mat.1.2

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MARINHA DO BRASIL
COLÉGIO NAVAL
MATEMÁTICA
1T(RM2-T) AMANDA SILVÉRIO
1T(RM2-T) CAROLINA
V) TEOREMA FUNDAMENTAL (DE LAPLACE)
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Relembrando o que já sabemos...
Já vimos que podemos calcular o 
determinante de qualquer matriz de 
ordem n > 1 utilizando o Teorema de 
Laplace, mas percebemos que para 
facilitar nossos cálculos precisamos obter 
uma fila com o maior número de 
elementos nulos e para conseguirmos 
uma fila desse tipo utilizamos o Teorema 
de Jacobi.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Contudo, o que podemos observar se a matriz 
em questão for de ordem n > 4 ?
Como por exemplo:
Calcule o determinante da matriz D:
2 4 6 7 8
0 0 0 1 0
9 1 5 7 4
2 8 6 3 1
0 7 9 0 6
D = 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Abaixamento da ordem de um determinante:
REGRA DE CHIÓ
1º) Deve-se ter a11 = 1; suprimi-se a 1ª linha e a 1ª coluna.
2º) De cada elemento restante em A, subtraímos o produto 
daqueles elementos que se encontram nas “extremidades das 
perpendiculares” traçadas, do elemento considerado, sobre a 1ª 
linha e sobre a 1ª coluna.
Exemplo:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
 Se na matriz A não existir 
elemento igual a 1 ?
Obs. 1: Se na matriz A, a11 é diferente de 1, e se 
existir algum elemento igual a 1, podemos através 
de trocas de filas transformar A em uma outra 
matriz A” para a qual a”11=1.
-
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Obs.2: Se na matriz A não existir elemento igual a 1, 
usando o Teorema de JACOBI podemos obter a 
matriz onde a”11=1.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Também podemos:
Obs.: multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de 
uma fila por um número, o determinante fica 
multiplicado (ou dividido) por esse número.
R = 
R = 2 . det (R’) ∴ R/2 = det (R’)
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Matriz de Vandermonde (ou das potências)
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda 
matriz de ordem n ≥ 2, em que as colunas de M são formadas por 
potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 
até 
n – 1.
Obs.: 1)Os elementos da 2ª linha são chamados elementos 
 característicos da matriz.
 2)Indicamos o det. de uma matriz de Vandermonde por V 
( 2, 1, -3, 5).1 1 1 1
2 1 -3 5
4 1 9 25
8 1 -27 125
= 8 . 4 . 3 . (-4) . (-5) . (-1) = -1920
2 1 -3 5
?
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Cálculo da Matriz Inversa por meio de 
Determinantes
Antes precisamos saber:
1)Matriz dos cofatores – Seja A uma matriz 
quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos 
cofatores de A, e indicamos por A’, a matriz que 
se obtém de A, substituindo cada elemento de A 
por seu cofator.
Exemplo:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
2) Matriz adjunta – Seja A uma matriz quadrada 
de ordem n e A’ a matriz dos cofatores de A. 
Chamamos de matriz adjunta de A, e indicamos por 
 A , a transposta da matriz A’, isto é, .
Exemplo:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Relação para o Cálculo da inversa de uma 
matriz quadrada K
Teorema: Se K é uma matriz quadrada de ordem 
n e det ( K ) ≠ 0, então a inversa de K é:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Exemplo:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
Corolário importante:
Exercícios 
 
Para exercitar os conceitos abordados nas 
nossas aulas sobre DETERMINANTES, façam os 
exercícios do Livro 4, Capítulo V, do 252 ao 343, 
da página 80 até 124.
Bom Estudo!
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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