Exercícios de Funções de Várias Variáveis

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1. Determine o domínio de cada função e represente-o graficamente. 
a. 
 
 
 . R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2  1} 
b. . R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2  1} 
c. . R.: {(x,y) Є R2 | x2 - y2  1} 
d. . R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2  1} 
e. 
 
 
. R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2 < 1} 
f. 
 
 
. R.: {(x,y) Є R2 | y   x} 
g. . R.: {(x,y) Є R2 | xy > 1} 
h. . R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2  1} 
i. 
 
 
 . R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2/4  1} 
j. . R.: {(x,y,z) Є R3 | x2 + 4y2 + z2  16} 
k. . R.: {(x,y,z) Є R3 | x > 0, y > 0 e z > 0} 
l. . R.: {(x,y,z) Є R3 | x2 + y2 < 4} 
m. . R.: {(x,y,z) Є R3 | -2  y  2} 
 
2. Determine e represente graficamente: (i) Domínio de . (ii) Curva de Nível. (iii) Interseções com os 
planos coordenados. (iv) Gráfico de . 
a. (x,y) = 1 – y2. R.: R2; y = 1 e y = -1, z = 1 e z = 1 – y2 
b.  
 
 
 . R.: R2 – {(0,0)}; x2/9 + y2 = 1, z = 2ln|x| – ln9 e z = 2ln|y|. 
c. . R.: R2; (0,0), z = 4x2 e z = 9y2. 
d. . R.: {(x,y) Є R2 | x2 + y2  16}; x2 + y2 = 16, z = e z = 
e. . R.: R2; circulo de cento na origem e raio 4, z = 16 – x2 e z = 16 – y2. 
f. . R.: R2; y = -x/2 + 2, z = 8 – 2x e z = 8 – 2y. 
 
3. O potencial elétrico no ponto (x,y) do plano xy é V(x,y) volts e V(x,y) = 
 
 
. Trace as curvas de 
produção equipotenciais de V em 16, 12, 8, 4, 1, ½ e ¼. 
 
4. A função de certa mercadoria tem valores funcionais f(x,y) = 4x1/3y2/3, onde x e y medem os insumos. 
Faça um mapa de contorno de f mostrando as curvas de produção constante em 16, 12, 8, 4 e 2. 
 
5. Suponha que o numero de unidades produzidas de certa mercadoria seja z e z = 6xy, onde x é o 
numero de pessoas-horas disponíveis. Então, a função f, definida por f(x,y) = 6xy é uma função de 
produção. Trace o mapa de contorno de f mostrando as curvas de produção constante para z igual a 
30, 24, 18, 12 e 6. 
 
As respostas das questões 3, 4 e 5 foram omitidas por serem gráficos, mas o aluno pode usar o material 
teórico Funções de Várias Variáveis_2013, disponível no Sharepoint, para orientação. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - CÁLCULO III 
Funções de Várias Variáveis