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Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina 1a Questão (Ref.: 201101467531) As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de (ABC) é do tipo 5 x 4, então m + n + p + r é 16 2a Questão (Ref.: 201101373269) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u - v, devemos ter x + y igual a: 6 3a Questão (Ref.: 201101331238) Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). -8 4a Questão (Ref.: 201101456075) Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P-Q. Determine o valor de a + b + c + d + e: 15 5a Questão (Ref.: 201101395832) Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 17/16 6a Questão (Ref.: 201101395828) Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). - 3/4 Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina 1a Questão (Ref.: 201101378091) Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é: 2 2a Questão (Ref.: 201101379043) Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo 0,1667 3a Questão (Ref.: 201101373271) Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente: 2.10-2 e 1,9% 4a Questão (Ref.: 201101376084) Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. É correto afirmar que: apenas I é verdadeira 5a Questão (Ref.: 201101331252) A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de: Erro relativo 6a Questão (Ref.: 201101463258) as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: erro de truncamento Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina 1a Questão (Ref.: 201101331301) Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: -6 2a Questão (Ref.: 201101373616) Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: Bisseção 3a Questão (Ref.: 201101502320) Com relação ao método da falsa posição para determinação de raízes reais é correto afirmar, EXCETO, que: A raiz determinada é sempre aproximada 4a Questão (Ref.: 201101461662) Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito. Pode ser um critério de parada, considerando ε a precisão: O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 5a Questão (Ref.: 201101461677) Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que: É a raiz real da função f(x) 6a Questão (Ref.: 201101373394) Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação. 0,625 Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina 1a Questão (Ref.: 201101331328) A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 2, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 4 2a Questão (Ref.: 201101331327) De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x2 - 3x - 5 = 0 5/(x-3) 3a Questão (Ref.: 201101373617) Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x3 + x2 - 8. A raiz desta função é um valor de x tal que x3 + x2 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma possível função equivalente é: (x) = 8/(x2 + x) 4a Questão (Ref.: 201101331310) De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x3 - 4x + 7 = 0 -7/(x2 - 4) 5a Questão (Ref.: 201101331334) A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando como dois pontos iniciais x0e x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem- se que x0e x1 devem respeitar a seguinte propriedade: f(x0) e f(x1) devem ser diferente 6a Questão (Ref.: 201101331288) De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -8x -1 2 e 3 Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina1a Questão (Ref.: 201101331303) Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 1,5 2a Questão (Ref.: 201101373397) Considere o seguinte sistema linear: Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida? 3a Questão (Ref.: 201101475103) O método Gauss- Seidel gera uma sequência que converge independente do ponto x0. Quanto menor o β, mais rápido será a convergência. Assim, calcule o valor de β1, β2 e β3 para o sistema a seguir e assinale o item correto: 5 X1 + X2 + X3 = 5 3 X1 + 4 X2 + X3 = 6 3 X1 + 3 X2 + 6X3 = 0 β1 = 0,4 ; β2 = 0,6 ; β3 = 0,5 4a Questão (Ref.: 201101461895) Considere o seguinte sistema linear: (FALTA MATRIZ) Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida? ss 5a Questão (Ref.: 201101373309) No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. Material de Av2 1a Questão (Ref.: 201101341807) Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a: (x2 - 3x + 2)/2 Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina 2a Questão (Ref.: 201101341796) Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função: 3x - 1 3a Questão (Ref.: 201101457182) Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I ¿ seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que: Apenas II é verdadeira 4a Questão (Ref.: 201101341805) Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica- los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que: f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados. 5a Questão (Ref.: 201101373614) Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a precisão desejada: DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real. Mod(xi+1 - xi) < k 6a Questão (Ref.: 201101341813) Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a: -x2 + 2x 1a Questão (Ref.: 201101379053) Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador? grau 30 2a Questão (Ref.: 201101373085) Dados os ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos pelo método de Newton. A fórmula de Newton para o polinômio interpolador impõe que Que a função e as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] 3a Questão (Ref.: 201101376074) Em relação ao método de Runge - Kutta de ordem "n" são feitas três afirmações: Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina I - é de passo um; II - não exige o cálculo de derivada; III - utiliza a série de Taylor. É correto afirmar que: todas estão corretas 4a Questão (Ref.: 201101341839) Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem- se como resposta o valor de: 0,3125 5a Questão (Ref.: 201101373233) A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau? primeiro 6a Questão (Ref.: 201101467525) Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida I = Integral de 0 a 5 de f(x), com n = 200, cada base h terá que valor? 0,500 1a Questão (Ref.: 201101373082) Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto. A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo Y = ax2 + bx + c 2a Questão (Ref.: 201101373086) Considere o gráfico de dispersão abaixo. Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam? Y = a.2-bx 3a Questão (Ref.: 201101467538) Considere a equação ex - 4x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: (0,2; 0,5) 4a Questão (Ref.: 201101373089) Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que: Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função 5a Questão (Ref.: 201101457213) Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor? 0,025 6a Questão (Ref.: 201101376087) Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes afirmações: I - É um método de alta precisão II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais É correto afirmar que: apenas I e II são corretas 1a Questão (Ref.: 201101379059) Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a opção que encontra uma raiz desta equação. y = ex - 3 2a Questão (Ref.: 201101341996) Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 6 4aQuestão (Ref.: 201101373087) Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 0,2 5a Questão (Ref.: 201101373093) Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir. Se considerarmos a integral definida , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a: Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Área do trapézio 6a Questão (Ref.: 201101373234) Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. menor ou igual a n 1a Questão (Ref.: 201101331295) Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: [1,10] 2a Questão (Ref.: 201101373311) Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: (-1,5; - 1,0) 3a Questão (Ref.: 201101373615) Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: (0,5; 0,9) 4a Questão (Ref.: 201101331298) Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: [0,3/2] 5a Questão (Ref.: 201101376079) Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição. 2 6a Questão (Ref.: 201101373232) Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg: I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares Desta forma, é verdade que: Todas as afirmativas estão corretas Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina ] O que entende por matriz mal condicionada? Que cuidados devem ser tomados quando aparecem em sistemas lineares. (0,5 ponto) O que entende por convergência linear e convergência quadrática, no cálculo de raízes ?(0,5 ponto) Explique a importância do Método LU. Gabarito: Entende-se por Matriz Mal Condicionada a matriz cujo determinante é muito pequeno quando comparado com a ordem de grandeza de seus elementos. (uma definição mais precisa exigiria definir norma de matriz). São matrizes que, quando envolvidas na solução de sistemas lineares, tornam os resultados pouco confiáveis, pois pequenos arredondamentos nos componentes da matriz, ou em resultados intermediários, alteram profundamente o cálculo final das raízes do sistema. Tendo um Sistema Linear uma matriz mal condicionada, os cálculos deverão ser feitos com a maior precisão possível, procurando-se minimizar a propagação desses erros, que são críticos nesse caso, podendo levar a resultados profundamente diferentes dos verdadeiros. Convergência¿ quando se calcula uma raiz de uma equação por um processo iterativo, busca-se, a cada nova iteração, aproximar-se mais e mais do verdadeiro valor da raiz. Em cada iteração, entretanto, há um erro associado a ela. Num método que convirja, a tendência é a da diminuição dos erros, que deverão tender a zero. Se o erro de uma iteração é aproximadamente proporcional ao erro da iteração anterior, isto é, ei+1 » k.ei , diz que a convergência é linear, sendo |k| < 1. Se ei+1 » k ei2 , isto é, se cada novo erro é proporcional ao quadrado do erro anterior, diz-se que a convergência é quadrática. Admitindo-se que os erros sejam pequenos, o quadrado do erro tende a zero mais rapidamente, daí a convergência quadrática ser mais rápida que a convergência linear. Método LU para resolução de Sistemas Lineares¿ nesse método, fatora-se a matriz do sistema no produto de duas matrizes: uma triangular inferior e outra triangular superior. Assim, transforma-se um sistema A.X = B num sistema L.U.X = B, onde L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior. Chamando-se U.X de Y , tem-se o sistema L.Y = B, de imediata solução, pois L é uma matriz triangular. Calculado o vetor Y, passa-se ao sistema U.X = Y, também triangular e de solução imediata. Assim calcula-se X, que é a solução do sistema A.X = B. É muito comum, na Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina prática, ter-se que resolver sistemas onde só muda o vetor B, considerado, em geral, a carga do sistema. A solução fica acelerada pela fatoração inicial da matriz A e a resolução posterior de dois sistemas triangulares. Para cada novo vetor B, lado direito do sistema, repete-se a solução dos dois sistemas triangulares, de solução rápida. Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir E Menor igual a 10^-2 usando método da bisseção. F(x) = 3x – cosx = 0 0,3158 Seja uma grandeza A = B.C, em que B = 5 e C = 10. Sejam também Ea = 0,1 e Eb = 0,2 os erros absolutos no cálculo A e B, respectivamente. Assim, o erro no cálculo de C é, aproximadamente: 2 Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u - v, devemos ter x + y igual a: 6 O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido: A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. Questão: Sendo uma função de R em R, definida por F(x) = 3x – 5 calcule F(2) + F(-2)/ 2 -5 A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se como pontos iniciais x0 = 2 e x1= 4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 2,4 Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a: 9 Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros: Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E menor igual 10^-3 usando o método Pégaso. F(x) = 0,1x³ - e^2x + 2 = 0 Gabarito: 0,3476 As integrais definidas têm várias aplicações. Podemos destacar o cálculo de área e a determinação do centróide de uma corpo. Um dos métodos numéricos para a resolução de integrais definidas é conhecido como método de Romberg, Cite duas características matemáticas deste método. É um método de alta precisão Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio. Seja afunção f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: (0,2; 0,5) Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. É correto afirmar que: apenas I é verdadeira Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: -6 De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -8x -1 2 e 3 De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -7x -1 2 e 3 As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de (ABC) é do tipo 5 x 4, então m + n + p + r é 16 Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 3, determine o valor de a para esta condição. Gabarito: y(x) = a.ex 3 = a.e0 a = 3 Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função: Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) 3x - 1 Considere a seguinte integral definida . Seu valor exato é 0,25. Determine o erro ao se resolver esta integral definida utilizando o método dos trapézios com quatro intervalos (n=4) DADOS: 03 = 0; 0,253 = 0,015625; 0,503 = 0,125; 0,753 = 0,421875 ; 13= 1 Gabarito: Erro = 0,2656 - 0,25 = 0,0156 Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E menor igual 10^-2 usando o método da bisseção. F(x) = 3x - cosx = 0 Gabarito: 0,3168 As funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina erro de truncamento Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: [1,10] Considere a função polinomial f(x) = 2x5 + 4x + 3. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será: -0,75 Considere a equação ex - 4x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: (0,2; 0,5) Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se: a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e – 1 Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: [0,3/2] Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I ¿ seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que: Apenas II é verdadeira O método Gauss- Seidel gera uma sequência que converge independente do ponto x0. Quanto menor o β, mais rápido será a convergência. Assim, calcule o valor de β1, β2 e β3 para o sistema a seguir e assinale o item correto: 5 X1 + X2 + X3 = 5 3 X1 + 4 X2 + X3 = 6 3 X1 + 3 X2 + 6X3 = 0 β1 = 0,4 ; β2 = 0,6 ; β3 = 0,5 Considere a seguinte integral . Resolva utilizando a regra do trapézio com quatro intervalos (n=4) DADOS: e0 = 1; e0,25 = 1,284025; e0,50 = 1,64872; e0,75 = 2,11700 ; e1= 2,71828 Gabarito: 1,73 Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a precisão desejada: DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real. Mod(xi+1 - xi) < k Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando como dois pontos iniciais x0e x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem-se que x0e x1 devem respeitar a seguinte propriedade: f(x0) e f(x1) devem ser diferentes Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x2 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta aproximada o valor de: 0,38 Sendo F uma função de R em R, definida por f(x) = 2x – 7, Calcule f(2)+f(-2)/2 -7 Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). -8 A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: Erro absoluto Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). Resposta: 17/16 Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico desua e mpresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). C om base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem- se que a função M1 gerada é igual a: -x2 + 2x Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E menor igual 10^-3 usando o método das cordas. F(x) = x³ - 10 lnx -5 = 0 Gabarito: 4,4690 Seja uma grandeza A = B.C , em que B = 5 e C = 10. Sejam também Ea = 0,1 e Eb = 0,2 os erros absolutos no cálculo A e B, respectivamente. Assim, o erro no cálculo de C é, aproximadamente: Resposta: 2 Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação. Resposta: 0,625 Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2 , no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos. Resposta: 0,328125 Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. C onsidere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: Resposta: [0,3/2] No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: Resposta: o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativopode não conseguir. Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). - 3/4 Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E menor igual 10^-3 usando o método das cordas. F(x) = x³ - e²x + 3 = 0 Gabarito: 0,5810 Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a opção que encontra uma raiz desta equação. y = ex - 3 O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que: Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que: f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados. A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 2, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 4 Sendo F uma função de R em R, definida por f(x) = 3x – 5, Calcule f(2)+f(-2)/2 - 5 Considere o valor exato 1,026 e o valor aproximado 1,000. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo. 0,026 e 0,024 Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de: 0,3125 De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x2 - 3x - 5 = 0 5/(x-3) Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). -3 O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 20,099 Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x3 + x2 - 8. A raiz desta função é um valor de x tal que x3 + x2 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma possível função equivalente é: (x) = 8/(x2 + x) A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau? primeiro Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos Material para estudo em diversas matérias, para Av1 Material para estudo de Cálculo Numérico - Estácio de Sá praça XI, - by Mauro Colina 0,328125 Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo (-1,5; - 1,0) Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo 0,026 E 0,023 Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E menor igual 10^-2 usando o método da bisseção. F(x) = x + Log x = 0 Gabarito: 0,3990 Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição. 2 A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 2,63 Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 6 Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 3 Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função: 3x - 1 Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E Menor igual a 10^-2 usando método da bisseção. F(x) = x³ – 6x² -x +30 = 0 Gabarito: -2,0000 Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos. 0,328125
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