ALA - Aula 3 - Determinantes

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Milene Pimenta 
 A teoria dos determinantes teve origem em 
meados do século XVII, quando eram estudados 
processos para resolução de sistemas lineares de 
equações. Hoje em dia, embora não sejam um 
sistema prático para a resolução de sistemas, os 
determinantes são utilizados, por exemplo, para 
sintetizar certas expressões matemáticas 
complicadas. 
 
 A toda matriz quadrada associa-se um número, 
denominado determinante da matriz, que é 
obtido por meio de operações entre os elementos 
da matriz. 
 
Cálculo dos Determinantes: 
1.Determinantes da matriz de 1ª ordem 
 O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é 
igual ao próprio elemento da matriz . 
 
Ex.: 
 
3
2
3
2

2. Determinantes da matriz de 2ª ordem 
 O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é 
igual diferença entre os produtos dos elementos 
da diagonal principal e da diagonal secundária . 
 Ex.: 
 
5381)]( . 3)[( 4). (2
41
32



3. Determinantes da matriz de 3ª ordem: 
 1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas 
primeiras colunas. 
 2. Multiplicam-se os elementos da diagonal 
principal e, na mesma direção da diagonal 
principal, multiplicam-se os elementos das outras 
duas filas à sua direita. 
 
 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal 
secundária e, na mesma direção, os elementos das 
outras duas filas à sua direita. 
 4. O determinante da matriz é a subtração dos 
produtos obtidos em 2 e 3. 
 
Ex.: 
 

 531
420
321

 31-
20
21
 
531
420
321
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = -4 
- - - + + + 
 Cofator de uma matriz: 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. 
Chama-se cofator de um elemento aij de A ao 
número real Aij = (-1
)i + j . Dij, em que D ij é o 
determinante obtido da matriz A quando se 
eliminam a linha e a coluna em que se encontram 
o elemento aij 
. 
 
 
Ex.: 
 12
A calcule ,
52-4
21-3
021
A Seja 
54
23
.)1(A 2112
 )815( . 1 

A12 = -7
 
 Teorema de Laplace 
 O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, 
é a soma dos produtos dos elementos de uma fila 
qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos 
cofatores. 
 
Ex.: 
 

 5234
2003
3412
1121
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34
 
234
412
121
 . 2
523
341
112
 . 3 

= 

 34
12
21
 
234
412
121
 . 2
23
41
12
 
523
341
112
 . 3
- - - + + + 
3 . (-48) - 2 . (16) = -144 - 32 = -176 
- - - + + + 
 Propriedades dos Determinantes: 
 
 
 OBS: Se liguem, sempre qu e nos referimos a 
filas, estamos faland o de linhas e também d e 
colunas! 
 
 
 P1. Fila Nula 
 Se todos os elementos de uma fila de uma matriz 
A forem nulos, então det A = 0 . 
 Ex.: 
 



6201
0000
4413
5421
 P2. Filas Paralelas, Iguais ou Proporcionais 
 Se duas filas paralelas de uma matriz A forem 
iguais ou proporcionais, então det A = 0 . 
 Ex.: e 
 
 
0
808
545
232


0
504
426
213




P3. Matriz Transposta 
 O determinante de uma matriz é igual ao de sua 
transposta. 
Ex. 
 = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1 
 
 = 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1 
 
843
015
102 
43
15
02
801
410
352
 01
10
52

P4. Teorema de Binet 
 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem 
n, então: 
 
det(A . B) = det A . det B 
 Ex. Sejam 













21
03
B e 
32
14
A


















69
213
21
03
 . 
32
14
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60 
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60 
P5. Matriz Triangular 
 O determinante de uma matriz triangular é igual 
ao produto dos elementos da diagonal principal. 
 
 
Ex.: 
872
019
005

= 5 .1 .8 = 40 
P6. Troca de Filas Paralelas 
 Se trocarmos de posição duas filas paralelas de 
uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, 
tal que: 
 
det M´ = - det M 
Ex. 
22286
27
43

22628
43
27

P7. Produto de uma Fila por uma Constante 
 Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, 
forem multiplicados por um mesmo número real 
k, o determinante da matriz assim obtida fica 
multiplicado por k. 
 
Ex.: 
 
511
430
291
 11
30
91

= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11 
 
531
490
2271



31
90
271


 = -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33 
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos: 
 Consequência: 
 Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número 
real, temos: 
 
det (k . A) = kn . det A 
P8. Determinante da Matria Inversa 
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então: 
 
A det
1
A det 1- 
Ex.: 
 
523
12
13
A det 


5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A det 1- 


P9. Adição de Determinantes 
 Um determinante pode ser decomposto na soma 
de outros determinantes, iguais aos primeiros, 
exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a 
soma das colunas j destes determinantes, seja 
igual a coluna j do primeiro determinante. 
 
Ex.: 






 623
130
022
603
130
012
643
110
052
623
110
042

P10. Teorema de Jacobi 
 Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de 
ordem n, uma outra fila paralela, previamente 
multiplicada por uma constante, obteremos uma 
nova matriz M´, tal que: 
 
 
det M´ = det M 
Ex.: 
614
724
531

-3 
6114
7104
501


Regra de Chió 
 A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo 
do determinantes de ordem n  2. Dada uma 
matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra 
obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, 
cujo determinante é igual ao de A. 
 
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 
(um), eliminamos a linha e a coluna deste 
elemento. 
 2. Subtraímos de cada elemento restante o 
produto dos dois elementos eliminados, que 
pertenciam à sua linha e à sua coluna. 
 3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i 
+ j, em que i e j representam a linha e a coluna 
retiradas. 
 
Ex.: 
 
512
302
131 

)1.(253.21
)1.(233.20



75
56



2542

-17