Apostila Linha de Influência

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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
Assunto: 
Linhas de Influência 
de Estruturas Isostáticas 
 
 
 
 
Prof. Roberto Márcio da Silva 
 
 
 
 
 
 2
 
 
1-) INTRODUÇÃO 
 
As linhas de influência tem uma importante aplicação no projeto 
de estruturas submetidas a carregamentos móveis, tais como: pontes, 
viadutos, passarelas e vigas de rolamento. 
 
Nos capítulos anteriores foram desenvolvidas técnicas para 
analisar estruturas isostáticas submetidas a carregamento fixo. Será 
mostrado agora como os esforços solicitantes numa estrutura isostática 
variam com a posição do carregamento móvel. 
 
 
2-) DEFINIÇÃO 
 
Uma linha de influência mostra como um determinado esforço 
numa seção varia quando uma carga concentrada move sobre a 
estrutura. A linha de influência é construída sobre o eixo da estrutura 
sendo que as abscissas representam as posições da carga móvel e as 
ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado. 
 
Exemplo: Linha de influência de momento fletor para uma seção S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-) PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE 
 
Será mostrado a seguir os procedimentos para se construir uma 
linha de influência de um esforço numa determinada seção. 
 
3.1-) Vigas sobre 2 apoios 
 
Seja uma carga móvel vertical “P” deslocando-se sobre a viga AB 
mostrada abaixo, e x a posição desta carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 3
3.1.1-) Linha de influência das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑MA = 0 
VB.L – P(x-a) = 0 
VB = P(x-a)/L 
 
dividindo agora ambos os membros pela carga P para tornar o 
carregamento unitário e adimensional, temos: 
VB/P = P(x-a)/(P.L) 
 BV = (x-a)/L 
 
Chama-se BV de “linha de influência” da reação de apoio VB, isto 
é, uma equação que mostra como a reação VB varia com a posição x de 
uma carga unitária que se desloca sobre a estrutura. Nota-se que os 
valores de BV são adimensionais. Dando valores para x determina-se os 
respectivos valores de BV . 
 
x = a ⇒ BV = 0 (carga sobre o apoio A) 
x = L+a ⇒ BV = (L+a-a)/L ⇒ BV = 1 (carga sobre o apoio B) 
x = 0 ⇒ BV = -a/L (carga na extremidade do balanço esquerdo) 
x = a+L+b ⇒ BV = (a+L+b-a)/L ⇒ BV = (L+b)/L > 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordenada “YS” representa o valor da reação de apoio VB quando 
a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. Analogamente, obtêm-
se AV : 
 
 ∑MB = 0 
VA.L – P(L+a-x) = 0 
VA = P(L+a-x)/L 
 4
dividindo-se ambos os membros por P, resulta: 
 AV = (L+a-x)/L 
 
Dando valores para x, obtêm-se: 
x = a ⇒ AV = (L+a-a)/L ⇒ AV = 1 (carga sobre o apoio A) 
x = L+a ⇒ AV = [(L+a-(L+a)]/L ⇒ AV = 0 (carga sobre o apoio B) 
x = 0 ⇒ AV = (L+a)/L > 1 (carga na extremidade do balanço esquerdo) 
x = a+L+b ⇒ AV = [-(a+L+b)+L+a]/L ⇒ AV = -b/L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordenada “YS” representa o valor da reação de apoio VA quando 
a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. 
 
Resumindo, pode-se concluir que as linhas de influência das 
reações de apoio de uma viga biapoiada são lineares e têm valor 
unitário no apoio analisado, e zero no outro apoio, prolongando-se a 
reta até as extremidades dos balanços. 
 
 
3.1.2-) Linha de influência da força cortante numa seção entre os 
apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha de influência de QS pode ser obtida a partir das linhas de 
influência de VA e VB. 
Chamando a carga unitária de P = 1 e as reações de AV e BV , tem-se: 
x<a+c ⇒ SQ = - BV 
x>a+c ⇒ SQ = AV 
 5
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordenada “YS1” representa o valor da força cortante na seção 
“S”, quando a carga unitária estiver na seção “S1”. 
 
 
3.1.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção entre 
os apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha de influência de MS pode também ser obtida a partir das 
linhas de influência de VA e VB. 
 
Fazendo a carga unitária P = 1 e as respectivas reações AV e BV , tem-
se: 
x<a+c ⇒ SM = BV .d (tração no lado de referência) 
x>a+c ⇒ SM = AV .c 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
 A ordenada “YS1” representa o valor do momento fletor na seção 
“S” quando a carga unitária móvel estiver sobre a seção “S1”. Neste 
caso os valores de SM não são adimensionais pois foram obtidos do 
produto de AV ou BV por uma distância “c” ou “d”, tendo portanto a 
dimensão de comprimento. As ordenadas positivas podem ser marcadas 
de qualquer lado desde que se indique o sinal. 
 
 
 
3.2-) Vigas em balanço 
 
3.2.1-) Linha de influência das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑MA = 0 
AM – 1.x = 0 
AM = x 
 
∑V = 0 
AV –1 = 0 
AV = 1 
 
x = 0 ⇒ AM = 0; AV = 1 
x = L ⇒ AM = L; AV = 1 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.2-) Linha de influência da força cortante numa seção do 
balanço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x<c ⇒ SQ = 0 
x>c ⇒ SQ = 1 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: No caso do balanço para a esquerda o sinal de SQ será negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
3.2.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção do 
balanço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x<c ⇒ SM = 0 
x≥c ⇒ SM = -1(x-c) (tração na face superior) 
 
Dando valores para x obtém-se: 
x = c ⇒ SM = 0 
x = L ⇒ SM = -1(L-c) = -1.d = -d 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o balanço a esquerda a linha de influência é análoga. 
 
OBS: As linhas de influência dos esforços solicitantes numa seção do 
balanço de uma viga biapoiada são os mesmos obtidos para a viga em 
balanço. 
 9
3.3-) Exemplo 
 
Para a viga biapoiada abaixo pede-se traçar as linhas de influência de: 
AV , BV , S1Q , S1M , S2Q e S2M . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10
3.4-) VIGAS GERBER 
 Como visto anteriormente, vigas Gerber são estruturas isostáticas 
de eixo reto que resultam da associação de vigas simples (vigas em 
balanço, vigas biapoiadas). 
 O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir 
das linhas de influência das vigas simples, levando em consideração a 
transmissão de carga da viga que está apoiada para aquela que serve 
de apoio. Deve-se lembrar que quando a carga móvel está sobre um 
apoio ela é integralmente transmitida para ele. 
 Através de alguns .exemplos mostrar-se-á como traçar as linhas 
de influência para as vigas Gerber. 
 
EXEMPLO 1 
 Para a viga abaixo pede-se as linhas de influência de AV , AM . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decomposição da estrutura. 
Traça a L.I. para a viga 
AB. Como a viga BCD esta 
apoiada em AB, haverá 
transmissão de carga. 
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EXEMPLO 2 
 Para a viga abaixo, pede-se: CV , EV , S1Q e S1M . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decomposição 
Regra Geral: Traça-se a LI para a viga simples que contém a seção 
estudada, depois prolonga esta linha para as vigas que transmitem 
carga para a viga que contém a seção estudada. 
 12
EXEMPLO 3 
 
 13
3.5-) TRELIÇAS 
 As linhas de influência das reações de apoio das vigas treliçadas 
são as mesmas obtidas para as vigas de alma cheia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ EM = 0 ⇒ AV .L - 1(L-x) = O ⇒ AV = (L-x)/L 
∑ AM = 0 ⇒ EV .L - 1.x = O ⇒ EV = x/L. 
x = 0 ⇒ AV = 1; EV = 0 
x = L ⇒ AV = 0; EV = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cabe salientar que no caso das treliças o efeito do carregamento 
móvel chega nos nós indiretamente, através de elementos estruturais 
secundários como as transversinas. 
 As linhas de influência das forças normaisnas barras podem ser 
determinadas a partir das LI. das reações de apoio. Deve-se portanto 
procurar expressar a força normal na barra em função das reações de 
apoio. 
 14
EXEMPLO 
 Traçar as linhas de influência das forças normais nas barras BC, 
GH, GC, GB e HC da viga treliçada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando-se o processo das seções é possível expressar 
diretamente as forças normais nas barras em função das reações de 
apoio. 
 
 
BARRA BC: 
 Seccionando a barra BC e substituindo-a pelas forças normais que 
ela aplica nos nós B e C têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liberdade: rotação em torno de G. 
Condição de equilíbrio: ∑MG(esq) = 0 ou ∑MG(dir) = 0 
x ≤ a ⇒ ∑MG (dir) = 0 ⇒ EV .3a - BCN .b = 0 
BCN = ( EV .3a)/b 
x ≥ a ⇒ ∑MG (esq) = 0 ⇒ AV . a - BCN . b = 0 
BCN = ( AV .a)/b 
 15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BARRA GH: 
 Seccionando a barra GH e substituindo-a por GHN nos nós G e H, 
tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liberdade: rotação em torno de C. 
Condição de equilíbrio: ∑MC(dir) = 0 ou ∑MC(esq) = 0 
x ≤ 2a ⇒ ∑MC(dir) = 0 ⇒ EV .2a + GHN .b = 0 
GHN = -( EV .2a)/b 
x ≥ 2a ⇒ ∑MC(esq)= 0 Æ AV .2a + GHN .b = 0 
GHN = -( AV .2a)/b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
BARRA GC: 
 Seccionando a barra GC e substituindo-a por GCN nos nós G e C, 
tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por duas 
barras paralelas biarticuladas). 
Condição de equilíbrio: ∑V(esq) = 0 ou ∑V(dir) = 0 
x ≤ a ⇒ ∑V(dir) = 0 ⇒ EV + GCN .sen α = 0 
GCN = - EV /sen α 
X ≥ 2a ⇒ ∑V(esq) = 0 ⇒ AV - GCN .sen α = 0 
GCN = AV / sen α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obs:. Quando a carga estiver no painel que contém a barra GC, 
parte dela transmite para o nó G e parte para o nó H. Como a linha de 
influência de estrutura isostática é sempre linear, então pode-se traçar a 
linha do início ao fim do painel; e ligar os pontos (N e M) através de 
uma reta. 
 17
BARRA GB: 
 Seccionando a barra GB e substituindo-a por GBN nos nós G e B, 
tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por 2 barras 
paralelas biarticuladas). 
Condição de equilíbrio: ∑V (esq) = 0 ou ∑V(dir) = 0 
x ≥ a ⇒ ∑V (esq) = 0 ⇒ AV + GBN = 0 ⇒ GBN = - AV 
 Obs:. Para x < a, a variação é linear, basta ligar os pontos 1 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BARRA HC: 
 Seccionando a barra HC e substituindo-a por HCN nos nós H e C, 
tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 18
Estudando o equilíbrio do nó H tem-se: 
∑VH = 0 
x ≤ a ou x ≥ 3a ⇒ ∑VH = 0 ⇒ HCN = 0 
x = 2a ⇒ ∑VH = 0 ⇒ HCN + 1 = 0 ⇒ HCN = -1 
a < x < 2a ⇒ parte de P =1, transmite para o nó H 
2a < x < 3a ⇒ parte de P =1, transmite para o nó H, então a variação é 
linear de G até H e de H até I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6-) CARREGAMENTO 
 Em estruturas submetidas a carregamento móvel podem atuar 
cargas permanentes e cargas acidentais. A seguir mostra-se que será 
possível a partir das linhas de influência localizar as cargas acidentais na 
estrutura para que estas causem o máximo valor do esforço que está 
sendo analisado. 
 Dois tipos de cargas serão considerados: 
 
1 - Cargas Concentradas 
 Como as ordenadas obtidas nas linhas de influência são 
determinadas usando uma carga unitária adimensional, então para 
qualquer carga concentrada "P" atuando na estrutura numa seção de 
abscissa x, o valor do seu efeito pode ser obtido multiplicando-se a 
ordenada adimensional na seção pelo valor da carga "P". 
 
2 - Cargas Distribuídas 
 Considere um pedaço de viga submetida a uma carga 
uniformemente distribuída p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como mostrado na figura acima cada elemento dx da viga estará 
submetido a uma carga concentrada dP = p.dx. Se dP está localizado 
numa abscissa "x", onde a linha de influência tem ordenada "y", então o 
efeito de dP será: dP.y = p.dx.y 
LINHA DE 
INFLUENCIA 
 19
 Portanto, o efeito de todas as cargas concentradas dP é obtido 
pela integração sobre todo o comprimento da viga, isto é: 
∫ ∫ ∫ === áreapdxypydxpydP ...... 
 Como p é constante, pode-se concluir que "o efeito da carga 
distribuída é simplesmente obtido multiplicando a carga "p" pela área 
sob a linha de influência". 
 
 
 
TREM - TIPO 
 
 Em geral as cargas a serem consideradas nos projetos de 
estruturas solicitadas por carregamento móvel, são especificadas em 
Normas Técnicas. Estas cargas são representadas pelos chamados 
trem-tipo, onde são indicadas as cargas concentradas, as distâncias 
entre elas, além de eventuais cargas distribuídas. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.7-) ESFORÇOS MÁXIMOS 
 
 Conhecido o carregamento permanente e dado um determinado 
"trem - tipo" constituído de cargas concentradas e distribuídas, pode-
se determinar os valores máximos dos esforços numa seção. Na 
pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento 
permanente em toda a estrutura e o carregamento acidental (trem - 
tipo) nas posições mais desfavoráveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
EXEMPLO: 
 
 Seja determinar, para a viga abaixo, os valores máximos do 
momento fletor na seção “s”, para o carregamento a seguir : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERMANENTE
SM = 0,5t/m × 4,562m2 = 2,281t.m 
ACIDENTAL
SM
⊕ = (6t × 1,875m) + (2t × 1,125m) + (1,5t/m × 7,5m2) = 24,7t.m 
 
 
 A1 = -1,25m2 
 A2 = 7,5m2 PERMANENTESM = 2,281t.m 
 A3 = -1,688m2 ACIDENTALSM
⊕ = 24,7t.m 
 ∑A= 4,562m2 ⊕SM = 27,03t.m 
 
 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERMANENTE
SM = 0,5t/m × 4,562m2 = 2,281t.m 
ACIDENTAL
SM
θ = (1,5t/m × -1,25m2) + (1,5t/m × -1,688m2) + (6t × -1,125m) + 
(2t × -0,375m) = -11,907t.m 
 
 A1 = -1,25m2 
 A2 = 7,5m2 PERMANENTESM = 2,281t.m 
 A3 = -1,688m2 ACIDENTALSM
θ = -11,907t.m 
 ∑A= 4,562m2 θSM = -9,62t.m 
 
Obs:. Deveria ser pesquisada a colocação da carga concentrada de 6t na 
ordenada y4. No caso verifica-se que se obtém o mesmo valor. 
(COINCIDÊNCIA !!) 
 
 
4-) OBTENÇÃO GRÁFICA DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 Em 1886, Heinrich Müller-Breslau desenvolveu uma técnica para 
construção gráfica da linha de Influência. Esta técnica é conhecida como 
"Princípio de Müller-Breslau". 
 22
4.1-) PRINCÍPIO DE MÜLLER-BRESLAU 
 
 A linha de Influência de um esforço numa seção tem a mesma 
forma da deformada da estrutura quando a capacidade de resistir tal 
esforço na seção da estrutura é eliminada, e esta é submetida a um 
deslocamento unitário associado ao esforço. 
 
 
EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
- Para obtenção de SM , basta articular a seção “s” (retirar a capacidade 
de resistir momento fletor na seção “s”), resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Para obtenção de SQ , basta liberar a translação vertical em “s” 
(retirar a capacidade de resistir à força cortante na seção “s”), 
resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Para obtenção de AV , basta liberar a translação vertical em “A”, 
resultando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
EXEMPLO 2 
 
 Para obtenção de BV , libera-se a translação vertical em “B”, 
analogicamente obtém-se DV , S1Q , S2M e S3Q . 
 
 
 
 
 24
EXEMPLO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hibbeler, R.C “Structural Analysis”, Macmillan Publishing 
Company, New York, 1985. 
Bibliografia: 
 25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26
Exercício 1:Para a estrutura abaixo, pede-se: 
a) Traçar a linha de influência de MS1, QS2, e QS3. 
b) Calcular ⊕máx1SM e 
Οmáx
1SM para os trens-tipo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
⊕máx
1SM = 0,1684 + 14,25 = 14,42t.m 
Οmáx
1SM = 0,1684 - 12,99 = -12,83t.m 
Οmáx
1SM = 0,1684 - 11,67 = -10,99t.m 
 27
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A1 = -0,375 A2 = +1,50 
 A3 = -1,25 A4 = 0,4175 
 A5 = -0,2083 ∑A = 0,0842 
 
 
m.t167,11)167,04()5,010()833,1.(3M
m.t99,12)75,010()833,1.(3M
m.t25,14)25,04()75,010()]4175,05,1.(3[M
m.t1684,020842,0M
.ACIDENTAL
1S
.ACIDENTAL
1S
.ACIDENTAL
1S
PERMANENTE
1S
−=×−×−−=
−=×−−=
=×+×++=
=×=
⊕
Ο
⊕
 
 
 28
Exercício 2: 
Para a estrutura abaixo, pede-se: 
a) Traçar a linha de influência de QS1. 
b) Valores de ⊕máx1SQ e 
Οmáx
1SQ para o trem-tipo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A1 = -0,125 A2 = +1,125 
 A3 = -1,250 ∑A = -0,250 
 
 
m.t250,13)250,05()750,010()125,1.(4Q
m.t335,11)167,05()500,010()250,1125,0.(4Q
m.t500,0)m/t(2)m(250,0Q
.ACIDENTAL
1S
.ACIDENTAL
1S
2PERMANENTE
1S
=×+×+=
−=×−×−−−=
−=×−=
⊕
Ο 
 
 
 
Respostas: 
Οmáx
1SQ = -0,500 - 11,335 = -11,835t.m 
⊕máx
1SQ = -0,500 + 13,250 = 12,750t.m 
a) 
 29
Exercício 3: 
Para a treliça abaixo, pede-se: 
a) Traçar a linha de influência dos esforços normais nas barras CI 
e IJ. 
b) Calcular os esforços máximo e mínimo na barra CI para o 
carregamento indicado, definindo, inclusive, se eles 
correspondem a tração ou compressão na barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
)2,19x4,6(
V333,1N0N4,2N2,30M
)2,19x4,6(
VN0V
)2,3x0(
VN0VN0V
)2,3x0(
V667,2N04,2NV)2,3(20M
HIJIJCIB
HCI
KCIKCI
KIJIJKC
≤≤
⋅=∴=⋅+⋅∴=
≤≤
−=∴=
≤≤
=∴=+−∴=
≤≤
⋅=∴=⋅−⋅⋅∴=
∑
∑
∑
∑
 
 
 
 
 
 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A1 = -0,53 A2 = -3,22 
 A3 = 2,14 ∑A = -1,61 
 
 
t25,21)333,08()67,015()14,2(4N
t71,27)333,08()67,015()75,3(4N
t23,3)61,1(2N
.ACIDENTAL
CI
.ACIDENTAL
CI
PERMANENTE
CI
=×+×+⋅=
−=×−×−−⋅=
−=−⋅=
⊕
Ο 
 
 
 
Respostas: 
⊕máx
CIN = -3,23 + 21,25 = 18,02t (tração) 
Οmáx
CIN = -3,23 - 27,71 = -30,94t (compressão) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
Exercício 4: 
Para a treliça abaixo, pede-se: 
Calcular os valores máximos (positivos e negativos) da força normal na 
barra CI, para os trens-tipo abaixo e para “carregamento inferior”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8,05
4)cos(
6,05
3)sen(
==α
==α
 
 
)16x12(
V667,1)sen(
VN0)sen(NV0V
)8x0(
V667,1)sen(
VN0)sen(NV0V
A
A
CICIA
D
D
CICID
≤≤
⋅−=α
−=∴=α⋅+∴=
≤≤
⋅=α=∴=α⋅−∴=
∑
∑
 
 
 
 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 = 6,666 
A2 = 1,112 
∑A = 7,778 
 
 
0N
t776,37)833,04()111,110()778,73(N
t667,11778,75,1N
.ACIDENTAL
CI
.ACIDENTAL
CI
PERMANENTE
CI
=
=⋅+⋅+⋅=
=⋅=
Ο
⊕ 
 
 
 
Respostas: 
⊕máx
CIN = 37,776 + 11,667 = 49,443t 
Οmáx
CIN = 0 + 11,667 = 11,667t