AP2 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2017.1 [gabarito]

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AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2017-1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial-
mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o
em uma etiqueta.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado
para este fim.
4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per-
mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-
las de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 28/05/2017
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a seguir.)
Considere a inequac¸a˜o
|x + 1| > |x− 3|.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Reescreva a frase abaixo no caderno de respostas, preenchendo as lacunas
com nu´meros e/ou relac¸o˜es de ordem (maior, menor, maior ou igual, menor ou igual), para obter a
interpretac¸a˜o geome´trica correta da inequac¸a˜o dada:
“O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja distaˆncia
ao ponto e´ a` distaˆncia ao ponto .”
Soluc¸a˜o: O mo´dulo |x − a| representa, geometricamente, a distaˆncia entre os pontos x e a a da
reta. Assim, a interpretac¸a˜o geome´trica correta da inequac¸a˜o |x+1| > |x−3|, que pode ser reescrita
como e´ |x− (−1)| > |x− 3|:
“O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja distaˆncia
ao ponto −1 e´ maior ou igual a` distaˆncia ao ponto 3.”
ou, equivalentemente,
“O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja distaˆncia
ao ponto 3 e´ menor ou igual a` distaˆncia ao ponto −1.”
Questa˜o 2 (1.0 pt) A partir da interpretac¸a˜o geome´trica acima da questa˜o 1, deˆ, na forma de
intervalo ou de unia˜o de intervalos, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Pela questa˜o 1, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o consiste dos pontos mais pro´ximos de 3 do que de
−1, ou situados a` mesma distaˆncia, representados abaixo:
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Repare que o ponto que esta´ a` mesma distaˆncia de −1 e 3 e´ dado por (−1) + 32 = 1. Este ponto
pertence a` soluc¸a˜o, pois sua distaˆncia a −1 e´ igual a` distaˆncia ao 3, isto e´, |1− (−1)| = |1− 3|.
Temos como conjunto-soluc¸a˜o, portanto, o intervalo [1,+∞).
Questa˜o 3 (2.0 pt) Uma func¸a˜o f e´ definida pela expressa˜o abaixo, no maior dom´ınio onde ela
pode ser avaliada.
f(x) =
√
−x2 − 4x− 3.
Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o: Na expressa˜o de f , como extra´ımos a raiz quadrada do polinoˆmio −x2− 4x− 3, e´ preciso
que este polinoˆmio seja maior ou igual a zero para que esta raiz quadrada esteja definida. Por
Bhaskara, vemos que as ra´ızes dele sa˜o −3 e −1. Desta forma, o polinoˆmio −x2 − 4x− 3 pode ser
fatorado como,
−x2 − 4x− 3 = − (x + 3) (x + 1) .
Estudando os sinais dos dois fatores, temos
(−∞,−3) −3 (−3,−1) −1 (−1,+∞)
x + 3 − 0 + + +
x + 1 − − − 0 +
(x + 3)(x + 1) + 0 − 0 +
−(x + 3)(x + 1) − 0 + 0 −
Assim,
−x2 − 4x− 3 > 0⇔ −(x + 3)(x + 1) > 0⇔ x ∈ [−3,−1].
Logo, o dom´ınio de f e´ o conjunto [−3,−1].
Questa˜o 4 (2.0 pt) Em um plano cartesiano, represente o conjunto C dos pontos (x, y) que
satisfazem ao sistema 
2 6 x 6 4
1 < y < 4
x + y = 5.
Lembre-se de que um ponto (x, y) estara´ em C se, e somente se, satisfizer todas as equac¸o˜es e
inequac¸o˜es acima simultaneamente.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o: A desigualdade 2 6 x 6 4 representa a regia˜o esboc¸ada abaixo:
A desigualdade 1 < y < 4 representa a regia˜o esboc¸ada abaixo:
A igualdade x + y = 5 representa uma reta. Para esboc¸a´-la, vamos determinar dois de seus pontos.
Fazendo x = 2, temos
2 + y = 5 ∴ y = 5− 2 = 3.
Fazendo x = 4, temos
4 + y = 5 ∴ y = 5− 4 = 1.
Assim, os pontos (2, 3) e (4, 1) esta˜o na reta. A reta enta˜o pode ser esboc¸ada como abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Esboc¸ando as treˆs condic¸o˜es, temos
Os pontos que satisfazem a`s treˆs condic¸o˜es simultaneamente sa˜o enta˜o
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 5P2 − 5,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Quais sa˜o os prec¸os ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda
pelo mesmo)? E qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
Soluc¸a˜o: Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo
mesmo, verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0
⇔ P 2 − 4P − 5 = 0
⇔ P = −1 ou P = 5.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5. Assim, o prec¸o ma´ximo do produto e´ R$5,00.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 5P2 − 5 = 0
⇔ 5P2 = 5
⇔ P = 5 · 25 = 2.
Assim, o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$2,00.
Questa˜o 6 (1.5 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da de-
manda e da oferta referentes a este prec¸o?
Soluc¸a˜o: Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
D(x) = Q(x) ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 5P2 − 5
⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0
⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0
⇔ P = −(−3)±
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−20)
2 · 2
⇔ P = 3±
√
169
4 =
3± 13
4
⇔ P = 4 ou P = −104 .
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4. Assim, o prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$ 4,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este prec¸o e´ de D(P ) = Q(P ) = 5·42 − 5 = 5, isto e´, 5
milho˜es de unidades.
Questa˜o 7 (1.5 pt) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto,
destacando os pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto
de demanda ma´xima.
Soluc¸a˜o: Ja´ vimos, na questa˜o anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 5. Repare que
o ponto de equil´ıbrio sera´ enta˜o (4, 5).
O gra´fico da func¸a˜o oferta Q e´ uma reta, pois ela e´ uma func¸a˜o de polinomial 1o grau. E, como ja´
conhecemos dois de seus pontos (2, 0) e (4, 5), podemos esboc¸ar a reta.
O gra´fico da func¸a˜o demanda D e´ uma para´bola. Ja´ conhecemos as duas ra´ızes −1 e 5. O ve´rtice
(xv, yv) desta para´bola representa o ponto de demanda ma´xima, e suas coordenadas sa˜o dadas por
xv = − b2a = −
4
2 · (−1) = 2
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
yv = −∆4a = −
42 − 4 · (−1) · 5
4 · (−1) = −
36
−4 = 9.
Assim, o ve´rtice e´ o ponto (2, 9).
Esboc¸ando as func¸o˜es, temos
Mas ja´ vimos que os prec¸os para os quais ha´ demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim,
podemos esboc¸ar o gra´fico das func¸o˜es apenas para estes valores de P , como abaixo:
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RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.