1ª AULA Inscrição e Circunscrição de Sólidos na Esfera

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1ª AULA
Inscrição e circunscrição de sólidos na esfera
Esfera inscrita no cilindro
 
A esfera inscrita num cilindro que possui r como raio e h como altura.
a) O raio da base do cilindro e igual ao raio da esfera.
b) A altura do cilindro é duas vezes maior que a altura da esfera. 
Cilindro inscrito na esfera
 
Considerando h e r, a altura do cilindro e o raio da base incluso na esfera de raio R. 
Ao dividir o cilindro em partes e colocá-lo em um plano, o mesmo possuirá um retângulo com medidas 2r e h inscrito no circulo de raio R. 
Desta forma, 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre a relação entre o raio de uma esfera e a altura de um cilindro equilátero sabendo que a área total do cilindro é igual à da esfera. 
Solução.
 Um cilindro é equilátero quando sua geratriz vale o diâmetro da base. Isto é, a secção meridiana é um quadrado onde lado = h = g = 2r. Logo o raio da base do cilindro vale a metade da altura (h). Considerando “r” o raio da base do cilindro e “R”, o da esfera, temos:
i) 
ii) 
. Igualando as áreas, vem:
iii) 
Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas.
Solução. 
O raio da base do cilindro é o mesmo de cada esfera.
i) Volume do cilindro: 
ii) Volume das esferas: 
iii) Volume não ocupado: 
iv) Razão procurada: 
3) Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura. Ele pretende substituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâmetro da nova embalagem para que possa conter a mesma quantidade de suco que a primeira?
 
Solução:
O cilindro terá para raio 
 e 
, portanto seu volume é:
Para que o líquido do cilindro caiba na nova embalagem esférica, essa embalagem deverá ter o mesmo volume do cilindro, sendo assim:
Como o diâmetro da esfera é 
, temos então que o diâmetro é 
	 Resposta: 
4) Um cilindro equilátero de volume V encontra-se cheio de água, quando uma esfera, cujo o raio coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhada completamente no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Qual o volume de água restante no cilindro em função de V?
Solução:
Todo cilindro equilátero tem secção meridiana um quadrado, portanto, a altura e igual a geratriz que vale o dobro do raio da base, ou seja g = h = 2r.
 Resposta: 
5) Uma bola de borracha, com 13 cm de raio, flutua sobre a água de uma piscina, afundando 1cm na mesma. Determine o raio da circunferência definida na superfície da água. 
Solução.
 A ilustração, fora de proporção, mostra a situação. O raio pedido é o da secção determinada pelo plano da água que divide a esfera nas partes submersas e emersas. A vista frontal mostra um triângulo retângulo de hipotenusa 13 e cateto 12. 
Logo, 
.
6) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3m. Se a altura do reservatório é h = 6m, calcule a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório. 
Solução.
 A capacidade do reservatório será a soma dos volumes do hemisfério e do cilindro. As medidas estão ilustradas na figura.
.
7) Dada duas esferas concêntricas com diâmetro externo medindo 20cm, tem em seu interior água, que após ser transferida para um recipiente cilíndrico cujo raio da base mede 10cm deu 525ml. Considerando 
, determine a altura do recipiente cilíndrico e a distância (espessura) entre as esferas.
Solução:
Como o diâmetro externamente é 20cm, o raio 
.
Raio externo menos o raio interno é a espessura, logo, 20 – 5 = 15cm
Resposta: 
 
8) Um tanque cilíndrico com água tem raio 
. Mergulha-se nesse tanque uma esfera de aço e o nível da água sobe 
. Qual o valor do raio da esfera? Resposta: 
9) Se uma esfera de raio 
 está inscrita num cilindro circular reto de volume 
, determine o valor de 
 em função de 
. 
Solução:
Porém, 
Logo: 
Resposta: 
10) 
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