Aula 5 Multiplicação de Matrizes

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5ª AULA
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
 	Para calcular o produto AB de duas matrizes A e B iremos efetuar as multiplicações de cada linha de A por todas as colunas de B. Assim, o produto AB só vai existir se numa linha A e numa coluna B houver a mesma quantidade de elementos. Isto ocorre quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
O produto AB só existe se n = p.
	
	A matriz produto AB, se existir, terá tantas linhas quantas tivermos na matriz A e tantas colunas quantas tivermos na matriz B.
	Para formar a matriz-produto AB procedemos como segue:
multiplicamos a 1ª linha de A pela 1ª coluna de B e colocamos o resultado na 1ª linha e 1ª coluna da matriz AB;
multiplicamos a 1ª linha de A pela 2ª coluna de B e colocamos o resultado na 1ª linha e 2ª coluna da matriz AB;
e assim por diante, até que tenhamos efetuado as multiplicações de cada linha de A por todas as colunas de B.
Por exemplo, se A = 
:
		1ª linha x 1ª coluna		1ª linha x 2ª coluna
				
	
A = 
	2ª linha x 1ª coluna		2ª linha x 2ª coluna
		
Exemplo; Sejam A = 
 então:
	A . B = 
c11 = 3 . 1 + 4 . 4 + 2 . 3 = 25		c12 = 3 . 2 + 4 . 1 + 2 . 0 = 10		c13 = 3 . 4 + 4 . 5 + 2 . 1 = 34
c21 = 3 . 1 + 9 . 4 + 1 . 3 = 42		c12 = 3 . 2 + 9 . 1 + 1 . 0 = 15		c23 = 3 . 4 + 9 . 5 + 1 . 1 = 58
A . B = 
PROPRIEDADES
1ª) A multiplicação de matrizes é associativa.
 Sejam as matrizes:
 	A = [ aij ]m x n , B = [ bjk]n x p e C = [ ckr]p x q
	Então: 
Demonstração ( opcional)
	Da definição de multiplicação, temos:
	A . B = 
Aplicando novamente a definição para as matrizes A . B e C:
	( A . B) . C = 
Aplicando novamente a definição para as matrizes A . B e C:
	( A . B ) . C = 
Analogamente:
	B . C = 
	A . ( B . C ) = 
A daí:
	A ( B . C ) = 
	A ordem segundo a qual desenvolvemos as somatórias, numa soma de um número finito de parcelas, é arbitrária, então:
e daí a tese: ( A . B) . C = A . ( B . C ).
2ª) A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição.
Seja as matrizes:
		A = 
Então: 
Demonstração
	A . ( B + C ) = 
	= 
	= 
	= 
	= 
= A . B + A . C
A propriedades acima, desde que a conformabilidade esteja respeitada, também assume a forma:
	
A demonstração é análoga à anterior.
3ª) Sejam as matrizes A = 
 e B = 
 e o número real (; então:
										
Demonstração
		(
 . A ) . B = [
 . aij ] m x p = 
=
		= 
		= 
4ª) Multiplicação pela matriz identidade.
	Seja a matriz A = 
então:
	
Demonstração
	Demonstremos que A . In = A.
	Sendo 
, temos:
	A . In = 
	= 
=
	= 
	=
A demonstração da igualdade Im . A = A é análoga.
5ª) Multiplicação pela matriz nula.
 Seja a matriz A, de ordem m X n; então:
A demonstração é imediata.
Observações muito importantes
1ª) Sejam A e B matrizes conformáveis para a multiplicação; da igualdade A . B = 0, não podemos concluir que A = 0 ou B = 0.
Por exemplo:
	
. 
 = 
Note que o produto das matrizes acima é a matriz nula, mas nenhum dos fatores o é.
2ª) Sejam as matrizes A, B e C. Respeitadas as condições de conformabilidade, da igualdade A . B = A . C ou da igualdade B . A = C . A, não podemos concluir que:
 B = C, mesmo que A (O. Para a multiplicação de matrizes não vale a lei cancelamento. 
Por exemplo:
Se A = 
, B = 
 e C = 
Então:
			A . B = 
= A . C
Observe que tem A . B = A . C e B ( C
OBS: O produto de matriz não é comutativo, uma vez que:
	a) Pode ( A . B e ( B . A , logo AB ( BA.
	
		Se A é matriz 5 x 3 e B é matriz 3 x 4, então
		AB		é matriz 5 x 4 e		BA 		não existe.
	5 x 3	 3 x 4				3 X 4	 5 X 3
Logo, as matrizes A e B não são comutáveis.
b) Pode ( AB, ( B . A, mas serem de tipos diferentes, logo A.B 
B A
Se A é matriz 3 x 2 e B é matriz 2 x 3, então AB é matriz 3 x 3 e 	BA
		
	
						
					3 x 2	 2 x 3 2 x 3	 3 X 2
é matriz 2 x 2.
Logo AB ( BA. As matrizes A e B não são comutáveis.
	c) Pode ( AB, ( BA e ambas serem do mesmo tipo, contudo, na maioria das vezes teremos AB ( BA.
	Se A = 
 e B = 
, então
	AB = 
�� EMBED Equation.3 = 
	e BA = 
 
= 
Como AB ( BA, as matrizes A e B não são comutáveis.
Quando as matrizes A e B são tais que A . B = B . A, diz-se que A e B comutam.
Observe que uma condição necessária para que as matrizes A e B comutem é que sejam quadradas e de mesma ordem. Por exemplo, as matrizes:
A = 
 e B = 
, então
AB = 
�� EMBED Equation.3 = 
e BA = 
 
= 
Como AB = BA, as matrizes A e B são comutáveis.
� EMBED Equation.3 ���
	Se A = ( aik)mxn e B = ( bkj)nxq, então AB é a matriz ( cij)mxq onde o elemento 
cij se obtém multiplicando a linha i de A pela coluna j de B.
� EMBED Equation.3 ���
( A . B ) . C = A . (B . C)
A . ( B + C ) = A . B + A.C .C C
( A + B ) . C = A . C + B .C CC
( � EMBED Equation.3 ��� . A ) . B = � EMBED Equation.3 ��� . ( A . B )
A . In = Im . A = A
Op xm . A = Op x n
A . On x p = Om x p
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