ALA - Aula 2 - Matrizes

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Milene Pimenta 
Considere a matriz 
 
 A = 
 
 que possui m linhas e n colunas. Diz-se que 
é uma matriz de ordem m por n e escreve-se 
A(m,n). 
 












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
....
....................
....
.....
21
22221
11211
 Cada elemento será representado por aij. 
 A matriz A poderá ser representada por 
A = [aij] , onde i = 1,..., m e j = 1,..., n. 
 
 Tipos de Matrizes: 
 
 Matriz Retangular: Quando m ≠ n. 
 
 Matriz-Coluna: Quando n = 1. 
 
 Matriz-Linha: Quando m = 1. 
 Matriz Quadrada: Quando m = n. Diz-se que 
A é matriz de ordem n. 
 Numa matriz quadrada, pode-se definir a 
diagonal principal e a diagonal secundária. 
 Os elementos aij , onde i = j constituem a 
diagonal principal. Os elementos aij , onde i + 
j = n + 1, constituem a diagonal secundária. 
 
Exemplo: Dada a matriz quadrada A de ordem 3, 
onde: 
 A = 
 
 
os elementos da diagonal: 
 principal são: 1, 5 e 9; 
 secundária são 3, 5 e 7. 










987
654
321
 Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde 
aij = 0 se i ≠ j. 
 Exemplo: 
 A = 
 












4000
0300
0020
0001
 Matriz Escalar: É uma matriz diagonal que 
possui os elementos aij iguais entre si para 
i = j. 
 Exemplo: 
 A = 
 












3000
0300
0030
0003
 Matriz Unidade( ou Identidade): É uma matriz 
escalar em que aij= 1 se i = j e é 
representada por I. 
 Exemplo: 
 A = = I 












1000
0100
0010
0001
 Matriz Zero: É a matriz em que aij = 0 , i, j. 
Ela é representada por ℴ. 
 Exemplo: 
 
 A = 










000
000
000
 Operações Básicas: 
 Igualdade de Matrizes: A(m,n) = [aij] = B(m,n) = 
[bij] se, e somente se, aij = bij . 
 Adição de Matrizes: Se A(m,n) = [aij] e B(m,n) = 
[bij], A+ B = C = [cij], onde cij= aij + bij. 
 
 Produto por um Escalar: Se A(m,n) = [aij] e 
ℝ,  A = B = [bij], onde bij = aij . 
 Produto entre Duas Matrizes: Se A(m,p) = [aik] 
= B(p,n) = [bkj], então A.B = C(m,n) = [ cij] , 
onde 
 
 cij = . 
 


p
k
kjikba
1
. 
 Matriz Transposta: A matriz transposta de 
A(m,n), é a matriz A
T
(n,m), que se obtém da 
matriz A permutando as linhas pelas colunas 
de mesmo índice. 
 
 Exemplo: 
 
 
 A = e AT = 










987
654
321










963
852
741
 Propriedades: 
 (i) (A+B)T = AT + BT , 
 (ii) (A)T = AT, 
 (iii) (AT)T = A, 
 (iv) (AB)T = BTAT. 
 
 Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada A é 
simétrica se A = AT. 
 Exemplo: 
 
 A = é matriz simétrica pois 
 
 
 A = AT . 
 










653
542
321
 Matriz Anti-simétrica: Uma matriz quadrada 
A é anti-simétrica se A = -AT. 
 Exemplo: 
 
 A = é anti-simétrica pois 
 
 
 A = - AT . 












032
301
210
 Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A é 
ortogonal se AAT = I = ATA. 
 
 Exemplo: A = é matriz 
 
 ortogonal pois AAT = I = ATA. 
 De fato, 





 
5/35/4
5/45/3
 
 
A.AT = . = = I 
 
 
 
ATA = . = = I 
 
 
 





 
5/35/4
5/45/3






 5/35/4
5/45/3






10
01






 5/35/4
5/45/3





 
5/35/4
5/45/3






10
01
 Matriz Triangular Superior ( Inferior): Uma 
matriz quadrada A = [aij] que tem os 
elemento aij= 0 , para i > j ( para i < j) , é 
uma matriz triangular superior ( inferior). 
 Uma matriz é dita triangular se ela for 
triangular superior ou inferior. 
 
 
 Exemplo:( Matriz Triangular Superior) 
 
 
 
 A = 
 
 












10000
9800
7650
4321
 Potência de Uma Matriz: Uma matriz 
quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n 
vezes por si mesma. 
 A matriz que resulta dessas operações , 
denotada por An, é chamada potência n da 
matriz A. 
 
 Matriz Periódica: Uma matriz quadrada é dita 
uma matriz periódica se existe n > 1 tal que: 
 An = A. 
 Se p é o menor inteiro maior do que 1 para o 
qual Ap = A, diz-se que o período de A é p-1. 
 Matriz Idempotente: É uma matriz periódica 
em que A2 = A. 
 Exemplo: 
 
A = e 
 
 
 
 A2 = . = 
 
 













455
343
112













455
343
112













455
343
112













455
343
112
 Matriz Nihilpotente: é uma matriz quadrada 
A, em que existe p> 1, tal que Ap = ℴ. Se k é 
o menor inteiro maior que 1 tal que Ak= ℴ, 
diz-se que A é matriz nihilpotente de “índice” 
k. 
 
 Exemplo: ( Matriz Nihilpotente) 
 
 A = e 
 
 
 A2 = . = 













444
333
111













444
333
111













444
333
111










000
000
000