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Aula 3 Adição de Matrizes

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3ªAULA
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição de Matrizes
	Dada duas matrizes A e B do tipo m x n , a soma A + B é a matriz m x n que obtemos somando os elementos de mesmo índice das matrizes dadas.
Por exemplo, sendo
A = 
temos 
		A + B = 
Generalizando:
														
Também podemos definir a diferença A – B:
Exemplo
Sendo A = 
 A + B = 
Propriedades da adição de matrizes
OBS: Se a matriz A e B têm ordem, elas se dizem conformáveis para a adição.
1ª) A adição de matriz é comutativa: para as matrizes A e B, conformáveis para a adição:
								
Demonstração
	Sejam as matrizes A = 
	 
 
		
A + B = 
Observe que a adição entre números é comutativa, o que justifica a igualdade acima.
2ª) A adição de matrizes é associativa para as matrizes A, B e C, conformáveis para a adição:
		( A + B ) + C = A + ( B + C )
Sejam as matrizes A= [ aij]m x n, B = [bij ]m x n e C = [ cij ] m x n; então:
(A + B ) + C = [aij + bij ]m x n + [cij ]m x n =
= [( aij + bij ) + cij ]m x n = [ aij + ( bij + cij )]m x n =
= [ aij ]m x n + [ bij + cij ]m x n = A + ( B + C ).
Observe que a adição entre números é associativa, o que justifica a igualdade acima.
3ª) Existe o elemento neutro.
Dada uma matriz A, existe uma matriz X, conformável com A para a adição, tal que:
				A + X = A 
Se A = [ aij ] m x n e X = [ xij ]m x n, da condição A +X = A obtemos:
				 aij + xij = aij,
e daí, xij = 0.
Então, X é a matriz nula de ordem m x n, Om x n:
				A + O = A 
4ª) Existe a matriz oposta
Para toda matriz A, de ordem m x n, existe uma matriz X, conformável com a para a adição, tal que:
				A + X = Om x n
Se A = [ aij ]m x n e X = [ xij ]m x n , da condição A + X = 0 
 obtemos:
				 Aij + xij = 0,
e daí, xij = - aij 
Então, X é a matriz cujos elementos são os opostos dos elementos correspondentes de A; a matriz X, então, denomina-se oposta da matriz A, e se indica com: - A 
Observe que se A = [ aij ]m x n, então ( – A) = [ -aij ]m x n, e que: A + ( - A ) = 0m x n
Note também que – ( - A ) = A.
Se A = 
 então – A = 
Sejam as matrizes A e B, conformáveis para a adição. 
 A diferença de matrizes A – B define-se por: A – B = A + ( - B ) 
Se A = 
 e B = 
 então:
A – B = 
 - 
 = 
 + 
 = 
 = 
 = 
Formalmente:
Sejam as matrizes A = [ aij ]m x n e B = [ bij ] m x n
A matriz D = A – B é tal que:
D = [ dij ]m x x onde dij = aij – bij 
Sejam X, A e B matrizes conformáveis para a adição: então, vale a equivalência:
			X + A = B ( X = B – A 
Na equação X + A = B, somando-se a matriz (- A) ambos os membros, obtemos sucessivamente:
		( X + A ) + ( - A ) = B + ( - A )
		 X + [ A + ( - A ) ] = b – A 
		 X + 0 = B – A 
		 X = B – A 
Então, X + A = B ( X = B – A I 
Inversamente, para X = B – A, a equação x + A = B fica satisfeita:
			X + A = ( B – A ) + A = B + ( - A + A ) = B + 0 = B
Então, X + A = B ( X + A = B II
De I e II vem a tese: X + A = B ( X = B – A .
Note então que, numa equação matricial, uma matriz “pode passar” de um membro para o outro da equação, “mudando” o seu sinal.Se A = 
 e B = 
, determinemos a matriz X tal que X + A = B. Então, do teorema acima:
X = B – A = 
 - 
 = 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO POR MATRIZ
	Dado um número real 
e uma matriz A do tipo m x n, o produto 
A é a matriz m x n que obtemos multiplicando por 
 todos os elementos de ª
	Por exemplo, sendo A = 
 temos (A = 
.
Generalizando:
													
Em particular, para 
= - 1, a matriz 
é a matriz oposto de A, ou seja, ( -1) A = - A.
Exemplo
Sendo A = 
	
Propriedades
	Sejam A e B matrizes de ordem m X n e os números reais 
.
	Valem as propriedades:
Se A = (� EMBED Equation.3 ��� temos A + B = � EMBED Equation.3 ��� onde cij = � EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ���
A – B = � EMBED Equation.3 ���
A + B = B +A 
para todo i, 1 ( 1 ( m
para todo j, 1 ( 1 ( n
Se A = (� EMBED Equation.3 ���onde bij = � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ���
1ª) 1 . A = A
2ª) (-1) .A = -A
3ª) � EMBED Equation.3 ���
4ª) 0 . A = � EMBED Equation.3 ���
5ª) � EMBED Equation.3 ���
6ª) ( ( + � EMBED Equation.3 ���) . A = � EMBED Equation.3 ���
7ª) ( . (� EMBED Equation.3 ���
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