NOTA_02

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1 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS FLORESTAIS - DCF 
 
 
 
 
 
AMOSTRAGEM E INVENTÁRIO FLORESTAL – GEF 112 
(NOTA DE AULA 02) 
 
PROF. José Marcio de Mello josemarcio@dcf.ufla.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LAVRAS – MG 
2014 - 1 
 
 
 
2 
 
5. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA PARA INVENTÁRIO FLORESTAL 
 
5.1 População – conjunto de unidades amostrais (parcelas) com características 
comuns (árvores) nas quais se faz observações. Área de 5,02 hectares. 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 126 
 
 
 QUAL É A POPULAÇÃO ALVO? 
 
 QUAL É A POPULAÇÃO ESTATÍSTICA? (Tamanho das parcelas = 400m2) 
 
 É necessário definir o SAMPLING FRAME. Na população acima, qual é o 
Sampling Frame? N=126. Portanto é definir quantas parcelas cabem na área. 
 
Parcela – é uma fração de área onde se mede todos os indivíduos. Através da área 
da parcela é possível efetuar extrapolações para toda a floresta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por que não efetuamos o inventário pensando em árvores? 
 
 - localização das árvores no campo; 
 - variabilidade entre árvore é alta. 
 
 
 
COMO QUANTIFICAR O VOLUME DE MADEIRA NAS 126 PARCELAS? 
 
  enumeração completa; 
 
  amostragem 
 
 
 
 
     
3 
 
5.2 Enumeração Completa – medição de todos os indivíduos. Neste caso temos a 
determinação do PARÂMETRO. Estes parâmetros 
descrevem a distribuição de freqüência da 
característica avaliada. 
 
Estatítica Parâmetro 
Média  
Desvio padrão  
Variância 2 
 
 
5.3 Amostra – é um conjunto de unidades amostrais ou parcelas, que são 
REPRESENTATIVA DA POPULAÇÃO. 
 
 
 
Estatítica Estimativa do parâmetro 
Média 
y
 
Desvio padrão 
Sy
 
Variância 
2S y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AMOSTRA 
CENSO 
DETERMINAÇÃO DO 
PARÂMETRO 
AMOSTRA 
ESTIMATIVA DO 
PARÂMETRO 
ESPERANÇA MATEMÁTICA 
 
 
4 
 
OBS.: toda amostra deve ser formada observando 2 pontos fundamentais: 
 
  eliminar influências subjetivas como “desejo” e “preferência”; 
 
  parcelas inconvenientes não podem ser substituídas. 
 
ATENÇÃO: toda vez que utilizamos uma amostra, nós estamos estimando a 
característica de interesse. Portanto, nós estamos efetuando a 
estimativa através de um estimador. 
 
5.4 Exatidão e Precisão - Existem duas propriedades que todo estimador deveria 
possuir: “exatidão” e “precisão”. Portanto, são propriedades de um bom 
estimador. 
 
 
i. Exatidão: é a capacidade ou propriedade do estimador em gerar valores 
próximos ao parâmetro populacional. Ou seja, sem qualquer tendência 
em sub ou super estimar a característica avaliada. 
 
 
 
 
 
1 2 3 
 
 
 
 40 
 
P1 – contém um número x de árvores. 
 
 
 
 
 
“A medida estatística chamada de 
exatidão, só é conhecida quando 
se mede toda a floresta”. 
5 
 
 
 
70 covas (dap, ht) – estimar o volume 
 
V1...V40 = 
 
40
1
30820mstVi
 
 
Obs.: Este é o volume real de toda a área que foi trabalhada... 
 
 
 
EXATIDÃO: 30820 – 32997,5 = -2177,5 m3 
 
“A amostra superestimou o volume de madeira”. Esta diferença existiu em função 
do processo de amostragem. 
 
 
ii. Precisão: é a propriedade que o estimador possui em estimar valores 
próximos entre si, oriundos de diferentes amostras 
retiradas da floresta. 
 
 
 
 
 
“Todas as vezes que efetuamos amostragem, a estatística obtida é a 
precisão ou erro de amostragem”. 
 
 
Fator de forma 
AMOSTRA DE 12 
PARCELAS 
32997,5 m3 
Equação de volume 
Cada valor de X é uma 
estimativa de uma dada 
amostragem. 
6 
 
 No inventário o erro de amostragem ou PRECISÃO, é obtido através do 
DESVIO PADRÃO DA MÉDIA, ou seja, é a variação entre diferentes estimativas 
da média. 
 
N = 40 
n= 12 
 
)!(!
!
nNn
N
C
N
n 

 - Número de combinações possíveis de 
diferentes amostras. 
 
 
480.853.586.5
)!1240(!12
!4040
12


C
 - Número de amostras diferentes 12 a 12 
retiradas da população. 
 
 
5.5 Desvio padrão da média: é a variância das diferentes médias geradas para 
cada um dos inventários. É a medida de precisão 
do inventário florestal. 
 
 







N
n
n
S
VS 1
2 
 
 
 
PRÁTICA 3 
 
 
TEMA: Conceitos Estatísticos para Inventário Florestal – (parte 1) 
 
1. Mostrar o mapa da matinha sem as parcelas demarcadas. Reafirmar o 
conceito de população alvo no inventário florestal. 
 
2. A partir do tamanho da unidade amostral ou parcela, defini-se a população 
estatística. Através da população estatística é que trabalhamos a questão 
da amostragem. 
 
3. Gerar o volume para uma parcela a partir da equação volumétrica. 
 
4. Arquivo com volume de cada parcela. Chamar a atenção que os valores de 
volume são por parcela, portanto, trata-se da soma dos volumes individuais 
das árvores da floresta. (volume.xls). 
 
7 
 
5. Gerar os parâmetros (média e variância) da população. Verificar os 
comandos do Excel para estes dois parâmetros. 
 
6. Gerar uma amostra de 10 parcelas de forma aleatória. Observe que os 
valores entre os alunos são diferentes em função da semente do randômico 
do computador. 
 
7. Gerar para a amostra de 10 parcelas exatidão . 
 
8. Gerar a precisão da sua amostra. 
 
9. Demonstração do Teorema do Limite Central. 
 
 
5.6 Teorema do Limite Central 
 
 
“Seja uma população qualquer, com média µ e variância 
2
. Se infinitas 
amostras de tamanho n são retiradas dessa população, então a média 
x
dessas 
amostras terão distribuição aproximadamente normal, com média µ e variância 
n
2 , à medida que aumenta o tamanho da amostra”. 
 
 
 
 
8 
 
Demonstração da fórmula da Variância da Média 
 
 
AMOSTRA {y1,y2,y3,y4,...,yn} 
 
 





 

n
ynyyyy
y
...4321 
 



n
i
yi
n
y
1
1 
 
PROPRIEDADE: “A variância de uma constante vezes uma variável é o quadrado da 
constante vezes a variância da variável”. 
 






 

n
i
yiV
n
yV
1
2
1
)( 
 
 
OBS.: admitindo que os valores observados de yi são independentes, tem-se: 
 



n
i
yiV
n
yV
1
2
)(
1
)( 
 
 
 )(...)3()2()1(1)(
2
ynVyVyVyV
n
yV  
 
 
 
 22322212 ...
1
)( n
n
yV   
 
 
 
 
OBS.: admitindo que as variâncias são homogêneas, tem-se: 
 
9 
 
  2232221 ... n 
 
 
2
2
1
)( n
n
yV  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
yV
2
)(

 
n
S
S
Y
2
2  
 
 
5.7 Variáveis contínuas e discretas 
 
Contínua: é aquela cujos valores pertencem ao eixo dos números reais. São 
variáveis resultantes de um processo de medição. 
 
Ex.: medição de altura, diâmetro, volume, peso, etc... 
 
Discreta: trata-se de variáveis com valores inteiros. 
 
Ex.: contagem de sementes germinadas, número de plantas atacadas por 
cancro, etc... 
 
 
5.8 Medidas de posição 
 
i. Média aritmética 
 





 

n
ynyyyy
y
...4321 
 
PARÂMETRO ESTIMATIVA 
10 
 



n
i
yi
n
y
1
1 
 
Propriedades da média: 
 
  A soma algébrica dos desvios em relação a média é nulo 
 
  0
1


n
i
i xX
 
 
 A soma das diferenças de cada valor observado em relação a 
média ao quadrado é mínima. 
 
  mínimovalorxX
n
i
i /
1
2


 
 
 Opeso de cada observação é 1/n. Ou seja, todas as observações 
possuem pesos iguais. 
 
EXEMPLO 
 
 Um estudo feito nos EUA focalizou o número de cesariana realizado por 
médicos em um ano. Os dados a seguir são de uma amostra de 15 médicos. 
 
[27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 31, 37, 44, 20, 36, 59, 34, 28] 
 
 O número médio de operações que os médicos fizeram foi de 41,3. Observe 
nos dados que apenas 5 médicos dos 15 fizeram mais do que o número médio de 
operações. Isto porque 2 valores discrepantes (85 e 86) puxaram a média para 
cima. Se fosse feita a média das outras 13 observações, a média seria de 34,5. Este 
exemplo mostra que dados discrepantes puxa a média para cima ou para baixo. 
 
 
ii. Média aritmética ponderada 
 
Os pesos de cada observação referem a ponderação de cada observação. 
 
y fi 
1y
 f1 
2y
 f2 
. . 
11 
 
. . 
. . 
yn
 fn 
 
1 1 2 2 n n
p
1 2 n
y .f + y .f +...+ y .f
y =
f + f +...+ f
 


n
i i
i=1
p n
i
i=1
f y
y =
f
 
 
 
 
 
iii. Moda 
 
É a realização mais freqüente em um conjunto de dados. Considerando a 
série 
 5,10,15,15,15,17,25,32
 a sua moda será 15. 
 
 
 
12 
 
iv. Mediana 
 
É o valor central de uma série ordenada de forma crescente. 
 
 Considerando a série {5, 8, 10, 12, 14} sua mediana será 10. 
 
 Caso o número de observações seja par, a mediana é a média aritmética 
das duas observações centrais. Para a série {5, 8, 10, 12, 14, 16} a sua 
mediana será: 
 
10+12
Md= =11
2
. 
 
5.9 Medidas de dispersão 
 
 
 As medidas de dispersão são: desvio padrão, variância e coeficiente de 
variação. 
 
 
i. Variância 
 
É a variação de cada valor observado em relação a sua média. Ela quantifica 
a soma dos desvios de cada valor em relação à média. 
 
  mínimovalorxX
n
i
i /
1
2


 
 
 


n
i
ii xxxx
1
2
2 2 
 
2
111
2 2 


n
i
n
i
i
n
i
i xxxx
 
 
 
13 
 
2
1
1
1
2 2 xnx
n
x
x
n
i
i
n
i
in
i
i  





 
 
2
2
1
2
1
1
2 2
n
x
n
n
x
x
n
i
i
n
i
in
i
i















 

 
 
 
2
1
1
2
n
x
x
n
i
in
i
i








 

 
 
 
O estimador da variância é dado pela seguinte expressão: 
 
 
1
1
2
12
2













n
n
x
x
s
n
i
n
i
i
i
x 
 
 
 
ii. Desvio padrão 
 
 
É a mesma definição de variância, porém, na unidade da característica 
avaliada. Ela é obtida pelo seguinte estimador: 
 
 
2
xss  
 
 
14 
 
iii. Coeficiente de variação 
 
Expressa em termos relativos a dispersão média dos valores em relação a 
sua média. É útil para comparar a variabilidade entre conjunto de dados com 
características diferentes ou não. A seguir está apresentado o estimador do CV. 
 
100*(%)
2
x
s
CV x 
 Volumes (m3)/parcela para duas populações 
Nº PARCELA VOL. FLORESTA I (m3) VOL. FLORESTA II (m3) 
1 93,75 234,00 
2 187,50 214,50 
3 225,00 225,00 
4 375,00 234,00 
5 206,25 225,00 
6 150,00 225,00 
7 262,50 220,50 
8 300,00 222,00 
 y = 1800 y = 1800 
 
x
= 225 m3 
x
= 225 m3 
CV(%) 39,10 2,92 
AMPLITUDE 206,25 19,50 
 
 
5.10. Fator de correção para população finita 
 
i. População finita 
 
É aquela que se conhece a área total da população e o tamanho de 
parcela a ser utilizada no levantamento. Assim, é possível conhecer o N 
cabível na floresta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 ha 
15 
 
2600
500
10000*130
N 
n = 4 
 
0015.0
2600
4

N
n (FRAÇÃO AMOSTRADA) 
 
 
 Se nós efetuamos amostragem, certamente ficou uma parte sem 
amostrar. Esta parte é denominada de “FRAÇÃO NÃO AMOSTRADA”. É 
através dela é que surge o “erro do inventário”, ou “erro de amostragem”. 
 
998,01 






N
n (FRAÇÃO NÃO AMOSTRADA) – FNA 
 
“Se FNA > 0,95 ela pode ser desprezível”. Assim, surge um novo conceito: 
 
POPULAÇÃO INFINITO CONTÁVEL: é quando o FNA > 0,95 e conhecemos o 
valor de N. 
 
POPULAÇÃO INFINITA CONTÁVEL: É quando não sabemos o valor de N. Ou 
o valor de N tende ao infinito. 
 
 
5.11 Intervalo de confiança 
 
 
i. Distribuição Normal 
 
 A distribuição normal é central na estatística em geral, mas 
principalmente na amostragem estatística. É ela quem permite gerar o 
intervalo de confiança e é a pressuposição para aplicação de outros testes. 
 
16 
 
 
 
ii. Propriedades da Distribuição Normal 
 
- Forma de “SINO”: unimodal e simétrica 
 
- Possui dois parâmetros: média e desvio padrão 
 
 
 
 
 - Não possui limite inferior superior 
17 
 
 
 
 
 
 - UNIDADES PADRÕES: o desvio padrão define “unidades padrões” na 
distribuição a partir da média, isto é, a dispersão dos dados é controlada 
pelas “unidades de desvio padrão”. A seguir tem-se a curva normal 
padronizada, mostrando o percentual de ocorrência m função da 
variabilidade. 
 
 
 
 
 
 OBS.: A importância da curva normal para a teoria de amostragem, se 
fundamenta na Teoria do Limite Central. 
 
 
iii. Definição: é a determinação do limite inferior e superior, dentro do qual 
o valor do parâmetro deve variar, conforme um coeficiente de confiança 
(95%). 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
a. Intervalo de Confiança Empírico 
 
2sx  Esse é um intervalo empírico. A variância dá idéia de 
variação ao redor da média. Qual é a confiança na estimativa desta média? 
 
 
b. Intervalo de confiança estatístico 
Com base na normalidade e no Teorema do Limite Central, W.S. 
Gosset, cujo pseudonome “Student”, deduziu uma distribuição estatística 
para inserir o GRAU DE CONFIANÇA na estimativa. 
 
xs
x
t

 
 
 xxst. 
 
xstx . 
 
%95..:  xstxxstxIC  
MÉDIA VARIÂNCIA 
AMOSTRA 
19 
 
 
“Existe 95% de chance da média verdadeira (Parâmetro) estar dentro do 
IC”. 
 
 INTERPRETAÇÃO ESTATÍSTICA: “espera-se que em 100 inventários, 
95 gera IC dentro dos quais a verdadeira média estará presente”. 
 
 ANÁLISE DO IC 
 
a. O que é preciso para diminuir o IC? 
 
b. O que é melhor em termos prático: um IC maior ou um IC menor? 
 
c. Se considerar 90% de probabilidade de acerto para uma mesma 
intensidade amostral. O IC será maior ou menor? Aumentou para 
10% a chance de erro, portanto sua margem de erro é maior. 
Logo, o IC pode ser menor. (O valor T para um mesmo grau de 
liberdade será menor). 
 
OBS.: quem controla a amplitude do IC é o erro padrão da média. Se desejar 
um IC menor, é preciso aumentar a amostra para aumentar a precisão. 
 
Tabela. Tabela da distribuição de t-Student para vários graus de liberdade e 
coeficientes de confiança. 
 
COEFICIENTE DE CONFIANÇA 
Graus 
de 
liberda
de (n-1) 
 
0,1 
 
0,3 
 
0,5 
 
0,7 
 
0,8 
 
0,9 
 
0,95 
 
0,98 
 
0,99 
 
0,999 
1 0,158 0,510 1,000 1,963 3,078 6,314 12,706 31,82 63,65 636,62 0,142 0,445 0,816 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,59 
3 0,137 0,424 0,765 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,92 
4 0,134 0,414 0,741 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 
5 0,132 0,408 0,727 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 
6 0,131 0,404 0,718 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 
7 0,130 0,402 0,711 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 
8 0,130 0,399 0,706 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 
9 0,129 0,398 0,703 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 
10 0,129 0,397 0,700 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 
11 0,129 0,396 0,697 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 
12 0,128 0,395 0,695 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 
Continuação... 
20 
 
Continuação... 
COEFICIENTE DE CONFIANÇA 
Graus 
de 
liberda
de (n-1) 
 
0,1 
 
0,3 
 
0,5 
 
0,7 
 
0,8 
 
0,9 
 
0,95 
 
0,98 
 
0,99 
 
0,999 
13 0,128 0,394 0,694 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 
14 0,128 0,393 0,692 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,140 
15 0,128 0,393 0,691 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 
16 0,128 0,392 0,690 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 
17 0,128 0,392 0,689 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 
18 0,127 0,392 0,688 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 
19 0,127 0,391 0,688 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 
20 0,127 0,391 0,687 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 
21 0,127 0,391 0,686 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 
22 0,127 0,390 0,686 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 
23 0,127 0,390 0,685 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767 
24 0,127 0,390 0,685 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 
25 0,127 0,390 0,684 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 
26 0,127 0,390 0,684 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 
27 0,127 0,389 0,684 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 
28 0,127 0,389 0,683 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 
29 0,127 0,389 0,683 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659 
30 0,127 0,389 0,683 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 
40 0,126 0,388 0,681 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 
60 0,126 0,387 0,679 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 
120 0,126 0,386 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 
 0,126 0,385 0,674 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291 
 
5.12 Cálculo da Intensidade Amostral 
 
 A definição do número de parcelas a ser lançada numa floresta, depende: 
  Erro admissível; 
  Variação da característica avaliada na floresta. 
 
vstE . 
 
 
 
2
yS nt 1- =E
n N
 
 
 
 
 
2 2
y y2 2
S S .n
t - =E
n nN
 
21 
 
t2  
 
 
 
2 2
y y 2
S N - S n
=E
nN
 
t2
2
yS
N-t2
2
yS
n=nNE2 
 nt2
2
yS
+nNE2=t2
2
yS
N 
 n(t2
2
yS
+NE2)=t2
2
yS
N 
2 2
y
2 2 2
y
t S N
n =
t S +NE
 
 Dividindo ambos os termos por N tem-se que: 
n= 2 2
y
2 2
y2
t S
t S
E +
N
 
E = erro máximo admissível para o inventário florestal (pré-estabelecido). É 
um valor percentual da média. 
2
yS
 = variância da característica de interesse 
N = número de unidades cabíveis na população 
n = intensidade amostral 
Se o erro é estabelecido em percentagem, a medida que expressa 
variabilidade deverá ser o coeficiente de variação e o cálculo da intensidade 
amostral é obtido como: 
 
n=  
 
22
22
2
t . CV%
t . CV%
E %+
N
 (POPULAÇÃO FINITA) 
Se a população é considerada infinita, então: 
 
n= 2 2
y
2
t S
E
 
ou 
22 
 
n =  22
2
t CV%
E %
 (POPULAÇÃO INFINITA) 
 
 Suponhamos que um florestal deseja saber quantas unidades amostrais 
(parcelas) são necessárias para se obter, com 95% de confiança, uma estimativa da 
produção florestal (st/ha) com um erro amostral de no máximo ± 10%. Ele 
acredita que a floresta tenha CV= 25% e estima que um bom número inicial seja de 
25 parcelas. 
 
t(0.975;24) = 2,064 
276.26
10
25.064.2
2
22
n
 
t(0.975;26) = 2,056 
274.26
10
25.056.2
2
22
n
 
 
 Se o chute inicial for alto, o processo de convergência é geralmente rápido. 
Porém, se o número inicial for pequeno, pode haver várias interações antes de 
convergir. 
 
USO DA INTENSIDADE AMOSTRAL PARA DEFINIÇÃO DE ÁRVORES DE 
CUBAGEM RIGOROSA 
ÁRVORE DAP(cm) HT(m) VTCC (m3/ha) 
1 21.8 30.1 0.514764 
2 20.3 30.6 0.387458 
3 17.8 28.8 0.305286 
4 23.5 30.4 0.546136 
5 19.4 28.4 0.347813 
6 18.6 28.3 0.321360 
7 21.2 31.4 0.513952 
8 26.5 32.6 0.745956 
9 25.5 32.3 0.703315 
MÉDIA= 
DESVIO= 
CV= 
0.487338 
0.161471 
33.13 
23 
 
n=  22
2
t CV%
E %
 
 
t(0.975;8) = 2.306 
 
5938,58
10
13.33.306.2
2
22
n
 
 
t(0.975;58) = 2.0017 
 
450046,44
10
13.33.0017.2
2
22
n
 
t(0.975;44) = 2.015 
4565,44
10
13.33.015.2
2
22
n
 
 
5.13 Efeito do tamanho de parcela na variabilidade 
 
 Para uma mesma população e para uma mesma intensidade amostral, 
parcelas menores proporcionam maiores coeficientes de variação. 
Observe que este comportamento dependerá do fenômeno estudado. Quando 
mais próximo o Xi estiver da média, menor será a diferença no numerador da 
fórmula do cálculo da variância. Assim haverá redução da mesma. Quando 
aumentamos o número de parcela, estamos aumentado o valor do 
denominador e consequentemente diminuindo a razão no cálculo da variância. 
- 400 m2 = CV 
- 600 m2 = CV 
 
 
 
 
 
 
CV = 
V 
A 
R 
I 
A 
B 
I 
L 
I 
D 
A 
D 
E 
(CV
) 
ÁREA DA 
PARCELA 
24 
 
OBS 1.: Maior parcela mais área amostrada. Portanto, espero redução no valor 
do desvio padrão. 
 
OBS 2.: Se trabalharmos numa população clonal, tudo muito uniforme, 
mudanças no tamanho de parcela tem pouco efeito sobre o CV. 
 
EX.: Lançou-se parcelas de 600 m2 em uma população e obteve-se o CV% para 
volume de 25%. Caso fosse lançado a mesma intensidade amostral com 
parcelas de 400 m2, qual seria o coeficiente de variação? 
 
2
12
1
2
2 .%%
A
A
CVCV 
 
 
400
600
.25% 222 CV
 
 
4655,765%22 CV
 
 
67,274655,765%2 CV
 
 
5.14 Covariância e Correlação 
 
 É comum obtermos informações sobre duas ou mais característica dentro 
de uma floresta. Se for desejado conhecer a correlação simples entre duas 
quaisquer, pode-se utilizar da análise de correlação ou covariância. Existindo 
correlação, a pergunta é: qual a magnitude desta relação? 
 
25 
 
 
 
 
 
No primeiro gráfico forte correlação e no segundo uma fraca correlação. Se 
estivermos pensando na relação entre DAP e HT de floresta plantada, o gráfico 1 
estaria representando bem esta situação. Nesta mesma relação para nativa o 
segundo gráfico seria mais interessante. 
 
x
y
x
y
(µ1,µ2) 
(µ1,µ2) 
26 
 
1
1
1 1



 

 
n
n
yx
xy
COV
n
i
n
i
n
i
xy 
 
OBS.: a covariância é uma medida estatística cuja unidade é a mesma das variáveis 
envolvidas na correlação. Portanto, fica difícil de interpretar a magnitude desta 
covariância. Daí surgiu a medida de correlação, que nada mais é do que a 
padronização da covariância. Ela dá resultado de [-1 a +1]. 
22
yx
xy
SS
COV
 
Exemplo: Calcule a covariância entre a altura (yi) e o dap (xi) de 9 árvores medidas 
em um povoamento clonal de Eucalyptus grandis conforme a tabela apresentada a 
seguir. Calcule também a correlação entre x e y. 
TABELA. Pares de altura – dap em povoamento clonal de Eucalyptus grandis. 
Nº da árvore DAP (xi) Altura (yi) x . y 
1 25,8 22,3 575,34 
2 24,5 18,5 453,25 
3 33,4 23,0 768,20 
4 31,8 22,3 709,14 
5 33,7 20,5 690,85 
6 33,4 24,5 818,30 
7 32 26,0 852,8 
8 28,3 21,0 594,30 
9 29 23,0 673,90 
10 30,2 22,0 664,4 
11 32,56 25,3 882,25 
TOTAL 335,7 248,4 7621,73 
 
27 
 
Média de xi = 30,52 cm 
Média de yi = 20,58 m 
Desvio padrão de xi = 3,201505 cm2 
Desvio padrão de yi = 2,17017 m2 
 
 Covariância (Cov) 
 
 
 
 Correlação (r) 
 
xy
xy
2 2
Cov 4,101364
r
3,201505 . 2,17017S x S y
 
xyr 0,59031
 
 
 
 


 
 

xy
x y
xy
nCov
1




xy
335,7 248,4
7621,73
11Cov
11 1
xyCov 4,101364