Matemática Básica

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Matemática Básica
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1
AULA 01
1. Múltiplo de um número
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b.
	M(3) = {0, 3, 6, 9,
	}
Exemplo: Múltiplos de 3
Observações:
• O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo.
• Os números da forma 2k, k ∈ N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares.
2. Divisor de um número
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c.
Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações:
• O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio.
2.1. Quantidade de divisores de um número
Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim:
a) Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.
Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo 90 possui 12 divisores
3. Critérios de divisibilidade
3.1. DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128.
3.2. DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126.
3.3. DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 0. Exemplos: 5716, 8700, 198200.
3.4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.
3.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460.
3.7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000.
3.8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289.
3.9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160.
4. Números Primos
Um número p, p ≠ 0 e p ≠ 1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.
	Exemplos: 2, 3, 5, 7, 1, 13,
	
Observação: Um número é denominado composto se não for primo.
5. Mínimo Múltiplo Comum
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão.
	Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36,
	}
	M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48,
	}
Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24
	Processo 2:
	
6 – 8 3 – 4 3 – 2 3 – 1 1 – 1
Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 6. Máximo Divisor Comum
Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns.
Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42
	Processo 2: 36 = 2.32
	e 42 = 2.3.7
Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.
Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 2
Exercícios de Sala
01) ( UFSC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é:
02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é:
a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 e) 230
03) O número de divisores naturais de 72 é:
a) 10 b) 1 c) 12 d) 13 e) 14
Tarefa Mínima
01) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine:
a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C
02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é:
a) 240 b) 720 c) 120 d) 340 e) 230
03) Determine o número de divisores naturais dos números a) 80 b) 120
04) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes?
05) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente:
a) 12 m b) 18 m c) 24 m d) 30 m e) 36 m
Tarefa Complementar
06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas 07) Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e
90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá:
a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 4 cm
08) Sejam os números A = 23.32. 5 B = 2 . 3 . 52
Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente:
a) 180 e 60 b) 180 e 600 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60 e) n.d.a.
09) ( Santa Casa-SP ) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
10) ( PUC-SP ) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 b) 401 c) 362 d) 201 c) n.d.a.
1) ( PUC-SP ) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter?
12) ( UEL-PR ) Seja p um número primo maior que 2. É verdade que o número p2 – 1 é divisível por:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
13) Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale:
14) (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 8 por n um cubo perfeito é:
a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24
	O total de pedaços obtidos com as três vigas é:
	
15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível.
a) 18 b) 21 c) 210 d) 180 e) 20
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3
AULA 02
1. Conjuntos Numéricos
	N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,
	}
1.1. Conjunto dos Números Naturais
	N* = { 1, 2, 3, 4, 5,
	}
	∀ a, b ∈ N, (a + b) ∈ N e (a . b) ∈ N
	
Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero )
1.2. Conjunto dos Números Inteiros
Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo.
	Z = {
	-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
	Z* = inteiros não nulos
	{ ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
	Z+ = inteiros não negativos
	{ 0, 1, 2, 3, ... }
	Z*+ = inteiros positivos
	{ 1, 2, 3, 4, ... }
	Z −_ = inteiros não positivos
	{ ..., -3, -2, -1, 0}
	Z*_ = inteiros negativos
	{ ... -3, -2, -1 }
	∀ a, b ∈ Z, (a + b) ∈ Z, (a . b) ∈ Z e (a – b) ∈ Z
	
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros
1.3. Conjunto dos Números Racionais
Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros,onde o resultado era um número não inteiro.
Q = { x | x= a b , com a ∈ Z, b ∈ Z* }
Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional.
São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros
	)
	
	d) dízimas periódicas ( 0,3
	=
c) decimais exatos ( 0,2 = 210 1
As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).
Geratrizes de uma dízima periódica
Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procede-se assim:
a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
	b) 0,3
	=
	c) 0,434343
	=
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
	a) 0,3777
	=
	b) 0,32515151
	=
1.4. Conjunto dos Números Irracionais
Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa.
	x
	
	1
	
	x2 = 12 + 12
	
Aplicando o teorema de Pitágoras temos: x = 2
Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural, inteiro, nem racional, surge então os números irracionais. Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração, como por exemplo:
	a) π = 3,14
	
	b) e = 2, 71
	
	c) toda raiz não exata
	
	1.5. Conjunto dos Números Reais
	
Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4
	ℜ
	
	Q
	I
Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber, que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante.
• Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)
• Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a
• Simétrico: a + (– a) = 0
• Inverso: a . a
1. Intervalos Numéricos
Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de ℜ. Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:
• {x ∈ R| p ≤ x ≤ q} = [p, q] • {x ∈ R| p < x < q} = ]p, q[
• {x ∈ R| p ≤ x < q} = [p, q[
• {x ∈ R| p < x ≤ q} = ]p, q]
• {x ∈ R| x > q} = ]q, ∞[
Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.
Observações
• O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x} • O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }
• O intervalo ( −∞ , + ∞ ) representa o conjunto dos números reais (R)
• (x, y) = ]x, y[
Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:
Notação de conjunto. Exemplo: {x ∈ R| 2 < x ≤ 3} Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representação Gráfica. Exemplo:
Veja outros exemplos: 1) {x ∈ R| x > 2} = ]2, ∞[
3) {x ∈ R| 3 ≤ x < 4} = [3, 4[
2. Módulo de um número real
Módulo ou valor absoluto, de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x. Indicamos o módulo de x por | x |.
2.1. Definição
0 x se x,- 0 x se ,x
Exemplos:
a) como 3 > 0, então | 3 | = 3 b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3
2.2. Propriedades
• yxy
2.3. Equação Modular
Equação Modular é a equação que possui a incógnita x em módulo.
Tipos de equações modulares:
	S = {-3, 3}
	
Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3
	x + 2 = 6
	ou x + 2= - 6
	x = 4
	ou x = - 8
Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 S = {-8, 4}
• | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = − k
Inclusão para a vida Matemática A
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Exemplo 1: | x | = - 3 S = ∅
Exemplo 2: |x + 2| = -10 S = ∅
2.4. Inequação Modular
Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | ≤ k, | x | > k, | x | ≥ k denominam-se inequações modulares.
Tipos de inequações modulares: •
	Exemplos:
	| x | < 3 → – 3 < x < 3
	Exemplos:
	| x | > 3 → x < – 3 ou x > 3
Exercícios de Sala
01) Calcule o valor das expressões abaixo:
	I
	x2 + 4 = 0
	I
	x2 – 4 = 0
02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equações: I. 0,3x = 0,1
Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que:
a) I são números irracionais b) I é um número irracional c) I e I são números reais d) I e I são números não reais e) I e II são números racionais
03) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7 c) |x2 –5x | = 6 d) |x + 2| = –3 e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0
Tarefa Mínima
01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:
a) {x ∈ N| x é divisor de 12} b) {x ∈ N| x é múltiplo de 3} c) {x ∈ N| 2 < x ≤ 7} d) {x ∈ Z| - 1 ≤ x < 3} e) {x| x = 2k, k ∈ N} f) {x| x = 2k + 1, k ∈ N}
	02) As geratrizes das dízimas: 0,232323
	e 0,2171717...
são respectivamente:
03) ( ACAFE ) O valor da expressão , cba quando
04) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 c) |x – 2| = -3 d) |x |2 + 3 |x| - 4 = 0 é:
05) A solução da inequação 5)12(≤−x
	06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,6..., b = 1,3
	e
Tarefa Complementar c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a:
07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:
a) x.y é racional b) y.y é irracional c) x + y racional d) x - y + 2é irracional e) x + 2y é irracional
08) ( FUVEST ) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy? a) à esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1
• | x | = k, com k = 0, então: x = 0 • | x | = k, com k < 0, então: não há solução
| x | < k, com k > 0, então: − k < x < k | x | > k, com k > 0, então: x <− k ou x > k
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6
09) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39. 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar, então a é par.
08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o número 247 é um número primo.
10) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
	
	
	
	
	
	19
O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente:
	e) 3 e 1
	
a) 2 e 2 b) 3 e 3 c) 2 e 3 d) 3 e 2
1) A expressão|2x – 1| para x < 2
1 é equivalente a:
a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1 d) 1 + 2x e) – 1
12) Assinale a alternativa correta:
a) Se x é um número real, então 2x≠ |x | b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.
13) ( UFGO ) Os zeros da função f(x) = 2 1 x− − são:
	a) −7 e −8 b) 7 e −8 c) 7 e 8
	
	d) −7 e 8
	e) n.d.a.
14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação d) {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 0} e) Todos os conjuntos anteriores
15) ( ITA-SP ) Os valores de x ∈ R para os quais a função real dada por f(x) = |6|12||5−−−x está definida, formam o conjunto:
AULA 03
EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES
1. Definição
Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.
2. Resolução
Considere, como exemplo,a equação 2x + 1 = 9.
Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação
	chamadas equivalentes
	
Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são
Se: a = b então para ∀m → a + m = b + m Se: a = b então para ∀m ≠ 0 → a . m = b . m
4. Inequações do 1º grau
Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.
Uma inequação é dita do 1º grau se pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0
Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:
Se: a > b então para ∀m → a + m > b + m Se: a > b então para ∀m > 0 → a . m > b . m Se: a > b então para ∀m < 0 → a . m < b . m
Exercícios de Sala
01) Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0, com a ≠ 0 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) e) 0.x = 0 f) 0.x = 5 g)
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7
02) Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20
03) Resolva em R, o seguinte sistema:
yx yx
Tarefa Mínima
01) Resolver em R as equações:
a) 6x – 6 = 2(2x + 1) b) 2(x + 1) = 5x + 3 c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 d) 2(x – 2) = 2x – 4 e) 3(x – 2) = 3x
02) A solução da equação x
	d) x = 2 e) x = 1
	
a) x = – 2 b) x = – 3 c) x = 3
03) ( FGV–SP ) A raiz da equação 1 a) um número maior que 5 b) um número menor que – 1 c) um número natural d) um número irracional e) um número real
04) Determine a solução de cada sistema abaixo:
yx yx b) yx c) yx yx
05) Resolva em R as inequações:
a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b)
Tarefa Complementar
06) O valor de x + y em
213y2x é:
07) Obtenha o maior de três números inteiros e consecutivos, cuja soma é o dobro do menor.
08) ( UFSC ) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações:
x + 3 ≥ 2 e 2x - 1 ≤ 17; é:
09) As tarifas cobradas por duas agências de locadora de automóveis, para veículos idênticos, são:
• agência AGENOR: R$ 90,0 por dia, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado.
• Agência TEÓFILO: R$ 80,0 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetro rodado.
Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO.
10) ( UFSC ) A soma dos dígitos do número inteiro m tal que 5 m + 24 > 50 e 5
1) ( UFSC ) Para produzir um objeto, um artesão gasta
R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é:
	anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do
	
12) ( UFSC ) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 filho. A idade do pai será:
13) ( UFSC ) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21?
14) ( UNICAMP ) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
15) ( UEL-PR ) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem?
AULA 04
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma:
ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
1. Resolução
1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim:
	ax2 = − c
	
ax2 + c = 0 x2 = a
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8 x = ± a aca c,
2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim:
ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0
	−}
	
3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0 aplica-se a fórmula de Bháskara x = 2a
Nessa fórmula, ∆= b2 – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:
• ∆ > 0. Existem duas raízes reais e distintas • ∆ = 0. Existem duas raízes reais e iguais
• ∆ < 0. Não há raiz real
2. Relações de Girard Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:
	−
	x1 . x2 =
b a
Exercícios de Sala
01) Resolva, em reais, as equações: a) 2x2 – 32 = 0 b) x2 – 12x = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0
02) Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x.
Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e iguais? a) 0 e 4 b) 0 e 2 c) 0 e 1 d) 1 e 3 e) 1 e 4
03) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, determine:
a) x1 + x2 b) x1 . x2 c)
Tarefa Mínima
01) Resolva em R, as equações:
a) x2 – 5x + 6 = 0 b) – x2 + 6x – 8 = 0 c) 3x2 – 7x + 2 = 0 d) x2 – 4x + 4 = 0 e) 2x2 – x + 1 = 0 f) 4x2 – 100 = 0 g) x2 – 5x = 0
02) Os números 2 e 4 são raízes da equação:
a) x2 – 6x + 8 = 0 b) x2 + x – 6 = 0 c) x2 – 6x – 6 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0 e) x2 + 6x – 1 = 0
03) ( PUC-SP ) Quantas raízes reais tem a equação 2x2 – 2x + 1 = 0? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
04) A soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente:
	d) 4,5 e 5 e) n.d.a
	
	05) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0
	
a) 3 e 4,5 b) 2 e 4 c) – 3 e 2
Obtenha
Tarefa Complementar
06) Resolver em R a equação 1
07) A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é:
08) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:
09) A solução da equação x – 3 = 3+x é:
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9
10) ( MACK-SP ) Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6
1) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5, então a soma dos quadrados desse número com o seu inverso é 23.
02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,
04. Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale 2 08. Se x é solução da equação x2 – 3 + 32−x = 2, então o valor de x4 = 16
	12) Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,
	
raízes dessa equação, pode-se afirmar:
01. x1 ≠ x2 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5
04. a soma das raízes dessa equação é 3 08. a soma dos inversos das raízes é 6 16. a equação não possui raízes reais
	a) 3
	b) 4 c) 8 d) 9 e) 1
13) A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é:
14) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 32
02. A maior raiz da equação 3x2 – 7x + 2 = 0 é 2 04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 16. a equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais
	15) Determine o valor de x que satisfaz as equações:
	
AULA 05
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando para todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B. Formalmente:
	f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈ B|(x, y) ∈ f)
	
Numa função podemos definir alguns elementos.
• Conjunto de Partida: A • Domínio: Valores de x para os quais existe y.• Contra Domínio: B
• Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.
Observações: • A imagem está sempre contida no Contra Domínio
• Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.
	gráfico no eixo y
	
	Domínio = [a, b]
	Imagem = [c, d]
• O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do
Valor de uma Função
Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9
Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3)
Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5
Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1).
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 10
Exemplo 3: Dada a função f(x − 1) = x2. Determine f(5).
Resolução: f(x −1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 − 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).
Exercícios de Sala
01) Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3}
02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio
02) Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada função:
a) y = 2x + 1 b) y =
	c)
	y = 23−x d) y =
Seja f x
Calcule o valor de:
Tarefa Mïnima
01) ( UNAERP-SP ) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R → R ? a)
	b)
	
c) d) e)
02) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 2} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A função é crescente em todo seu domínio
03) Determine o domínio das seguintes funções a) y = b) y = 3−x c) y = x d) y = 35−x
04) ( UFSC ) Considere as funções f: R → R e g: R → R dadas por f(x) = x2 − x + 2 e g(x) = − 6x + 5
Calcule f( 2
05) ( UFPE-PE ) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1
Tarefa Complementar
06) ( UFC-CE ) O domínio da função real y = 72−−x x é:
a) {x ∈ R| x > 7} b) {x ∈ R| x ≤ 2} c) {x ∈ R| 2 ≤ x < 7} d) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x > 7}
07) Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0
08) ( USF-SP ) O número S do sapato de uma pessoa está relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu pé pela fórmula S = 4
	
	
Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm d) 29,5 cm e) 27,2 cm
	a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x
	
09) ( FUVEST ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x e) f(x) = 1,03x
	a) 3.f(x)
	b) 3 + f(x)
	c) f(x3)
	d) [f(x)]3
10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a: e) f(3) + f(x)
1) ( FGV-SP ) Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas:
1ª . Parcela fixa de R$ 10,0; 2ª . Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,0, então ele consumiu:
	c) menos de 65 kWh
	d) entre 65 e 80 kWh
a) 100,3 kWh b) mais de 110 kWh e) entre 80 e 110 kWh
12) ( PUC-Campinas ) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros percorridos foi:
13) ( UFSC ) Dadas as funções f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x − 1 e h(x) = 7 − x, o valor em módulo da expressão:
14) ( UFSC ) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) − 15. Determine o valor de f(0).
15) ( UDESC ) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:
AULA 06
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
1. Função Polinomial do 1º Grau
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b.
	1.1. Forma:
	f(x) = ax + b com a ≠ 0.
a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.
1.2. Gráfico
O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.
Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.
• Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer Interceptos:
x = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b).
• Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas (− ba
,0). O ponto que o gráfico corta o eixo x é chamado raiz ou zero da função.
	f(x) = ax + b, a > 0
	f(x) = ax + b, a < 0
	função crescente
	função decrescente
	f(x) = – 3x + 1
	
Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 12
	eixo y em (0,1)
	
gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.
– 3x + 1 = 0
Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas ( 3
	, 0)
	
	D = ℜ
	C.D. = ℜ Im = ℜ
2. Função Constante
Uma função f de R em R é constante se, a cada x ∈ R, associa sempre o mesmo elemento k ∈ R. D(f) = R e Im (f) = k
	2.1 Forma: f(x) = k
	
2.2. Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2
	D = ℜ
	C.D. = ℜ Im = {2}
Exercícios de Sala
01) Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais.
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área.
02) ( PUC-SP ) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:
03) ( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).
Tarefa Mínima
01) Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1
02) ( FGV-SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em módulo:
03) ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:
04) ( UFMA ) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto
	a) f(x) = x − 3
	b) f(x) = x − 4
	c) f(x) = 2x − 5 d) f(x) = −2x − 1
	
e) f(x) = 3x − 6
05) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de
Tarefa Complementar
06) ( UCS-RS ) Para que – 3 seja raiz da função f(x) = 2x + k, deve-se ter
	a) k = 0
	b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2
07) ( UFPA ) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3.
Então, a − 2b é igual a:
a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a.
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 13
08) ( Fuvest-SP ) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é:
	a)1/2
	b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16
09) O gráfico da função f(x) está representado pela figura abaixo:
Pode-se afirmar que f(4) é igual a:
	produção de perfume, varia com a quantidade de
	
10) (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na perfume produzida ( x). Assim, podemos afirmar:
a) Quando a empresa não produz, não gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,0. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,0. d) Se a empresa gastar R$ 170,0, então ela produzirá 5 litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.
1) ( UFSC ) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:
12) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$80,0, e que daqui a 5 anos valerá R$ 160,0, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
	a) 480
	b) 360 c) 380 d) 400 e) 416
13) ( UFRGS ) Considere o retângulo OPQR da figura abaixo. A área do retângulo em função da abscissa x do ponto R é:
	a) A = x2 – 3x
	b) A = - 3x2 + 9x c) A = 3x2 – 9x
	d) A = - 2x2 + 6x
	e) A = 2x2 – 6x
14) ( UFRGS ) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.
	primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido
	
Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km
15) ( UERJ ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2.
f(x) = x 1
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b))
AULA 07
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Uma função f de R em R é polinomiail do 2º grau se a cada x ∈ R associa o elemento ax2 + bx + c, com a ≠ 0
O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim quando:
a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo
3. Interceptos
• O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c)
• Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, onde:
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 14 ac4b onde ,2a
Se ∆ > 0 → Duas Raízes Reais Se ∆ = 0 → Uma Raiz Real Se ∆ < 0 → Não possui Raízes Reais
4. Estudo do vértice da parábola
A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.
• O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. • O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.
5. Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde e 4a =yv2abvx ∆
6. Imagem da função quadrática
• Se a > 0, então Im = {y ∈ R| y ≥ − ∆
• Se a < 0, então Im = {y ∈ R| y ≤ − ∆
	7. Resumo gráfico
	
Exercícios de Sala
01) Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de ℜ→ ℜé correto afirmar:
01. 2 e 4 são os zeros da função f 02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais.
08. A imagem da função é: { y ∈ R| y ≥ − 1} 16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de área.
02) Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imagem.
	a) f: ℜ→ ℜ,
	f(x) = x2 – 2x
	b) f: ℜ→ ℜ,
	f(x) = – x2 + 4
c) f: [0, 3[→ ℜ, f(x) = f(x) = x2 – 2x
03) Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de ℜ→ ℜ. Determine o valor de m para que o gráfico de f(x):
a) tenha duas intersecções com o eixo b) tenha uma intersecção com o eixo x c) não intercepte o eixo x
Tarefa Mínima
01) Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do vértice e a imagem de cada função.
	a) f: ℜ → ℜ, f(x) = x2 – 2x – 3
	
b) f: ℜ → ℜ, f(x) = (x + 2)(x – 4) c) f: ℜ → ℜ, f(x) = – x2 + 2x – 1 d) f: ℜ → ℜ, f(x) = x2 – 3x
02) Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as verdadeiras:
	08. O gráfico não intercepta o eixo x
	
01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12). 02. As raízes de f são 2 e 6. 04. O domínio de f é o conjunto dos números reais. 16. A imagem da função é { y ∈ R| y ≥ − 4 }
32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, −4) 64. A função é crescente em todo seu domínio.
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 15
03) ( UFSC ) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é:
	domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:
	
04) ( ACAFE-SC ) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de
	d) [-3, 1]
	e) [-5, 3]
05) ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-se:
a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas.
Tarefa Complementar
06) ( UFSC ) Seja f: R → R, definida por: f(x) = - x2, determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras:
01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem. 02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais.
16. Im(f) = { y ∈ R | y ≤ 0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.
07) ( ESAL-MG ) A parabola abaixo é o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:
a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 0
08) Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto?
09) ( UFPA ) As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são:
	a) (-1, 4)
	b) (1, 2)
	c) (-1, 1)
	d) (0, 1) e) (1, 0)
10) ( UFPA ) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x2 −mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é:
	a) { ± 7} b) { 0 }
	
	c) { ± 2 }
	d) { ±27}
1) ( Mack-SP ) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(−1, −4). O valor de k + m em módulo é:
12) ( UFSC ) Dada a função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c.
13) A equação do eixo de simetria da parábola de equação y = 2x2 - 10 + 7, é:
	a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7
	
14) O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é:
a) – 3 b) – 4 c) – 2 d) 2 e) – 1
15) ( UFSC ) Marque no cartão a única proposição
CORRETA. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:
	04. y = 2x + 1
	
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE
1. Inequações do 2o Grau Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:
cbxax cbxax cbxax cbxax com a≠ 0
Para resolver a inequação do 2º grau associa-se a expressão a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. Posteriormente, seleciona-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-solução.
Exemplos:
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 16 a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 ≥ 0 b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 ≤ 0
S = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5} S = [2, 5] c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0
S = { x ∈ R | 1 < x < 4} S = [1, 4]
	a) f(x).g(x) ≥ 0
	b) f(x).g(x) > 0
	c) f(x).g(x) ≤ 0
	d) f(x).g(x)< 0
2. Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma:
Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação.
Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0
S = { x ∈ R | x < 1 ou 2 < x < 3}
3. Inequações Tipo Quociente
Inequação quociente é qualquer inequação da forma:
	0
	b)
	>0
	c)
	0
	d)
Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e em seguida aplicar a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja nos casos acima vamos considerar g(x) ≠ 0
Exemplo: Resolver a inequação 02
Exercícios de Sala
01) Resolver em ℜ as seguintes inequações: a) x2 – 8x + 12 > 0 b) x2 – 8x + 12 ≤ 0 c) x2 – 9x + 8 ≥ 0 02) O domínio da função definida por f(x) =
	e) n.d.a
	
03) Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
	x ≥ 0
	
Tarefa Mínima
01) Resolver em ℜ as seguintes inequações:
a) x2 – 6x + 8 > 0 b) x2 – 6x + 8 ≤ 0 c) – x2 + 9 > 0 d) x2 ≤ 4 e) x2 > 6x f) x2 ≥ 1
02) ( Osec-SP ) O domínio da função f(x) = −++xx223, com valores reais, é um dos conjuntos seguintes. Assinale-o.
	a) {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3 }
	b) { x ∈ R | -1 < x < 3 }
	c) { }
	d) { x ∈ R | x ≥ 3}
e) n.d.a.
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 17
03) Resolva, em R, as seguintes inequações:
04) Resolva, em R, as seguintes inequações:
b)
	c)
	x
	d)
	
05) ( ESAG-SC ) O domínio da função y = 12 12−−x nos reais é:
	a) (-∞, -1 ) b) (-1, ½]
	
Tarefa Complementar
06) Resolver em ℜ as seguintes inequações:
a) x2 – 6x + 9 > 0 b) x2 – 6x + 9 ≥ 0 c) x2 – 6x + 9 < 0 d) x2 – 6x + 9 ≤ 0
07) Resolver em ℜ as seguintes inequações:
a) x2 – 4x + 5 > 0 b) x2 – 4x + 5 ≥ 0 c) x2 – 4x + 5 < 0 d) x2 – 4x + 5 ≤ 0
08) ( CESGRANRIO ) Se x2 – 6x + 4 ≤ – x2 + bx + c tem como solução o conjunto {x ∈ ℜ| 0 ≤ x ≤ 3}, então b e c valem respectivamente:
a) 1 e – 1 b) – 1 e 0 c) 0 e – 1 d) 0 e 1 e) 0 e 4
09) ( UNIP ) O conjunto verdade do sistema
	x
	é:
10) ( PUC-RS ) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é:
1) (ACAFE-SC ) O lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é:
a) positivo para x entre 3 e 8 b) positivo para qualquer que seja x c) positivo para x maior do que 8 d) máximo para x igual a 8 e) máximo para x igual a 3
12) ( FATEC ) A solução real da inequação produto (x2 – 4).(x2 – 4x) ≥ 0 é:
a) S = { x ∈ R| - 2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4} b) S = { x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4} c) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 4} d) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou 0 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4} e) S = { }
13) ( MACK-SP ) O conjunto solução de 53 x é:
	14) ( Cescem-SP ) Os valores de x que satisfazem
	
a inequação (x2 −2x + 8)(x2 −5x + 6)(x2 −16) < 0 são:
a) x < −2 ou x > 4 b) x < −2 ou 4 < x < 5 c) −4 < x < 2 ou x > 4 d) −4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < −4 ou 2 < x < 3 ou x > 4
15) ( FUVEST ) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que:
a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) – 1< x < 0 d) – 2< x < –1 e) x < –1 ou x > 1
AULA 09
FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA
1. Função Par
	de x, tem-se imagens iguais, ou seja:
	
Uma função é par, quando para valores simétricos f(−x) = f(x), ∀ x ∈ D(f)
Uma conseqüência da definição é: Uma função f é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
	Uma função é ímpar, quando para valores simétricos
	
2. Função Ímpar de x, as imagens forem simétricas, ou seja:
f(−x) = − f(x), ∀ x ∈ D(f)
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 18
Como conseqüência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação a origem do sistema cartesiano.
3. Função Composta
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de
A → C tal que gof(x) = g(f(x))
	f: A → B
	g: B → C gof: A → C
	Condição de Existência:
	Im(f) = D(g)
	a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x))
	d) g(g(x))
Alguns tipos de funções compostas são:
Exercício resolvido:
Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0
Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e em seguida igualaremos a zero.
f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2. Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0
	Onde x1 = 1 e
	x2 = 2
4. Função injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÃO INJETORA: Uma função f: A → B é injetora se, e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em Símbolos:
FUNÇÃO SOBREJETORA: Uma função f de A em B é sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im
FUNÇÃO BIJETORA: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
DICA: De R → R, a função do 1º Grau é bijetora, e a função do 2º Grau é simples.
5. Função inversa
Seja f uma função f de A em B. A função f −1 de B em A é a inversa de f, se e somente se:
fof -1(x) = x, ∀x ∈ A e f -1o f (x) = x, ∀x ∈ B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f)
	IMPORTANTE:
	f é inversível ⇔ f é bijetora
Para encontra a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e em seguida isolar y.
Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f −1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.(f(x) = x)
Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa.
Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos:
f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x - 4 = 2y
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 19
Exercícios de Sala
01) Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2. Determine:
02) ( UFSC ) Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).
03) Se x ≠ 3, determine a inversa da função x xxf
Tarefa Mínima
01) Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g(3)) f) g(f(1)) g) f(f(f(2)))
02) ( U.F.Uberlândia ) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x) = ()()fogx é:
	c) {x ∈ R | x ≥ -5}
	
	d) { }
	
03) ( UFSC ) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numérico da função g no ponto x = 18, ou seja, g(18).
04) Determine a função inversa de cada função a seguir:
a) y = 2x – 3 b) y = 4 2+x x, x ≠ 4
05) ( UFSC ) Seja a função f(x) =
Tarefa Complementar
06) ( UFSC ) Sejam f e g funções de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números associados à(s) proposições verdadeiras.
01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3). 02. f é uma função crescente . 04. -1 e +1 são os zeros da função g.
08. Im(g) = { y ∈ R | y ≥ -1 }. 16. A função inversa da f é definida por f -1(x) = -x + 3. 32. O valor de g(f(1)) é 3. 64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).
07) Dadas as funções: f(x) = 5−x e g(x) = x2 - 1, o valor de gof(4) é:
08) ( U.E.LONDRINA-PR ) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é:
	por:
	
09) ( Mack-SP ) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x − 2 e f(g(x)) = 2x − 3. Então g(f(x)) é definida
10) ( F.C. Chagas-BA ) A função inversa da função f(x) =
2- x e) nenhuma das anteriores
1) Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de:
a) f: [ – 3; 5] → [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 b) g: [2, 5] → [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4 c) h: [3, 6] → [–1, 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8
12) ( MACK-SP ) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é:
a) - 2 b) 2 c) 0 d) 6 e) 14
13) ( UFSC – 2006 ) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa doponto onde o gráfico de f corta o eixo x.
14) ( UDESC – ENGENHARIA FLORESTAL)
	Calcule f(f(a))
	
15) ( IME-RJ ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1. Determine a função f(x).
AULA 10
1. Equação Exponencial
Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a ≠ 1.
Matemática A Inclusão para a Vida
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Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em:
	• Igualdade de potência de mesma base
	
af(x) = ag(x) ⇔ f(x) =g(x)
• Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x) ⇔ a = b sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R*+.
2. Função Exponencial f(x) = ax
(a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
3. Inequação Exponencial
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades.
	de desigualdade se mantém
	
• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x)
• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade se inverte.
af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
Exercícios de Sala
01) ( UFSC ) Dado o sistema 7 1 x y
, o valor de yx
02) ( UFSC ) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, é:
Tarefa Mínima
01) Resolva, em R, as equações a seguir: a) 2 x = 128 b) 2x = 1 c) 3x − 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x é: e) 22x − 2x + 1 + 1 = 0
02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação 3.9x − 26.3x − 9 = 0, é:
03) Dadas f(x) =
−x e as proposições:
I) f(x) é crescente I) f(x) é decrescente I) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) ∈ f(x) podemos afirmar que:
a) todas as proposições são verdadeiras b) somente I é falsa c) todas são falsas d) I e II são falsas e) somente I e IV são verdadeiras
04) Resolva, em R, as inequações a seguir:
d) 0,5|x – 2| < 0,57 05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por y = 1
	a) ( −∞, −5 [
	
	c) ( −∞, 5 [
	
	d) ] 5, + ∞ )
	
b) ] −5, +∞ ) e) n.d.a.
Tarefa Complementar
	a) x1 = 0 e x2 = 1
	b) x1 = 1 e x2 = 4
	c) x1 = 0 e x2 = 2
	d) x1 = x2 = 3
06) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: 07) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal
08) A maior raiz da equação 4|3x − 1| = 16 09) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação
Inclusão para a vida Matemática A
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10) A soma das raízes da equação 2 x x
1) ( UFMG ) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x números reais e 0 < a ≠ 1, assinale as verdadeiras:
01. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x. 02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 04. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1.
12) Determine o domínio da função abaixo:
13) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto.
01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0)
02. A solução da equação 2x.3x = 336 pertence ao intervalo [0, 1]
04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im = *+R
08. A função f(x) = ()x 2 é crescente
16. ba ba
14) Determine o valor de x no sistema abaixo:
yx
15) Resolver, em reais, as equações abaixo: a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x
AULA 1
1. Definição
Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b.
(a > 0 e a ≠ 1 e b > 0) loga b = x ⇔ ax = b
Em loga b = x temos que:
a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo
	Exemplos:
	
	1) log6 36 = x ⇒ 36 = 6x ⇒
	62 = 6x ⇒ x = 2
Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente. 2) log5 625 = x ⇒ 625 = 5x ⇒ 54 = 5x ⇒ x = 4
Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém dois deles se destacam:
Sistemas de Logaritmos Decimais:
	representação
	
É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630)). Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua
Sistemas de Logaritmos Neperianos
É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617).
1.1. Condição de Existência
	Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x
	
	tenha-se
	
logaritmando positivo base positiva base diferente de 1
Resumindo b>0
1.2. Conseqüências da Definição
Observe os exemplos:
1) log2 1 = x ⇒ 1 = 2x ⇒ 20 = 2x ⇒ x = 0 2) log3 1 = x ⇒ 1 = 3x ⇒ 30 = 3x ⇒ x = 0 3) log6 1 = x ⇒ 1 = 6x ⇒ 60 = 6x ⇒ x = 0 loga 1 = 0
	5) log5 5 = x ⇒ 5 = 5x ⇒ 51 = 5x ⇒ x = 1
	
loga a = 1
	7) log5 52 = x ⇒ 52 = 5x ⇒ x = 2
	
6) log2 23 = x ⇒ 23 = 2x ⇒ x = 3 loga am = m
	9) 33992log=⇒=⇒=x
	
2. Propriedades Operatórias
2. 1. Logaritmo do Produto
O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.
loga (b . c) = loga b + loga c
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 2
Exemplos:
	b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3
	
a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 2.2. Logaritmo do Quociente
O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor.
loga = c b loga b − loga c
Exemplos:
2.3. Logaritmo da Potência
O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
loga xm = m . loga x
	Exemplos:
	a) log2 53 = 3. log2 5
b) log3 4-5 = -5 log3 4
Caso Particular an a bnbnb log.1loglog 1 ==
	Exemplo:
	log1023 = log1021
Exercício Resolvido:
Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18.
	Resolução:
	log 18 = log(2.32)
Exercícios de Sala
01) Pela definição, calcular o valor dos seguintes logaritmos:
	b)
	log 0,000001
	c)
	log2 0,25
02) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de:
a) log 6 b) log 8 c) log 5 d) log 18
Tarefa Mínima
01) Determine o valor dos logaritmos abaixo:
d) log0,25 13128 02) Determine o valor das expressões abaixo a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 lgaaο, onde 0 < a ≠ 1, é:
03) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor dos logaritmos abaixo:
	a) log 12
	
b) log 54 c) log 1,5 d) log 5125
04) ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?
	a) 1,146
	
	e) 1,107
	
05) ( FEI-SP ) A função f(x) = log (50 − 5x − x2) é definida para:
	a) x > 10
	
b) −10 < x < 5 c) −5 < x < 10
Tarefa Complementar
06) ( PUC-SP ) Se lgxο22512=, então x vale:
07) ( PUC-SP ) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47, então log 6 2
5 é igual a:
	a) 0,12
	b) 0,2
c) 0,32 d) 0,42 e) 0,52
Inclusão para a vida Matemática A
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08) ( ACAFE-SC ) Os valores de m, com ∈ R, para os quais a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) reais e distintas são:
a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m ≤ 3 d) 1 ≤ m ≤ 3 e) 1 < m < 3
09) Se log a = r, log b = s, log c = t e E = a , então log E é igual a:
10) ( ANGLO ) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d, Então E é igual a:
l g x y l g l gx l gy l g ο ο ο ο ο ( )− =
, então o valor
	de x + y é
	
12) Se x = 3603, log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.
13) ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b. Então o log ()yx. é igual a:
a) a + b/2 b) 2a + b c) a + b d) a + 2b e) a – b/2
14) Determine o domínio das seguintes funções:
	a) y = logx – 1 (3 – x)
	b) y = log(5 – x) (x2 – 4)
15) Se x é a solução da equação 7...= x, calcule o valor da expressão 2x7 + log7x – 7 1
AULA 12
1. Mudança de Base
Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então um processo no qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo é denominado mudança de base.
loga b = agl bgl cο
Como conseqüência e com as condições de existência obedecidas, temos:
1) log log loglogBA A A B B k
2. Equação Logarítmica
São equações que envolvem logaritmos, ondea incógnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo). Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as raízes, lembrando que não existem logaritmos com base negativa e um e não existem logaritmos com logaritmando negativos.
	1º Método:
	loga X = loga Y ⇒ X = Y
	2º Método:
	loga X = M ⇒ X = aM
3. Função Logarítmica f(x) = loga x (a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
4. Inequação Logarítmica a > 1 loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1 0 < a < 1 loga x2 > loga x1 ⇔ x2 < x1
Exercícios de Sala 01) Resolver as equações abaixo:
a) logx (3x2 - x) = 2 b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x − 1) c) log2 (x + 2) + log2 (x − 2) = 5
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 24
Tarefa Mínima 01) ( SUPRA ) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é:
	a+baba+ba) b) a+b
	c) d) e)
02) ( ACAFE ) O valor da expressão log3 2. log4 3 é: a) ½ b) 3 c) 4 d) 2/3 e) 2
03) Resolver, em R as equações:
a) log5 (1 – 4x) = 2 b) log[x(x – 1)] = log 2
04) ( UFSC ) A solução da equação: log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é:
05) Resolver, em reais, as seguintes inequações:
Tarefa Complementar
06) ( UFSC ) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a ≠ 1, determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras.
01. O domínio da função f é R. 02. A função f é crescente em seu domínio quando
08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27 16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).
	a) 2M2 b) M2
	c) M + 2
	d) 2M
	e) M
07) ( ACAFE ) Se log3 K = M, então log9 K2 é:
08) ( UFSC ) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, logaxy35é igual a:
09) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:
01. O valor do log0,25 32 é igual a − 5
02. Se a, b e c são números reais positivos e x = a b c3 2 então log x = 3 log a − 2log b − 1/2 log c. 04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de um, então tem-se loga b = logc logcb a
08. O valor de x que satisfaz à equação 4x − 2x = 56 é x = 3
10) ( UFSC ) O valor de x compatível para a equação log(x2 − 1) - log(x − 1) = 2 é:
	1) ( UFSC ) Assinale no cartão-resposta a soma dos
	
números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O conjunto solução da inequação log (x2 −9) ≥ log (3 − x) é S = (−∞, −4] ∪ [3, +∞). 02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.
04. A equação 2xxee= não possui solução inteira.
	a > 1, temos f crescente e g decrescente e para
	
08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.
16. log 360 = 3 • log 2 + 2 • log 3 + log 5.
	12) Resolva a equação lgxlgxοο101002+=
	
(divida o resultado obtido por 4)
13) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9 02. A soma das raízes da equação
1 + 2logx 2 . log4 (10 − x) =2 log4 x
04. A maior raiz da equação 9 . xxlog3= x3 é 9 08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2
16. Se logax = n e logay = 6n, entãolgxyaο23 é igual a 7n
32. A solução da equação 2x.3x = 336 pertence ao intervalo [0, 1]
14) ( UFPR ) Com base na teoria dos logaritmos e exponenciais é correto afirmar:
01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4
02. Se x = loge 3, então ex + e-x = 3
04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então
|log10a| < |log10b| 08. Se z = 10t – 1, então z > 0 para qualquer valor real de t 15) ( ITA - SP ) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3 ≤ 3 log2 é dado por:
a) { x ∈ R| x > 3 } b) { x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 3 } c) { x ∈ R| 0 < x ≤ 1/2 }
Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 25
GABARITO – MAT A AULA 1
	1) a) 120 b) 12
	c) 240 d) 12
	3) a) 10
	b) 16
2) b 4) 80 5) e 6) d 7) b 8) d 9) d 10) b 1) 47 12) b 13) 13 14) b 15) b
AULA 2
	b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,
	}
	e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,
	}
	f) {1, 3, 5, 7, 9,
	}
1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} c) {3, 4, 5, 6, 7} d) {-1, 0, 1, 2}
	4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = ∅
	d) S = {-1,1}
9) 06 10) a 1) b 12) c 13) d 14) d 15) e
AULA 3
	1−
	c)
1) a) 4 b) 3 7
	−
	d) S = ℜ e) S = ∅ f) 10
	4) a) (2,1)
	b) (3,2) c) 
5) a) {x∈ R| x >– 7} b) {x∈ R| x ≥ 2 } c) {x∈ R| x > 6
6) 08 7) – 1 8) 82 9) x > 100km 10) 16 1) 95 12) 39 13) 92 14) 40 15) b
	1) a) {2,3} b) {2,4}
	c) {2, 1/3} d) {2} e) ∅
	f) {-5, 5}
	g) {0,5}
AULA 4
AULA 5
	3) a) {x ∈ R| x ≠ 3} b) {x ∈ R| x ≥ 3}
	c) {x ∈ R| x ≤ 6, x ≠ 2} d) ℜ
4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4 8) e 9) b 10) d 1) d 12) 21 13) 3
AULA 6 1)
AULA 7 1) a)
	raízes: -1 e 3
	vértice: (1, -4) Im = { y ∈ R / y ≥ – 4 }
b)
	raízes: -2 e 4
	vértice: (1, -9) Im = { y ∈ R / y ≥ -9 }
c)
	raiz: 1
	vértice: (1, 0) Im = { y ∈ R / y ≤ 0 }
d)
	raízes: 0 e 3
	vértice: (3/2, -9/4) Im = {y ∈ R/ y ≥ -9/4}
Matemática A Inclusão para a Vida
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 26
AULA 8
	c) {x ∈ R | - 3 < x < 3}
	d) {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 2}
	e) {x ∈ R | x < 0 ou x > 6}
	f) {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 1}
	3) a) ]-4, -1[ ∪ ]1, 3[
	b) ]-∞, -4] ∪ [-1, 1] ∪ [3, ∞[
	c) ]-∞, -4[ ∪ ]3, 4[
	d ) ]-∞, - 1] ∪ [0, 1] e) [3, ∞ [
1) a) {x ∈ R | x < 2 ou x > 4} b) {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} 2) a 4) a) {x ∈ R| x < - 4 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x > 4} b) {x ∈ R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x ∈ R|x < −1 ou 0 ≤ x < 1}
	6) a) {x ∈ R | x ≠ 3}
	b) ℜ c) ∅ d) {3}
	7) a) R
	b) R c) ∅ d) ∅
d) {x ∈ R|x < 1 ou x > 3} 5) d 8) e 9) a 10) c 1) a 12) d 13) d 14) d 15) a
AULA 9
1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4 e) 20 f) 18 g) 8 xxfc xxfb xxfa
12) c 13) 05 14) 03 15) x2 + 6x + 9
	1) a) 7 b) – 4
	c) 3 d) 02 e) 0
AULA 10 2) 02 3) b
4) a) S = { x∈ R| x > 2 } b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 } d) S = { x∈ R| x < - 5 ou x > 9 }
	5 15) a) {-1, 1}
	b) {0, 1}
	1) a) 9
	b) 1 c) 0 d) -7/26
	3) a) 1, 07
	b) 1, 71 c) 0, 17 d) 0, 54
AULA 1 2) a) 13 b) 6 4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r – s – t/3 cd ba 1) 09 12) 17 13) a
	14) a) 1 < x < 3 e x ≠ 2
	b) x < - 2 ou 2 < x < 5 e x ≠ 4
AULA 12
4) 05 5) a) { x ∈ R| x > 6} b) { x ∈ R| 3 < x < 7}