MAT4 2 ¬TP(aula1)

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MARINHA DO BRASIL
COLÉGIO NAVAL
MATEMÁTICA
1T(RM2-T) AMANDA SILVÉRIO
1T(RM2-T) CAROLINA
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V) TEOREMA FUNDAMENTAL (DE LAPLACE)
IV) EXERCÍCIOS
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
A definição de determinante e o teorema de Laplace permitem-nos o cálculo de 
qualquer determinante; contudo, é possível simplificar o cálculo com o emprego de 
certas propriedades.
(a) MATRIZ TRANSPOSTA
Se M é a matriz de ordem n e Mt sua transposta, então det Mt = det M.
 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(b) FILA NULA
Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n 
forem todos nulos, então det M = 0.
Exs:
(c) MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR CONSTANTE
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um número K, o 
determinante da nova matriz M’ obtida será o produto de K pelo determinante de M, isto 
é, det M’ = K . det M.
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 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
EXEMPLO:
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 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(d)TROCA DE FILAS PARALELAS
Seja M uma matriz de ordem n≥2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas 
linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz M’ tal que det M’ = - det M.
Ex:
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 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
(e) FILAS PARALELAS IGUAIS
Se uma matriz M de ordem n≥2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) 
formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(f) TEOREMA DE CAUCHY
A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz m, 
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.
EX:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(g) FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS
Seja M uma matriz de ordem n≥2 com duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) 
formadas por elementos proporcionais, então det M = 0
Ex: 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(h) TEOREMA DE COMBINAÇÃO LINEAR
Seja uma matriz quadrada M = [aij] de ordem n, tem uma linha (ou coluna) que é 
combinação linear de outras linhas (ou colunas) então det M = 0
Ex: 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(i)TEOREMA DE JACOBI
Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila paralela, 
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M’, tal que 
det M’ = det M.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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OBS: A importância desta propriedade reside no fato de que podemos “introduzir zeros” 
numa fila de uma matriz, sem alterar seu determinante: com isso, podemos 
facilitar bastante seu cálculo através do teorema de Laplace.
(j) MATRIZ TRIANGULAR
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal 
principal.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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(k) TEOREMA DE BINET
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então:
det (A . B) = detA . det B.
Decorre do teorema que det(A-1) = 1/ det A
EX.:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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EXERCÍCIOS:
01) Considere a matriz A = . Calcule o valor do determinante de A-¹ utilizando 
 
o teorema de Jacobi. 
02) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det(A) = -6. Calcule o valor de x tal que
 det(2A)= x – 97.
03) Seja A a matriz a seguir indicada onde a, b e c são escalares não nulos. Adicionalmente, 
seja C uma matriz de ordem 3 tal que |C| = 0. 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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04) Sejam a, b, c, e, f, p, q, r, s, t, u R quaisquer escalares. Calcule o determinante da ∈
seguinte matriz:
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