aula09 diametro&velocidadeEconomica

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Aula 9: 29 e 30/03/2012 
Casos especiais de escoamento
 8.1. Sistemas não isotérmicos
 8.2. Diâmetro equivalente
 8.3. Diâmetro econômico 
 8.4. Gráfico de Karman 
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I 
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CASOS ESPECIAIS DE ESCOAMENTO
8.1. Sistemas não isotérmicos
Os métodos para cálculo do fator de atrito descritos até agora são aplicáveis aos casos onde não há transferência de calor (aquecimento ou resfriamento) entre a parede e o fluido.
No entanto, quando um fluido é aquecido ou resfriado durante o escoamento, existe uma alteração nas suas propriedades físicas e o perfil de velocidades muda com o gradiente de temperatura existente no sistema. 
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Sistemas não isotérmicos
Este fenômeno é mais pronunciado nos líquidos cujas propriedades reológicas variam sensivelmente com a temperatura. 
Existem teorias bastante elaboradas para o efeito da transferência de calor sobre a distribuição de velocidades, porém para cálculos de engenharia pode-se utilizar um método simples tanto para gases como líquidos. 
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Descrição do método:
a) Calcular o número de Reynolds com valores de parâmetros reológicos e densidade à temperatura média. A temperatura média é a média aritmética das temperaturas médias do fluido na entrada e saída da tubulação.
Newtoniano:
Lei da potência: 
 n
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b) Com o valor do número de Reynolds e com o parâmetro de rugosidade do tubo é possível obter o fator de atrito (Fanning ou Darcy) à temperatura média aritmética.
Diagrama de Moody
ou Diagrama de Dodge-Metzner
Fluido Newtoniano – Reg. Turbulento
Fluido de Lei da Potência – Reg. Turbulento
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c) O fator de atrito obtido é corrigido mediante uma correlação da viscosidade que leva em conta o tipo de processamento térmico
onde:
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Valido para k, índice de consistência do fluido.
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Valor da constante B para a correção do fator de atrito em sistemas não-isotérmicos
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EXERCÍCIO:
Considere um fluido lei da potência escoando com vazão de 152 m3/h em um tubo liso de diâmetro interno de 2,5”. 
A temperatura do fluido na entrada do tubo é de 20⁰C e, após passar por um sistema de aquecimento, alcança 50⁰C na saída do tubo. Na parede do tubo a temperatura é de 60⁰C. 
Obtenha o fator de atrito para este sistema.
Dados: 17⁰Brix (considere que o Brix não varia com T) 
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8.2. Diâmetro Equivalente em tubos não cilíndricos
Até agora vimos o cálculo das perdas por atrito em tubos de seção cilíndrica, no qual o líquido ocupa totalmente a área de escoamento. Em tubos ou canais cuja seção não é circular ou onde o escoamento ocorre em dutos parcialmente cheios, se o escoamento é turbulento e o fluido newtoniano, as técnicas anteriormente descritas podem ser usadas, apenas se usa o diâmetro equivalente. 
O diâmetro equivalente é definido, tradicionalmente, como 4 vezes o raio hidráulico.
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Por sua vez, o raio hidráulico pode ser definido como:
Área da seção transversal de escoamento
	 Perímetro molhado
Portanto:
O perímetro molhado é a porção da parede numa seção transversal do tubo, na qual existe contato com o fluido.
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Diferentes situações de cálculo do diâmetro equivalente:
Tubo circular cheio
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Tubos circulares concêntricos (área anular):
Tubo de seção quadrada:
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Tubo circular cheio até metade
= D
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Nesse caso, a energia de atrito total é calculada através da equação de Fanning usando o diâmetro equivalente:
* A velocidade nas equações é a velocidade média efetiva, calculada sem usar o diâmetro equivalente:
O fator de atrito será obtido do diagrama de Moody
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Por exemplo, no caso de líquido dentro do anel existente entre dois tubos concêntricos, a velocidade efetiva é:
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Exemplo: Diâmetro equivalente
Deseja-se saber qual será o tipo de tubulação que dará menor perda de carga para a distribuição de ar: seção circular ou quadrada? Suponha área de seção com 1 m2; modelo newtoniano; relacione as perdas de carga através de: 
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Agora, precisamos encontrar os diâmetros das seções
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Supondo inicialmente que a velocidade seja a mesma o fator de fricção muito similar, temos
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Supondo uma área de seção de 1m2
Seção quadrada
A = L2
1 = L2
L = 1m
D eq = 1m
Seção circular
A = π R2
1 = π R2
R = 0,5641 m
D = 1,128 m
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A energia perdida por atrito por unidade de massa em uma tubulação com seção circular é, geralmente, 12% menor que na seção quadrada.
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8.3 VELOCIDADE E DIÂMETRO ECONÔMICO
A escolha do diâmetro da tubulação deve levar em consideração os parâmetros econômicos e a disponibilidade de diâmetros dos tubos comerciais. 
Na escolha do diâmetro, dois fatores são importantes:
O custo da tubulação a ser instalada (custos fixos ou depreciação do investimento inicial). Este custo aumenta a medida que se escolhe diâmetros maiores.
O custo operacional do sistema, ou seja, a energia gasta no bombeamento do fluido diminui com o aumento do diâmetro da tubulação (custos operacionais).
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Custo total
Custo da tubulação
Custo de bombeamento
Diâmetro
Figura: Determinação do diâmetro ótimo 
A soma dos custos fixos mais os operacionais apresenta um valor mínimo que é denominado diâmetro econômico, aquele que minimiza os custos totais de uma tubulação.
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O diâmetro econômico pode ser determinado através de duas metodologias:
1. Através de equações obtidas da derivação da equação resultante da soma dos custos fixos e dos operacionais. Este método exige dados reais de tubulações e a obtenção de equações, porém fornece o verdadeiro valor do diâmetro ótimo. No caso de sistemas complexos de alto custo, este método é o método a ser seguido.
2. Através da velocidade aconselhável ou velocidade econômica. Este método é adequado para pequenas e médias instalações e será o método que usaremos nesta disciplina.
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Obtenção do diâmetro econômico através da equação de custos mínimos
Solução para fluidos newtonianos:
Denn, M.M.(1980) Process fluid mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
Solução para fluidos newtonianos, da lei da potência e plásticos de Bingham
Darby, R. & Melson, J.D. (1982). Direct determination of optimum economic pipe diameter for non-Newtonian fluids, J. Pipelines, 2, 11-21.
Solução para fluidos Herschel-Bulkley
Garcia, E.J. & Steffe, J.F. (1986) Optimum economic pipe diameter for pumping Herschel-Bulkley fluids in laminar flow, Journal of Food Process Engineering, 8, 117-136.
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Obtenção do diâmetro econômico através da velocidade econômica
Usa-se a velocidade aconselhada para um dado regime de escoamento, considerando a viscosidade ou a densidade. Com essa velocidade calcula-se o diâmetro. 
Este método se baseia no fato de que as velocidades de fluidos que escoam em tubos com diâmetros econômicos, estão dentro de uma estreita faixa de valores. 
Esses valores de velocidade variam em função da densidade, quando o escoamento é turbulento e da viscosidade, quando o regime é laminar.
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Tabela: Valores de velocidade econômica para tubos com diâmetro igual ou inferior a 4 polegadas.
Escoamento Laminar
Escoamento Turbulento
água
óleo
Líquido viscoso
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Escolhida a velocidade aconselhável através da tabela anterior, para um fluido de densidade ou viscosidade conhecidas, o diâmetro econômico será obtido pela expressão:
Após o cálculo do diâmetro econômico, se consulta o catálogo de tubulações para determinar a dimensão real do tubo. O diâmetro escolhido corresponde a um dos diâmetros-padrão e gera a velocidade efetiva.
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Regra prática para a determinação do diâmetro ótimo (válido para linhas de recalque): 
A partir do diâmetro econômico calculado, procura-se em tabelas de tubulações comerciais o valor do diâmetro interno mais próximo. 
No caso das linhas de recalque, pode-se escolher o valor do diâmetro interno igual ou inferior ao diâmetro econômico.
No caso de linhas de sucção devemos usar outro critério, pois a perda de carga na sucção é crítica e precisamos escolher diâmetros maiores que o diâmetro econômico. E, também, linhas de comprimento com o menor comprimento possível.
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Exemplo: Diâmetro econômico
Deseja-se transportar óleo de soja a uma vazão de 1,72 litros/s. 
Qual diâmetro de tubulação deve ser empregado? 
Qual a velocidade real do sistema?
Dados:
ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3
μ = 0,0336 kg/m.s
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Supondo regime turbulento para o fluido newtoniano, com o auxílio da tabela abaixo podemos estimar uma velocidade econômica de 1,5 m/s.
Deco = 3,82.10-2 m
Deco = 1,5 in
O diâmetro econômico é calculado por:
ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3
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Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial (regime de escoamento turbulento) está correta: 
Re = Dvρ/μ
Re > 4000 = regime turbulento
Re = 1620
Regime laminar! 
Suposição inicial não satisfeita ! 
Recalcular como regime laminar !
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Supondo regime laminar para o fluido newtoniano, com o auxílio da tabela abaixo podemos estimar uma velocidade econômica de 0,9 m/s (lembrando que 0,0336 kg/m.s = 33,6 cP).
Deco = 4,93.10-2 m
Deco = 1,94 in
O diâmetro econômico é calculado por:
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μ = 33,6 cP
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Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial (regime de escoamento laminar) está correta: 
Re = Dvρ/μ
Re < 2100 = regime laminar
Agora, pode-se escolher um diâmetro comercial através de um catálogo.
Re = 1254 Considera-se regime laminar !
 
Suposição inicial satisfeita !
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Deco = 4,93.10-2 m
Deco = 1,94 in
Tubo selecionado, considerando série 80: 
Dinterno = 1,939 in = 0,04925 m 
Dnominal = 2 in = 0,05080 m
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Cálculo da velocidade real do sistema:
A vazão é conhecida e não se altera: 
Então, a velocidade real é obtida com:
Dinterno = 1,939 in = 0,04925 m 
Onde, para o cálculo da área usa-se o diâmetro interno do 
tubo comercial selecionado:
Velocidade real = 0,903 m/s 
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Exercício para fazer em sala e entregar:
Deseja-se transportar um fluido a uma vazão de 3 litros/s. 
Qual diâmetro de tubulação deve ser empregado? 
Qual a velocidade real do sistema?
Dados:
ρ = 1200 kg/m3
μ = 10 cP
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Tabela: tubos comerciais
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8.4. Gráfico de Karman (fluidos newtonianos)
Geralmente se conhece a vazão, o diâmetro, as características do fluído (μ e ) e do meio (rugosidade) e pode-se calcular Re. 
Com esses valores obtém-se o fator de fricção com o gráfico de Moody e se calcula a energia perdida no atrito com a parede.
Número de Karman
Em certas ocasiões a energia utilizada para vencer o atrito viscoso (Ef) é pré-determinada e se conhece o diâmetro. Neste caso para calcular a vazão se utiliza o método interativo aproveitando o gráfico que correlaciona o número de Karman (λ) com 1/fD 
A velocidade é calculada com a equação obtida da definição de energia friccional:
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Gráfico de Karman
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Exemplo:
Água a 43ºC flui através de um tubo de aço comum ( = 4,6.10-5m), de diâmetro nominal de 2” e comprimento de 20m. Os manômetros indicam 30 psig no início da tubulação e 15 psig no final. A diferença de altura é 3 m. 
Aplicando o balanço de energia temos:
Reagrupando temos:
P.1

P.2

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Eq. 1
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Inserindo no número de Karman obtemos:
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Eq. 2
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Calculando cada termo da equação 2:
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29,40 m2/s2
103,425 m2/s2
371,745
89666,67 s/m
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Substituindo os valores na equação 2:
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Gráfico de Karman
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Agora podemos calcular a velocidade média através da equação 1:
Do gráfico de Karman:
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