Resumo_Calculo_1_e_2.pdf

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Funções 
Funções: Expressão matemática que descreve como um valor é determinado por outro valor. 
Domínio: Conjunto de todos os valores que satisfazem a equação. 
Imagem: Conjunto de todos os valores de y tal que f(x) = y | x є Dom de f. 
As funções podem ser representadas por equações, gráficos e tabelas de valores. 
Teste da Reta Vertical: Para todo x є Dom de f há apenas um valor de y. 
 
Função linear: f(x) = mx + c 
Função modular: f(x) = |x| 
Função identidade: f(x) = x 
Função polinomial: f(x) = axn + bxn – 1 + cxn – 2 + ... + k 
Função afim: f(x) = ax + c => Função polinomial de primeiro grau. 
Função quadrática: f(x) = ax2 + bx1 + c => Função polinomial de segundo grau. 
Função racional: f(x) = g(x) ÷ h(x) 
Função composta: (f ° g)(x) = f(g(x)) 
Função par: f(x) = –f(x) 
Função impar: f(x) = f(–x) 
Função injetora: cada valor da imagem é determinado por apenas um valor do domínio. 
Para elas usa-se o teste da reta horizontal. Apenas as funções injetoras podem ser invertidas. 
Função inversa: f(x) = f -1(x) => para inverter uma função basta trocar x por y e isolar y. 
Função exponencial: f(x) = ax + c => Função exponencial natural: f(x) = ex + c tem 
coeficiente angular 1 ao cruzar o eixo x. Usa-se a constante e ≈ 2,17828 geralmente usada 
para expressar crescimento ou decaimento exponencial (etx => t constante). 
Função logarítmica: f(x) = loga x => inversa da função exponencial. 
Propriedades dos logaritmos: 
log AB = log A + log B log x = log10 x 
log AB = B × log A ln x = loge x 
AlogA x = x => logA Ax = x Ax = ex × ln A 
LogA x = ln x ÷ ln A 
 
Funções trigonométricas: 
 
Função Domínio Imagem Derivada Derivada Inv. 
sen x [-π/2, π/2] [-1,1] cos x 𝑑
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑛−1 𝑢) = 1
√1− 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 
cos x [0, π] [-1,1] -sen x 𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑠−1 𝑢) = 1
√1 − 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 
tg x (-π/2, π/2, π/2) (--∞, ∞) sec2 x 𝑑
𝑑𝑥
(𝑡𝑔−1 𝑢) = 11 + 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 
cotg x (0, π) (-∞, ∞) -cosec2 x 𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑡𝑔−1 𝑢) = 11 + 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 
sec x [0 , π/2)U (π/2, π] (-∞,-1] U [1,∞) sec x tg x 𝑑(𝑠𝑒𝑐−1 𝑢)
𝑑𝑥
= 𝑑𝑢 𝑑𝑥�|𝑢|√𝑢2 − 1 
cosec x [-π/2,0)U (0, π/2] (-∞,-1] U [1,∞) -cosec x cotg x 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐−1 𝑢)
𝑑𝑥
= 𝑑𝑢 𝑑𝑥�|𝑢|√𝑢2 − 1 
Limites e Continuidade 
Limite: Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0 talvez exceto em x0 o limite 
de f(x), conforme x se aproxima de x0 é: 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0𝑓(𝑥). 
 
Teorema I: lim A f(x) + B g(x) = A lim f(x) + B lim f(x) 
 lim f(x) × g(x) = lim f(x) × lim g(x) 
 lim f(x)n = [lim f(x)]n 
Teorema II: Limites de funções polinomiais podem ser obtidos por substituição. 
Teorema III: Limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição quando 
denominador é diferente de zero. 
Teorema IV (Confronto): se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e limx→c f(x) = limx→c h(x) = L então:limx→c 
g(x) = L 
Teorema V: se f(x) ≤ g(x) para todo x exceto talvez em c => limx→c f(x) = limx→c g(x) 
Teorema VI: uma função terá limite em x→c se houver limites iguais em ambos os lados: lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Teorema VII: lim𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑥 = 1 
Teorema VIII: lim𝑥→∞ 𝑐𝑥 = 0 => lim𝑥→∞ 𝑥𝑐 = ∞ ou -∞ => lim𝑥→0 𝑐𝑐𝑥 = ∞ ou -∞ 
Continuidade: uma função é continua quando não há “buracos” em seu gráfico. 
Teorema IX: Se f e g são continuas em dado intervalo as seguintes combinações são 
continuas neste dado intervalo: f + g e f × g 
Teorema X: Se f é continua em c e g em f(c) a composta f(g(x)) é continua em c. 
Teorema XI: Se f é continua em b e limx→c f(x) = b => limx→c g(f(x)) = g(b) = g(limx→c f(x)) 
Teorema XII (Valor Médio): Uma função continua em um intervalo [a, b] assume rodos os 
valores entre f(a) e f(b). 
 
Extensão Continua: 
(x − 2)(x + 3)(x − 2)(x + 2) = x + 3x + 2 
 
 
 
 
 
Transladando um gráfico de função: 
Verticalmente => y = f(x) + k 
Horizontalmente => y = f(x + k) 
 
Mudando escala de um gráfico de função: para c > 1 
y = f(x) × c => alonga o gráfico verticalmente por um fator c. 
y = f(x) ÷ c => comprime o gráfico verticalmente por um fator c. 
y = f(cx) => alonga o gráfico horizontalmente por um fator c. 
y = f(x ÷ c) => comprime o gráfico horizontalmente por um fator c. 
y = -f(x) => reflete o gráfico em torno do eixo x. 
y = f(-x) => reflete o gráfico em torno do eixo y. 
 
 
Derivada 
Derivada: 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= limℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ 
Quando uma função é não derivável em um ponto: 
 O gráfico apresenta um “bico” (derivadas laterais diferentes). 
 Coeficiente angular de um lado tende + ∞ e do outro a -∞. 
 Uma tangente vertical (coeficiente +∞ ou -∞). 
 Descontinuidade. 
 
Teorema I: Se f é derivável em x = c, f é continua em x = c (a recíproca pode ser falsa). 
Teorema II (Darboux): Se f é derivável em [a, b] f’ assume todos os valores entre f’(a) e f’(b) 
 
Regras de Derivação: 
Derivada da Função constante: d
dx
c = 0 
Derivada da Potencia: d
dx
un = nun−1 du
dx
 
Derivada da Soma: d
dx
(u + v) = du
dx
+ dv
dx
 
Derivada do Produto: d
dx
(u × v) = u dv
dx
+ v du
dx
 
Derivada do Quociente: d
dx
�u
v
� = vdudx − udvdx
v2
 
Derivada da Exponencial natural: d
dx
𝑒u = 𝑒u du
dx
 
Derivada do Logaritmo natural: d
dx
ln u = 1
u
du
dx
 
Derivada do Logaritmo de base qualquer: d
dx
loga u = 1u ln a dudx 
Derivada de au: d
dx
au = au ln a du
dx
 
 
Teorema III (Regra da Cadeia): Se f(u) é derivável em u = g(x) e g(x) em x a composta 
(f°g)(x) é derivavel em x e (f° g)’(x) = f’(g(x)) × g’(x). 
 
Equações Paramétricas: se x = f(t) e y = g(t) em vez de descrever uma curva expressando sua 
ordenada em função de x é melhor expressa-las em função de uma terceira variável t. 
Formula para 𝑑𝑦
𝑑𝑥
: dy
dx
= dy dt�dx
dt�
  d²y
dx² = dy′ dt�dx dt� 
Derivação Implícita: Deriva os dois lados da equação em relação a x, reúna os termos dy/dx 
em um lado e ache dy/dx (pode substituir valores conhecidos). 
 
Teorema IV: Regra da derivada para funções inversas  (𝑓−1)′(𝑏) = 1
𝑓′(𝑓−1(𝑏)) 
Teorema V: o numero e pode ser calculado como  𝑒 = lim𝑥→0(1 + 𝑥)1 𝑥� 
 
Linearização: aproximação linear padrão quando x = a  𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 
Diferencial: a diferencial dx é a variável independente. A diferencial dy é: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
Aplicações das Derivadas 
Extremos de Funções: Seja f uma função de domínio D. Então f tem: 
Um valor máximo absoluto em D no ponto c tal que: f(x) ≤ f(c) 
Um valor mínimo absoluto em D no ponto c tal que: f(x) ≥ f(c) 
 
Teorema I (Valor Extremo): Se f é continua num intervalo [a, b], f assume tanto um valor 
máximo M em f como um mínimo m tal que: M ≥ f(x) ≥ m para qualquer x em [a, b]. 
Teorema II (Extremos Locais): f possui máximo ou mínimo local para f’(x) = 0 ou nas 
extremidades de f. 
Teorema III (Rolle): seja f(x) derivável em (a, b) e f(a) = f(b) há pelo menos um numero c tal 
que f(c) = 0. 
Ponto Crítico: Qualquer ponto de f onde f’ é 0 ou indefinida. 
Para se achar os máximos absolutos, calculamos f nos pontos críticos e extremidades e 
separamos o maior e menor valor. 
 
Teorema IV (Valor Médio): seja f(x) derivável em (a, b), há pelo menos um ponto c tal que: 
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎 = 𝑓′(𝑐) 
Definições para funções num intervalo (a, b): 
 Se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, então f é crescente em (a, b). 
 Se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2, então f é decrescente em (a, b). 
 Se f’(x) > 0 em qualquer x є (a, b). então f é crescente em (a, b). 
 Se f’(x) < 0 em qualquer x є (a, b). então f é decrescente em (a, b). 
Teste da primeira derivada (para extremos locais): 
 Se f’ muda de positiva para negativa em c, f possui um mínimo local em c. 
 Se f’ muda de negativa para positiva em c, f possui um mínimo local em c. 
 Se f’ não muda de sinal em c, c não é um extremo
local de f. 
Teste da segunda derivada (para concavidade): o gráfico de uma função derivável y = f(x) é: 
 Côncavo para cima em um intervalo aberto I, se f’ é crescente em I. 
 Côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se f’ é decrescente em I. 
 Se f’’ > 0 em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para cima. 
 Se f’’ < 0 em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para baixo. 
 
Ponto de Inflexão: ponto onde o gráfico de uma função muda a concavidade. 
Em todo ponto de inflexão a segunda derivada é 0. 
 
Teorema V (teste da segunda derivada para extremos locais): Suponha f’’ continua em c. 
 Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, f possui um máximo local em x = c. 
 Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, f possui um mínimo local em x = c. 
 Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, f pode ter um máximo ou mínimo local ou nenhum. 
Teorema VI (A Regra de L’Hôpital): para achar o limite de f(x)/g(x) quando f(x) = 0 e g(x) = 
= 0 derivamos f e g até encontrarmos algo diferente de 0/0: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥) 
 Teorema VII (Valor médio de Cauchy): sejam f e g continuas no intervalo [a, b] e deriváveis 
em (a, b) existe um numero c em (a, b) no qual: 𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐) = 𝑓(𝑏)− 𝑓(𝑎)𝑔(𝑏)− 𝑔(𝑎). 
Primitiva: uma função F é primitiva de f se F’ = f(x) em qualquer x num intervalo I. 
n: índice onde k termina. 
ak: função para k. 
k = 1: fator inicial de k. 
Integração 
Notação Sigma: ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛  
 
Regras algébricas para somas finitas: 
Regra da Soma: ∑ (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘) 𝑛𝑘=1 = ∑ 𝑎𝑘 𝑛𝑘=1 + ∑ 𝑏𝑘𝑛𝑘=1 
Regra da Multiplicação por Constante: ∑ 𝑐 × 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 = c × ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 
Regra do Valor Constante: ∑ 𝑐𝑛𝑘=1 = n × c 
Some de Riemann: soma de todas as “torres” quando ∆x→0 de um gráfico de função. 
Integral Indefinida: conjunto de todas as primitivas de f em relação à x: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 
Integral definida (limite das somas de Riemann): ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 
Teorema I: Uma função continua em um intervalo [a, b] é integrável em [a, b]. 
Teorema II (propriedades das integrais): Quando f e g são integráveis num intervalo [a, b]: 
Ordem de Integração: ∫ f(x) dxba = −∫ f(x) dxab 
Intervalo de largura zero: ∫ f(x) dxaa = 0 
Multiplicação por constante: ∫ kf(x) dxba = k∫ f(x) dxba 
Regra da Soma: ∫ [f(x) + g(x)] dxba = ∫ f(x) dxba + ∫ g(x) dxba 
Aditividade: ∫ f(x) dxba + ∫ f(x) dxcb = ∫ f(x) dxca 
Desigualdade Max-min: 𝑚𝑖𝑛 f × (b − a) ≤ ∫ f(x) dxba ≤ 𝑚𝑎𝑥 f × (b− a) 
Dominação: se f(x) ≥ g(x) em [a, b]  ∫ f(x) dxba ≥ ∫ g(x) dxba 
Derivada do Logaritmo de base qualquer: d
dx
loga u = 1u ln a dudx 
A área sob a curva f(x) em f(x) é => ∫ f(x) dxba 
Valor médio de uma função em um intervalo [a, b] M(f) = 1
a−b
∫ f(x) dxba 
Teorema III (Valor médio): Se f é continua em [a, b] há um c onde f(c) = 1
a−b
∫ f(x) dxba 
Teorema IV (Fundamental do Calculo): F é uma primitiva de f. 
𝐹′(x) = ddx∫ f(t) dtxa = f(x)  ∫ f(x) dxba = F(b) − F(a) 
Teorema V (Regra da Substituição): ∫ f(g(x))g′(x) dxba = ∫ f(u) duba 
Teorema VI (Substituições em integrais definidas): ∫ f(g(x)) × g′(x) dxba = ∫ f(u) dug(b)g(a) 
Teorema VII: Se f é continua em um intervalo simétrico [-a, a]: 
 Se f é par, ∫ f(x) dxa−a = 2 ∫ f(x) dxa0 
 Se f é impar, ∫ f(x) dxa−a = 0 
Regra da potenciação na forma integral: Se u é derivável ∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 
Área entre curvas: se f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b] a área entre as curvas de f(x) e g(x) é: 
𝐴 = � [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥𝑏
𝑎
 
 
 
Aplicações das Integrais Definidas 
Volume: 𝑉 = ∫ A(x) dxba  A(x) é a função da área da secção transversal do sólido. 
Calculando o volume de um sólido: 
 Esboce o gráfico da secção transversal típica. 
 Encontre uma formula para A(x), a área de uma secção transversal do sólido. 
 Encontre os limites de integração. 
 Integre A(x) usando o teorema fundamental. 
O princípio de Cavalieri: Dois sólidos de mesma altura e áreas transversais têm volume igual. 
Método do Disco: sólidos gerados pela rotação de uma área plana em torno de um eixo: 
 𝑉 = ∫ A(x) dxba = ∫ π[r(x)]2 dxba 
Método do Anel: para sólidos com orifício no meio, têm um raio externo R e um interno r: 
 𝑉 = ∫ A(x) dxba = ∫ π{[R(x)]2 − [r(x)]2} dxba 
Método das Cascas: obtido pela rotação de uma reta vertical do sólido em torno do eixo x: 
 𝑉 = ∫ 2π × (raio da casca) × (altura da casca)dxba 
Calculando o volume de um sólido pelo método das cascas: 
 Esboce o gráfico nomeando a altura e o raio. 
 Determine os limites de integração para a variável espessura. 
 Integre em relação a variável espessura. 
 
Comprimento de uma curva paramétrica: uma curva definida por x = f(t) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, 
onde f’ e g’ são continuas não simultaneamente nulas em [a, b], é percorrida de t = a até 
t = b seu comprimento é: 𝐿 = ∫ �[f ′(t)]2 + [g(t)]2ba dt 
Comprimento de y = f(x): o comprimento de uma curva em [a, b] é: 𝐿 = ∫ �1 + [g′(x)]2ba dx 
Descontinuidade em y = f(x): se em algum ponto a derivada dy/dx seja indeterminada 
podemos achá-la usando dx/dy escrevendo x em função de y. 
 
Área da superfície de revolução: se f(x) ≥ 0 é derivável em [a, b], a área da superfície gerada 
pela rotação de y = f(x) em trono de x é: 𝑆 = ∫ 2πf(x)�1 + [f′(x)]2ba dx 
Para curvas parametrizadas: a área da superfície de uma curva x = f(t) e y = g(t) gerada pela 
rotação em torno de x percorrida de t = a até t = b é: 𝑆 = ∫ 2πf(x)�[f ′(x)]2 + [g′(x)]2ba dx 
 
Teorema I (Pappus para Volumes): Se uma região plana é girada uma vez em torno de uma 
reta que não atravessa o interior da região, o volume do solido gerado igual a área da região 
vezes a distancia percorrida pelo centróide da região durante a revolução. Se ρ é a distancia 
entre o eixo de revolução e o centróide, então: 𝑉 = 2𝜋𝜌𝐴 
Teorema II (Pappus para áreas de superfície): se o arco de uma curva plana é girado toda vez 
em torno de uma reta que não atravessa o interior do arco, a área da superficie gerada pelo 
arco é igual ao comprimento do arco vezes a distancia percorrida pelo centróide do arco 
durante a revolução. Se ρ é a distancia entre o eixo de revolução e o centróide: 𝑆 = 2𝜋𝜌𝐿 
Nestes casos ρ é uma diferencial. 
 
Funções Transcendentes 
A função logaritmo natural: ln 𝑥 = ∫ 1
t
dtx1  x > 0 
O numero e é aquele que satisfaz: ln 𝑒 = ∫ 1
t
dt𝑒1 = 1 
A derivada da ln x: d
dx
ln u = 1
u
du
dx
  u > 0  d
dx
ln |x| = 1
x
  x ≠ 0 
Propriedades dos logaritmos: 
log AB = log A + log B log x = log10 x 
log AB = B × log A ln x = loge x 
AlogA x = x => logA Ax = x Ax = ex × ln A 
 
A integral de u-1: ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 
A inversa de ln x é a função exponencial natural: ln−1𝑥 = 𝑒𝑥 
𝑒ln 𝑥 = 𝑥  ln 𝑒𝑥 = 𝑥 
Derivada da Exponencial natural: d
dx
𝑒u = 𝑒u du
dx
 
Integral da Exponencial natural: ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
A função exponencial geral com a > 0 é dada por: 𝑎𝑥 = 𝑒x ln 𝑎  loga 𝑥 = ln 𝑥ln 𝑎 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑑𝑢
𝑑𝑥
  ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢
ln 𝑎
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
Taxas de crescimento quando x → ∞: sejam f(x) e g(x) definidas para um x altamente grande 
 f(x) cresce mais rápido que g(x) se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = ∞ 
 f(x) cresce mais lentamente que g(x) se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = 0 
 f(x) e g(x) crescem a mesma taxa se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = 𝐿  L finito e positivo 
obs: 2x não cresce mais rápido que x; funções logarítmicas sempre crescem a mesma taxa. 
 
Notações “Ozão e ozinho”: 
 uma função f é de ordem menor que g se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = 0 
Indicamos esta situação dizendo f é “ozinho” de g  f = o(g) 
 uma função f é no máximo da ordem de g se: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ ≤ 𝑀 
Indicamos esta situação dizendo f é “ozão” de g  f = O(g) 
 
Funções hiperbólicas: formadas a partir de ex e e-x : 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥+
𝑒−𝑥
2
+ 𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
2
 senh 𝑥 = 𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
2
  .cosh 𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥
2
.. tgh 𝑥 = 𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥  cotgh 𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 sec 𝑥 = 2
𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥  cosec 𝑥 = 2𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 
Técnicas de Integração 
Formula da integral por partes: 
∫ f(g(x))g′(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x) g(x)𝑑𝑥  ∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
Integração tabular: usada quando se precisa aplicar integração por patês varias vezes: 
f(x) e suas integrais Exemplo:∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 g(x) e suas integrais 
x2 (+) ex 
2x (−) ex 
2 (+) ex 
0 ex 
Método de frações parciais (f(x)/g(x)) própria: 
Seja x + r um fator de g(x) e (x + r)m a maior potencia de x + r que divide g(x), associe a este 
fator m frações parciais: 𝐴1
𝑥−𝑟
+ 𝐴2(𝑥−𝑟)2 + ⋯+ 𝐴𝑚(𝑥−𝑟)𝑚 faça isso para cada fator distinto de g(x) 
Seja x2 + px + q um fator de g(x) e (x2 + px + q)n a maior potencia de x2 + px + q que divide 
g(x), associe a este fator n frações parciais: 𝐵1𝑥+𝐶𝑛
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞
+ ⋯+ 𝐵𝑛𝑥+𝐶𝑛(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑛 a cada fator distinto. 
Iguale a soma dessas frações a f(x)/g(x), resolva o sistema e integre cada fração parcial. 
Integrais trigonométricas: 
Integrais na forma ∫ sinm 𝑥 cosn 𝑥: temos três casos a avaliar: 
 m impar: fazemos m = 2k + 1 e usamos a identidade sen2 x = 1 – cos2 x. 
 m par e n impar: fazemos n = 2k + 1 e usamos a identidade cos2 x = 1 – sen2 x. 
 m e n pares: substituímos cos2 𝑥 = 1+cos2𝑥
2
 e sin2 𝑥 = 1−cos2𝑥
2
. 
Produtos de senos e cossenos: também temos três casos a avaliar: 
 sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥 = cos(𝑚−𝑛)𝑥−cos(𝑚+𝑛)𝑥
2
 
 sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = sin(𝑚−𝑛)𝑥+sin(𝑚+𝑛)𝑥
2
 
 cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = cos(𝑚−𝑛)𝑥+cos(𝑚+𝑛)𝑥
2
 
Integrais na forma ∫ tgm 𝑥 secn 𝑥: usamos: tg2 x = sec2 x – 1 e sec2 x = tg2 x + 1 
Substituições trigonométricas: em certos tipos de casos podemos fazer certas substituições: 
 𝑥 = 𝑎 tg 𝜃 → √𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎| sec𝜃| 
 𝑥 = 𝑎 sen 𝜃 → √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎| cos𝜃| 
 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 → √𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎| tg𝜃| 
Integrais impróprias: Integrais com limites infinitos de integração ou com integrando indo 
para infinito. Faz os testes nos limites, caso o limite é finito dizemos que a integral imprópria 
converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe dizemos que a 
integral imprópria diverge.ele é usado como valor, também deve-se “quebrar” a integral em 
duas (aditividade) (principalmente no ponto em que ela vai pra infinito) para evitar erros. 
Teorema I: sejam f e g continuas em [a, ∞), com 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para qualquer x ≥ a: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 converge se ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 converge 
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 diverge se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 diverge 
Teorema II (comparação no limite): sejam as funções positivas f e g continuas em [a, ∞), se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝐿, −> 0 < 𝐿 < ∞, −> ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 e ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 
São ambas convergentes ou ambas divergentes. 
Parte 
ímpar 
Parte 
par 
Sequências e Séries Infinitas 
Sequência infinita: função cujo domínio é o conjunto dos naturais e n é o n-ésimo termo. 
𝑎𝑛 = √𝑛 → {𝑎𝑛} = �√1,√2,√3 …√𝑛� = �√𝑛�𝑛=1∞ 
Convergência: a medida que a sequência avança an se aproxima de um valor fixo. 
Divergência: conforme a sequência avança an não vai para um valor fixo ou tende a infinito. 
Teorema I: sejam as sequencias {an} e {bn} com lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝐴 e lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝐵 temos: 
Regra da Soma: lim𝑛→∞(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝐴 + 𝐵 
Regra do Produto: lim𝑛→∞(𝑎𝑛 × 𝑏𝑛) = 𝐴 × 𝐵 
Teorema II (Confronto): se an ≤ bn ≤ cn e lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑐𝑛 = 𝐿 => lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝐿 
Teorema III: seja a sequencia {an} com 𝑎𝑛 → 𝐿, então 𝑓(𝑎𝑛) → 𝑓(𝐿). 
Teorema IV: se 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) para n ≤ n0 podemos usar as regras de funções para qualquer 𝑎𝑛. 
Teorema V: limites que aparecem com freqüência: lim
𝑛→∞
ln 𝑛
𝑛
= 0 lim𝑛→∞ √𝑛𝑛 = 1 lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 0 (|x| < 1) lim
𝑛→∞
√𝑥
𝑛 = 1 (x > 0) lim
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑛! = 0 (todo x) lim𝑛→∞ �1 + 𝑥𝑛�𝑛 = 𝑒𝑥 (todo x) 
Sequencia crescente: sequencia {an} com 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 (sequencias constantes são crescentes). 
Teorema VI: uma sequencia crescente converge apenas se for limitada superiormente. 
Série infinita: soma de todos os termos de uma sequencia {an}: ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 
Séries geométricas: séries na forma 𝑎𝑟𝑛−1, ∑ 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎
1−𝑟
∞
𝑛=1 , |𝑟| < 1 
Séries telescópicas: séries na forma 1
𝑛(𝑛+1) = 1𝑛 − 1𝑛+1, ∑ 1𝑛(𝑛+1) = 1𝑛∞𝑛=1 − 1𝑘+1 
 
Teorema VII: Se ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 converge, então 𝑎𝑛 → 0, se 𝑎𝑛 ≠ 0 a série diverge. 
Teorema VIII: sejam ∑𝑎𝑛 = 𝐴 e ∑𝑏𝑛 = 𝐵 convergentes, então: ∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝐴 + 𝐵 
Podemos somar ou tirar termos a uma serie ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=𝑘 
Podemos reindexar sem alterar a convergência: ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=0 transformamos em ∑ 𝑎𝑛−𝑘∞𝑛=𝑘 
Teorema IX (Teste da Integral): Se {an} = f(n) e f é uma função continua de x, então tanto a 
série ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 quanto a integral imprópria ∫ 𝑓(𝑥) d𝑥∞1 convergem ou ambas divergem. 
Teorema X (Teste de Comparação): seja ∑𝑎𝑛 uma série com termos positivos. 
∑𝑎𝑛converge se existe uma série convergente ∑𝑏𝑛 com 𝑏𝑛 ≥ 𝑎𝑛 para todo n. 
∑𝑎𝑛 diverge se existe uma série convergente ∑𝑐𝑛 com 𝑐𝑛 ≤ 𝑎𝑛 para todo n. 
Teorema XI (Comparação no limite): suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n: 
 Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 𝑐 > 0, então ambos ∑𝑎𝑛 e ∑𝑏𝑛 convergem ou divergem. 
 Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 0, e ∑𝑏𝑛 converge então ∑𝑎𝑛 converge. 
 Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = ∞, e ∑𝑏𝑛 diverge então ∑𝑎𝑛 diverge. 
Teorema XII (Teste da Razão): seja ∑𝑎𝑛 uma série com termos positivos: 
 Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 < 1, então a série converge. 
 Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 > 1, então a série diverge. 
 Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 = 1, o teste é inconcludente. 
 
Teorema XIII (Teste da Raiz): seja ∑𝑎𝑛 uma série com 𝑎𝑛 ≥ 0: 
 Se lim𝑛→∞ �𝑎𝑛𝑛 < 1, então a série converge. 
 Se lim𝑛→∞ �𝑎𝑛𝑛 > 1, então a série diverge. 
 Se lim𝑛→∞ �𝑎𝑛𝑛 = 1, o teste é inconcludente. 
Teorema XIV (Teste de Leibniz): a série alternada ∑ (−1)𝑛+1𝑎𝑛∞𝑛=1 converge se: 
𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛 → 0 
Teorema XV (estimativa de erro): uma série alternada convergente se aproxima do valor real 
com um erro menor que 𝑎𝑛+1 onde 𝑎𝑛 é o primeiro termo não usado. 
Teorema XVI (Convergência Absoluta): se ∑ |∞𝑛=1 𝑎𝑛| converge então ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 converge. 
Teorema XVII (Rearranjo): se ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 converge absolutamente e ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 é um rearranjo 
da sequencia {𝑎𝑛}, então ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 converge e ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 = ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 . 
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