Exercícios Derivadas Parciais - 3

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO III 
DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
1. Uma equipe de oceanógrafos está mapeando o fundo do oceano para ajudar no resgate de um navio afundado. 
Usando um sonar, eles desenvolvem o modelo D = 250 + 30x2 + 50 sem 
2
y
, 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2, Onde D é a 
profundidade em metros, e x e y são as distâncias em quilômetros. Determine a direção da maior taxa de 
variação de profundidade a partir da posição do navio. Resp.: 60,0i + 55,5j 
 
2. Considere a função 
(x,y) = 
  11
4
22  yx
xy
 
nos intervalos – 2 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤3. Encontre um conjunto de equações paramétricas para a reta normal e uma 
equação do plano tangente à superfície no ponto (1, 1, 1). Resp.: Reta: x = 1, y = 1, z = 1 – t. Plano: z = 1 
 
3. A Regra dos Troncos de Doyle é um dos diversos métodos usados para determinar a maneira de construção 
fornecida por um tronco (em “board –feet”)* em termos de seu diâmetro d (em polegadas) e seu comprimento 
L (em pés). O número de “board – feet é N(d,L) = 2
4
4





 d
 L. Calcule o número de “board- feet” de maneira de 
construção fornecida por um tronco de 22 polegadas de diâmetro e 12 pés de comprimento. Resp.: 243 board-ft 
 
4. Uma caixa retangular com o topo aberto tem um comprimento de x pés, uma largura de y pés e uma altura de z 
pés. O custo para construir a base é de $0,75 por pé quadrado, e para construir os lados é $0,40 por pé 
quadrado. Escreva o custa C para construir a caixa como função de x, y e z.Resp.: C = 0,75 xy + 0,80(x,y + yx) 
 
 
5. De acordo com a Lei dos Gases Ideais, PV = kT, onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e k é uma 
constante de proporcionalidade. Um tanque contém 2600 polegadas cúbicas de nitrogênio à pressão de 20 
libras por polegada quadrada e a temperatura de 300 k. 
(a) Determine k.Resp: k = 
3
520
 
(b) Escreva P como função de V e T e descreva as curvas de nível. Resp.: P: 520T / (3V) 
As curvas de nível são retas.