PROBABILIADE

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PROBABILIDADE
RESUMO TEÓRICO
Definição 1 : Experimento Aleatório
É todo experimento que repetido em idênticas condições, produzem resultados diferentes.
Ex1: Lançamento de dado
EX2; Lançamento de moeda
EX3: Distribuição de cartas de um baralho
Ex4: Sorteios em geral
Definição 2 : Resultados Equiprováveis
São resultados de experimentos que possuem a mesma oportunidade de ocorrer
EX1: No lançamento de um dado os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, possuem igual oportunidade de sair.
EX2: No lançamento de um dado com os algarismos 1, 2, 3, 3, 4 , 4, 4 os algarismos 3 e 4 possuem maior chance de sair que os demais.
Obs.: Nosso estudo será baseado em experimento aleatórios de resultados equiprováveis.
Definição 3: Espaço Amostral
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Notação: ou E
Ex1: Lançamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EX2: Lançamento de uma moeda = { k, c} k cara
EX3: Lançar uma moeda e o resultado cara (k) ocorra pela 1ª vez na 5ª extração.
 = {1, 2, 3, 4,...}
EX4:Distribuir cartas até que a dama de copas ocorra pela 1ª vez na 5ª extração. 
 = {1, 2, 3, ...}
Obs.: Nosso estudo limitará aos experimentos aleatórios de espaços amostrais finitos.
Definição 4: Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Notação: Qualquer letra maiúscula do alfabeto.
Obs.: Para representar o nº de elemento do conjunto A usaremos: A ou n (A)
Obs.: Se = n então terá 2n eventos
Obs.: 0 é o evento impossível
Obs.: é o evento certo.
Ex1: Determine o evento sair o nº 7 no lançamento de dado
EX2: Determine o evento de não sair cara nem coroa no lançamento de uma moeda
Ex3: Determinar o evento sair nº maior que zero nº lançamento de dado.
EX4: Determinar o evento sair cara ou coroa no lançamento de moeda.
COMBINAÇÃO DE EVENTOS
União de Eventos:
Sejam A1, A2, ... , Am eventos, então Ai será também um evento que ocorrerá sss ao menos um dos eventos Ai ocorrer.
Ex.: No lançamento de um dado, temos os seguintes evento:
A sair nº par A = {2, 4, 6}
B sair nº ímpar B = {1, 3, 5}
C sair nº > 6 C = 0
D sair nº < 4 D = {1, 2, 3}
Ex.: Determine o evento 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 
Interseção de eventos
Sejam A1, A2, ... , An eventos, então Ai será também um evento que ocorrerá sss todos os eventos Ai ocorrerem simultaneamente.
Obs.: Em particular, se = 0, A e B são chamados mutuamente exclusivos.
Complementar de um evento
Seja A um evento, então AC ou será também um evento que ocorrerá sss, A não ocorrer
Obs.: Resultados da teoria dos conjuntos:
EXERCÍCIOS
Numa classe de vinte alunos será sorteados um ingresso para uma peça teatral. Para concorrer ao sorteio cada aluno recebeu um número de 1 a 20. Determine:
o espaço amostral do experimento;
o evento B formado pelos números múltiplos de 3;
o evento C formado pelos números menores que 6;
o evento D formado pelos números primos;
o evento E formados pelos divisores de 20;
o evento complementar de B;
o evento C D;
o evento D E;
os dois eventos, entre B, C, D e E, que são mutuamente exclusivos.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Consideremos uma experiência aleatória que pode apresentar n resultados distintos, a1, a2, a3, ... an.
A cada resultado ai, i {1, 2, 3, ..., n}, podemos associar um número pi, chamado probabilidade de ocorrência de ai, de tal modo que sejam válidas as duas condições seguintes:
1ª) A probabilidade de cada resultado é um número positivo ou nulo, isto é, 
2ª) A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é igual a 1, isto é, 
P1 + P2 + P3 + ... + Pn = 1
Nestas condições, dizemos que os números p1, p2, p3, ... , pn, formam uma distribuição de probabilidades sobre o espaço amostral = {a1, a2, a3, ... , an}.
Também indicamos: p1 = P(a1), p2 = P(a2), p3 = P(a3) , ... pn = P(an).
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Em muitas das aplicações da teoria da probabilidade, podemos adaptar o experimento considerado a um modelo onde o espaço amostral é formado por elementos que têm a mesma chance de ocorrer. Neste caso, dizemos que o espaço amostral é equiprovável.
Se = {a1, a2, a3, ... an} é um espaço amostral equiprovável, adotamos a distribuição de probabilidades em que p1 = p2 = p3 = ... = pn, denominada distribuição uniforme.
Como p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1, vem que
				
Concluindo, é importante observar que:
Num experimento com n resultados distintos que tenham chances iguais de ocorrer, a probabilidade de ocorrência de cada resultado é 
.
Exemplos
ao jogar uma moeda equilibrada e observar a face superior, há 2 resultados possíveis e equiprováveis: cara ou coroa. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é .
Ao sortear ao caso um dos 100 números naturais de 0 a 99, há 100 resultados possíveis e equiprováveis: 0, 1, 2, 4, ... , 99. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é .
Probabilidade de ocorrer um evento
Consideremos novamente o experimento aleatório com n resultados distintos, de espaço amostral = { a1, a2, a3, ... , an} onde está definida uma distribuição de probabilidades p1, p2, p3, ... , pn, com pi = P (ai) para todo i {1, 2, 3, ... , n}.
Denominamos probabilidade de ocorrência de um evento A à soma das probabilidades de ocorrência dos elementos de A
Indicamos por P (A).
Utilizando o símbolo de somatório, podemos colocar esta definição assim:
Exemplos
Ao jogar um dado, cada resultado possível tem probabilidade . A probabilidade de ocorrer um número ímpar, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A = {1, 3, 5} é:
P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 
A probabilidade ocorrer um evento B = {5, 6} é :
P(B) = P(5) + P(6) = .
Consequência importante
Quando o espaço amostral é equiprovável, isto é, o experimento aleatório tem n resultados possíveis todos com chances iguais de ocorrer, se um evento A é constituído de k elementos, então a probabilidade de ocorrer A é:
P(A) = 
Neste caso indicamos por n(A) e n() os números de elementos de A e de , respectivamente, podemos escrever:
P(A) = 
Levando em conta que ocorrer o evento a significa ocorrer um dos elementos que pertencem a A, também chamamos os elementos de A de casos favoráveis a ª Assim, num espaço equiprovável temos que:
P(A)=
 
PROPRIEDADES
T. 1: A probabilidade do evento certo é 1, isto é, P() = 1
T. 2: Se A B P(A) P(B)
T. 3: Se A é o evento impossível P(A) = P(0) = 0
T. 4: Se A é um evento 0 P(A) 1.
T. 5: Se A e B são eventos P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
T. 6: Se a é um evento P(Ac) = 1 – P(A)
Exemplos
Ao sortear ao acaso um dos números naturais de 0 a 99, qual a probabilidade de ser sorteado um número maior que 50?
O espaço amostral do experimento é = {0, 1, 2, 3, 4, ... , 99}. Portanto, n() = 100.
O evento a formado pelos números maiores que 50 ´e A = {51, 52, 53,... , 99}. Temos n(A) = 49
Sendo o espaço amostral equiprovável, vem que:
				P(A) = 
EXERCÍCIOS
No sorteio de um número natural de 1 a 20, calcule as probabilidade:
de ocorrer um número par;
de ocorrer um número primo;
de ocorrer um múltiplo de 5;
de ocorrer um divisor de 20.