Determinantes Reduzida, Cofator, Laplace, Cauchy e Jacobi

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DETERMINANTES
 Matriz Reduzida
 Cofator
 Teorema de Laplace
 Teorema de Cauchy
 Teorema de Jacobi
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MATRIZ REDUZIDA
Dada uma matriz quadrada A, chama-se matriz reduzida de A, através de seu elemento aij, a matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz A; e se escreve Aij.
Temos:
Obs.: det (A11) = menor complementar do elemento a11
 det (A11) = 17, logo 17 é o menor complementar de 5.
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COFATOR de um elemento
Dada uma matriz quadrada A, chama-se cofator do seu elemento aij, o número:
Se escreve: cof(aij).
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COFATOR DE UM ELEMENTO
Exemplo:
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Exemplo:
 Dada uma matriz quadrada A de ordem maior que 1, por definição, o seu determinante é obtido da seguinte maneira:
Multiplica-se os elementos da primeira linha pelos seus respectivos cofatores;
Soma-se os resultados obtidos.
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Exemplo:
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Teorema de Laplace
 O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem maior que 1 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Exemplo:
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Teorema de Cauchy
 A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz, ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.
a11 a12 a13 – elementos A31 A32 A33 - cofatores
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 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Adicionando-se a uma fila de A uma combinação linear das outras n-1 filas obtém-se a matriz B, tal que det B=det A.
Exemplo:
À 1ª linha vamos somar uma combinação linear das 2ª e 3ª linhas e criar uma matriz B.
(1ª linha) + 2.(2ª linha) + 3.(3ª linha)
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Teorema de JACOBI
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
 Se em A adicionarmos a uma fila uma outra fila previamente multiplicada por um número, obtemos uma matriz B, tal que det B = det A.
 Principal utilidade do Teorema de JACOBI: aparecimento de zeros
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Teorema de JACOBI
Exemplo:
-2
-3
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