a) indeterminado		b) impossível
Sistemas equivalente possuem conjuntos-soluções iguais.
(1)
(2)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(2)
h) � EMBED Equation.3 ���
i)� EMBED Equation.3 ���
j) � EMBED Equation.3 ���
l) � EMBED Equation.3 ���
h) � EMBED Equation.3 ���
i)� EMBED Equation.3 ���
j) � EMBED Equation.3 ���
l) � EMBED Equation.3 ���
m) � EMBED Equation.3 ���
n) � EMBED Equation.3 ���
o) � EMBED Equation.3 ���
D � EMBED Equation.3 ���0 � EMBED Equation.3 ��� S é determinado;
D = 0 � EMBED Equation.3 ��� S é indeterminado ou impossível.
D � EMBED Equation.3 ���0 � EMBED Equation.3 ��� S é determinado;
D = 0 � EMBED Equation.3 ��� S é indeterminado .
f)� EMBED Equation.3 ���
g)� EMBED Equation.3 ���
h)� EMBED Equation.3 ���
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