Analise de forca - engrenagens.pdf

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ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA --
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS 
DE DENTES RETOSDE DENTES RETOS
Prof. Alexandre Augusto Pescador SardáProf. Alexandre Augusto Pescador Sardá
ENGRENAGENS HELICOIDAIS DE EIXOS PARALELOSENGRENAGENS HELICOIDAIS DE EIXOS PARALELOS
• Ângulo de hélice é o mesmo em cada engrenagem;
•Uma engrenagem deve ter uma hélice destra (mão direita) e a outra sestra 
(mão esquerda);
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE 
DENTES RETOSDENTES RETOS
• As reações entre dentes engrenados ocorre ao longo da linha de 
pressão;
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE 
DENTES RETOSDENTES RETOS
•Torque aplicado e carga transmitida:
•A componente radial não transmite torque.
t
t FW 32=
tW
dT
2
=
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE 
DENTES RETOSDENTES RETOS
33000
VWH t=
nd
HWt π
)10(60 3=
kNatransmitidacaéWt ,arg
kWPotênciaH ,=
mmengrenagemdadiâmetrod ,=
rpmvelocidaden ,=
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
• O pinhão 2 roda a 1750 rpm e transmite 2,5 kW à engrenagem intermediária 3. 
Os dentes são cortados segundo o sistema de 20 de profundidade completa e 
têm um módulo m = 2,5 mm. Desenhe um diagrama de corpo livre da 
engrenagem 3 e mostre todas as forças que atuam sobre a mesma.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
mmmNd 50)5,2(2022 ===
mmmNd 125)5,2(5033 ===
( ) kN
kW
nd
HWt 546,0175050
5,2)10(60)10(60 3
2
3
=== ππ
kNF t 546,023 = kNFF tr 199,020tan 02323 ==
kNFF
t
581,0
20cos
546,0
20cos
23
23 === oo
• diâmetros primitivos:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
• Uma vez que a engrenagem 3 é intermediária, não transmite qualquer potência 
(torque) ao eixo ligado a si; assim, a reação tangencial da engrenagem 4 sobre a 
engrenagem 3 também é igual a Wr.
kNF t 546,043 = kNF r 199,043 = kNF 581,043 =
• As reações nos eixos, nas direções x e y, são:
( ) ( ) kNFFF rtxb 347,0199,0546,043233 =+−−=+−=
( ) ( ) kNFFF tryb 347,0546,0199,043233 =−−=+−=
• A reação resultante sobre o eixo é:
( ) ( ) kNFb 491,0347,0347,0 223 =+=
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CÔNICASENGRENAGENS CÔNICAS
• Considera-se a carga 
tangencial ou 
transmitida que 
ocorreria se todas as 
forças fossem 
concentradas no ponto 
médio do dente.
av
t r
TW =
γφ costantr WW =
γφ senWW ta tan=
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• O pinhão cônico roda a 600 rpm e transmite 5 hp à engrenagem. As distâncias de montagem, a 
localização de todos os mancais e raios primitivos do pinhão e da coroa são exibidos na figura. Os 
mancais A e C devem escorar os esforços axiais. Encontre as forças dos mancais no eixo de 
engrenagens.
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• Diagrama de corpo livre do eixo CD
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• Ângulos primitivos:
01 43,18
9
3tan =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −γ
01 56,71
3
9tan =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Γ −
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• Velocidade no círculo primitivo:
s
mrpm
in
minnrV p 03,260
60002504,0*293,122 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== ππ
VWPot t=
V
PotWt =
sm
hpWhpWt /03,2
7465 ⋅=
NWt 4,1837=
Direção positiva do eixo z
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
NWW tr 09,2116,71cos20tan4,1837costan
00 ==Γ= φ
NsensenWW ta 5,6346,7120tan4,1837tan
00 ==Γ= φ
Direção negativa do
eixo x
Direção negativa do
eixo y
Vetor de posição de D a G (em metros):
jiRDG ˆ49,9ˆ72,9 −=
r
Vetor de posição de D a C (em metros): jRDC ˆ34,15−=
r
Momento em relação a D:
0ˆ
rrrrr =+×+× TFRWR CDCDG
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
( ) ( )
( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆ34,15
ˆ4,1837ˆ5,634ˆ09,211ˆ49,9ˆ72,9
r=+++×−
++−−×−
jTkFjFiFj
kjiji
z
C
y
C
x
C
( )( ) 0ˆˆ34,15ˆ34,15
ˆ74,8169ˆ5,17859ˆ9,17436
=++−
+−−−
jTkFiF
kji
x
C
z
C
jT ˆ5,17859=r
NF zC 6,1136−=
NF xC 5,532=
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
0
rrrr =++ WFF CD
( ) ( )( ) 0ˆ4,1837ˆ05,635ˆ09,211
ˆ6,1136ˆˆ5,532ˆˆ
r=+−−
+−+++
kji
kjFikFiF yC
z
D
x
D
jjjF yC ˆ0ˆ05,635ˆ =− NF yC 05,635=
kjiFC ˆ6,1136ˆ05,6355,532 −−=
r
EXERCÍCIO 13.7 EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEY SHIGLEY –– PG.659.PG.659.
( ) ( )( ) 0ˆ4,1837ˆ05,635ˆ09,211
ˆ6,1136ˆ05,635ˆ5,532ˆˆ
r=+−−
+−−++
kji
kjikFiF zD
x
D
NF xD 41,321−= NF zD 8,700−=
NkiFD ˆ8,700ˆ41,321 −−=
r
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS HELICOIDAISENGRENAGENS HELICOIDAIS
nr WsenW φ=
ψφ coscos nt WW =
ψφ senWW na cos=
• O ponto de aplicação dessas forças localiza-se no plano de passo 
primitivo e no centro da face da engrenagem.
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS HELICOIDAISENGRENAGENS HELICOIDAIS
ttr WW φtan=
ψtanta WW =
ψφ coscos n
tWW =
• Normalmente, Wt e as demais forças são requeridas.
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Um motor elétrico de 2 hp gira a 1800 rpm em sentido horário.Fixado ao motor há um pinhão helicoidal 
de 20 dentes com ângulo de pressão normal de 25o, ângulo de hélice de 35o, e um passo diametral normal 
de 10 dentes/polegada. Determine as forças atuantes no pinhão bem como as reações de mancal em A e 
B. O esforço axial deve ser suportado em A.
t
n
φ
φψ
tan
tancos =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ψ
φφ
cos
tanarctan nt
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 0
0
35cos
25tanarctantφ
065,29=tφ
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Sabe-se que:
035cos10cos == ψnt PP polegadadentesPt 19,8=
mmpolegadasNdp 02,62442,219,8
20
19,8
====
( ) smsmmHzmmndV /84,5/9,5845
60
180002,62 ==== ππ
V
PotWt = sm
hpWhpWt /84,5
7462 ⋅= NWt 2,255=
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
NWW ttr 3,14565,29tan2,255tan
0 === φ
NWa 7,17835tan2,255
0 ==
NW 7,343
35cos25cos
2,255
00 == NWF axA 7,178==
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Momento em relação ao eixo z::
( ) ( ) 0400300
2
=−+ mmWmmFdW ryBpa
( ) ( ) 04003,145300
2
02,627,178 =−+ mmmmFmmN yB NF yB 3,175=
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Somando as forças na direção y:
03,1453,175 =−− yAF NF yA 96,29=
0=−− ryAyB WFF
• Desconsiderando-se o atrito, a única força aplicada pela coroa-sem-fim será a força W.:
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
λφ senWW nx cos= ny senWW φ=
λφ coscos nz WW =
• W e G indicam as forças que agem no parafuso e na coroa, respectivamente. 
Wy é a força radial do parafuso e da coroa sem-fim. A força tangencial no 
parafuso é Wx e na coroa Wz. A força axial no parafuso é Wy e nacoroa Wx.
x
Gawt WWW =−=
y
Grwr WWW =−=
z
Gtwa WWW =−=
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Introduzindo-se o coeficiente de atrito f, tem-se
( )λλφ coscos fsenWW nx +=
n
y WsenW φ=
( )λλφ fsenWW nz −= coscos
λφλ coscos n
Gt
f senf
WffWW −==
• Após alguma manipulação:
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
λφλ
λλφ
coscos
coscos
n
n
GtWt senf
fsenWW −
+=
• Eficiência definida como:
)(
)(
fricçãocomW
fricçãosemW
Wt
Wt=η
λφ
λφη
cotcos
tancos
f
f
n
n
+
−=
• Após alguma manipulação:
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Eficiência de pares de engrenagens sem-fim para f = 0,05
Ângulo de hélice, graus Eficiência
1,0 25,2
2,0 45,7
5,0 62
7,5 71,3
10,0 76,6
15,0 82,7
20,0 85,9
30,0 89,1
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM• Coeficiente de atrito é dependente da velocidade relativa ou de deslizamento 
(experimentos)
λcos
W
S
VV =
ANÁLISE DE FORÇA ANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Valores representativos do coeficiente de atrito para engrenagens sem-fim.
C
o
e
f
i
c
i
e
n
t
e
 
d
e
 
a
t
r
i
t
o
,
 
f
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Um pinhão destro sem-fim de 2 dentes transmite 2 hp, a 1000 rpm a uma coroa sem-fim de 20 dentes e 
passo diametral transversal de 5 dentes/in e uma largura de face de 30 mm. O pinhão apresenta um 
diâmetro primitivo de 40 mm e uma largura de face de 50mm. O ângulo de pressão normal vale 14,5o. 
•A) Encontre o passo axial, a distância entre centros, o avanço e o ângulo de avanço.
•B)Encontre as forças exercidas pelos mancais contra o eixo da coroa sem-fim.
40 mm
70 mm
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
a) O passo axial é igual ao passo transversal da coroa:
mmin
P
pp tx 95,15628,05
===== ππ
mmdw 40=
mmin
P
Nd GG 6,10145
20 ====
mmddC Gw 8,70
2
6,10140
2
=+=+=
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Avanço:
( ) mmmmNpL wx 90,31273,15 ===
( ) 25,040
90,31tan === ππλ wd
L
( ) 024,1440
3190 == πλ
b) Velocidade na linha primitiva do pinhão:
( )
s
mmrpmmmndV www 4,209460
100040 === ππ
( ) min/4,425/8,216024,14cos 4,2094cos 0 ftsmmVV WS ==== λ
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Forças:
N
sm
hpWhp
V
PotW
w
wt 5,712/094,2
/7462 −=⋅==
Considerando-se f=0,05;
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
( )λλφ coscos fsen
WW
n
x
+=
( ) NsenWsenW ny 4,6225,149,2485 0 === φ
( )
( ) Nsen
fsenWW n
z
2,230224,1405,024,14cos5,14cos9,2485
coscos
000 =−
=−= λλφ
( ) Nsen NW 9,248524,14cos05,024,145,14cos 5,712 00 =+=
x
Gawt WWW =−=Mas:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
NWW xGa 5,712=−=
NWW yGr 4,622−=−=
NWW zGt 2,2302−=−=
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Assume-se o mancal B de escora, de forma que o eixo de engrenagens trabalhe 
em compressão:
Forças na direção x: NWF Ga
x
B 5,712==
Momentos em relação a z:
0)7040(40
2
6,101 =++−− yBGrGa FWW
0)7040()40(4,622
2
6,1015,712 =++−− yBF
NF yB 4,555=
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Momentos em relação a y: 0)7040(40 =+− zBGt FW
( ) 0)7040(402,2302 =+− zBF
NF zB 2,837=
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Somatório de forças em y: 0=++− yAyBGr FFW
04,5554,622 =++− yAF
NF yA 67=
Somatório de forças em z:
0=++− zAzBGt FFW
02,8372,2302 =++− zAF
1465=zAF
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Somatório de momentos em x: 0
2
=− GGt dWT
0
2
1016,02,2302 =−T
NmT 95,116=
EXERCÍCIO EXERCÍCIO –– 13.4313.43
Um pinhão sem-fim de 2 dentes transmite ½ hp a 900 rpm a uma coroa sem-fim de 36 
dentes, com um passo diametral transversal de 10 dentes/in. O pinhão tem um ângulo de 
pressão normal de 14 ½o , um diâmetro primitivo de 1 ½ in e uma largura de face de 1 ½ in. 
Use um coeficiente de atrito de 0,05 e encontre a força exercida pela coroa sobre o pinhão, 
bem como o torque de entrada. Para a mesma geometria mostrada no Problema 13-41, a 
velocidade do pinhão é horária com relação ao eixo z.
( ) min/42,353
12
9005,1 ftVW == π
( ) smsmminmmVW /80,1/4,179560
900/4,255,1 ==⋅= π
EXERCÍCIO EXERCÍCIO –– 13.4313.43
lbf
V
HWW wtx 7,4642,353
)5,0(3300033000 ====
mminpp xt 98,73141,010
==== π
( ) kN
nd
HWW wtx 207,0900)4,255,1(
373,0)10(60)10(60 33 =⋅=== ππ
kWWhpH 373,03735,0 ===
EXERCÍCIO EXERCÍCIO –– 13.4313.43
inNpL Wx 628,0)2(3141,0 ===
( ) 133,05,1
628,0tan ===
in
in
d
L
w ππλ
059,7=λ
( )λλφ coscos fsen
WW
n
x
+=
( ) lbfsen lbfW 2,26359,7cos05,059,75,14cos 7,46 000 =+=
mmNpL Wx 96,15)2(98,7 ===
( ) 133,01,38
96,15tan ==
mm
mm
πλ
( ) Nsen NW 6,116659,7cos05,059,75,14cos 207 000 =+=
EXERCÍCIO EXERCÍCIO –– 13.4313.43
( ) lbfsenlbfWsenW ny 89,655,142,263 0 === φ
( )
( ) lbfsen
fsenWW n
z
8,25059,705,059,7cos5,14cos2,263
coscos
000 =−
=−= λλφ
2
5,17,46
2
inlbfdWT Gwt == inlbfT 025,35=
( ) NsenNWsenW ny 1,2925,146,1166 0 === φ
( ) NsenW z 8,111159,705,059,7cos5,14cos6,1166 000 =−=
2
1,38207
2
mmNdWT Gwt == mmNT .4,3943=
EXERCÍCIOS PROPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS
•13.10;
•13.11;
•13.15;
•13.28;
•13.33;
•13.41.
SHIGLEY, J.E., MISCHKE, C.R., BUDYNAS, R.G., Projeto de Engenharia 
mecânica, 7a edição, Bookman.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS