Aula 12 Sistemas Lineares

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Disciplina: ÁLGEBRA, Ano Escolar: 2º. Aula nº: 15 
Título: Sistemas Lineares. Nº do PE.: Aula Rest.: 
 Data: ___/___/___ 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
 
SISTEMA LINEARES 
 
 
1. EQUAÇÃO LINEAR. SOLUÇÃO 
 
Uma equação linear a n incógnita sobre lR é uma equação da forma 
 
 
bnxnaxaxaxa  ...332211
 
 
onde a1, a2, a3 , ... an e b são números reais conhecidos e x1, x2, ... xn são as incógnitas. Os 
números a1, a2, ..., an são chamados coeficientes e b é o termo independente. 
 
 Uma solução da equação a1 x1 + a2x2 + ... + anxn = b é um conjunto ordenado de 
números reais ( 
n ,...,2,1
 ) para o qual a sentença a1 1 + a2 2 + ... + an n = b é 
verdadeira. 
 
 Conjunto-solução ou conjunto-verdade é o conjunto de todas as soluções da equação. 
 
 Uma equação linear a n incógnitas, n > 1, pode ser indeterminada ( quando possui 
infinitas soluções ) ou impossível ( quando não possui solução ). 
 
Exemplos 
 
1. Considerando a equação linear x + 2y – 3z = 6 temos: 
 
a) Os coeficientes são 1, 2 e –3 e o termo independente é 6. 
b) Para x = 5, y = 2 e z =1 temos x + 2y – 3z = (5) + 2(2) – 3(1) = 6; logo ( 5, 2, 1) é uma 
solução da equação. 
c) Para x = 4, y = 3 e z = 2 temos x + 2y – 3z = (4) + 2(3) – 3(2) = 4; logo ( 4, 3, 2) não é 
solução da equação. 
d) Podemos obter soluções da equação atribuindo valores para y e para z e depois 
calculando x. Por exemplo, para y = 1 e z = 2 vem x + 2 (1) – 3(2) = 6 , logo x = 10; 
então ( 10, 1, 2 ) é solução da equação. 
e) Para y = 

 e z = 

 vem x + 2

 + 3

; então o conjunto solução da equação é 
V = { ( 6 - 2

 + 3

, 

,

) ; 

 

lR,

 

lR}. Trata-se de uma equação indeterminada. 
 
2. A equação linear 0x + 0y + 0z = 3 não possui solução. É uma equação impossível. 
 
2. SISTEMA LINEAR. SOLUÇÃO 
 
Um sistema linear a n incógnitas é um conjunto de duas ou mais equações lineares a n 
incógnitas, consideradas simultaneamente. 
Uma seqüência ordenado de números reais ( 
),...,2,1 n
 é solução do sistema se for 
solução de todas as equações do sistema. 
Conjunto-solução ou conjunto-verdade é o conjunto de todas as soluções do sistema. Um 
sistema linear a n incógnitos pode ser classificado em determinado ( quando possui uma única 
solução ), indeterminado ( quando possui infinitas soluções ) ou impossível ( quando não 
possui solução). 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
3. Considerando o sistema 
:
02
42
temos
zyx
zyx
S




 
 
a) S é um sistema linear de 2 equações a 3 incógnitas; 
b) ( 2, 0, 1) é solução de S, porque 





);(0)1(2)0()2(
)(4)1(2)0()2(
V
V 
c) ( 1, 1, 1) é solução da 1ª equação, pois (1) + (1) + 2(1) = 4, mas não é solução da 2ª 
equação, pois (1) – (1) – 2(1) 

0. Então não é solução do sistema; 
d) S possui outras soluções, como por exemplo ( 2, 2, 0), (2, -2,2), (2, 10, -4), (2, -4, 3) etc. 
Logo, S é um sistema indeterminado. 
 
4. Considerando o sistema 
:
200
10
6
temos
zyx
zyx
zyx
S








 
 
a) S é um sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas; 
b) ( 1, 3, 2) é a única solução de S; logo é um sistema determinado. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
01) Verifique se é solução da equação 5x – 2y + 4 z = 10; 
 
a) ( 4, 7, 1) b) ( -1, -10, 2 ) c) ( 2, -1 , - 
2
1
) d) ( -4, -3, 6) 
 
02) Dê três soluções da equação 2x + y + 6z = 18. 
 
03) Determine o conjunto-solução de cada equação. 
 
a) x + y – z = 1. B) 0x + 0y + 0z = 1 
 
04) Determine o conjunto-solução de cada equação. 
 
a) x – y – z = 0 
b) 2x + y + 0z = 1 
c) 0x + 2y – z = 2 
d) 0x + 0y + 2z = 3. 
 
05) Calcule 

 sabendo que ( 1; 

; -1; 

 + 1 ) é solução da equação 
 
.124533212  xxxx
 
 
06) Verifique se é solução do sistema 








13
10423
932
zyx
zyx
zyx
 
 
a) ( -6, 0, 7) b) ( 1, 1, 2) c) ( 4, 1, 0) d) ( 14, 2, -7) 
 
07) Calcule a e b sabendo que ( 3, - 1, 7) é solução do sistema 





.23
2
bzayx
bzyx 
 
08) Calcule 
 e
sabendo que ( -1; 3; 0; 

 ) é uma solução dos sistema 





wzyx
wzyx
36
5232
. 
 
09) Classifique em determinado, indeterminado ou impossível. 
 
a) 








55
32
42
z
zy
zyx
 b) 








4
2
13
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
3. MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR 
 
 
Consideremos o sistema linear 
 










.332211
22...323222121
11...313212111
mbnxmnaxmaxmaxma
bnxnaxaxaxa
bnxnaxaxaxa
S

 
 
 
Denominamos matriz completa de S a matriz 
 














mbmnamamama
bnaaaa
bnaaaa




321
22232221
11131211
 
 
 
onde colocamos em cada linha, ordenadamente, os coeficientes e o termo independente de 
cada equação de S. 
 
 
A matriz dos coeficientes (matriz incompleta) 
 














mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa




321
2232221
1131211
 
 
é denominada matriz incompleta de S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. REGRA DE CRAMER 
 
Dado um sistema linear de n equações a n incógnitas, 
 










,2211
22...222121
11...212111
nbnxnnaxnaxna
bnxnaxaxa
bnxnaxaxa
S

 
 
se o determinante D da matriz dos coeficientes for diferente de zero, então, S é possível e 
determinado. A única solução é 







D
nD
nx
D
D
x
D
D
x ,,22,
1
1 
onde Dj, j  { 1, 2, ..., n } , é o 
determinante obtido substituindo em D a coluna j pela coluna dos termos independentes. 
 
 
 
Exemplos 
 
Resolver o sistema 








.1824
132
72
zyx
zyx
zyx
 
 
Temos: 
 
D = 
214
132
121


 = - 25, Dx = 
2118
131
127


 = - 50, 
 
 
Dy = 
2184
112
171

 = 0, Dz = 
1814
132
721


 = - 125. 
 
 
Então: x = 
.5
25
125
0
25
0
,2
25
50









D
zDze
D
yD
y
D
xD
 
 
 
O conjunto-solução é V = {( 2, 0, 5)}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
18) Resolva aplicando a regra de Cramer: 
 
a) 





987
876
yx
yx 
b) 








.662
113
42
zyx
zyx
zyx
 
 
19) Resolva os sistemas. 
 
 a) 








4653
3542
232
zyx
zyx
zyx
 b) 








.923
93
23
zy
zx
zyx
 
 
20) Se 








yxz
ydevalorocalculexzy
zyx
31
,22
3
. 
 
21) Calcule z no sistema 








.5)(2
4)(2
3)(2
yxz
xzy
zyx
 
 
22) Resolva o sistema 








.8
5
2
zzyx
yzyx
xzyx
 
 
23) Resolva o sistema 








274
.3sup02
1
zyx
aondoazyx
zyx
 
 
24) Resolva o sistema 








22
.11sup
1
aazyxa
aeaondoazyax
zx
 
25) Se 








zyxc
zyxb
zyxa
, calcule x, y e z em função de a, b e c.5. SISTEMAS EQUIVALENTE, ESCALONAMENTO. 
 
 
 
 Aplicando a regra de Cramer podemos, por exemplo, resolver sistemas lineares de 3 
equações que tenham três incógnitas e apresentem o determinante da matriz incompleta D  
0. Como fazer se D = 0? E no caso dos sistemas de 2 equações a 3 incógnita? E os de 4 
equações a 3 incógnita? Um método geral para resolver sistemas lineares é o método de 
escalonamento, que emprega as operações elementares sobre as equações do sistema. 
 Dado um sistema linear S, denominamos operações elementares sobre as equações de 
S as seguintes operações: 
 
1ª) trocar de lugares entre si duas equações; 
2ª) multiplicar uma equação por um número real não nulo; 
3ª) somar a uma equação uma outra equação do sistema previamente multiplicada por um 
número real. 
 
Como exemplo, vamos considerar o sistema linear 
 
 S
1
 





.222
111
cybxa
cybxa 
 
1º) Trocando de lugares as duas equações, obtemos o sistema 
 
 
S 





.111
222
cybxa
cybxa 
 
É evidente que S1 e S possuem o mesmo conjunto-solução. 
 
2º) Se multiplicarmos a primeira equação de S
1
 pelo número real k, k 

0, obteremos o sistema 
 
 S 





.222
111
cybxa
kcykbxka 
 
Se um par ordenado de números reais ( 
,
) é solução de S
1
, temos que ( 
,
) também é 
solução de S e, reciprocamente, se ( 
,
) é solução de S
2
 também é solução de S
1
, porque 
 
 
 111 cba  )0(111  kkckbka  
 
Logo, S
1
 e S têm o mesmo conjunto-solução. 
 
3º) Agora vamos somar à Segunda equação de S
1
 a primeira multiplicada pelo número real k, 
obtendo o sistema 
 
 






21)21()21
(
111
3
ckcybkbxaka
cybxa
S
 
 
Se ( 
,
) é uma solução de S
1
, então é solução também de S3 e, reciprocamente, se ( 
,
) é solução de S3 também é de S
1
. Logo, S3 e S
1
 têm o mesmo conjunto-solução. 
 
Sistemas equivalentes 
 
 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalente quando um deles pode ser obtido a 
partir do outro por meio de um número finito de aplicações das operações elementares. 
 
Exemplo 
 
Os sistemas lineares 
 





1
3
1
yx
yx
S
 e 





42
3
2
y
yx
S
 
são equivalente , porque S2 é obtido a partir de S1 somando-se a primeira equação à Segunda. 
 
 
Propriedade 
 
 Ao aplicar uma operação elementar sobre um sistema linear, obtemos um novo sistema 
que tem o mesmo conjunto-solução do primeiro. Decorre, então, a seguinte propriedade: 
 
 
 
Escalonamento de sistemas a duas incógnitas 
 
 Para resolver um dado sistema linear podemos aplicar as operações elementares para 
transformá-lo num sistema equivalente e mais simples, através da “eliminação de incógnitas”. 
(Eliminar uma incógnita numa equação significa substituir esta equação por outra em que tal 
incógnita tenha coeficiente zero.) 
 
 Nos sistemas lineares com mais de duas equações, deixamos a incógnita x com 
coeficiente não nulo apenas na 1ª equação e a eliminamos nas demais; nestas, deixamos a 
incógnita y com coeficiente não nulo apenas na 2ª equação e a eliminamos nas demais. 
 
 Um sistema linear na forma escalonada também é chamado sistema escalonado. 
 Observamos que, ao escalonar um sistema a duas incógnitas: 
 
1º) se ocorrer uma equação da forma 0x + 0y = 0, ela pode ser suprimida pois aceita qualquer 
solução. Neste caso, devemos resolver o sistema formado pelas equações restantes; 
2º) se ocorrer uma equação da forma 0x + 0y = c, com c 

0, então o sistema é impossível. 
 
 
Exemplos 
 
01) Resolver o sistema 








23215
2122
73
yx
yx
yx
 
 
Temos: 








23215
2122
73
yx
yx
yx
 

 








1260
1260
73
yx
yx
yx
 

 
 

 








000
1260
73
yx
yx
yx
 

 





2
13
y
x 
 
(1) Somamos à 2ª eq. A 1ª multiplicada por 2; somamos à 3ª eq. a 1ª multiplicada por 5. 
(2) Somamos à 3ª. eq. a 2ª multiplicada por ( -1 ). 
(3) Suprimimos a 3ª. eq. , que aceita qualquer solução, e calculamos as incógnitas. 
 
O conjunto-solução é V = {( -13, -2 )}. O sistema é possível e determinado. 
 
Sistemas equivalente possuem conjuntos-soluções iguais. 
 
(1) (2) 
(2) (3) 
02) Resolver o sistema 








.1083
97
132
yx
yx
yx
 
 
Começaremos trocando de lugares a 1ª e 2ª equações. Temos: 
 








1083
132
97
yx
yx
yx
 

 








17290
17170
97
yx
yx
yx
 

 
 
 
 

 








17290
10
97
yx
yx
yx
 

 








1200
10
97
yx
yx
yx
 
 
 
(1) Somamos à 2ª eq. a 1ª multiplicada por ( -2); somamos à 3ª. eq. a 1ª multiplicada por ( -
3). 
(2) Dividimos a 2ª eq. por 17 ( equivale a multiplicar por 
.
17
1
) 
(3) Somamos a 3ªeq. a 2ª multiplicada por ( -29). 
 
Como a equação 0x + 0y = 12 não possui solução, o sistema dado é impossível. O conjunto-
solução é V =. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
01) Resolva cada sistema pelo método do escalonamento. 
 
a) 





2353
24
yx
yx 
b) 





864
432
yx
yx 
c) 





105
1267
yx
yx 
d) 





377
733
yx
yx 
e) 





033
022
yx
yx 
f) 





282
14
yx
yx 
g) 





263
2105
yx
yx 
 
 
(1) (2) 
(2) (3) 
h) 








745
573
33
yx
yx
yx
 
i)








258
1863
15
yx
yx
yx
 
j) 








242
12
12
yx
yx
yx
 
l) 








10105
32
12
yx
yx
yx
 
 
02) Resolva os sistemas seguintes aplicando o método de escalonamento de cada um. 
 
a) 





22375
36
yx
yx 
b) 





12155
562
yx
yx 
c) 








4456
42
83
yx
yx
yx
 
d) 








338
53
723
yx
yx
yx
 
e) 








652
243
632
zyx
zyx
zyx
 
f) 








104
12
4
zyx
zyx
zyx
 
g) 








423
22
42
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
 Considerando o sistema linear ( nas incógnitas x e y) 
 
 S 





,1
1
kyx
ykx 
o determinante da matriz incompleta é 
 
 D = 
.12
1
1
 k
k
k 
 
 Notemos que D = 0 

k² - 1 = 0 

 ( k = 1 ou k = -1 ). 
 
 Então, se k 

1 e k 

 -1, concluímos ( pela regra de Cramer ) que S é um sistema 
determinado. 
 Caso k =1, substituindo no sistema, a matriz completa ficará sendo 






111
111 
 
h) 








33
63
6522
zyx
zyx
zyx
 
i)








1273
42
20395
zyx
zyx
zyx
 
j) 




352
02
zyx
zyx
 
l) 





10442
522
zyx
zyx
 
m) 











10572
6104
022
2
zyx
zyx
zyx
zyx
 
n) 











53
022
0
2
wyx
wzyx
wzyx
wzyx
 
o) 













5
4
3
2
1
wzyx
tzyx
twyx
twzx
twzyx
 
Escalonando essa matriz ( somando à 2ª linha a 1ª multiplicada por –1) obtemos 
 
 
.
200
111







 
 
Como a equação 0x + 0y = -2 é impossível, o sistema S é neste caso, impossível. 
 
 Caso k = -1, a matriz completa ficará sendo 








111
111
. Adicionando a primeira linha 
à Segunda obtemos 






000
111
. Suprimindo a equação 0x + 0y = 0, o sistema ficará reduzido 
a uma equação com duas incógnitas: - x + y = 1 . Neste caso, o sistema S é indeterminado. 
 
 
 
OBS: 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Nos exercícios de (a) a (f) discuta os sistemas lineares de incógnitas x e y. 
 
a) 





42
2
ymx
yx 
b) 





43
2
aayx
ayx 
c) 2 1a x y
x y a
  

 
 
d) 





kyx
ymx
36
18 
e) 





aayx
yxa
3
1)1( 
f) 





bayx
byxa
2
)1( 
 
02) Nos exercícios de (a) a (h) discuta os sistemas de incógnitas x, y e z. 
 
a) 








mzyx
zyx
mzyx
2
232
1
 
b) 








1286
8765
432
azyx
zyx
zyx
 
c) 








13
43
22
kzyx
zkyx
zyx
 
d) 








mzyx
mzmyx
mzyx
2634
42
1
 
D 

0 

 S é determinado; 
D = 0 

 S é indeterminado ou impossível. 
e) 








1
1
1
xmz
zmy
ymx
 
f) 








bzyx
zayx
zyx
32
043
53
 
g) 








2342
32
24
zyx
zyx
bazyx
 
h) 








kzyx
kzy
mzx
2
1
 
 
 
03) Calcule a e b de modo que o sistema 





byx
ayx
36
126 seja indeterminado. 
 
04) Sob que condição o sistema 





byx
ayx
46
24 admite uma infinidade de soluções? 
05) Para que valores de k o sistema 






12)3(
1)12(
yxk
yxk
 admite apenas uma solução? 
06) Dê a condição para que o sistema 





byx
ayx
3
23 não tenha solução. 
07) Dê a condição para que o sistema 





01
01
aybx
byax tenha solução. 
08) Dê os valores de m para os quais o sistema 








1
1
1
zmymx
mzymx
mzmyx
 admite uma única solução. ( 
Sugestão : 2m³ - 3m² + 1 = 2m³ - 2m² - m² + 1 ) 
 
10) Para que valor de a o sistema 









22
122
azayx
azyax
zyx
 não tem solução? 
 
11) Determine a e b de modo que o sistema 








2
0223
2
bzyx
zyx
azyx
 tenha infinitas soluções. 
 
 
8. SISTEMAS HOMOGÊNEOS 
 
 Um sistema linear onde os termos independentes em todas as equações são iguais a 
zero é denominado sistema homogêneo. 
 Por exemplo, os sistemas S1 e S2 são sistemas homogêneos. 
 
 





0203
0117
1
yx
yx
S
 










01123
0
2
3
09
2
yx
y
x
yx
S 
Solução Trivial 
 
 O par (0, 0) é solução de todo sistema homogêneo a duas incógnitas. Observe que 
(0, 0), isto é, x = y = 0, é solução de S1 e também de S2. A solução (0, 0) é denominada 
solução trivial ou solução nula ou solução imprópria . 
 Todo sistema homogêneo a n incógnitas admite a solução trivial (0; 0; 0; ...; 0). 
 
Discussão 
 
 Todo sistema linear homogêneo é sistema possível, pois admite pelo menos uma 
solução ( a trivial). Assim, um sistema linear homogêneo só pode ser classificado em sistema 
determinado: tem apenas a solução trivial, 
 ou 
 sistema indeterminado: tem a solução trivial e outras soluções, denominadas soluções 
próprias. 
 
 No caso de um sistema linear homogêneo S de n equações a n incógnitas, sendo D o 
determinante da matriz incompleta , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
01) Classificar e resolver os sistemas homogêneos: 
 
a)





087
023
yx
yx b) 





024
036
yx
yx 
 
Temos: 
 
a) D = 
38
87
23

 Como D  0 o sistema é determinado. ( Admite apenas a solução 
trivial). 
 
 Logo, V = {(0, 0)} 
 
b) D = 
0
24
33


 Como D = 0 o sistema é indeterminado. ( Admite a solução trivial e 
soluções próprias.) 
 
 02
02
02
024
036












yx
yx
yx
yx
yx 
 
 Fazendo x = 

 vem y = 2
.
 
 Logo, V = {( 
 2,
); 
lR
}. 
 
 
 
 
 
 
D 

0 

 S é determinado; 
D = 0 

 S é indeterminado . 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
01) Resolva os sistemas homogêneos. 
 
a) 





023
02
yx
yx
 c) 








063
0105
02
yx
yx
yx
 
b) 





035
0610
yx
yx d) 








095
012
034
yx
yx
yx
 
 
02) Classifique em determinado ou indeterminado: 
 
a) 





042
0189
yx
x b) 





06
0216
yx
yx 
 
03) Para que valores de k o sistema 





03
02
yx
ykx é determinado? 
 
04) Discuta o sistema 





02
05
yx
kyx em função dos valores do parâmetro real k. 
 
05) Para que valores de m o sistema 






042
02
yxm
myx admite apenas a solução trivial ? 
 
06) Discuta o sistema homogêneo 








.02
0
0
mzmyx
mzmyx
zyx
 
 
07) Para que valores de 

 o sistema 








0432
0
0
zyx
zyx
zyx


admite apenas a solução trivial? 
 
08) Para que valores de m o sistema 








032
0
0
zx
mzyx
zmyx
admite soluções distintas da solução ( 0, 0, 
0)? 
 
09) Considere o sistema linear S: 
 








.0
0
0
yx
zyx
zyx
 
a) Prove que S é possível e indeterminado. 
b) Encontre a solução geral de S. 
 
10) Para que valores de a o sistema 





0)1(2
04)1(
yax
yxa admite soluções próprias ? 
11) Para que valores de 

 o sistema 





xy
yx

 admite soluções distintas da trivial ? 
 
12) Discuta em função dos valores do parâmetro real 

 o sistema 





.yyx
xyx

 
 
13) Calcule os valores de a, b e c de modo que o sistema 





bcayx
byax 2 seja homogêneo e 
admita soluções próprias. 
 
14) O sistema homogêneo 
 











0
032
022
0
zyx
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
é determinado ou indeterminado? 
 
15) Calcule k de modo que a equação 
 











k
k
2111
111
111
 





















0
0
0
z
y
x
 tenha apenas a solução nula 
.
0
0
0










 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
01) Resolva os sistemas: 
 
a) 









18
43
4
25
yx
yx
 b) 















5
83
2
42
yxyx
yxyx
 
 
02) Resolva os sistemas: 
 
a) 





aayax
aayax
coscossen
sensencos b) 





.coscossen
sensencos
bayax
bayax 
 
03) Há três anos Carlinhos tinha o triplo da idade de André e daqui a três anos a idade de 
Carlinhos será o dobro da de André. Quais são suas idades hoje? 
 
04) Se Danilo der Cz$ 2.500,00 a Edu, os dois ficarão com a mesma quantia; mas se Edu der 
Cz$ 2.200,00 a Danilo este ficará com o dobro do primeiro. Quanto tem cada um ? 
 
05) Resolva o sistema 












.1
2
1
23
2
1
yx
z
z
yx
zyx
 
 
06) Resolva o sistema 












.3
213
2
121
5
112
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Determine, sob a forma mais simples possível, o valor de x no sistema 








2
2
3
azyx
zayx
azyax
 
sendo a 

1 e a 

-2. 
 
08) Resolva pela regra de Cramer o sistema 
 












.1
2
1
32
z
b
y
a
x
bzy
a
x
azayax
 
 
09) Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas: 
 





2
0
yx
yx e 





1
1
aybx
byax 
 
10) Discuta e resolva: 





432
3
myx
myx 
 
11) Discuta e resolva o sistema 





.
1
bayax
yx 
 
12) Discuta e resolva o sistema 








1
1
a
y
b
x
b
y
a
x
, onde a 

0 e b 

0. 
 
13) Resolva o sistema 








.2
2
yx
myx
ymx
 
 
14) Discutir o sistema 








.
2
1
myx
yx
ymx
 
 
15) Dadas as matrizes A = 






11
01
 e X = 






y
x
, determine os valores de 

 para os quais a 
equação AX = 
X
 admite solução X 

 
.
0
0






 
 
16) Sejam 
21  e
 os valores distintos de 

 para os quais a equação 
 


















2
1
2
1
23
32
x
x
x
x

 
 
 
17) Para quais valores de a o sistema linear 
 
 









22
432
1
azy
azyx
zyx
admite solução? 
 
18) Qual é a relação que a, b e c devem satisfazer de modo que o sistema 
 








.72
1162
32
czyx
bzyx
azyx
 tenha pelo menos uma solução? 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DE UMA MATRIZ – TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI 
 
 
 
Matriz escalonada 
 
 Dada a matriz A = ( aij)m x n, dizemos que A é uma matriz escalonada ou que está na 
forma escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma 
linha aumenta, linha após linha, até que restem eventualmente apenas linhas nulas. 
 
 Exemplo 
 
 As matrizes A, B, C estão na forma escalonada. 
 
 A = 










5300
3120
7243
 B = 













000
300
240
325
 C = 











 
00000
10000
30200
64213
 
 
Matrizes linha-equivalente 
 
 Dizemos que a matriz A’ é linha-equivalente à matriz A, se A’ for obtida de A por meio de 
uma seqüência finita de operações, chamadas operações elementares sobre linhas. Tais 
operações são: 
 
1) Troca de posição de duas linhas. 
2) Multiplicação de uma linha qualquer por um número K 

 0. 
3) Substituição de uma linha, pela soma desta com outra qualquer. 
 
Com estas três operações podemos, dada uma matriz A, encontrar uma matriz A’ na forma 
escalonada, linha-equivalente a A. 
 
Exemplo 
 
Dada a matriz 
 









 
3003
1134
0231
 
 
Vamos encontrar uma matriz A’ escalonada, linha-equivalente a A 
Temos 
 









 
3003
1134
0231
 (-1) 
 
 
 
substituição da 2ª linha pela soma as mesma com a 1ª multiplicada por –3 
 












3003
1990
0231
 (-3) 
 
substituição da 3ª linha pela soma da mesma com 1ª multiplicada por –3 
 













3690
1990
0231
 (-1) 
 
substituição da 3ª linha pela soma da mesma com 2ª multiplicada por –1. 
 













2300
1990
0231
 
 
A matriz 
 A’ = 













2300
1990
0231
 
 
É uma matriz escalonada linha-equivalente a A. 
 Notemos que as operações elementares sobre linhas de uma matriz A são análogas às 
operações para o escalonamento de um sistema linear. Tal fato será evidenciado quando, mais 
adiante, estudaremos o teorema de Rouché-Capelli. 
 
 
Característica de uma matriz 
 
 Seja A uma matriz qualquer e A’ uma matriz escalonada, linha-equivalente a A. 
Chamamos de característica da matriz A, e indicamos por 

 (A), ao número de linhas não 
nulas de A’. 
 
Exemplos 
 
1º) A = 






84
52
, escalonando a matriz A, obteremos: 
 
 A’ = 






 20
52
. Logo, 

 (A) = 2. 
 
2º) A = 












1042
152
431
, escalonando a matriz A, obteremos: 
 
 A’ = 











000
910
431
. Logo, 

 (A) = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
3º) 
A = 










3333
2222
1111
, escalonando a matriz A, obteremos: 
 
A’ = 










0000
0000
1111
. Logo, 

 (A) = I. 
01) Determine as características das seguintes matrizes: 
 
a) 












642
122
321
 
b) 














3113
0101
1111
2121
 
c) 












2420
1132
0111
 
d) 














114
121
130
112
 
 
f)













225
134
112
011
 
 
g)












3124
1032
0201
 
 
h)











 
3213
0121
0132
1111
 
 
e) 














624
312
102
312
 
 
 
a) O que é característica de uma matriz? 
b) Qual é a característica da matriz abaixo ? 
 
 












1000
0010
0010
0001
 
 
 Justificando a resposta, calcule a característica da matriz: 
 
 












1174
1042
0132
 
 
 Qual o valor máximo da característica de uma matriz 3 x 4 ? 
 Discuta, segundo os valores do parâmetroa, as características das seguintes matrizes: 
 
 a) 












211
11
111
aa
aa
a
 b) 












321
27931
8421
aaa
 
 
Determine m de modo que a características da matriz seja igual a 2. 
 












121
22
11
mm
m
 
 
Determine m de modo que a característica da matriz seja 3. 
 










 3111
11
111
mm
m
 
 
 
 
 
TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI 
 
Consideremos um sistema linear 
 
 










mbnxmnaxmaxma
bnxnaxaxa
bnxnaxaxa
S




2211
22222121
11212111
 
 
Sejam A e B as matrizes incompletas e completa do sistema, isto é: 
 
A = 












mnamama
naaa
naaa




21
22221
11211
 B = 












mbmnamama
bnaaa
bnaaa




21
222221
111211
 
 
Então 
 
Se 

(A) = 

(B) = n O sistema é possível e determinado 
Se 

(A) = 

(B) < n O sistema é possível e indeterminado 
Se 

(A) <

(B) O sistema é impossível 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
01) Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas: 
 
a) 








32
12
42
zyx
zyx
zyx
 
b) 








1245
12
0
zyx
zyx
zyx
 
c) 











172
323
5322
2243
tzxx
tzyx
tzyx
tzyx
 
d) 








12
2
2
zyx
zyx
zyx
 
e) 








12
12
12
zyx
zyx
zyx
 
f) 








223
12
12
zyx
zyx
zyx
 
g) 





2232
134
tzyx
tzyx 
h) 








1
1
2
yx
yx
yx
 
i) 








0
323
52
zyx
zyx
zyx
 
j) 








632
423
22
zyx
zyx
zyx
 
k) 








122
1
2323
zyx
zyx
zyx
 
l) 








342
1233
2
zyx
zyx
zyx
 
m) 








322
123
23
zyx
zyx
zyx
 
n) 








222
434
42
zyx
zyx
zyx
 
 
Dado o sistema: 
 









2)3(22
22
1
bzayx
azyax
zyx
 
 
Para que valores de a e b este sistema é: 
 
a) possível? b) simplesmente indeterminado? c) duplamente indeterminado? 
 
Justifique as respostas utilizando o teorema de Rouché. 
 
Determine o valor de k, de modo que o sistema 
 








kzyx
zykx
kzyx
22
244
12
 
Seja: a) indeterminado b) impossível