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16 ANÁLISE COMBINATÓRIA

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Multiplicativo
Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se, para cada 
uma das m maneiras possíveis de ocorrências de A, um segundo 
acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes. Então o nº de 
maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B é: m x 
n.
Exemplos:
1. Três estradas A, B e C conduzem ao topo de um morro. De quantos modos 
diferentes uma pessoa pode subir e descer este morro?
Solução: Logo tem: 3 x 3 = 9
 
2. Suponhamos que no problema anterior a pessoa não queria descer o morro 
pela estrada que subiu. Quantos caminhos diferentes de ida e volta ela pode 
efetuar?
Solução: Logo tem: 3 x 2 = 6


opçõestemdescerPara
opçõestemsubirPara
3
3


opçõestemdescerPara
opçõestemsubirPara
2
3
 
3. Quantos nos pares de dois algarismos podem ser formados com os 
algarismos significativos?
a) Podendo repetir algarismos? R.: 36
b) Sem repetir algarismos? R.: 32
Obs.: Se existir uma restrição causando dificuldades, então devemos 
satisfazê-la em primeiro lugar.
4. Quantos nos pares de dois algarismos podem ser formados no sistema 
decimal.
a) Podendo repetir algarismos? R.: 45
b) Sem repetir algarismos? R.: 41
Obs.: Se em certa posição um objeto causa dificuldade para a escolha 
de ocorrências de objetos em outras posições, então devemos dividir 
o problema em duas etapas, conforme o objeto ocupe ou não a 
posição considerada.
 
Exercícios
1) O lanche de certa pessoa consiste em um sanduíche (escolhido dentre quatro 
espécie), uma bebida (escolhida dentre: café, leite ou chá) e um sorvete (escolhido 
entre três sabores). Quantos lanches diferentes essa pessoa pode fazer? R: 36
2) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras em fila? R: 210.
3) De quantos modos pode-se organizar a tabela da 1ª rodada de um campeonato de 
futebol com 8 clubes? R: 105.
4) Quantos divisores positivos possui o nº 72? R: 12.
5) Quantas coleções não vazias podemos formar com 5 exemplares iguais a revista R, 4 
exemplares iguais da revista S, e 3 exemplares iguais da revista T? R: 119
6) Quantos subconjuntos possui um conjunto com n objetos? R: 2n
7) Um dado é lançado 4 vezes. Ache o nº de maneiras nos quais o “6” pode aparecer em 
seqüência, precisamente duas vezes. R: 85
8) Quantos nºs inteiros de 3 algarismos distintos podem ser formados, de modo que os dois 
primeiros sejam primos absolutos e o último (alg. das unidades) seja divisível por 3?
R: 42
 
9) No quadro abaixo: L
LI
 LIN
 LINE
 LINEA
 LINEAR
De quantos modos é possível formar a palavra linear partindo de um L e indo 
sempre para a direita ou para baixo? R: 32
10) Sejam os conjuntos: 
 E = {x1, x2, ..., xp} e F = {y1, y2, y3, ... ym}
a) Quantas aplicações podem ser definidas de E em F? R: m
b) Sendo p < m, quantas aplicações injetoras podem ser definidas de E em F? 
 R: m(m –1) (m – 2-) ... (m – p+1)
11) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para fotografia, ocupando cinco 
degraus de uma escada, de forma que em cada degrau fique uma rapaz e uma 
moça. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?
R: 10 . 8 . 6 . 4 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ou 5! 5! 25
p
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