3ª Aula Cone Inscrição e Circunscrição

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3ª Aula
Inscrição e Circunscrição do Cone na esfera
Esfera inscrita no cone
Considerando que a esfera inscrita no cone possui r como raio, altura como h e geratriz como g, temos:
Ao dividir o cone em partes em um plano que contém seu eixo, o mesmo possuirá um circulo de raio r inscrito num triangulo com dois lados iguais com medidas 2r e altura h proporcionais a g. 
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No triângulo com lados ABC, temos:
Ao comparar o triângulo ADO, retângulo em D pode-se notar uma analogia ao triângulo ABC, retângulo emB. Da conformidade desses triângulos, notamos que AO= h-r, assim:
Cone inscrito na esfera
 
A esfera inscrita no cone de raio R possui r como raio e h como altura. 
Ao dividir os sólidos em partes e colocá-lo em um plano, o mesmo possuirá um triângulo com dois lados iguais VAB de base 2r e altura h no raio R. Assim, 
Na figura, 
• (O) = o ponto central da esfera. 
• (M) = centro da base do cone. 
Notando que o triangulo OMA é retângulo, teremos: 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6 cm e altura 18 cm. 
Solução. Observe que o centro da esfera não coincide com o centro do cone. O triângulo é isósceles e não eqüilátero. Calculamos o raio da esfera pela relação de Pitágoras indicada na figura.
2) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone eqüilátero cujo volume é 
. 
Solução. A altura do cone é a altura do triângulo eqüilátero. O raio da esfera inscrita no cone coincide com o apótema do triângulo eqüilátero. A geratriz do cone eqüilátero (lado do triângulo) vale o diâmetro da base do cone. Utilizando estas informações, temos:
 
3) Calcule o volume da esfera circunscrita a um cone eqüilátero cujo raio da base mede 
. 
Solução. O apótema do triângulo eqüilátero coincide corresponde a um terço da altura, pois vale a distância do baricentro do triângulo à base. Como o triângulo é eqüilátero, o lado vale o dobro do raio do cone. Aplicando as fórmula do triângulo eqüilátero e esfera, temos:
4) Calcular o volume de uma esfera circunscrita a um cone eqüilátero cuja altura mede 16dm. 
Solução. O cone eqüilátero é aquele em que a secção meridiana é um triângulo eqüilátero. Logo a geratriz vale o dobro do raio (g = 2r). O raio da esfera vale R.
i) 
ii) O ponto O (centro da esfera) está localizado no baricentro do triângulo. Logo a distância “x” entre o centro e a base do cone vale a terça parte da altura: 
. OBS: Isto pode ser verificado escrevendo R + x = h e resolvendo o triângulo R2 = x2 + r2, substituindo nessa fórmula R = 16 – x.
iii) O raio da esfera vale 
iv) O volume da esfera será 
Esfera inscrita numa pirâmide regular de base quadrada
 A esfera inscrita na pirâmide possui r como raio de uma base quadrada, l como base e h como altura. 
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O triângulo VPO, retângulo em P, é considerado idêntico ao triângulo VAM, retângulo em A. Ao fazermos esta comparação, percebemos que VM = g e VO = h – r, assim:
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