Calculo I

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CÁLCULO I
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Relações
Par ordenado
Sistema cartesiano ortogonal
Produto cartesiano
Relação binaria
Domínio e imagem
Relação inversa
Propriedades
Funções
Conceito de função
Definição
Notação das funções
Domínio e imagem
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Relações
Relações Binárias
PAR ORDENADO : conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x, y) onde x e y são números reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada.
Ex: Par ordenado (6, -3) : abscissa = 6 e ordenada = -3.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Relações
Damos no nome de eixo x ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical denominamos de eixo y ou eixo das ordenadas.
A orientação positiva das retas é representa por uma seta como podemos ver na figura mais abaixo.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Relações
Propriedade: dois pares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguais as abscissas e as ordenadas. Em termos simbólicos:
(x, y) = (w, z); x = w e y = z 
Exemplo: (2x – 4, y) = (- x, 7); 2x - 4 = - x e y = 7, portanto 
x = 4/3 e y = 7
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CÁLCULO I
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CÁLCULO I
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções
O estudo do produto cartesiano serviu de base para aprendermos sobre as relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das funções.
As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.
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CÁLCULO I
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções
Domínio da Função: Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. O domínio é o conjunto de partida. Ele é composto de todos os elementos do conjunto de partida. No nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A. Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções
Contradomínio da Função: Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções
Imagem da Função: A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu. Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
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CÁLCULO I
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função de 1º grau ou função Afim
Função constante
Função identidade
Função linear
Função afim ou de 1º grau
Valor de uma função em um ponto (valor numérico)
Gráfico da função de 1º grau
Imagem da função de 1º grau
Coeficientes da função de 1º grau
Zero ou raíz da função de 1º grau
Função crescente e função decrescente
Sinal da função de 1º grau
Taxa média de variação da função de 1º grau
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CÁLCULO I
MÓDULO B
A função afim
Ou
1º grau
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Funções cujos gráficos são retas – Função Afim 
f(x) = a x + b
 
 Exemplos:
f(x) = 2x – 1, onde a = 2 e b = – 1. 
y = – 3x + 4, onde a = – 3 e b = 4.
g(x)= 2x, onde a = 2 e b = 0 (função linear)
h(x) = 6, onde a =0 e b = 6. (função constante)
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
Por ser uma reta, necessitamos apenas de dois pontos para representar graficamente uma função afim.
representar graficamente a função afim y = 2 x – 4 .
Solução:
Construindo uma tabela, onde atribuímos arbitrariamente dois valores para x, encontramos suas correspondentes imagens.
 x y
 0 – 4 
 3 2
3
2
– 4 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função de 1º grau ou função Afim
Função afim com f(x)= a x+b a , b diferentes de zero
b
b
Reta que contem o ponto ( 0, b )
b – valor da ordenada na origem 
a – Declive da recta 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Gráfico da Função LINEAR
f(x) = a x , a diferente de zero
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Gráfico da Função LINEAR
f(x) = a x , a diferentes de zero 
Gráfico: sobre uma reta que passa na origem o no ponto ( 1 , a )
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Gráfico da Função LINEAR
f(x) = a x , a diferentes de zero 
y = -2x
y = 2x
y = x
y = -0,5 x
a -declive
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Gráfico da Função LINEAR
Numa função do tipo f(x) = ax, a diferente de zero
Se a > 0, quanto maior for o valor de a, maior é a inclinação da reta;
 Se a < 0, quanto menor for o valor de a, maior é a inclinação da reta.
OU
 Quanto maior for o valor absoluto de a, mais inclinada (mais próxima do eixo y) está a reta correspondente ao gráfico.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
A FUNÇÃO CONSTANTE
f(x) = b 
EXERCÍCIO:
Representa graficamente,no mesmo referêncial, as funções:
 a) f1(x)= 2 f2(x)= - 3 f3(x)= 0 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
A FUNÇÃO CONSTANTE
Em f(x) = a x + b, se a = 0, chegamos à forma f(x) = b, ou como usualmente se emprega f(x) = k, onde k  R. Esta é a função constante. Exemplo: f(x) = 5 é uma função constante. Todas as imagens são iguais.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Definição
Valor de uma função em um ponto (valor numérico)
Máximos e mínimos
Zeros ou raízes da função quadrática
Gráfico da função
Coordenadas do Vértice da parábola
Imagem da função quadrática
Eixo de simetria
Estudo do sinal da função quadrática
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Quadrática ou do 2º grau
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, 
y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Trajetória de um salto de ginástica olímpica
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x
x
y
- 3
6
- 2
2
1
0
- ½
- ¼
0
0
1
2
2
6
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima
se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Zeros ou Raízes
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação
do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara:
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Duas raízes diferentes
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Duas raízes iguais
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Nenhuma raiz real
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Exercícios
1-Represente graficamente as funções:
a)f(x) = x² + 5x +4 b)f(x) = - x² + 2x
2-Sendo f(x) = 2x² - 3x +1 calcule:
a)f(0) b)f(1) c)f(2) d)f(5) – f(-5)
3-Determine o valor de m para que f(x)= (2m -5)x² +3x tenha concavidade voltada para cima.
4-Calcule o valor de m para que f(x) = -4x² +5x – m +1 tenha uma única raiz real
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função do 2º grau ou função Quadrática
Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
Dallol tem temperatura média anual de 41 °C e o mês mais quente, tem média superior de 46,4 °C. É a cidade mais quente da Terra, localizada na Etiópia.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
A menor média anual de temperatura ocorre na Plateau Station, na Antártida, onde é igual a –56,7°C.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
Módulo ou valor absoluto de um número real
É a distância desse número até a sua origem zero.
|-8| = 8
|3| = 3
|-3| = 3
|x| = 
x , se x ≥ 0 
- x , se x < 0 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
Algumas propriedades
|x| ≥ 0
|x|² = |x²| = x² 
Ex.: |6|² = 6² = 36, |6²| = |36| = 36
|x ∙ y| = |x| ∙ |y|
Ex.: |2 · 3| = |2| · |3|
|6| = 2 · 3 = 6
|x + y| ≤ |x| + |y|
Ex.: |1 + (-2)| ≤ |1| + |-2| 
|-1| = 1 ≤ 1 + 2 ⟹ 1 ≤ 3 
|x – y| ≥ ||x| – |y||
Ex.: |1 – (-2)| ≥ ||1| - |-2||
|3| ≥ |1 – 2| ⟹ 3 ≥ 1 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
A função modular é definida por duas sentenças, com base no conceito de módulo, ou seja:
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CÁLCULO I
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
Gráfico da função modular
O gráfico da função 
g(x) = |x| ± k é 
congruente ao de 
f(x) = |x|, porém, 
transladado k 
unidades para cima 
(k>0) ou k unidades 
para baixo (k<0)
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Função Modular
Gráfico da função modular
Como fica o gráfico da função f(x) = |x² - 4x + 3|? 
Perceba que toda função e está em módulo. Por definição, o resultado de um módulo é sempre um número positivo, logo, o gráfico desta função estará completamente no eixo x e y positivos. 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Equação Modular: |x| = k ⟹ x = k ou x = – k
Em um determinando mês verificou que o número n de pessoas que compravam no supermercado Kbarato era dado pela lei 
n(x) = 20 ∙ |x – 25| + 300 em que x = 1, 2, 3, ..., 30 representa cada dia do mês. Em quais dias do mês, 400 pessoas compraram neste supermercado?
n(x) = 20 ∙ |x – 25| + 300
400 = 20 ∙ |x – 25| + 300
|x – 25| = (400 – 300)/20
|x – 25| = 5
	x – 25 = 5 				 x – 25 = – 5
	x = 30º dia		ou		 x = 20º dia
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Inequação Modular
Na reta real abaixo, observe quando a distância à origem é menor que 4 e quando a distância à origem é maior que 4:
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função composta
Função sobrejetora
Função injetora
Função bijetora
Função inversa
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função Injetora, Função Sobrejetora e Função Bijetora
Função Injetora
Diz-se que uma função f: A  B é injetora, quando não existe elemento do contradomínio B que seja imagem de mais um elemento do domínio A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um elemento de A chega apenas uma flecha. Assim, consideradas as funções de A em B, representadas pelos seguintes esquemas, temos 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função Injetora
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função Sobrejetora	
Diz-se que uma função f: A  B é sobrejetora, quando não existe elemento do contradomínio B que não seja imagem de um elemento do domínio A, isto é, chegam flechas em todos os elementos de B. O conjunto imagem é igual ao contradomínio da função. Assim, consideradas as funções de A em B, representadas pelos seguintes esquemas, temos 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função Sobrejetora
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função Bijetora
	Diz-se que uma função f: A  B é bijetora, quando:
	não existe elemento do contradomínio B que não seja margem de um elemento do domínio A (f é sobrejetora).
 cada elemento do contradomínio B é imagem de um único elemento do domínio A (f é injetora).
	Resumindo, quando a função f é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Assim, consideradas as funções de A em B, representadas pelos seguintes esquemas, temos:
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Função Bijetora
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE	
Função simples é quando a função f não é sobrejetora, e nem injetora 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Potencias e raízes
Potencia de expoente natural
Potencia de expoente inteiro negativo
Raiz enézima aritmética
Potencia de expoente racional
Potencia de expoente irracional
Potencia de expoente real
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções exponenciais
As aparências enganam
Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática, fez a Mateus uma proposta estranha: 
Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar 10000 reais por dia. Em compensação, você me dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia, o triplo do dia anterior.
ou melhor, as potências
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
A operação potenciação
Se a, b e x são números reais, define-se a operação potenciação, expressa pela igualdade:
ax = b 
a é a base
x é o expoente
b é a potência
De acordo com o tipo de expoente, a potenciação apresenta restrições quanto ao valor da base.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Potência de expoente natural
Se a é real e n é natural, definimos:
 a0 = 1
 a1 = a
(a ≠ 0)
 an = a.a.a. ... .a
(n ≥ 2)
n fatores
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Potência de expoente inteiro negativo
Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se:
a–n =
1
a 
n 
=
1
an 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Potência de expoente inteiro fracionário racional
Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, define-se:
a =
m
n 
n 
√am
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Propriedades da potenciação
ay
b
ax . ay = ax+y
ax
= ax–y
(ax)y = ax.y
(a.b)x = ax.bx
a
x 
bx
ax
=
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Exemplos 
√3
33.32
 40,3. 40,2 =
40,3+0,2
= 40,5
= 41/2
= √4
= 2
 32x – 1 =
32x
31 
=
(3x)2
3 
=
31/2
33.32
= 33 + 2 – 1/2
= 39/2
5x
2x.32x
=
5x
2x.(32)x
=
5x
2x.9x
=
5
2.9
x 
=
5
18
x 
. 
. 
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Crescimento e decrescimento exponencial
Crescimento exponencial
Vamos imaginar o seguinte experimento.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC, aumenta em 30%
a cada minuto.
Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento.
Temperatura inicial: T0 = 10
1 minuto:
T1 = 10.(1,3)1
= 10.(1,3)
2 minutos:
T2 = 10.(1,3)2
= 10.(1,69)
= 13
= 16,9
3 minutos:
T3 = 10.(1,3)3
= 10.(2,2)
= 22
4 minutos:
T4 = 10.(1,3)4
= 10.(2,86)
= 28,6
6 minutos:
T6 = 10.(1,3)6
= 10.(4,83)
= 48,3
t minutos:
T = 10.(1,3)t
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(oC)
0
10
1
13
2
16,9
3
22
4
28,6
6
48,3
t(min)
T(oC)
0
1
2
3
4
20
40
60
80
5
6
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Vamos supor agora a seguinte situação.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto.
Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento.
Temperatura inicial: T0 = 70
1 minuto:
T1 = 70.(0,8)1
= 70.(0,8)
2 minutos:
T2 = 70.(0,8)2
= 70.(0,64)
= 56
= 44,8
3 minutos:
T3 = 70.(0,8)3
= 70.(0,512)
= 35,8
4 minutos:
T4 = 70.(0,8)4
= 70.(0,41)
= 28,7
6 minutos:
T6 = 70.(0,8)6
= 70.(0,262)
= 18,3
t minutos:
T = 70.(0,8)t
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(oC)
0
70
1
56
2
44,8
3
35,8
4
28,7
6
18,3
t(min)
T(oC)
0
1
2
3
4
20
40
60
80
5
6
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções exponenciais
Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais.
Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante.
T = 10.(1,3)t
T = 70.(0,8)t
base (1,3) ⇒ Crescente.
base (0,8) ⇒ Decrescente.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções exponenciais
De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a ≠ 1), chamamos de função exponencial elementar de base a a função definida por:
y = f(x) = ax
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Exemplos 
 y = 5x
→ base 5
 y = (0,3)x
→ base 0,3
 y = 2–x
ou y =
1
2 
x 
→ base 1/2
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Funções exponenciais - Resumo
Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1):
O domínio é os Reais;
O conjunto imagem é os Reais positivos;
Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.
Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Equacões exponenciais
Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente.
A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo.
am = an ⇔ m = n
am = bm ⇔ m = 0
P1
P2
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Exemplos:
Resolver as equações exponenciais.
a) 3x = 27
3x = 27
⇒ 3x = 33
⇒ x = 3
b) 52x – 1 = 125
52x – 1 = 125
⇒ 52x – 1 = 53
⇒ 2x – 1 = 3
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2
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CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Resolver as equações exponenciais.
e)
2x + 1 – 2x + 3.2x – 2 = 14
2x.21 – 2x + 3.2x.2–2 = 14
Vamos isolar em toda equação a potência 2x.
Fazendo 2x = y.
2y – y + 3.
y
4 
= 14
⇒ 8y – 4y + 3y = 56
⇒ 7y = 56
⇒ y = 8
⇒ 2x = 8
⇒ 2x = 23
⇒ x = 3
82
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Resolver as equações exponenciais.
f)
9x + 3x + 1 = 4
(32)x + 3x.3 = 4
Vamos isolar em toda equação a potência 3x.
Fazendo 3x = y.
⇒ y2 + 3y – 4 = 0
⇒ y’ = –4 e y” = 1
⇒ 3x = –4 (impossível)
⇒ 3x = 1
⇒ 3x = 30
⇒ (3x)2 + 3x.3 = 4
⇒ x = 0
83
CÁLCULO I
Módulo B - Inequacões exponenciais
Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente.
A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo.
P3
P4
am > an ⇔ m > n
Mesmo sentido
am > an ⇔ m < n
Sentidos contrários
⇒ para a > 1
⇒ para 0 < a < 1
84
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Resolver as inequações exponenciais.
a) 53x – 1 > 25x + 2
53x – 1 > (52)x + 2 
⇒ 53x – 1 > 52x + 4
⇒ 3x – 1 > 2x + 4
base > 1, mantém-se o sentido
⇒ 3x – 2x > 4 – 1
⇒ x > 3
85
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções
Resolver as inequações exponenciais.
c)
9x – 3x + 1 – 3x + 3 ≤ 0
(32)x – 3x.31 – 3x + 3 ≤ 0
Vamos isolar em toda equação a potência 3x.
Fazendo 3x = y.
⇒ (3x)2 – 3x.3 – 3x + 3 ≤ 0
⇒ y2 – 3y – y + 3 ≤ 0
⇒ y2 – 4y + 3 ≤ 0
⇒ 1 ≤ y ≤ 3
⇒ 1 ≤ 3x ≤ 3
⇒ 30 ≤ 3x ≤ 31
⇒ 0 ≤ x ≤ 1
86
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Logarítmos
Conceito de logaritmo
Antilogarítmo
Consequências da definição
Sistemas de logaritmos
Propriedades dos logaritmos
Mudança de base
Função logarítmica
Definição
Propriedades
Imagem
Gráfico
Equação logarítmica
87
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Qual é o tempo?
Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abrir mão da festa. É que ela queria comprar um computador.
Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.
88
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5% ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transformariam nos 1500 reais de que precisava?
Qual é o tempo?
Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. 
Fez, então, as suas contas.
89
Veja os cálculos
MÓDULO B – Relações e Funções.
Capital aplicado: C = 1 000
Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês
Montante pretendido: M = 1 500,00
M = C.(1 + i)t
⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t
⇒ 1,05t = 1,5
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.
1,057 ≈ 1,407
1,058 ≈ 1,477
1,059 ≈ 1,551
90
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Qual é o expoente?
A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.
Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,6?
91
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
A base 10
Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos:
1
= 100
0,1
= 10–1
10
= 101
0,01
= 10–2
100
= 102
0,001
= 10–3
1 000
= 103
0,0001
= 10–4
10 000
= 104
0,00001
= 10–5
92
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
2
= 100,301
3
= 100,477
7
= 100,845
Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos:
11
= 101,041
13
= 101,114
93
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Exemplos
 4 = 22
= (100,301)2
= 10 0,602
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10.
 5 = 
=
= 101 – 0,301
10
2 
10
100,301 
= 10 0,699
94
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10.
 60 = 2.3.10
= 10 0,301 . 10 0,477 . 10
⇒ 60 = 10 0,301 + 0,477 + 1
⇒ 60 = 10 1,778
95
CÁLCULO I
Módulo B - Logaritmo como expoente
O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja:
2x = 8
⇒ x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
96
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8.
Vale, portanto a equivalência:
log2 8 = 3
⇔ 23
= 8
Calcular um logaritmo é obter um expoente.
Logaritmo é o mesmo que expoente.
97
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Definição
Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ ax = b
 a é a base
 b é o logaritmando ou antilogaritmo
 x é o logaritmo
98
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Condição de existência do logaritmo
Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições:
 loga b = x ⇔ 
 b > 0
 a > 0
 a ≠ 1
99
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
multiplicações em adições
divisões em subtrações
 potenciações em multiplicações
Propriedades dos logaritmos
O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples.
Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar:
100
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Logaritmo do produto
De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
101
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Logaritmo do quociente
 De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x/y) = loga x – loga y
102
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Logaritmo da potência
Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base.
Loga xk = k . loga x
103
CÁLCULO I
Módulo B – Mudança de base
Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais 
(tecla log)
Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases?
Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?
104
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Fórmula de mudança de base
De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida.
logk a
logk b
Logb a = 
105
CÁLCULO I
MÓDULO B – Relações e Funções.
Exemplos
Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais 
log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.
5x = 20
⇒ x = log5 20 
log10 20
log10 5
log5 20 = 
log 20
log 5
=
1,301
0,699
=
= 1,861
106