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ANÁLISE COMBINATÓRIA Princípio Multiplicativo Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se, para cada uma das m maneiras possíveis de ocorrências de A, um segundo acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes. Então o nº de maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B é: m x n. Exemplos: 1. Três estradas A, B e C conduzem ao topo de um morro. De quantos modos diferentes uma pessoa pode subir e descer este morro? Solução: Logo tem: 3 x 3 = 9 2. Suponhamos que no problema anterior a pessoa não queria descer o morro pela estrada que subiu. Quantos caminhos diferentes de ida e volta ela pode efetuar? Solução: Logo tem: 3 x 2 = 6 opçõestemdescerPara opçõestemsubirPara 3 3 opçõestemdescerPara opçõestemsubirPara 2 3 3. Quantos nos pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos significativos? a) Podendo repetir algarismos? R.: 36 b) Sem repetir algarismos? R.: 32 Obs.: Se existir uma restrição causando dificuldades, então devemos satisfazê-la em primeiro lugar. 4. Quantos nos pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal. a) Podendo repetir algarismos? R.: 45 b) Sem repetir algarismos? R.: 41 Obs.: Se em certa posição um objeto causa dificuldade para a escolha de ocorrências de objetos em outras posições, então devemos dividir o problema em duas etapas, conforme o objeto ocupe ou não a posição considerada. Exercícios 1) O lanche de certa pessoa consiste em um sanduíche (escolhido dentre quatro espécie), uma bebida (escolhida dentre: café, leite ou chá) e um sorvete (escolhido entre três sabores). Quantos lanches diferentes essa pessoa pode fazer? R: 36 2) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras em fila? R: 210. 3) De quantos modos pode-se organizar a tabela da 1ª rodada de um campeonato de futebol com 8 clubes? R: 105. 4) Quantos divisores positivos possui o nº 72? R: 12. 5) Quantas coleções não vazias podemos formar com 5 exemplares iguais a revista R, 4 exemplares iguais da revista S, e 3 exemplares iguais da revista T? R: 119 6) Quantos subconjuntos possui um conjunto com n objetos? R: 2n 7) Um dado é lançado 4 vezes. Ache o nº de maneiras nos quais o “6” pode aparecer em seqüência, precisamente duas vezes. R: 85 8) Quantos nºs inteiros de 3 algarismos distintos podem ser formados, de modo que os dois primeiros sejam primos absolutos e o último (alg. das unidades) seja divisível por 3? R: 42 9) No quadro abaixo: L LI LIN LINE LINEA LINEAR De quantos modos é possível formar a palavra linear partindo de um L e indo sempre para a direita ou para baixo? R: 32 10) Sejam os conjuntos: E = {x1, x2, ..., xp} e F = {y1, y2, y3, ... ym} a) Quantas aplicações podem ser definidas de E em F? R: m b) Sendo p < m, quantas aplicações injetoras podem ser definidas de E em F? R: m(m –1) (m – 2-) ... (m – p+1) 11) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para fotografia, ocupando cinco degraus de uma escada, de forma que em cada degrau fique uma rapaz e uma moça. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo? R: 10 . 8 . 6 . 4 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ou 5! 5! 25 p Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4
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