18 ARRANJO SIMPLES

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Arranjo Simples
Definição: Chama-se arranjo simples, de ordem p (tamanho p) de m objetos distintos, a todo agrupamento ordenado de p objetos selecionados dos m objetos dados. (0 
 p 
 m)
Notação: A
 ou A
Definição: Seja E = {a
, a
, a
, ..., a
}, chamamos de arranjo simples, a qualquer subconjunto ordenado de E que tenha p elementos.
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Combinação Simples
Definição: Chama-se combinação simples, de ordem p (tamanho p) de m objetos distintos, a todo agrupamento de p objetos selecionados dos m objetos dados sem levar em conta a ordem. (0 
 p 
 m)
Definição: Seja E = {a
, a
, a
, ... , a
}, chamamos de combinação simples dos m elementos de E, tomados p a p, a qualquer subconjunto de E que tenha p elementos.
Notação: C
 ou C
 ou (
)
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Exemplos:
Consideremos 5 pontos distintos A,B,C,D e E, dos quais três quaisquer nunca estão alinhados, com esses pontos, devemos formar:
Segmentos.
Segmentos orientados.
Qual dos itens é arranjo e qual é combinação.
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a) Os segmentos que podemos formar são:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
e 
. Contudo, pela definição de segmento temos que : 
 = 
 , isto é, dois a dois eles são iguais.
Logo, o número de segmentos são 10. Para chegar a esses segmentos não foi levado em conta a ordem, o que caracteriza um caso de combinação.
Para se chegar a esse número, basta combinar os 5 pontos dados dois a dois, isto é: C
=10
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b) Os segmentos orientados que podemos formar são: 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
 e 
. Contudo, pela definição de segmento orientado temos que 
 ( 
.
Logo, o número de segmentos são 20. Para chegar a esses segmentos foi levada em conta a sua ordem, o que caracteriza um caso de arranjo.
Para se chegar a esse número, basta agrupar esses 5 pontos dois a dois, isto é: A
= 20
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 Pelo que vimos, o item (a) é combinação e o item (b) é arranjo.
 Dado o conjunto E = {a, b, c}, pede-se formar:
 Todos ao pares ordenados, de elementos distintos.
 Todos os subconjuntos com elementos.
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Solução:
a) Como sabemos: (a, b) ( (b, a), logo esse item é arranjo. A primeira coordenada do par pode ser qualquer um dos 3 elementos do conj. e a segunda coordenada só tem duas opções, uma vez que os pares são de elementos distintos. Pelo principio multiplicativo temos 3x2 = 6 pares.
Para formarmos todos os pares ordenados, devemos agrupar esses 3 elementos de dois em dois, isto é: A
 = 3x2 = 
 = 
 = 6
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b) Como sabemos: {a, b} = {b, a}, logo esse item é combinação. O número de conjuntos que podemos formar é a metade do número de pares ordenados. Para formar todos os subconjuntos, devemos combinar esses 3 elementos dois a dois, isto é:
C
= 
 = 
 = 
 = 3
ou C
 = 
No caso geral, dado um conjunto com “m“ elementos e queremos formar agrupamentos de tamanho “p“ onde p e m são naturais e p ( m, temos:
A
 = 
 e C
 = 
 = 
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OBSERVAÇÕES:
Todo agrupamento em que trocando a ordem de seus elementos, apenas estamos repetindo-os, temos uma combinação.
Todo agrupamento em que trocando a ordem de seus elementos, estamos criando um novo, diferente dos iniciais, temos um caso de arranjo.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
O número de arranjos simples de m + n objetos tomados 2 a 2 é 132, e o de m – n objetos tomados 2 a 2 é 12. Determinar m e n ?
SOLUÇÃO:
A
 = 132 
 
 = 132 
 (m + n )( m + n –1 ) = 132 ,fazendo m + n = x, temos: x ( x – 1 ) = 132 
 resolvendo a equação encontramos : x = 12
A
 = 12 
 
 = 12 
 ( m – n )( m – n – 1 ) = 12, fazendo ( m – n ) = y temos: y ( y – 1 ) = 12 
 resolvendo a equação encontramos: y = 4
 
Substituindo x = 12 e y = 4 temos: 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 2m = 16 
 m = 8 e n = 4
Resposta: m = 8 e n = 4
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2) Num plano marcam-se 12 pontos, dos quais 5 estão sobre a mesma reta. Quantos triângulos podem formar?
SOLUÇÃO: como o triângulo ABC é o mesmo que ACB ou BCA ou BAC , temos um caso de combinação simples.
1a ) C
 - C
 = 210
2a ) C
 + C
. C
 + C
. C
 = 35 + 21 . 5 + 7 . 10 = 35 + 105 + 70 = 210
Resposta: 210
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
01) Quantos sinais diferentes podem ser feitos içando quatro bandeiras de cores diferentes, uma após a outra? Admitiremos que podemos içar um número qualquer de cada vez. R.: A
 + A
 + A
 + A
 = 64
02) Num banco há 5 lugares. De quantas maneiras podem sentar-se 5 pessoas entre 10 moças e 8 rapazes, de modo que 2 moças e 2 rapazes nunca fiquem juntos?
R.: A
 . A
 + A
 . A
 = 70560
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03) Num plano há 9 pontos dos quais 5 são colineares. Quantos segmentos de retas, não colineares poderá ser traçado? R.: C
 - C
 = 26
04) São dadas duas retas paralelas. Marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a outra. Quantos triângulos poderemos formar, ligando três quaisquer desses 11 pontos coplanares?
R.: C
 - (C
 + C
) = 126
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05) O número N está decomposto em fatores primos distintos do seguinte modo N = a
 . a
 . a
 . a
 . a
 . a
. Achar o número de divisores positivos desse número.
R.: 1 + C
 + C
 + C
 + C
 + C
 + C
 = 64
06) Uma embarcação deve ser tripulada pôr 8 homens dos quais 2 somente remam à direita e um apenas do lado esquerdo. De quantas formas diferentes poderá ser arranjada a guarnição? R.: C
. P
. P
07) Um cinema tem 12 portas . De quantas maneiras poderá ser aberto?
R.: C
 + C
 + C
 + ... + C
 = 212 - 1
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