Aula 20 Probabilidade

Prévia do material em texto

Disciplina: ÁLGEBRA				Ano Escolar: 2º.		Aula nº .: 08
Título: Probalidade					Nº do PE.:			Aula Res.:													Data ___/___/____
RESUMO TEÓRICO
Definição 1 : Experimento Aleatório
É todo experimento que repetido em idênticas condições, produzem resultados diferentes.
Ex1: Lançamento de dado
EX2; Lançamento de moeda
EX3: Distribuição de cartas de um baralho
Ex4: Sorteios em geral
Definição 2 : Resultados Equiprováveis
São resultados de experimentos que possuem a mesma oportunidade de ocorrer
EX1: No lançamento de um dado os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, possuem igual oportunidade de sair.
EX2: No lançamento de um dado com os algarismos 1, 2, 3, 3, 4 , 4, 4 os algarismos 3 e 4 possuem maior chance de sair que os demais.
Obs.: Nosso estudo será baseado em experimento aleatórios de resultados equiprováveis.
Definição 3: Espaço Amostral
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Notação: 
( ou E
Ex1: Lançamento de um dado (( = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EX2: Lançamento de uma moeda (( = { k, c} k ( cara
EX3: Lançar uma moeda e o resultado cara (k) ocorra pela 1ª vez na 5ª extração.
( = {1, 2, 3, 4,...}
EX4:Distribuir cartas até que a dama de copas ocorra pela 1ª vez na 5ª extração. 
( = {1, 2, 3, ...}
Obs.: Nosso estudo limitará aos experimentos aleatórios de espaços amostrais finitos.
Definição 4: Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Notação: Qualquer letra maiúscula do alfabeto.
Obs.: Para representar o nº de elemento do conjunto A usaremos: ( A ou n (A)
Obs.: Se ( ( = n então ( terá 2n eventos
Obs.: O é o evento impossível
Obs.: ( é o evento certo.
Ex1: Determine o evento sair o nº 7 no lançamento de dado
EX2: Determine o evento de não sair cara nem coroa no lançamento de uma moeda
Ex3: Determinar o evento sair nº maior que zero nº lançamento de dado.
EX4: Determinar o evento sair cara ou coroa no lançamento de moeda.
COMBINAÇÃO DE EVENTOS
União de Eventos:
Sejam A1, A2, ... , Am eventos, então 
 Ai será também um evento que ocorrerá sss ao menos um dos eventos Ai ocorrer.
Ex.: No lançamento de um dado, temos os seguintes evento:
A ( sair nº par ( A = {2, 4, 6}
B ( sair nº ímpar ( B = {1, 3, 5}
C ( sair nº > 6 ( C = 0
D ( sair nº < 4 ( D = {1, 2, 3}
Ex.: Determine o evento 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = (
Interseção de eventos
Sejam A1, A2, ... , An eventos, então 
 Ai será também um evento que ocorrerá sss todos os eventos Ai ocorrerem simultaneamente
Obs.: Em particular, se 
 = 0 , a e B são chamados mutuamente exclusivos
Complementar de um evento
Seja A um evento, então AC ou 
 será também um evento que ocorrerá sss, A não ocorrer
Obs.: Resultados da teoria dos conjuntos:
EXERCÍCIOS
Numa classe de vinte alunos será sorteados um ingresso para uma peça teatral. Para concorrer ao sorteio cada aluno recebeu um número de 1 a 20. Determine:
o espaço amostral do experimento;
o evento B formado pelos números múltiplos de 3;
o evento C formado pelos números menores que 6;
o evento D formado pelos números primos;
o evento E formados pelos divisores de 20;
o evento complementar de B;
o evento C 
D;
o evento D ( E;
os dois eventos, entre B, C, D e E, que são mutuamente exclusivos.
De uma urna contendo quatro bolas numeradas de 1 a 4, serão extraídas sucessivamente, sem reposição, duas bolas. Anotando-se os números das bolas sorteadas, na ordem dos sorteios, obtém-se um par ordenado. Determine:
o espaço amostral deste experimento;
o evento formado pelos pares de números cuja soma é 4;
o evento formado pelos pares onde o primeiro número é maior que o segundo;
o evento formado pelos pares de números iguais;
o eventos formado pelos pares ordenados de produto ímpar.
3.Repita o exercício anterior supondo o sorteio com reposição.
4. Agora suponha que as duas bolas sejam sorteadas simultaneamente e seus números anotados formando um conjunto binário. Determine:
o espaço amostral do experimento;
o evento formado pelos conjuntos de soma 4;
o evento formado pelos conjuntos de produto ímpar.
5. Uma moeda será lançada duas vezes consecutivas e será anotada o par ordenado de resultados obtidos no 1º e 2º lançamentos indicando-se cara por C e coroa por 
. Determine:
o espaço amostral do experimento;
o evento formado pelos pares que apresentam cara no 1º lançamento;
o evento formado pelos pares de resultados iguais;
o evento formado pelos pares que apresentam pelo menos uma cara;
o evento complementar do evento do item d).
6. Um dado será lançado duas vezes consecutivas e será anotado o par ordenado formado pelos números de pontos obtidos no 1º e 2º lançamentos. Determine:
a quantidade de pares ordenados do espaço amostral;
o evento formado pelo pares de soma igual a 5;
o evento formado pelos pares de soma menor que 5;
o evento formado pelos pares que apresentam pelo menos um número 6.
7. Uma moeda será lançada três vezes consecutivas e será anotada a seqüência de resultados obtidos na ordem dos lançamentos. Descreva:
o espaço amostral do experimento;
o evento B formado pelas seqüências que apresentam 2 caras;
o evento C formado pelas seqüências que apresentam cara no 1º lançamento;
o evento B 
 C;
o evento B ( C.
8. Indicando por H e M, respectivamente, homem e mulher, forme as seqüências possíveis para os três filhos que um casal pretende ter, na ordem de nascimento.
9. Numa urna há 4 bolas sendo duas vermelhas, uma amarela e uma branca. Serão extraídas sucessivamente, sem reposição, duas bolas e serão anotadas as suas cores formando-se um par ordenado, na ordem dos sorteios. Indicando vermelha por v, amarela por a e branca por b, descreva:
o espaço amostral do experimento;
o evento E formado pelos pares de bolas da mesma cor;
o evento não E (isto é, 
).
10. Repita o exercício anterior supondo as extrações feitas com reposição.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Consideremos uma experiência aleatória que pode apresentar n resultados distintos, a1, a2, a3, ... an.
A cada resultado ai, i ( {1, 2, 3, ..., n}, podemos associar um número pi, chamado probabilidade de ocorrência de ai, de tal modo que sejam válidas as duas condições seguintes:
1ª) A probabilidade de cada resultado é um número positivo ou nulo, isto é, 
2ª) A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é igual a 1, isto é, 
P1 + P2 + P3 + ... + Pn = 1
Nestas condições, dizemos que os números p1, p2, p3, ... , pn, formam uma distribuição de probabilidades sobre o espaço amostral ( = {a1, a2, a3, ... , an}.
Também indicamos: p1 = P(a1), p2 = P(a2), p3 = P(a3) , ... pn = P(an).
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Em muitas das aplicações da teoria da probabilidade, podemos adaptar o experimento considerado a um modelo onde o espaço amostral é formado por elementos que têm a mesma chance de ocorrer. Neste caso, dizemos que o espaço amostral é equiprovável.
Se ( = {a1, a2, a3, ... an} é um espaço amostral equiprovável, adotamos a distribuição de probabilidades em que p1 = p2 = p3 = ... = pn, denominada distribuição uniforme.
Como p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1, vem que
				
Concluindo, é importante observar que:
Exemplos
ao jogar uma moeda equilibrada e observar a face superior, há 2 resultados possíveis e equiprováveis: cara ou coroa. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é 
.
Ao sortear ao caso um dos 100 números naturais de 0 a 99, há 100 resultados possíveis e equiprováveis: 0, 1, 2, 4, ... , 99. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é 
.
Probabilidade de ocorrer um evento
Consideremos novamente o experimento aleatório com n resultados distintos, de espaço amostral ( = { a1, a2, a3, ... , an} onde está definida uma distribuiçãode probabilidades p1, p2, p3, ... , pn, com pi = P (ai) para todo i ( {1, 2, 3, ... , n}.
Denominamos probabilidade de ocorrência de um evento A à soma das probabilidades de ocorrência dos elementos de A
Indicamos por P (A).
Utilizando o símbolo de somatório, podemos colocar esta definição assim:
Exemplos
Ao jogar um dado, cada resultado possível tem probabilidade 
. A probabilidade de ocorrer um número ímpar, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A = {1, 3, 5} é:
P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 
A probabilidade ocorrer um evento B = {5, 6} é :
P(B) = P(5) + P(6) = 
.
Consequência importante
Quando o espaço amostral é equiprovável, isto é, o experimento aleatório tem n resultados possíveis todos com chances iguais de ocorrer, se um evento A é constituído de k elementos, então a probabilidade de ocorrer A é:
P(A) = 
Neste caso indicamos por n(A) e n(() os números de elementos de A e de (, respectivamente, podemos escrever:
Levando em conta que ocorrer o evento a significa ocorrer um dos elementos que pertencem a A, também chamamos os elementos de A de casos favoráveis a ª Assim, num espaço equiprovável temos que:
PROPRIEDADES
T. 1: A probabilidade do evento certo é 1, isto é, P(() = 1
T. 2: Se A 
 B ( P(A) ( P(B)
T. 3: Se A é o evento impossível ( P(A) = P(0) = 0
T. 4: Se A é um evento ( 0 ( P(A) ( 1.
T. 5: Se A e B são eventos ( P(A ( B) = P(A) + P(B) – P(A ( B)
T. 6: Se a é um evento ( P(Ac) = 1 – P(A)
Exemplos
Ao sortear ao acaso um dos números naturais de 0 a 99, qual a probabilidade de ser sorteado um número maior que 50?
O espaço amostral do experimento é ( = {0, 1, 2, 3, 4, ... , 99}. Portanto, n(() = 100.
O evento a formado pelos números maiores que 50 ´e A = {51, 52, 53, ... , 99}. Temos n)A) = 49
Sendo o espaço amostral equiprovável, vem que:
				P(A) = 
EXERCÍCIOS
No sorteio de um número natural de 1 a 20, calcule as probabilidade:
de ocorrer um número mar;
de ocorrer um número primo;
de ocorrer um múltiplo de 5;
de ocorrer um divisor de 20.
Uma urna contém seis bolas vermelhas numeradas de 1 a 6, e quatro bolas amarelas numeradas de 7 a 10. Retirando ao acaso uma das bolas, determine as probabilidades:
de sair uma bola amarela;
de sair uma bola com número par;
de sair uma amarela com número par;
Sorteando um número natural de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um número não maior que 10?
Aninha vai ler uma frase de uma página escolhida ao acaso de um livro de 240 páginas numeradas de 1 a 240. Qual a probabilidade de ser escolhida uma página com número compreendido entre 80 e 120, excluindo estes dois?
Numa loteria com bilhetes numerados de 1 a 60 000, qual a probabilidade de sair no 1º prêmio um bilhete com número terminado em 3?
Cem etiquetas numeradas cada uma com um dos números indicados na figura ao lado. Uma das etiquetas será sorteada ao acaso. Determine as probabilidades da etiqueta sorteada apresentar:
dois dígitos iguais;
dois dígitos diferentes;
somente dígitos menores que 3.
Numa urna há 3 bolas numeradas de 1 a 3. Duas bolas serão extraídas sucessivamente, sem reposição. Calcule a probabilidade de a primeira bola extraída apresentar número maior que a segunda.
Resolva o exercício anterior supondo as extrações com reposição.
Lançando duas vezes uma moeda, qual a probabilidade de serem observados resultados iguais nos dois lançamentos?
Um casal pretende Ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a Ter dois filhos de sexos diferentes?
Lançando-se três moedas distintas, qual a probabilidade de que sejam obtidas três caras?
Um casal pretende Ter três filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a Ter três filhos do mesmo sexo?
Lançando duas vezes um dado, calcule as probabilidades de:
no segundo lançamento obter mais pontos do que no primeiro;
obter nos dois lançamentos soma dos pontos maior que 8.
(FEI-SP) Lançam-se dois dados honestos. Qual a probabilidade de que a diferença (em módulo) das faces seja menor eu 2?
(MAUÁ – SP) Considere dois pequenos tetraedros regulares com suas faces numeradas de 1 a 4. Lançando aleatoriamente os dois tetraedros sobre uma mesa, qual a probabilidade de que nas faces em contato com a mesa:
i) tenhamos números iguais?
ii) tenhamos soma 4?
PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO
Seja A um evento formado de k resultados dentre os n possíveis.
A probabilidade de não ocorrer A é a probabilidade de ocorrer um dos n – k resultados possíveis que não pertencem a A. Portanto, a probabilidade de não ocorrer A é a probabilidade de ocorrer o evento complementar 
.
	Como a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1, temos que:
	P (A) + P (
) = P (a1) + P(a2) + P(a3) + ... + P (an) = 1
											
A probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer A.
Exemplos
Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Extraindo uma delas ao acaso, a probabilidade de sair a bola de nº. 7 é 
. Logo, a probabilidade de não sair a bola de nº. 7 é 1 - 
, que é igual a 
.
Probabilidade de ocorrer o evento A ou B
Dados dois eventos A e B, calcular a probabilidade de ocorrer A ou ocorrer B significa calcular a probabilidade de ocorrer o evento A 
B.
Temos dois casos a considerar.
1º caso: A 
 B = ( ( eventos mutuamente exclusivos )
P ( A 
 B ) = P(A) + P(B)
Exemplo
Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é:
P(azul ou amarela) = P(azul) + P(amarela) = 
 .
2º. caso: A 
 B 
 (
P( A 
 B) = P(A) + P(B) – P( A 
B) 
Exemplo
No sorteio de um número natural de 1 a 100, a probabilidade de sair um número múltiplo de 10 é a probabilidade do evento A = { 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}. Temos 
P(A) = 
A probabilidade de sair um múltiplo de 15 é a probalidade do evento B = { 15, 30, 45, 60, 75, 90}. Temos P(B) = 
Como A 
B = { 30, 60, 90 }, temos P(A 
B) = 
Então, P( A 
) = P(A) + P(B) – P( A 
 B) = 
Assim, a probabilidade de sair um múltiplo de 10 ou de 15 é igual a 
EXERCÍCIOS
No lançamento de um dado, determine as probabilidades:
de não obter 6 pontos;
de obter 5 pontos ou 6 pontos.
No sorteio de um número natural de 1 a 10, calcule as probabilidades.
de não sair um número primo;
de sair um número primo ou maior que 5.
No sorteio de um número natural de 1 a 100, qual a probabilidade de não sair um múltiplo de 20?
No sorteio de um número natural de 1 a 100m, qual a probabilidade de sair múltiplo de 20 ou 30 ?
Numa urna há 6 bolas azuis numeradas de 1 a 6 e cinco bolas brancas numeradas de 1 a 5. Extraindo uma bola ao acaso, qual a probabilidade de sair uma bola azul ou com número ímpar ?
Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros , 3 têm olhos cinzas, 2 têm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso:
não ter olhos castanhos ?
ter olhos verdes ou azuis ?
Numa classe de 32 alunos há 18 homens e 12 alunos loiros dos quais 6 são mulheres. Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ser loiro ou mulher ?
Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e 96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, determine as probabilidade de?
não ter sangue tipo A;
ter sangue tipo B;
ter sangue tipo AB;
ter sangue tipo A ou B ou AB;
ter sangue tipo O.
Um experimento aleatório pode apresentar 4 resultados distintos possíveis: A ou B ou C ou D. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer A é, a de não ocorrer B é 
 e a de não ocorrer C é 
. Determine a probabilidade de ocorrer D.
Dois eventos A e B são tais que P(A) = 0,40 e P(B) = 0,80.
Se P(A 
 B) = 0,20, qual é o valor de P(A 
 B ) ?
É possível que A e B sejam mutuamente exclusivos ?
Qual é o valor mínimo que pode ter P ( A 
 B) ?
Qual é o valor máximo que pode ter P( A 
 B) ?
4. PROBABILIDADE CONDICIONAL
	Vamos supor que no lançamento de um dado alguém aposte que vai obter mais do que 3 pontos. A probabilidade de que ele ganhe esta aposta é a probabilidade de ocorrer o evento A = { 4, 5, 6}. Como o espaço amostral ( = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } é equiprovável, temos P(A) = 
Após lançar o dado, uma pessoa avisa que o resultado obtido é um número ímpar de pontos. Cm esta informação, o apostador já sabe que o resultado foi 1 ou 3 ou 5 pontos e ele só terá ganhado se o resultado foi 5 pontos. Assim, ele tem uma chance em três de ter ganhado a aposta, ou seja, a probabilidade de ganhar a aposta, depois de informação dada, fica sendo 
.
Esta probabilidade, 
, chama-se probabilidade condicional de ganhar a aposta ( ocorrer o evento A = { 4, 5, 6}) dada a informação de que o resultado foi ímpar ( ocorreu o evento B = { 1, 3, 5}). 
Também falamos probabilidade condicional de A dado B e indicamos por P( A l B ) ( Leia: P de A dado B ). Assim, neste exemplo, P ( A l B ) = 
.
Agora repare que para escrever a probabilidade 
 levamos em conta que tínhamos 3 chances após saber que ocorreu B = { 1, 3, 5} e, destas três, a única chance do apostador ganhar é ocorrer o evento A 
 B = {5}. Então , neste caso,
P(A | B ) = 
Dividindo numerador e denominador por n((), vem que:
		P ( A | B ) = 
Este exemplo motiva a definição de probabilidade condicional, que é seguinte:
	
Exemplo
Se dois eventos A e B são tais que P(A) = 0,40 P(B) = 0,60 e P( A 
 B ) = 0,20, então:
P (A | B ) = 
P(B l A) = 
Regra da Multiplicação
De P(B l A) = 
, vem:
Exemplo
Uma urna contém três bolas amarelas e duas brancas. Retirando sucessivamente duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de saírem as duas brancas?
Considerando os eventos B1: a primeira bola retirada é branca e B2: a Segunda bola retirada é branca, a probabilidade de saírem as duas brancas é exatamente P(B1 ( B2). Temos:
P(B1 )= 
, porque na urna há 2 bolas brancas no total de 5 bolas.
P(B2 l B1) = 
, porque supondo que B1 ocorreu ( a primeira bola retirada foi branca), para a segunda extração ficaram na urna 4 bolas sendo apenas uma branca.
Então, P(B1 ( B2) = P(B1) . P(B2 l B1) = 
.
EXERCÍCIOS
No lançamento de um dado sabe-se que o resultado foi um número maior que 3. Qual a probabilidade de ser um número par de pontos?
No lançamento de um dado sabe-se que o resultado foi um número par de pontos. Qual a probabilidade de ser um número de pontos maior que 3?
(MAUÁ-SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Determinar a probabilidade de que esse número seja menor que 5?
No sorteio de um número natural de 1 a 20, tendo sido observado um número par, qual a probabilidade de ser também número primo?
Nos exercícios de 5 a 8 considere uma urna em que há três bolas amarelas, numeradas de a probabilidade de ser também número primo?
Se a bola extraída é amarela, qual a probabilidade de ter saído um número ímpar?
Se for sorteado um número ímpar, qual a probabilidade de ter saído uma bola amarela?
Se for sorteado o número 5, qual a probabilidade de ter saído uma bola amarela? E bola vermelha?
Qual a probabilidade de ter saído o número 6 sabendo que foi sorteada bola amarela? E bola vermelha?
Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda sabe-se que pelo menos numa das vezes deu cara. Qual a probabilidade de ter dado ambas as vezes?
Um casal tem dois filhos e sabe-se que um deles é homem. Qual a probabilidade de o outro ser mulher?
Em dois lançamentos sucessivos de um dado sabe-se que num deles foram obtidos 6 pontos. Qual a probabilidade de a soma dos pontos dos dois lançamentos ser maior que 10?
De uma urna contendo quatro bolas verdes e duas amarelas serão extraídas sucessivamente, sem reposição, duas bolas.
Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a segunda ser também amarela?
Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas?
Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes?
Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a segunda amarela?
Qual a probabilidade de ser uma bola de cada cor?
De uma classe onde há 15 rapazes e 15 moças serão escolhidos dois alunos ao acaso. Qual a probabilidade de:
serem escolhidas duas moças?
Serem escolhidos um rapaz e uma moça, em qualquer ordem?
Serão sorteados três números naturais distintos dentre os números de 1 a 10. Qual a probabilidade de saírem apenas números pares?
No sorteio da loto, são sorteados sucessivamente, sem reposição, cinco números dentre os naturais de 0 a 99. Qual a probabilidade de serem sorteados cinco números menores que 50?
Dois números serão selecionados sucessivamente, sem reposição, no conjunto {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,}. Qual a probabilidade de o produto dos números selecionados ser positivo?
Um teste tem cinco alternativas das quais apenas uma é correta. Se uma pessoa for respondendo ao acaso até descobrir a alternativa correta, qual a probabilidade de que ele acerte apenas na terceira tentativa?
Dois eventos A e B são tais que P(A) = 
. Calcule P(A l B).
INDEPENDÊNCIA
No experimento constituído de dois lançamentos sucessivos de uma moeda, com espaço amostral equiprovável
 C = cara		
 = coroa
Vamos considerar os eventos A, formado pelos resultados que apresentam cara no 1º lançamento, e B, formado pelos que apresentam cara no 2º lançamento:
	A = {(C, C), (C, 
)}		B = {(C, C), (
, C)}
Notemos que P(A) = 
 {(C, C)}, logo P(A ( B) = 
, então:
P(A l B) = 
 = 
 e P(B l A) = 
.
Observamos que P(A l B) = 
 P(A), isto é, a probabilidade condicional de A dado B é igual à probabilidade de A sem informação de ter ocorrido B. E também P(B l A) = P(B), ou seja, a probabilidade condicional de B dado A é igual a probabilidade de B sem a informação de que A tenha ocorrido. Quando isto ocorrer, a regra d multiplicação de probabilidades
Pode ser escrita na forma P(A ( B) = P(A) . P(B l A)
			 P(A ( B) = P(A) . P(B)
E dizemos que os eventos A e B são independentes.
Se P(A ( B) ( P(A) . P(B) dizemos que A e B são eventos dependentes.
Nas aplicações, reconhecemos a independência de dois eventos quando percebemos que a informação da ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Por exemplo, a informação de que deu cara no 1º lançamento de uma moeda não altera a probabilidade de dar cara no 2​º lançamento.
Exemplos
em dois lançamentos de um dado, qual a probabilidade de obter número par no primeiro e número ímpar no segundo lançamento?
Considerando os eventos
A: O resultado do 1º lançamento é par e
B: O resultado do 2º lançamento é ímpar, querermos calcular P(A ( B). Notando que A e B são independentes, pois a informação da ocorrência de A não altera a probabilidade de ocorrer B, temos:
P(A ( B) = P(A) . P(B) = 
Fazendo lançamento sucessivos de um dado até obter 6 pontos num lançamento, qual a probabilidade de que sejam necessárias três tentativas?
Para que sejam necessárias três tentativas, a 1ª tentativa não deve obter 6 pontos, a 2ª também não e a 3ª sim. Como o resultado de cada lançamento é independente dos resultados dos demais lançamentos, a probabilidade pedida é:
(não dar 6) (não dar 6) (dar 6)
P = 
Nota: Eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes!
Vimos anteriormente quedois eventos A e B são chamados mutuamente exclusivos quando A ( B = 0.
Neste caso, a ocorrência de um dos eventos implica a não ocorrência do outro. Logo a informação de que ocorreu um deles altera a probabilidade de ocorrência do outro (a menos que ela já fosse nula). Daí concluímos que eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes (a menos que um deles tenha probabilidade nula).
Observe também que P(A) > 0, P(B) > 0 e A e B são mutuamente exclusivos, temos P(A ( B) = P( 0 ) = 0 e P(A) . P(B) ( 0. Logo P(A ( B) ( P(A) . P(B) e , então, A e B não são independentes.
EXERCÍCOS
No lançamento de um dado, considere os eventos A, formado pelos números pares de pontos, e B, formado pelos números de pontos maiores que 4. Verifique que A e B são eventos independentes (isto é, que a igualdade P(A ( B) = P(A) . P(B) é verdadeira).
Se A e B são eventos independentes, P(A) = 0,2 e P(B) = 0,5, qual é o valor de P(A ( B)?
Se P(A) = 
 e P(B) = 
, calcule P(A 
B) em cada casos:
sendo A e B independentes;
sendo A e B mutuamente exclusivos.
(MAUÁ-SP) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.
Um determinado jogador de basquetebol tem probabilidade 0,75 de acertar cada lance livre que executa. Ao fazer dois lances livres, qual a probabilidade de acertar os dois?
A probabilidade de que o filho de um casal nasça com olhos azuis é 
. Se o casal tiver dois filhos, qual a probabilidade de
ambos terem os olhos azuis?
Nenhum ter olhos azuis?
Um atirador tem probabilidade 0,6 de acertar um alvo em cada tentativa que faz. Atirando sucessivamente até acertar o alvo, qual a probabilidade de que o faça apenas na terceira tentativa?
Jogando uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de obter a seqüência de resultados (cara, cara, coroa, coroa)?
Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas sucessivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas da mesma cor?
(FEI-SP) Num lançamento de dois dados honestos, calcular a probabilidade de:
a soma dos pontos ser ímpar;
o produto dos pontos ser ímpar.
Uma prova consta 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma é correta. Para alguém que esteja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de
acertar os 5 testes?
Errar os 5 testes?
Acertar apenas o primeiro teste?
Acertar apenas um dos testes?
Um casal planeja Ter quatro filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a Ter um homem e três mulheres (em qualquer ordem)?
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.
Os eventos anteriores podem ser generalizados, segundo o que se conhece por distribuição binomial.
Consideremos então uma seqüência de n ensaios. Seja p a probabilidade de sucesso em cada ensaio e q a probabilidade de fracasso.
Queremos calcular a probabilidade Pk9 da ocorrência de exatamente k sucessos, nos n ensaios. É evidente que k ( {0, 1, 2, ... , n}
Sejam os eventos:
Ai : ocorre sucesso no i-ésimo ensaio, P(Ai) = p
Aic : ocorre fracasso no i-ésimo ensaio, P(Aic) = q
O evento “ocorrem exatamente k sucessos nos n ensaios” é formado por todas as enuplas ordenadas em que existem k sucessos (S) e n-k fracassos (F). O número de enuplas ordenadas nessas condições é:
				
a probabilidade de cada enupla ordenada de k sucessos (S) e (n –k) fracassos (F) é dada por:
			
pois qualquer enupla ordenada deste tipo é a interseção de k eventos do tipo Ai e (n-k) eventos do tipo 
, e, como esses eventos são independentes, a probabilidade da interseção dos mesmos é o produto das probabilidades de cada um, isto é, pk . qn-k. Por exemplo, a enupla (
) é igual a interseção
				
cuja probabilidade é pk . qn-k.
Logo, se cada enupla ordenada com exatamente k sucessos tem probabilidade pk . qn-k e existem 
 enuplas desse tipo, a probabilidade Pk de exatamente k sucessos nos n ensaios será:
EXEMPLO 1
Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e resposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?
Em cada ensaio, consideremos como sucesso o resultado “bola vermelha”, e fracasso “bola branca”. Então:
				
Estamos interessados na probabilidade P3, temos:
				
EXEMPLO 2
Numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca ª Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?
Em cada escolja de uma pessoa, consideremos os resultados:
Sucesso: a pessoa tem carro marca A. .
Fracasso: a pessoa não tem carro marca A . 
Então: p = 0,1, q = 0,9, n= 30.
Estamos interessados em P5. Temos:
			
OBSERVAÇÃO:
O problema de obter k sucessos em n ensaios pode ser encarado como um problema cujo espaço amostral é ( = {0, 1, 2, ... , n}, isto é, cada elemento de ( é o número de sucessos em n ensaios e a distribuição de probabilidade é dada por:
PK = 
 . pk . qn-k.
Tal distribuição é chamada binomial, pois cada probabilidade Pk é dada pelo termo geral do binômio de Newton (p+q)
EXERCÍCIOS
Considere uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0,4. Calcule:
a) P0	b) P4		c) P6		d) P8
Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras?
Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes?
Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenta resolver. Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6.
Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?
A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De uma grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?
Um exame consta de 20 questões tipo certo ou errado. Se o aluno “chutar” todas as respostas, qual a probabilidade de ele acertar exatamente 10 questões? (Indique somente os cálculos.)
Uma moeda é lançada 2n vezes. Qual a probabilidade de observarmos n caras e n coroas?
Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara?
Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos 8 caras?
Um time de futebol tem probabilidade p = 
 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma?
Uma moeda é lançada 9 vezes. Qual a probabilidade de observarmos no máximo 3 caras?
Em 4 ensaios de Bernoulli, a probabilidade de sucesso em cada um é p = 0,4. Qual a probabilidade de observarmos no mínimo 3 sucessos?
Um teste tipo certo ou errado consta 6 questões. Se um aluno “chutar” as respostas ao acaso, qual a probabilidade de que ele acerte mais do que 2 testes?
Numa cidade, 30% da população é favorável ao candidato A . Se 10 eleitores forem selecionados ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de que mais da metade deles seja favorável ao candidato A? (Indique os cálculos.)
Um casal sabe que a probabilidade dele Ter um filho de cabelos pretos é 
. Supondo que o casal pretende Ter 4 filhos, qual a probabilidade dele Ter no máximo dois filhos de cabelos pretos?
Uma prova consta de 10 testes (com 4 alternativas cada, uma só correta). Um estudante “chuta” os 10 testes. Qual a probabilidade dele acertar no mínimo 7 testes?
Numa caixa de controle há 10 interruptores, cada um comanda um circuito elétrico. Cada circuito tem probabilidade de 20% de queimar ao ser acionado. Acionando os 10 interruptores, quala probabilidade de no máximo dois circuitos resultarem queimados?
Numa sala de espetáculo há 26 lugares mas todos os dias são vendidos 30 ingressos. Em cada dia, a probabilidade de cada pessoa (que adquire ingresso), não comparecer à função é 10%. Qual a probabilidade de, um certo dia, a sala ficar com superlotação (mais que 26 pessoas)?
� EMBED Equation.3 ���
Num experimento com n resultados distintos que tenham chances iguais de ocorrer, a probabilidade de ocorrência de cada resultado é � EMBED Equation.3 ���.
� EMBED Equation.3 ���
P(A) = � EMBED Equation.3 ���
P(A) = � EMBED Equation.3 ���
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
P(� EMBED Equation.3 ���) = 1 – P(A)
P ( A | B ) = � EMBED Equation.3 ���
P(A � EMBED Equation.3 ���B) = P(A) . P(B l A)
Dois eventos A e B são chamados eventos independentes quando vale a igualdade
				P(A ( B) = P(A) . P(B).
� EMBED Equation.3 ���
_1026128038.unknown
_1026202257.unknown
_1026213467.unknown
_1026283007.unknown
_1026284325.unknown
_1026288317.unknown
_1053329498.unknown
_1053329714.unknown
_1026289668.unknown
_1026290068.unknown
_1026284784.unknown
_1026285203.unknown
_1026284638.unknown
_1026284419.unknown
_1026284051.unknown
_1026284096.unknown
_1026283226.unknown
_1026280666.unknown
_1026281555.unknown
_1026282790.unknown
_1026280710.unknown
_1026277618.unknown
_1026280610.unknown
_1026214827.unknown
_1026212188.unknown
_1026212570.unknown
_1026213095.unknown
_1026213337.unknown
_1026212607.unknown
_1026212343.unknown
_1026212393.unknown
_1026212304.unknown
_1026203374.unknown
_1026211782.unknown
_1026212010.unknown
_1026203471.unknown
_1026202542.unknown
_1026203085.unknown
_1026202628.unknown
_1026202374.unknown
_1026193659.unknown
_1026196812.unknown
_1026197827.unknown
_1026198437.unknown
_1026200991.bin
_1026197401.unknown
_1026197584.unknown
_1026197142.unknown
_1026195930.unknown
_1026196577.unknown
_1026196381.unknown
_1026195676.unknown
_1026195826.unknown
_1026195230.unknown
_1026130104.unknown
_1026191496.unknown
_1026192275.unknown
_1026192697.unknown
_1026191673.unknown
_1026191776.unknown
_1026191659.unknown
_1026131161.unknown
_1026191351.unknown
_1026130134.unknown
_1026128673.unknown
_1026129957.unknown
_1026129976.unknown
_1026129788.unknown
_1026128170.unknown
_1026128220.unknown
_1026128091.unknown
_1026126251.unknown
_1026126991.unknown
_1026127301.unknown
_1026127928.unknown
_1026128026.unknown
_1026127458.unknown
_1026127636.unknown
_1026127665.unknown
_1026127432.unknown
_1026127185.unknown
_1026127296.unknown
_1026127159.unknown
_1026126416.unknown
_1026126744.unknown
_1026126792.unknown
_1026126483.unknown
_1026126558.unknown
_1026126460.unknown
_1026126306.unknown
_1026126379.unknown
_1026126279.unknown
_1026125112.unknown
_1026125623.unknown
_1026125722.unknown
_1026126027.unknown
_1026125653.unknown
_1026125449.unknown
_1026125604.unknown
_1026125217.unknown
_1026124576.unknown
_1026124934.unknown
_1026125035.unknown
_1026124719.unknown
_1026123980.unknown
_1026123721.unknown
_1026123770.unknown