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Milene Pimenta As transformações lineares T:VV de um espaço sobre si mesmo são chamadas de Operadores Lineares. Operadores Inversíveis: Quando o operador linear T admite a inversa T-1, diz-se que T é inversível, invertível, regular ou não-singular. Os seguintes operadores lineares não são inversíveis: 1) T(x,y) = (x+3y, 5x + 15y) 2) T(x,y, z) = ( x – y, x – 3z, x -2y +3z) 3) T(x,y,z) = ( x+ 3y + z, x – 2y-2z, 2x+y-z) Propriedades: 1)T o T -1 = Id 2)T é inversível N(T) = {0} 3)Se T é inversível, T transforma base em base. 4)T é inversível det(T) 0 Mudança de Base: Sejam A={u1,...,un } e B={v1,...,vn }, respectivamente, bases do espaço vetorial V. Dado um vetor v V, podemos escrevê-lo do seguinte modo na base A: V = x1u1 + x2u2 + ... + xnun Analogamente, podemos escrever v na base B, da seguinte forma: v = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn Como {v1,...,vn} é uma base de V, podemos escrever cada vetor ui como combinação linear dos vj, do seguinte modo: u1=a11 v1 + a21 v2 +...+ ai1 vi +...+ an1 vn u2=a12 v1 + a22 v2 +...+ ai1 vi +...+ an2 vn ... uj=a1j v1 + a2j v2 +...+ aij vi +...+ anj vn ... un=a1n v1 + a2n v2 +...+ ain vi +...+ ann vn A matriz mudança de base A para B é a seguinte matriz: nnnn n n A B aaa aaa aaa I ... ................. ... ... 21 22221 11211 OBS: 1) 2) A matriz é também conhecida como matriz de transição de A para B e corresponde a matriz do operador linear identidade. nk k k Bk a a a u ... 2 1 ABI Matrizes Semelhantes: Seja T :V V um operador linear. As matrizes [T]A e [T]B são chamadas matrizes semelhantes por representarem o mesmo operador linear em bases distintas. Relação entre Matrizes Semelhantes: Seja T: V V um operador linear e A e B bases de V. Então : Se M = OBS: Matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante. BAABAB ITIT 1 MTMTI AB B A 1 Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A é ortogonal se e somente se A-1 = At . Propriedades: a) Se A é uma matriz ortogonal então detA = 1. b) Se A é uma matriz ortogonal e det A = 1 então A é uma matriz rotação. c) Uma matriz A é ortogonal sse as colunas(ou linhas) de A são vetores ortonormais. Operador Ortogonal: Seja T: V V um operador linear e B uma base ortonormal de V. T é ortogonal se e somente se [T]B é uma matriz ortogonal. Exemplo: O operador linear: T( x, y) = (3x/5 + 4y/5, -4x/5 + 3y/5) é operador ortogonal. Propriedades: Seja T: V V um operador linear ortogonal. a) T preserva o produto escalar, isto é, u.v = T(u).T(v), u,v V. b) T preserva o módulo de cada vetor, isto é,| T(u) |=| u |, uV . Conseqüência: T preserva o ângulo dos vetores e T transforma bases ortonormais em bases ortonormais Operador Linear Simétrico: Seja T: V V um operador linear e B uma base ortonormal de V. T é um operador linear simétrico se e somente se [T]B é uma matriz simétrica. Propriedade: Se T: V V um operador linear simétrico então u.T(v) = v.T(u), u,v V .
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