Probabilidade

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PROBABILIDADE
1ºTen(RM2-T) Carolina Lima
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Colégio Naval, setembro de 2011
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TÓPICOS
Experimentos aleatórios, espaço amostral e evento;
Combinações de eventos;
Distribuição de probabilidades;
Distribuição uniforme;
Propriedades;
Exercícios.
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EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO
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Experimentos aleatórios:
Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza.
Exemplos:
• Condições climáticas do próximo domingo;
• Taxa de inflação do próximo mês;
• Resultado ao lançar um dado ou moeda;
• Tempo de duração de uma lâmpada.
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Espaço amostral (Ω):
Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou fenômeno.
Exemplos:
• Lançamento de um dado ⇒ Ω={1,2,3,4,5,6}
• Tipo sanguíneo de um individuo ⇒ Ω={A, B, AB,0}
• Opinião de um eleitor sobre um projeto ⇒
Ω={Favorável,Contrário}
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Evento:
É todo subconjunto do espaço amostral Ω.
Notação: A, B, C,...
Exemplos: No exemplo do lançamento de um dado (Ω={1,2,3,4,5,6}), alguns eventos:
A: sair face par: ⇒ A={2,4,6} ⊂ Ω
B: sair face maior que 3 ⇒ B={4,5,6} ⊂ Ω
C: sair face 1 ⇒ C={1} ⊂ Ω
D: sair face 7 ⇒ D={ } (evento impossível)= ∅ (conjunto vazio) ⊂ Ω
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COMBINAÇÕES DE EVENTOS
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Combinações de eventos:
Se usarmos certas operações entre conjuntos, poderemos combinar conjuntos para formar novos conjuntos.
• União de dois eventos A e B (A∪B):
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B.
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• Interseção de dois eventos A e B (A∩B):
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Obs.: Em particular, se A∩B = 0 , A e B são chamados mutuamente exclusivos.
• Complementar de um evento (AC):
A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço amostral, isto é A∩B= ∅ e A∪B= Ω.
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Exemplo 1: Um dado é lançado e observado o número da face de cima.
Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sejam os eventos:
A: ocorrência de número par (A = {2, 4, 6}).
B: ocorrência de número maior ou igual a 4 (B = {4, 5, 6}).
C: ocorrência de número ímpar (C = {1, 3, 5}).
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A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} C = {1, 3, 5}
• A ∪ B: ocorrência de n° par ou n° maior ou igual a 4.
 A ∪ B= {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
• A ∩ B: ocorrência de um n° par e um n° maior ou igual a 4.
 A ∩ B= {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 6}
• A ∩ C: ocorrência de um n° par e um n° ímpar.
 A ∩ C= {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5} = ∅ (A e C mutuamente exclusivos)
• AC: ocorrência de um n° não par.
 AC = {1, 3, 5} 
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Exemplo 2:
Uma moeda será lançada três vezes consecutivas e será anotada a seqüência de resultados obtidos na ordem dos lançamentos. Descreva:
a) o espaço amostral do experimento;
b) o evento B formado pelas seqüências que apresentam 2 caras;
c) o evento C formado pelas seqüências que apresentam cara no 1º lançamento;
d) o evento B ∩ C;
e) o evento B ∪ C.
 
  
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Exemplo 3:
Numa urna há 4 bolas sendo duas vermelhas, uma amarela e uma branca. Serão extraídas sucessivamente, sem reposição, duas bolas e serão anotadas as suas cores formando-se um par ordenado, na ordem dos sorteios. Indicando vermelha por V, amarela por A e branca por B, descreva:
a) o espaço amostral do experimento;
b) o evento E formado pelos pares de bolas da mesma cor;
c) o evento não E (isto é, Ec).
 
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
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Consideremos uma experiência aleatória que pode apresentar n resultados distintos, a1, a2, a3, ... an.
A cada resultado ai, i  {1, 2, 3, ..., n}, podemos associar um número pi, chamado probabilidade de ocorrência de ai, de tal modo que sejam válidas as duas condições seguintes:
1ª) A probabilidade de cada resultado é um número positivo ou nulo, isto é,
 p1 ≥ 0, p2 ≥ 0, p3 ≥ 0, ..., pn ≥ 0. 
 
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2ª) A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é igual a 1, isto é, 
p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1
Nestas condições, dizemos que os números p1, p2, p3, ... , pn, formam uma distribuição de probabilidades sobre o espaço amostral  = {a1, a2, a3, ... , an}.
Também indicamos: p1 = P(a1), p2 = P(a2), p3 = P(a3) , ... pn = P(an).
 
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DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
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Em muitas das aplicações da teoria da probabilidade, podemos adaptar o experimento considerado a um modelo onde o espaço amostral é formado por elementos que têm a mesma chance de ocorrer. 
Neste caso, dizemos que o espaço amostral é equiprovável.
Se  = {a1, a2, a3, ... an} é um espaço amostral equiprovável, adotamos a distribuição de probabilidades em que p1 = p2 = p3 = ... = pn, denominada distribuição uniforme.
 
Como p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1, vem que
 
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Concluindo, é importante observar que:
Num experimento com n resultados distintos que tenham chances iguais de ocorrer, a probabilidade de ocorrência de cada resultado é 1/n.
Exemplos
 
Ao jogar uma moeda equilibrada e observar a face superior, há 2 resultados possíveis e equiprováveis: cara ou coroa. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é 1/2.
2) Ao sortear ao caso um dos 100 números naturais de 0 a 99, há 100 resultados possíveis e equiprováveis: 0, 1, 2, 4, ... , 99. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é 1/100.
 
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Probabilidade de ocorrer um evento:
 
Consideremos novamente o experimento aleatório com n resultados distintos, de espaço amostral  = {a1, a2, a3, ... , an} onde está definida uma distribuição de probabilidades p1, p2, p3, ... , pn, com pi = P(ai) para todo i  {1, 2, 3, ... , n}.
Denominamos probabilidade de ocorrência de um evento A à soma das probabilidades de ocorrência dos elementos de A. Indicamos por P(A).
 
 
 
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Exemplo:
 
Ao jogar um dado, cada resultado possível tem probabilidade 1/6. A probabilidade de ocorrer um número ímpar, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A = {1, 3, 5} é:
  
P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
A probabilidade ocorrer um evento B = {5, 6} é :
P(B) = P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
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Consequência importante:
 
Quando o espaço amostral é equiprovável, isto é, o experimento aleatório tem n resultados possíveis todos com chances iguais de ocorrer, se um evento A é constituído de k elementos, então a probabilidade de ocorrer A é:
P(A) = 
Neste caso indicamos por n(A) e n() os números de elementos de A e de , respectivamente, podemos escrever:
.
P(A) = 
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PROPRIEDADES
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1) A probabilidade do evento certo é 1, isto é, P() = 1;
2) Se A B  P(A)  P(B);
3) Se A é um evento  0  P(A)  1;
4) Se A e B são eventos  P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B);
5) Se A é um evento  P(Ac) = 1 – P(A)
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Exemplo:
Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Admitindo probabilidades iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:
observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente?
b) observarmos um múltiplo de 6 ou de 8?
c) observarmos um número não múltiplo de 5? 
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EXERCÍCIOS
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Dois dados são jogados simultaneamente.
Calcular a probabilidade de que a soma dos 
números mostrados na face de cima seja 7.
2) Uma caixa contém 20 peças em boas 
condições e 15 em más condições. Uma 
amostra de 10 peças é extraída. Calcular a 
probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja
defeituosa. 
3) Um número entre 1 e 300 é escolhidoaleatoriamente.
Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou
por 5.