17 FATORIAL

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Definição: Chama-se fatorial de um nº natural n
 2 e indicamos por n! ao nº : n! = 1 x 2x 3 x ... xn.
Ex. 1: 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
Ex. 2: 30 + 2! – 3 . 1! = 1 + 2 – 3 . 1 = 3 – 3 = 0
Ex. 3: 4 . 5! – 6 . 3! = 4 . 5 . 4 . 3! – 6 . 3! = 3! (80 – 6) – 6 x 74 = 444
Ex. 4: 6! + 6 – (4!)2 = 6 + 6 . 5 . 4! - 4! 4! = 6 + 4! (30 – 4) = 6 + 24 x 6 = 150
OBS.: O fatorial do nos ZERO e UM é definido como sendo 1, por serem estas igualdades convenientes para as fórmulas que estudaremos adiante.
0! = 1 e 1! = 1
Vejamos o porquê da observação acima em duas das fórmulas que estudaremos.
Cn,p = 
A​n,p = 
_1055329636.unknown
_1055329817.unknown
_1055328795.unknown
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EXERCÍCIOS
Calcule:
a) 4! + 3!			c) 			e) 
b) 5! + 0!			d) 
 Simplifique:
a) 		b) 		c)
 
d) 			e) 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
_1337413110.unknown
_1337413152.unknown
_1337413184.unknown
_1337413194.unknown
_1337413128.unknown
_1337413000.unknown
_1337413050.unknown
_1337412986.unknown
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3) Expresse os produtos como quociente de dois fatoriais:
a) 8 . 7 . 6		b) n (n – 1)			c) (n + 3) (n + 2)
d) (n – 3) (n – 4) (n – 5)	 e) k (k – 1) (k – 2) ... (k – n + 1)
Determine n:
n! = 6
n! = 1
(n + 2)! = 24
(n – 1) = 1
n! = 12 (n – 2)!
� EMBED Equation.3 ���
_1337413331.unknown
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OBS.: Os valores encontrados devem ser substituídos na equação. Para ver se satisfazem: ( fatorial de nº negativo.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Calcule e simplifique:
_1055331428.unknown
_1055331482.unknown
_1055331308.unknown
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Resolva as equações:
			R.: n = 7
			R.: n = 6
		R.: n = 3
_1055331731.unknown
_1055331806.unknown
_1055331634.unknown
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		R.: n = 8
		R.: n = 5
		R.: n = 10
_1055331980.unknown
_1055332080.unknown
_1055331926.unknown
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Se An = 
, o valor de A2000 é: 			
R.: 1999
 Adotando, para todo n natural, a definição:
f (n) = 
Calcule:
 f (1), f (2), f (3), f(4) e f(5)					
R.: 1, 2, 6, 24 e 120.
_1055332297.unknown
_1055332451.unknown
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 Mostre que: f (n) = 1 . 2 . 3 . ... . n
 Mostre que: f (a+2) – f (a+1) = (a+1) . f (a+1) = (a + 1)2 . f (a)
 Mostre que: 2f (a) – (a -1) . f (a -1) = f (a -1) + f (a), a > 1.
 Determine x na equação: f (a+1) + f (a -1) = x . f (a), a ( lN*
R.: 
_1055332950.unknown
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 Sendo n 
 2, qual dos nos (n!)2 e (n2)! é o maior?
R.: (n2)! > (n!)2
 Prove que:
1! 1 + 2! 2 + 3! 3 + ... + n! n = (n+1)! – 1
(Sugestão: (n+1)! – n! = n! n)
Prove que:
(Sugestão: 
_1055334010.unknown
_1055334123.unknown
_1055333012.unknown
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Determine o nº de zero de 1000!						R.: 249
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
1)
 24 + 6 = 30
 120 + 1 = 121
_1055575948.unknown
_1337414780.unknown
_1055575881.unknown
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2)
_1055576111.unknown
_1055576276.unknown
_1055576631.unknown
_1055576186.unknown
_1055576010.unknown
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3)
a)
				b) 
		c) 
	
d) 
		e) 
		f) 
4)
n! = 3! 
n =
n! = 
(n+2)! = 4! 
 n+2 = 4 
 n = 2
(n -1)! = 
 ou ou
 n – 1 = 1 n = 2
_1055576940.unknown
_1055590567.unknown
_1055590696.unknown
_1055590983.unknown
_1055590618.unknown
_1055590516.unknown
_1055576776.unknown
_1055576812.unknown
_1055576739.unknown
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n (n – 1) (n – 2)! = 12 (n – 2)! 
n2 – n – 12 = 0 
 (n – 4) 
(n + 3) = 0 
 n = 4 ou n = - 3
N.S
n2 – n – 42 = 0 
 (n – 7) (n + 6) = 0 
n = 7 ou n = - 6
 N.S.
_1055590618.unknown
_1055591215.unknown
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SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS
1)
a) 
	
R.: 
b)
	
R.: 
c) 
R.: 
_1055592004.unknown
_1055592242.unknown
_1055592292.unknown
_1055592649.unknown
_1055592045.unknown
_1055591815.unknown
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2)
(n+1) n – n = 7n 
 n2 = 7n 
n2 – 7n = 0 n = 7 ou n = 0	
N.S.
R.: n = 7
 
6m2 – 25m – 25 = 0	
M = 
R.: n = 5
_1055592709.unknown
_1055593012.unknown
_1055593254.unknown
_1055590618.unknown
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C) 
29n2 – 29n + 87 = 31n2 – 31n – 93
2n2 – 2n – 180 = 0 
n2 – n – 90 = 0
(n – 10) (n + 9) = 0 
 n = 10 v n = - 9
 N.S.				
R.: n = 10
3) An = 
An = n =1
A2000 = 200 – 1 
R.: A2000 = 1999
_1055594290.unknown
_1055594361.unknown
_1055594494.unknown
_1055593763.unknown
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4) 
 f (1) = 1 . f (1 – 1) = 1 . f (0) = 1 . 1 = 1 
 f (1) = 1
f (2) = 2 . f (2 – 1) = 2 . f (1) = 2 . 1 = 2 
 f (2) = 2
f (3) = 3 . f (3 – 1) = 3 . f (2) = 3 . 2 = 6 
 f (3) = 6
f (4) = 4 . f (4 – 1) = 4 . f (3) = 4 . 6 = 24
f (4) = 24
f (5) = 5 . f (5 . 1) = 5 . f (4) = 5 . 24 = 120 
 f (5) = 120
 f (n) = n . f (n – 1) = n . (n – 1) f (n – 2)
= n (n – 1) (n – 2) f (n – 3) = n (n – 1) (n – 2) ...3.f (2)
= n (n – 1) (n – 2) ... 3.2 f (1)
= n (n – 1) (n – 2) ... 3.2.1
_1055594361.unknown
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5) (n!)2 = (1.2.3. ... n)2 = 12.22.33 ... . n2
(n2)! = 1.2.3.4.5 ... (n2 – 2) (n2 – 1) n2
= 12.2.3.22.5 ... (n2 – 2) (n2 – 1) n2
= 12.22.33 ... . n2 (2.3.5 ...) (n2 – 1))
= (n!) 2 (2.3.5. ... (n2 – 1))
Porém, para n 
 2 temos: (2.3.5. ... (n2 – 1)) > 1
Logo, (n2)! > (n!)2
_1055596469.unknown
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6) 
 
1! 1 + 2! 2 + 3! 3 + ... + n! n = - 1! + (n + 1)!
1! 1 + 2! 2 + 3! 3 + ... + n! n = (n + 1)! – 1
7) 
= 
= 1 - 
_1055663474.unknown
_1055663637.unknown
_1055663764.unknown
_1055596816.unknown
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 1000! = N . 10k 
 1000! = N . 2k . 5k
Pela fatoração acima, podemos concluir que o nº de zeros de 1000! é dado pela quantidade de 2 ou 5 que aparece em 1000!, porém, o fator 2 aparece mais vezes do que o fator 5, logo devemos procurar quantos fatores 5 aparece.
1000! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 ... 1000
1000! = 1.2.3.4. (5.1). 7.8.9. (5.200)
1000! = 1.2.3.4.6.7.8. ... 999 (5.1) (5.2) (5.3) ... (5.200)
1000! = A . 5200 (1.2.3. ... 200)
1000! = A . 1.2.3.4 (5.1) .6.7.8.9. (5.2) ... (5.40). 5200
1000! = A . 1.2.3.4.6.7.8. – 1.99 (5.1) (5.l2) ... (5.40). 5200
1000! = A . B . 1.2.3.4.5.6. ... 39.540. 5200
1000! = A . B . 1.2.3.4. (5.1) .6.7.8.9. (5.2) ... 39 (5.8) . 5240
1000! = A . B . C (5.1) (5.2) (5.3) ... (5.8) . 5240
1000! = A . B . C 1.2.3.4.5.6.7.8. 58 . 5240
1000! = A . B . C . D . 5. 58 . 5240
1000! = N . 5249
									Resp.: 249 zeros
_1055663819.unknown