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2ª AULA Cubo inscrito na esfera Seja um cubo ABCDEFGH de aresta a inscrito numa esfera de raio R . Uma seção do cubo possui a diagonal da face superior e inferior tem pontos ACGE e o centro da esfera. A distância entre os pontos A,C e C,G medem respectivamente a√2 e a e o circulo com raio R, assim: O triangulo retângulo possui para vértices os pontos EGC e catetos a√2, a e hipotenusa 2R. Ao empregarmos o teorema de Pitágoras nesse triangulo teremos: Esfera inscrita no cubo Ao possuir circunscrito um cubo ABCDEFGH de aresta a numa esfera de raio r , temos: EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2. Solução. Observando que o raio da esfera mede a metade da aresta do cubo, temos: 2) Calcule a área de uma esfera circunscrita a um cubo cujo perímetro de suas arestas é 24 cm. Solução. Lembrando que a esfera circunscrita passa pelos oito vértices do cubo, seu diâmetro possui a mesma medida da diagonal do cubo. Aplicando as fórmulas, temos: 3) Calcule o volume de uma esfera inscrita em um cubo de área lateral igual a 64m². Solução. Observando a figura verifica-se que o raio da esfera vale a metade da aresta do quadrado. Pelas informações, temos: i) ii) 4) UFRJ (2003 – prova 2) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r. Solução. Repare na figura que a projeção de P intercepta a face F no centro do quadrado ABCD. Esta face está a distância “x” do centro da esfera e vale (10 – r). A distância desta interseção ao vértice A vale a diagonal da face. i) Diagonal da face F: ii) Cálculo de “r”: . Logo, . 5) (PUC-RIO –1953) Determine a razão entre o volume de uma esfera de raio R e o de um cubo nela inscrito. Solução. No cubo inscrito na esfera, sua diagonal é o dobro do raio da esfera. i) ii) Volume do cubo: iii) Volume da esfera: iv) Razão pedida: _1306694479.unknown _1306698206.unknown _1341586012.unknown _1410851334.unknown _1341587987.unknown _1306698408.unknown _1306698460.unknown _1306695615.unknown _1306698076.unknown _1306694899.unknown _1306656794.unknown _1306656910.unknown _1207859806.unknown
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