ALA - Aula 23 - Autovalores e Autovetores

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Autovalores e Autovetores 
Milene Pimenta 
Autovalores e autovetores: 
Introdução 
Polinômio característico 
Métodos iterativos para cálculo de autovalores 
Uma aplicação de autovalores 
Introdução 
• Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem-se 
uma equação do tipo: 
 
onde A é uma matriz nxn, x um vetor nx1 e  um número real. 
• Exemplo: 
1) 2) 
 
 
 
Vamos investigar este fenômeno de forma mais geral. 
xAx 


















6,0
4,0
6,0
4,0
8,03,0
2,07,0































1
6
18
5,1
1
6
18
025,00
005,0
340
Definições: 
1. Considere A uma matriz nxn. Um escalar  é chamado de 
autovalor de A, se existe um vetor não nulo x tal que Ax = 
x. Tal vetor é chamado de autovetor de A. 
2. Dados uma matriz A de ordem n e  um autovalor de A, 
chamamos de auto-espaço de A a coleção de autovetores 
correspondentes a cada  acrescida do vetor nulo. 
Exemplos: 
1) Mostre que (1,1) é autovetor de A, onde 
e obtenha o autovalor correspondente. 
2) Mostre que 5 é autovalor de 
 
 
3) Encontre, geometricamente, os autovetores de 







31
13
A






34
21






10
01
Polinômio característico 
Agora que já vimos algumas aplicações dos 
determinantes, vamos utilizá-lo para mais uma 
aplicação. 
Definições: 
1. Seja A uma matriz de ordem n, denominamos 
polinômio característico de A, o polinômio P() 
obtido pelo cálculo de: P() = det(A- I). 
2. A equação P() = 0 é denominada equação 
característica de A. 
3. Os autovalores de uma matriz A são 
precisamente as soluções  da equação 
característica. 
Polinômio Característico 
Assim, dada a matriz A temos o seguinte 
algoritmo: 
1) Encontrar o polinômio característico de A; 
2) encontrar os autovalores de A através de sua 
equação característica; 
3) para cada autovalor encontrar o subespaço 
anulado por A - I, esse é o auto-subespaço 
associado ao autovalor  i , denominado E, 
formado pelos autovetores de A; 
4) Encontre uma base para cada auto-
subespaço. 
 
Multiplicidade do autovalor: 
Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor: 
1. A multiplicidade algébrica é dada pela sua multiplicidade 
como raiz da equação característica. 
2. A multiplicidade geométrica é dada pela dimensão de 
seu auto-subespaço. 
Exemplo: 
Encontre as multiplicidades algébrica e geométrica dos 
autovalores da matriz A, dada por: 












452
100
010
A
Propriedades 
 Se v é autovetor associado ao autovalor  de um 
operador linear T, o vetor , para qualquer 0 é 
também autovetor de T associado ao mesmo . 
 
 Se  é um autovalor de um operador linear T:V  V, o 
conjunto S de todos os vetores v, inclusive o vetor nulo, 
associados ao autovalor , é subespaço vetorial de V. 
 
 Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio 
característico e, por isso, os mesmos autovalores. 
Semelhança e Diagonalização : 
Introdução 
Definições e teoremas 
Base de autovetores 
Polinômio minimal 
Exemplos e exercícios 
Introdução 
• Muitos problemas que envolvem o cálculo de autovalores, se tornam 
bem simples quando temos matrizes triangulares ou diagonais. 
• Nesses casos os autovalores aparecem de forma evidente. 
• Seria interessante, portanto, obter uma transformação para uma 
matriz qualquer, de forma a obter outra que seja diagonal e que 
preserve os autovalores. 
• Exemplos: 
1) 2) 
 
 
 
 
Vamos investigar este fenômeno de forma mais criteriosa. 












5,00
00,1
8,03,0
2,07,0





























4
53
00
0
4
53
0
00
2
3
025,00
005,0
340
Definição: 
1. Sejam A e B matrizes nxn. Dizemos que A é 
semelhante a B se existir uma matriz nxn 
inversível P tal que P-1AP = B. Se A é 
semelhante a B, escrevemos A ~ B. 
Observações 
i. Se A ~ B, podemos escrever também A = PBP-1 
ou AP = PB. 
ii. Semelhança é uma relação entre matrizes 
quadradas, que implica um sentido. Assim como a 
≤ b não implica necessariamente que b ≤ a, não 
devemos assumir que A ~ B implique B ~ A. 
iii. A matriz P depende de A e de B. Ela não é única 
para um par de matrizes semelhantes A e B. Para 
comprovar isto basta tomar A=B=I, caso em que I 
~ I, já que P-1I P = I, para qualquer matriz 
inversível P. 
 
Exemplo 










 












 






















12
01
11
11
11
13
11
11
10
21
12
01
;
10
21
BA
Exemplo: Dadas A e B, abaixo. A ~ B, 
pois: 
Teorema 
1. Sejam A, B e C matrizes nxn. 
a) A ~ A. 
b) Se A ~ B, então B ~ A. 
c) Se A ~ B e B ~ C, então A ~ C. 
Observação: 
Toda relação que satisfaz as três propriedades 
acima é dita relação de equivalência 
Teorema 
2. Sejam A e B matrizes nxn com A ~B. Então: 
a) det A = det B; 
b) A é inversível  B for inversível; 
c) A e B têm o mesmo posto; 
d) A e B têm o mesmo polinômio 
característico; 
e) A e B têm os mesmos autovalores. 
 
Exemplo 
1 2 1 0
 e não são semelhantes, já que det( ) -3 mas det( ) -1
2 1 2 1
A B A B
   
      
    
Definição: 
2. Uma matriz A nxn é diagonalizável se existe uma matriz 
diagonal D, tal que A é semelhante a D, ou seja, se existe 
uma matriz P nxn inversível tal que P-1AP = D. 
Exemplo: 
Considere a matriz A, a seguir. Esta matriz é diagonalizável, pois: 









































10
04
21
31
22
31
5
1
5
1
5
3
5
2
21
31
;
22
31
PA
Teorema: 
3. Seja A uma matriz nxn. Então A é diagonalizável se, e somente se, 
tiver n autovetores linearmente independentes. Mais precisamente, 
existem uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D de 
maneira que P-1AP = D se, e somente se, as colunas de P forem n 
autovetores de A, linearmente independentes, e os elementos da 
diagonal de D forem os autovalores correspondentes àqueles, 
colocados na mesma ordem. 
Exemplo: Se possível, determine a matriz P que diagonaliza A, a seguir. 
 
 
 
 
A tem os seguintes autovalores 1 = 2 = 1 e 3 = 2; cujas bases 
E1= {(x,x,x), x ℝ } e E2 = {(x,0,0), xℝ}. Como não existem três vetores 
LI, A não é disagonalizável. 
 
 
 
 
 ;
452
100
010











A
Teoremas: 
4. Seja A uma matriz nxn e sejam 1 2 , ... , k autovalores distintos 
de A. Se Bi é uma base do auto-espaço Ei, então B = B1  B2  
...  Bk, (isto é, a coleção completa dos vetores das bases de 
todos os auto-espaços) é linearmente independente. 
5. Se A é uma matriz nxn com n autovalores distintos entre si, 
então A é diagonalizável. 
Exemplo: tem autovalores: 
 
 
1 = 5, 2 = 2 e 3 = -1. Como esses são 3 autovalores distintos de 
uma matriz 3x3, A é diagonalizável pelo teorema 5. 













100
150
732
A
Teorema da diagonalização: 
Lema: Seja A uma matriz nxn, entãoa multiplicidade geométrica de cada 
autovalor é menor ou igual à sua multiplicidade algébrica. 
6. Seja A uma matriz nxn com autovalores distintos 1 2 , ... , k. Os 
seguintes enunciados são equivalentes: 
a) A é diagonalizável; 
b) A união B das bases dos auto-espaços de A contém n vetores; 
c) A multiplicidade algébrica de cada autovetor é igual a sua 
multiplicidade geométrica. 
Exemplos: tem autovalores 1 = 2 = 1 e 3 = 2. 
 
 
 
Como o autovalor 1 = 1 tem multiplicidade algébrica 2 e sua 
multiplicidade geométrica é igual a 1, A não é diagonalizável pelo 
teorema 6. 












452
100
010
A
Propriedades 
 Autovetores associados a autovalores 
distintos de um operador linear T:VV são 
linearmente independentes. 
 A matriz quadrada A é diagonalizável se 
existe uma matriz inversível P tal que P-1AP 
seja diagonal. Neste caso, P é denominada 
de matriz diagonalizadora. 
 
Observação 
 Um operador linear T:V  V é diagonalizável 
se existe uma base de V formada por 
autovetores de T. 
Diagonalização de Matrizes Semelhantes 
 A equação característica de uma matriz 
simétrica tem apenas raízes reais. 
 Se T:V  V é um operador linear simétrico 
com autovalores distintos, então os 
autovetores são ortogonais. 
 Os autovetores ortonormais de P formam 
uma matriz ortogonal e D = PtTP e diz-se que 
P diagonaliza T ortogonalmente. 
Exercício: 
1. Calcule A10, onde . 
Solução: 
Essa matriz tem autovalores 1 = -1 e 2 = 2, com autovetores 
correspondentes a v1 = [1 -1]
T e v2 = [1 2]
T. Daí, segue pelo teorema 6, 
que A é diagonalizável e P-1AP = D, onde 
 
 e 
 
Assim, isolando A, temos A = PDP-1, o que torna mais fácil obter a 
potência desejada de A, pois 
A2 = (PDP-1)(PDP-1) = PD(P-1P)DP-1 = PDIDP-1 = PD2P-1 e, em geral, 
An = PDnP-1 para todo n  1. Daí, A10 = PD10P-1 = 
 







12
10
A
  







21
11
21 vvP







20
01
D
10 2 1
1 1 1 0 342 3413 3
1 2 0 2 1 1 682 683
3 3
                     
 
Lista de exercícios: 
1. Mostre que as matrizes a seguir não são semelhantes. 
a) b) c) 
 
 
2. Dada a diagonalização da matriz A na forma P-1AP = D. Explicite os 
autovalores de A e bases para os correspondentes auto-
subespaços. 
a) b) 
 
 
 
3. Determine se A é diagonalizável e, quando for, encontre uma matriz P 
tal que 
 P-1AP = D. 
a) b) c) d) 
 
 
4. Calcule a potência da matriz indicada a seguir, usando o processo de 
diagonalização. 
 













10
01
 e 
13
14
BA
















64
12
 e 
75
13
BA






















432
041
001
 e
400
320
412
BA

















 








30
04
21
11
22
15
 
11
12














































200
020
006
113
012
103
133
202
331
8
3
8
3
8
5
4
1
4
3
4
1
8
1
8
1
8
1









11
43
A 










011
110
101
A











011
101
121
A















2000
0200
0020
4002
A
8
21
30






A