exercicioscn3bimmhs

Prévia do material em texto

1. (Ufal 2010) Um relógio de pêndulo é construído tal que o seu pêndulo realize 3600 oscilações completas a 
cada hora. O relógio está descalibrado, de modo que o pêndulo oscila em um movimento harmônico simples de 
frequência angular igual a 5 pi /2 rad/s. Nessa situação, ao final de 3600 oscilações completas do pêndulo terão se 
passado: 
a) 32 min 
b) 45 min 
c) 48 min 
d) 52 min 
e) 56 min 
 
2. (Ufpb 2010) Um determinado tipo de sensor usado para medir forças, chamado de sensor piezoelétrico, é 
colocado em contato com a superfície de uma parede, onde se fixa uma mola. Dessa forma, pode-se medir a força 
exercida pela mola sobre a parede. Nesse contexto, um bloco, apoiado sobre uma superfície horizontal, é preso a 
outra extremidade de uma mola de constante elástica igual a 100 N/m, conforme ilustração a seguir.
Nessa circunstância, fazendo-se com que esse bloco descreva um movimento harmônico simples, observa-se que 
a leitura do sensor é dada no gráfico a seguir.
Com base nessas informações é correto afirmar que a velocidade máxima atingida pelo bloco, em m/s, é de: 
a) 0,1 
b) 0,2 
c) 0,4 
d) 0,8 
e) 1,0 
 
3. (Uece 2009) Um bloco de massa m, que se move sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso por 
duas molas de constantes elásticas k1 e k2 e massas desprezíveis com relação ao bloco, entre duas paredes fixas, 
conforme a figura.
Dada uma velocidade inicial ao bloco, na direção do eixo-x, este vibrará com frequência angular igual a 
a) 1 2
1 2
k k
m(k k )+
 
b) 1 2(k k )
2m
+ 
c) 1 2(k k )
2m
− 
d) 1 2(k k )
m
+ 
 
4. (Ueg 2009) A posição em função do tempo de um sistema massa-mola em um MHS é representada no gráfico 
a seguir.
Admita que a inércia translacional do sistema seja 0,70 kg e responda ao que se pede.
a) Qual é a amplitude e o período do MHS?
b) Qual é a constante elástica da mola?
c) Qual é o módulo da aceleração da massa quando a sua energia cinética for a metade da energia total do 
sistema? 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
As primeiras ideias sobre energia mecânica foram formuladas por Gottfried Leibnitz, filósofo e matemático (1646-
1716). Leibnitz acreditava que, para um corpo de massa m e velocidade v, a grandeza mv2, que ele chamava "vis 
viva", era uma grandeza que se conservava. Para Leibnitz um corpo lançado verticalmente sempre possuiria "vis" 
(força, energia), mesmo quando estivesse no ponto mais alto onde a velocidade é nula. Ao cair, sua velocidade 
aumenta e o corpo passa a ter novamente a "vis viva". A grandeza mv2 de Leibnitz hoje é identificada como o 
dobro da energia cinética. O progresso das ciências físicas levou à descoberta de diferentes formas de energia: 
potencial gravitacional, potencial elástica, térmica, elétrica, etc. Assim, quando se consideram todas as formas de 
energia, a energia total de um sistema isolado é constante. Essa é a lei da conservação da energia, enunciada 
independentemente por Joule, Helmholtz e Mayer, por volta de 1850.
(Texto adaptado de Projeto de Ensino de Física, USP, fascículo 11, coordenação de Ernest Hamburger e 
Giorgio Moscate, 1975.)
A figura a seguir mostra um corpo de massa m = 0,05 kg, preso a uma mola de constante elástica k = 20 N/m. O 
objeto é deslocado 20 cm para a direita, a partir da posição de equilíbrio sobre uma superfície sem atrito, 
passando a oscilar entre x = A e x = - A.
 
5. (Pucmg 2009) Assinale a afirmativa CORRETA. 
a) Na posição x = -20 cm, a mola tem uma energia cinética de 0,4 J e a energia potencial elástica do corpo é nula. 
b) Na posição x = -20 cm, toda a energia do sistema vale 0,4 J e está no objeto sob a forma de energia cinética. 
c) Na posição x = 0, toda a energia do sistema está no corpo na forma de energia cinética e sua velocidade vale 4 
m/s. 
d) Na posição x = 20 cm, toda a energia do sistema vale 0,8 J sendo 0,6 J na mola e o restante no objeto. 
 
6. (Ita 2008) Uma partícula P1 de dimensões desprezíveis oscila em movimento harmônico simples ao longo de 
uma reta com período de 8/3 s e amplitude a. Uma segunda partícula, P2 , semelhante a P1 , oscila de modo 
idêntico numa reta muito próxima e paralela à primeira, porém com atraso de π/12 rad em relação a P1 . Qual a 
distância que separa P1 de P2, 8/9 s depois de P2 passar por um ponto de máximo deslocamento? 
a) 1,00 a 
b) 0,29 a 
c) 1,21 a 
d) 0,21 a 
e) 1,71 a 
 
7. (Unifesp 2008) Um estudante faz o estudo experimental de um movimento harmônico simples (MHS) com um 
cronômetro e um pêndulo simples como o da figura, adotando o referencial nela representado.
Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima 
passagem do pêndulo por essa posição, o cronômetro marca t = 30 s.
a) Determine o período (T) e a frequência (f) do movimento desse pêndulo.
b) Esboce o gráfico x (posição) × t (tempo) desse movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere desprezível 
a influência de forças resistivas. 
 
8. (Ita 2007) Um sistema massa-molas é constituído por molas de constantes k1 e k2, respectivamente, barras de 
massas desprezíveis e um corpo de massa m, como mostrado na figura. Determine a frequência desse sistema.
 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [C]
Dados: ω = 
pi5 rad / s
2
; n = 3.600.
O período (T) de cada oscilação é:
T = 
pi pi
=
piω
2 2
5
2
= 0,8 s. 
O tempo (∆t) gasto em n oscilações é:
∆t = n T = 3.600 (0,8) = 2.880 s = 
2.880 min
60
⇒
∆t = 48 min. 
Resposta da questão 2:
 [A]
Comentário: Embora seja uma boa questão pela sua abrangência, os dados são totalmente irreais.
Dado: k = 100 N/m.
O gráfico informa que o período do movimento é 4pi s.
Aplicando a expressão do período para o sistema massa-mola:
( ) 2m m mT 2 4 2 2 m 400 kg (!!!!)
k 100 100
= pi ⇒ pi = pi ⇒ = ⇒ = .
Calculando a deformação máxima ( maxx ) da mola, que ocorre quando a força tensora na mola é máxima, o que o 
gráfico também nos dá ( maxF = 20 N)
máx máx máx máxF k x 20 100 x x 0,2 m.= ⇒ = ⇒ =
A velocidade é máxima e ocorre no ponto onde a energia cinética é máxima, ou seja, onde a energia potencial 
elástica é nula e, consequentemente, a deformação e nula (x = 0).
máx máx
2 2
máx máx
cin pot máx máx
máx
mv k x k 100 10E E v x 0,2 0,2 
2 2 m 400 20
v 0,1 m / s.
 
= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ ÷ 
=
 
Resposta da questão 3:
 [D]
A duas molas sofrem a mesma deformação x, que é a mesma deformação que deveria sofrer a mola equivalente, 
quando sujeita à soma das forças.
1 1
2 2 eq 1 2 eq 1 2
1 2 eq
F k x 
F k x k x k x k x k k k .
F F k x
 =
= ⇒ = + ⇒ = + + =
O período de oscilação do sistema massa mola é:
eq 1 2
m mT 2 T 2 .
k k k
= pi ⇒ = pi
+
A frequência de oscilação angular é:
1 2
1 2
k k2 2 .
T mm2
k k
+pi pi
ω = = ⇒ ω =
pi
+
 
Resposta da questão 4:
 a) A amplitude é igual à abscissa do ponto de elongação máxima. Do gráfico: A = 0,70 m.
O período corresponde ao tempo para uma oscilação completa. Também do gráfico, T = 2pi s.
b) O período de um sistema massa-mola é dado por: T = pi m2
k
. Assim:
T2 = 4pi2 
m
k
⇒ k = pi
2
2
4 m
T
 = 
pi
pi
2
2
4 (0,7)
(2 ) ⇒ k = 0,7 N/m.
c) Supondo que o sistema esteja oscilando sobre uma superfície horizontal, a energia total (mecânica) do sistema 
massa-mola é igual à energia potencial elástica no ponto de elongação máxima (x = A). Assim: 
Emec = 
2kA
2
. Como o sistema é conservativo, se Ecin = 
1
2
Emec, a energia potencial elástica corresponde à outra 
metade. Ou seja: Ecin = Epot = =
2 21 kA kA
2 2 4
Mas: Epot = 
2kx
2
. 
Então: = ⇒ = ⇒ =
2 2 2
2kx kA A Ax x
2 4 2 2
Propriedade fundamental do MHS:o módulo da aceleração é diretamente proporcional ao módulo da elongação 
(x):
|a| = ω2x ⇒ |a| = 
pi 2
2
4 A
T 2
 = 
pi
≅ =
pi
2
2
4 0,7 0,7 0,5
1,44 2
m/s2. 
Resposta da questão 5:
 [C]
Resolução
No MHS – movimento harmônico simples o sistema apresenta energia potencial elástica máxima nas 
extremidades (A e –A) e energia cinética máxima no centro (0). Desta forma a velocidade da partícula no centro do 
sistema é dada por → 
m.v2/2 = k.x2/2 → m.v2 = k.x2 → 0,05.v2 = 20.0,22 → 0,05.v2 = 0,8 → v2 = 
0,8
0,05
= 16 → v = 16 = 4 m/s 
Resposta da questão 6:
 [D]
A função horária para o MHS é:
x = a.cos(Φ0+ω.t) onde ω = 
2
T
π
 onde T é o período.
Assim teremos:
x1 = a.cos
3 .t
12 4
π π    
+ ÷  ÷     
x2 = a.cos
3 .t
4
π   ÷   
Está se admitindo que a amplitude e o período são os mesmos para as duas partículas.
Para t = 
8
9
 s temos:
x1 = a.cos
3 8 .
12 4 9
π π      
+ ÷  ÷  ÷       
x2 = a.cos
3 8.
4 9
π     ÷  ÷     
x1 = a.cos
3
4
π    = a. ( )22
x2 = a.cos
2
3
π    = a2
x1 - x2 = a. ( )2
2
 - 
a
2
x1 - x2 = 
a
2
  ÷  .[( 2 ) - 1] = 
a
2
  ÷  .(1,41 - 1)
x1 - x2 = 
a
2
  ÷  .0,41 = 0,21.a 
Resposta da questão 7:
 a) T = 1,5 s; f ≈ 0,67 Hz
b) Observando-se que em t = 0, x = + A, temos o gráfico senoidal a seguir.
 
Resposta da questão 8:
 O período do MHS massa-mola é dado por T = 2π . ( )m / k e portanto a frequência, como é o inverso do 
período será f = 
1
2π  ÷  . ( )k / m . O valor de k representa a constante elástica da mola que está presa a massa. 
Neste caso é um sistema de molas. Em um sistema de molas a constante elástica equivalente ao conjunto 
paralelo é obtida pela soma das constantes participantes, enquanto que, no sistema em série, o inverso da 
constante equivalente é igual a soma dos inversos das constantes participantes. O sistema paralelo formado por 
três molas de constante k2 comporta-se como uma única mola de constante 3k2. O sistema paralelo formado por 
duas molas de constante k1 possui constante equivalente 2k1. O sistema série formado pelas constantes 2k1 e 3k2 
possui resultante igual a ( )
1 2
1 2
6k k
2k 3k+ .
Desta forma: 1 2
1 2
6k k1f
2 m(2k 3k )
=
pi +
.