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Módulo III Geometria Analítica Paulo Alexandre Araújo Sousa PRESIDENTE DA REP ´UBLICA Luiz Ina´cio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAC¸ ˜AO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAU´I Luiz de Sousa Santos Ju´nior SECRET ´ARIO DE EDUCAC¸ ˜AO `A DIST ˆANCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa SECRET ´ARIO DE EDUCAC¸ ˜AO DO ESTADO DO PIAU´I Antonio Jose´ Medeiros COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAC¸ ˜AO ABERTA `A DIST ˆANCIA DA UFPI Gilda´sio Guedes Fernandes SUPERINTENDENTE DE EDUCAC¸ ˜AO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonc¸a DIRETOR DO CENTRO DE CI ˆENCIAS DA NATUREZA Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO DE MATEM ´ATICA `A DIST ˆANCIA Joa˜o Benı´cio de Melo Neto COODENADORA DE MATERIAL DID ´ATICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira APRESENTAC¸ ˜AO Este texto e´ destinado aos estudantes aprendizes que participam do programa de Educac¸a˜o a` Distaˆncia da Universidade Aberta do Piauı´ (UAPI), vinculada ao conso´rcio formado pela Universidade Federal do Piauı´ (UFPI), Universidade Estadual do Piauı´ (UESPI) e Centro Fede- ral de Ensino Tecnolo´gico do Piauı´ (CEFET-PI), com apoio do Governo do estado do Piauı´, atrave´s da Secretaria de Educac¸a˜o. O texto e´ composto de quatro unidades, contendo itens e subitens, que discorrem sobre: Geometria Analı´tica do Plano e do Espac¸o Eu- clidiano tridimensional, Secc¸o˜es Coˆnicas e Superfı´cies Qua´dricas. Na unidade 1, introduzimos um sistema de coordenadas carte- sianas em um plano qualquer, mostrando a importaˆncia deste con- ceito. Como consequeˆncia disto, podemos estudar geometria utilizan- do me´todos alge´bricos - donde surge o conceito de Geometria Analı´ti- ca. Apresentamos o conceito de vetor e as operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetor e multiplicac¸a˜o de vetor por escalar, com as suas principais pro- priedades e consequeˆncias. Finalizamos a unidade mostrando ao leitor uma aplicac¸a˜o do con- teu´do trabalhado. Na unidade 2, apresentamos a definic¸a˜o geome´trica de coˆnicas e obtemos equac¸o˜es analı´ticas que as representam. As equac¸o˜es obtidas sa˜o equac¸o˜es do segundo grau a duas varia´veis. Enta˜o, surge o questionamento: qual coˆnica uma equac¸a˜o (geral) do segundo grau 2 3 a duas varia´veis representa? Nesta unidade, tambe´m apresentamos ferramentas necessa´rias para respondermos a esta pergunta. Finalizamos a unidade mostrando ao leitor situac¸o˜es cotidianas onde as coˆnicas - elipse, para´bola e hipe´rbole - aparecem natural- mente. Na unidade 3, introduzimos a Geometria Analı´tica no espac¸o, sem- pre fazendo uso da intuic¸a˜o geome´trica que temos sobre o espac¸o que nos rodeia, o que nos possibilita uma interpretac¸a˜o geome´trica dos sistemas lineares 3× 3 - as inco´gnitas x, y, z sa˜o as coordenadas de um ponto no espac¸o de treˆs dimenso˜es e cada uma das equac¸o˜es representa um plano nesse espac¸o. Concluı´mos a unidade mostrando, por meio de um exemplo, onde aplicamos a teoria estudada no nosso dia a dia. Na unidade 4, introduzimos a definic¸a˜o alge´brica das superfı´cies qua´dricas, fazendo uso de equac¸o˜es do segundo grau a treˆs varia´veis, e apresentamos as ferramentas necessa´rias para identificarmos que superfı´cie qua´drica uma equac¸a˜o do segundo grau a treˆs varia´veis representa. Para alcanc¸armos nosso objetivo, ou seja, identificarmos as qua´dri- cas, utilizamos o Teorema Espectral - Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas. 4 SUM ´ARIO GERAL UNIDADE - 1: O plano (1.1) Introduc¸a˜o (1.2) Sistema de coordenadas (1.3) Distaˆncia entre pontos (1.4) Operac¸o˜es com vetores (1.5) Produto interno e aˆngulo entre vetores (1.6) Equac¸a˜o da reta (1.7) Aplicac¸a˜o (1.8) Nota histo´rica (1.9) Exercı´cios resolvidos (1.10) Exercı´cios propostos (1.11) Refereˆncias Bibliogra´ficas UNIDADE - 2: Coˆnicas (2.1) Introduc¸a˜o (2.2) Circunfereˆncia (2.3) Para´bola (2.4) Elipse (2.5) Hipe´rbole (2.6) Rotac¸a˜o de um conjunto (2.7) Aplicac¸a˜o (2.8) Nota histo´rica 5 (2.9) Exercı´cios resolvidos (2.10) Exercı´cios propostos (2.11) Refereˆncias Bibliogra´ficas UNIDADE - 3: O espac¸o (3.1) Introduc¸a˜o (3.2) Sistema de coordenadas no espac¸o (3.3) Distaˆncia entre pontos no espac¸o (3.4) Vetores no espac¸o (3.5) Produto vetorial (3.6) Equac¸a˜o do plano (3.7) Distaˆncia de um ponto a um plano (3.8) Retas reversas (3.9) Aplicac¸a˜o (3.10) Exercı´cios resolvidos (3.11) Exercı´cios propostos (3.12) Refereˆncias Bibliogra´ficas UNIDADE - 4: Qua´dricas centrais (4.1) Introduc¸a˜o (4.2) Equac¸o˜es padra˜o (4.3) Autovalores e autovetores (4.4) Conjunto ortonormal (4.5) Identificac¸a˜o de uma qua´drica central Unidade 1 A sociologia e a Sociologia da Educação A sociologia e a Sociologia da Educação Unidade 1 Resumo Nesta unidade, introduzimos um sistema de coordenadas cartesianas em um plano qualquer, mostrando a importância deste conceito. Como consequência disto, podemos estudar geometria utilizando métodos algébricos - donde surge o conceito de Geometria Analítica. Apresentamos o conceito de vetor e as operações de adição de vetor e multiplicação de vetor por escalar, com as suas principais propriedades e consequências. Finalizamos a unidade mostrando ao leitor uma aplicação do conteúdo trabalhado. O Plano Unidade 1 6 (4.6) Equac¸a˜o geral do segundo grau (4.7) Nota histo´rica (4.8) Exercı´cios resolvidos (4.9) Exercı´cios propostos (4.10) Refereˆncias Bibliogra´ficas SUM ´ARIO (1.1) Introduc¸a˜o (1.2) Sistema de coordenadas (1.3) Distaˆncia entre pontos (1.4) Operac¸o˜es com vetores (1.5) Produto interno e aˆngulo entre vetores (1.6) Equac¸a˜o da reta (1.7) Aplicac¸a˜o (1.8) Nota histo´rica (1.9) Exercı´cios resolvidos (1.10) Exercı´cios propostos (1.11) Refereˆncias Bibliogra´ficas 1. O plano 1.1 Introduc¸a˜o Rene´ Descartes, matema´tico e filo´sofo, nasceu em La Have, Franc¸a, em 31 de marc¸o de 1596. Morreu em Estolcomo, em 1◦ de fevereiro de 1650. ´E considerado um dos fundadores da filosofia mo- derna. Uma de suas contribuic¸o˜es a` matema´tica foi estabelecer uma corres- pondeˆncia biunı´voca entre os pontos de um plano e pares de nu´meros reais, dando assim origem a` geometria analı´tica. Tal mate´ria tem como objetivo estudar geometria por me´todos alge´bricos. Tambe´m, grac¸as a essa grande ide´ia, e´ que podemos, por exemplo, interpretar o comportamento de uma func¸a˜o atrave´s de seu gra´fico que e´ desenhado num sistema de coordenadas cartesianas. O termo ”cartesianas” nada mais e´ do que uma homenagem a seu criador. Neste capı´tulo descreveremos o me´todo desenvolvido por Rene´ Descartes. Para isto, admitiremos que o leitor esteja familiarizado com as propriedades do conjunto dos nu´meros reais, bem como, com os resultados ba´sico de geometria euclidiana plana. 1.2 Sistema de coordenadas Ha´ um princı´pio da geometria euclidiana plana que afirma: “Fixada uma reta r, cada ponto de r corresponde a um u´nico nu´me- ro real e cada nu´mero real corresponde a um u´nico ponto da reta r”. 9 10 Esta correspondeˆncia biunı´voca entre os pontos de uma reta e os nu´meros reais e´ chamada de um sistema de coordenadas cartesianas para a reta. O ponto cuja coordenada e´ zero e´ chamado de origem do sistema. + + + + + ... −2 −1 0 1 2 ... Figura 1.1: Reta orientada Usualmente, a reta orientada e´ representada por uma reta horizontal com a orientac¸a˜o no sentido da esquerda para a direita. Definic¸a˜o 1.2.1. Sejam A e B dois pontos de uma reta, e, a e b suas respectivas coordenadas. Definimosa distaˆncia de A a B, denotada por d(A,B), como sendo |a− b|. Outro princı´pio da geometria euclidiana plana diz que: “Dada uma reta r e um ponto P ∈ r, sempre podemos escolher um sistema de coordenadas para r de tal modo que a coordenada do ponto P seja zero”. Usaremos a existeˆncia de um sistema de coordenadas para uma reta e introduziremos coordenadas em um plano. Considere um plano pi. Neste plano, escolhemos um ponto qual- quer. Denotemo-lo por O. Passando em O, consideremos duas retas perpendiculares e em cada uma delas um sistema de coordenadas de tal modo que O seja origem em ambos. Chamaremos uma dessas retas de eixo horizontal e a outra de eixo vertical. Figura 1.2: Eixos orientados 11 A partir dessas duas retas e de O, estabeleceremos um sistema de coordenadas para pi. Colocaremos pi em correspondeˆncia biunı´voca com o conjunto R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} da seguinte maneira: de cada P ∈ pi tracemos perpendiculares aos eixos horizontal e vertical. Essa perpendiculares encontrara˜o os eixos em pontos cujas coordenadas sa˜o, digamos, respectivamente, x e y. Associamos o ponto P ao par ordenado (x, y). x P ....................... y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 1.3: Ponto no plano Chamaremos a componente x do par (x, y) de abscissa de P , e a componente y do par chamaremos de ordenada. Essas componentes tambe´m sera˜o chamadas de coordenadas de P . A correspondeˆncia inversa de P → (x, y) e´ a seguinte: dado o par (x, y), consideremos no eixo horizontal o ponto cuja coordenada e´ x e no eixo vertical o ponto cuja coordenada e´ y. Por cada um desses pontos conduzimos a perpendicular ao eixo. Essas perpendiculares cruzar-se-a˜o num ponto P . Associamos o par (x, y) ao ponto P . Esta e´ a correspondeˆncia inversa. Saiba mais sobre correspondeˆncia bi- unı´voca no sı´tio: www.ptmat.fc.ul.pt/ ∼lsequeir/tmf/ teoricas/Fev18.pdf A correspondeˆncia biunı´voca que acabamos de descrever chama- se sistema de coordenadas cartesianas para o plano pi. Usaremos a notac¸a˜o P = (x, y) para simbolizar que o ponto P tem coordenadas (x, y). Comumente, o eixo horizontal tambe´m e´ chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo x, e o eixo vertical e´ chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo y. ´E tambe´m comum chamar o sistema de coordenadas acima descrito de sistema de coordenadas 12 xy e o plano de plano xy. Dado um sistema de coordenadas xy num plano, chamaremos de 1◦ quadrante a regia˜o do plano formada pelos pontos cuja abscissa e a ordenada sa˜o na˜o negativas; de 2◦ quadrante a regia˜o formada pelos pontos cuja abscissa e´ na˜o positiva e a ordenada e´ na˜o negativa; de 3◦ quadrante a regia˜o formada pelos pontos cuja abscissa e a ordenada sa˜o na˜o positivas; e, de 4◦ quadrante a regia˜o formada pelos pontos cuja abscissa e´ na˜o negativa e a ordenada e´ na˜o positiva. 1°quadrante2° quadrante 3° quadrante 4° quadrante Figura 1.4: Quadrantes do plano Dizemos que os quadrantes 1◦ e 2◦ sa˜o opostos, respectivamente, aos quadrantes 3◦ e 4◦. E os conjuntos definidos como {(x, y) : x = y} e {(x, y) : y = −x} sa˜o as bissetrizes, respectivamente, dos quadran- tes ı´mpares e pares. So´ para enfatizar, o primeiro quadrante e´ oposto ao ter- ceiro e o segundo, e´ oposto ao quarto quadrante. O emprego de coordenadas no plano serve a dois propo´sitos. O primeiro e´ atribuir um significado geome´trico a fatos de natureza nume´- rica; o segundo propo´sito e´ recorrer a tais coordenadas para resolver problemas de geometria. 1.3 Distaˆncia entre pontos Sejam (a1, a2) e (b1, b2), respectivamente, as coordenadas de dois pontos A e B de um plano. Determinaremos a distaˆncia de A a B em termos de suas coordenadas. 13 A B C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. .............................................. Figura 1.5: Distaˆncia entre pontos Seja C o ponto de coordenadas (b1, a2). Usando a definic¸a˜o de distaˆncia entre pontos de uma reta temos que: d(A,C) = |a1 − b1| e d(B,C) = |a2 − b2|. Ale´m disso, o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em C. Utilizando o Teorema de Pita´goras, podemos concluir que d(A,B) = √ (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2. Exemplo 1.3.1. Calculemos a distaˆncia entre os pontos A = (1, 2) e B = (−3, 5). Observe que, d(A,B) = √ (1− (−3))2 + (2− 5)2 = √ (1 + 3)2 + (−3)2 = √ 16 + 9 = 5. Exemplo 1.3.2. Dados os pontos A = (4, 5), B = (−2, 8) e C = (5, 7), veja que o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo e seus catetos sa˜o AB e AC. De fato, um ca´lculo simples mostra que d(A,B) = √ 45, d(A,C) = √ 5 e d(B,C) = √ 50. Portanto, d2(A,B) + d2(A,C) = d2(B,C). Ou seja, o triaˆngulo ABC satisfaz o Teorema de Pita´goras, logo e´ retaˆngulo. Voceˆ lembra o enunciado do Teo- rema de Pita´goras? Qual e´? Definic¸a˜o 1.3.1. O comprimento do segmento de extremidades A e B e´ definido como a distaˆncia de A a B. Definic¸a˜o 1.3.2. Chamamos de ponto me´dio do segmento AB o ponto M deste segmento tal que d(A,M) = d(M,B). Proposic¸a˜o 1.3.3. O ponto me´dio do segmento de reta cujas extremi- dades sa˜o os pontos A = (a1, a2) e B = (b1, b2) e´ o ponto M = (a1 + b1 2 , a2 + b2 2 ) . 14 Demonstrac¸a˜o. Um ca´lculo simples mostra que d(A,M) = d(M,B), o que significa que M e´ o ponto me´dio de AB. 1.4 Operac¸o˜es com vetores Dados A,B ∈ R2, chama-se vetor com ponto inicial em A e ponto final em B, denotado por −→AB, o segmento orientado no sentido de A para B. Veja sua representac¸a˜o geome´trica: A B Figura 1.6: Vetor Dado um par ordenado (x1, x2). Ale´m de ser interpretado como as coordenadas de um ponto do plano, ele tambe´m pode ser visto como um vetor cujo ponto inicial e´ a origem do sistema de coordenadas e o ponto final e´ o ponto do plano correspondente a tais coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y ................................. Figura 1.7: Coordenadas de um vetor Quando (x1, x2) = (0, 0), estamos considerando um vetor “degene- rado”, isto e´, o vetor cujo ponto final coincide com o ponto inicial. Definic¸a˜o 1.4.1. Sejam A = (a1, a2) e B = (b1, b2) vetores de R2. Definimos a soma de A com B como sendo A+B = (a1 + b1, a2 + b2). 15 Sabendo que cada coordenada do vetor A + B e´ a soma das co- ordenadas correspondentes de A e B, e´ fa´cil deduzir as propriedades formais da adic¸a˜o de vetores a partir de suas ana´logas para adic¸a˜o de nu´meros reais. Tem-se assim, para quaisquer A,B,C ∈ R2 : 1. (Associatividade) A + (B + C) = (A+B) + C; 2. (Comutatividade) A +B = B + A; 3. (Elemento Neutro) Usando a notac¸a˜o O = (0, 0), obtemos que A + O = A, para todo A ∈ R2. Assim, o elemento O e´ chamado de elemento neutro em relac¸a˜o a` operac¸a˜o adic¸a˜o; 4. (Elemento Oposto) Dado A = (a1, a2), denotaremos por −A o par ordenado (−a1,−a2), isto e´, −A = (−a1,−a2). Segue que, A+ (−A) = O. Chamaremos −A de elemento oposto a A. Definic¸a˜o 1.4.2. Dados A,B ∈ R2, definimos A menos B como sendo A−B = A+ (−B). Exemplo 1.4.1. Dados A = (2,−1) e B = (−1, 1), calculemos A + B e A − B. Utilizando a definic¸a˜o de adic¸a˜o de vetores e a propriedade do elemento oposto temos: A+B = (2,−1) + (−1, 1) = (2 + (−1),−1 + 1) = (1, 0); A−B = A+ (−B) = (2,−1) + (1,−1) = (3,−2). Definic¸a˜o 1.4.3. Dados A = (a1, a2) ∈ R2 e λ ∈ R. Definimos a multiplicac¸a˜o de A por λ pondo λ · A = (λ · a1, λ · a2). Em se tratando de matema´tica, como tudo na vida, na˜o devemosacreditar em tudo que e´ dito. Por isso, o leitor curioso logo tentara´ verificar a veracidade das propriedades que envolvem opera- c¸o˜es com vetores. Resultam imediatamente, da definic¸a˜o acima, as seguintes pro- priedades: 1. λ1(λ2A) = (λ1λ2)A, para quaisquer A ∈ R2 e λ1, λ2 ∈ R; 2. (λ1 + λ2)A = λ1A+ λ2A, para quaisquer A ∈ R2 e λ1, λ2 ∈ R; 3. λ(A+B) = λA+ λB, para quaisquer A,B ∈ R2 e λ ∈ R; 16 4. 1 · A = A, para todo A ∈ R2. Como consequeˆncia das propriedades apresentadas acima, temos o seguinte resultado: o ponto me´dio de um segmento cujas extremi- dades sa˜o A e B e´ M = 1 2 (A + B). De fato, suponha que A = (a1, a2) e B = (b1, b2), enta˜o: M = (a1 + b1 2 , a2 + b2 2 ) = (1 2 (a1 + b1), 1 2 (a2 + b2) ) = 1 2 (a1 + b1, a1 + b2) = 1 2 (A+ B). Apresentaremos uma interpretac¸a˜o geome´trica para a adic¸a˜o de vetores e multiplicac¸a˜o de vetor por escalar. Para isso, necessitamos de alguns resultados preliminares. Teorema 1.4.4. Sejam A,B,C,D pontos de R2. Enta˜o, o quadrila´tero ABCD e´ um paralelogramo se, somente se, B −A = C −D. B C DA Figura 1.8: Paralelogramo Demonstrac¸a˜o. Lembremos que quatro pontos A,B,C,D de um plano sa˜o ve´rtices, nesta ordem, de um paralelogramo se, somente se, suas diagonais BD e AC teˆm o mesmo ponto me´dio. Agora observe que, B −A = C −D ⇔ B +D = A + C ⇔ 1 2 (B +D) = 1 2 (A+ C). A u´ltima igualdade significa que os segmentos BD e AC teˆm o mesmo ponto me´dio. 17 Sejam A,B ∈ R2 vetores na˜o nulos e na˜o colineares, ou seja, os pontos A, B e a origem O na˜o sa˜o colineares. Considere o vetorA+B. Como A = A− O = A− [(−B) +B] = [A− (−B)]− B = (A +B)−B, segue do teorema 1.4.4 que os pontos O,A,A + B,B sa˜o ve´rtices, nesta ordem, de um paralelogramo, o qual chamaremos de paralelo- gramo determinado por A e B. O A B A+B Figura 1.9: Vetor soma ANOTE: ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ Desse modo, a adic¸a˜o de dois vetores A e B, na˜o nulos e na˜o colineares, e´ um vetor que se situa numa diagonal do paralelogramo determinado por A e B. Dados A,B,C,D ∈ R2, dizemos que os segmentos AB e CD sa˜o paralelos se esta˜o contidos em retas paralelas, e colineares, se esta˜o contidos na mesma reta. Agora considere segmentos orientados −→AB e −−→ CD, diz-se que eles teˆm a mesma orientac¸a˜o quando sa˜o paralelos ou colineares e os segmentos AC e BD na˜o se intersectam. Esta definic¸a˜o na˜o faz sentido quando os segmentos AB e CD sa˜o coli- neares. Neste caso, diz-se que eles teˆm mesma orientac¸a˜o se uma das semi-retas ⇀ AB e ⇀ CD esta´ contida na outra. A B C D Figura 1.10: Mesma orientac¸a˜o 18 Definic¸a˜o 1.4.5. Diremos que dois vetores−→AB e−−→CD sa˜o equipolentes e escrevemos −→ AB ∼ −−→CD, se teˆm mesmo comprimento, sa˜o paralelos ou colineares, e teˆm mesma orientac¸a˜o. Proposic¸a˜o 1.4.6. Sejam −→AB e −−→CD vetores em R2. Enta˜o, −→AB ∼ −−→CD se, somente se, B −A = D − C. A demonstrac¸a˜o desta proposic¸a˜o, no caso que AB e CD na˜o sa˜o colineares, segue como consequeˆncia do teorema 1.4.4. Deixaremos a demonstrac¸a˜o do outro caso, que os AB e CD sa˜o colineares, a cargo do leitor. Definic¸a˜o 1.4.7. Dados A = (a1, a2) e B = (b1, b2), diremos que o par ordenado (b1 − a1, b2 − a2) sa˜o as coordenadas do vetor −→AB e escrevemos −→ AB = (b1 − a1, b2 − a2). Pela proposic¸a˜o 1.4.6 temos que as coordenadas de dois vetores equipolentes sa˜o iguais. Corola´rio 1.4.1. Dados um vetor −→AB e um ponto P em R2, existe um u´nico ponto Q tal que −→AB ∼ −→PQ. Demonstrac¸a˜o. Observe que B − A = (B − A) + (P − P ) = Q − P , onde Q = (B − A) + P . Pela proposic¸a˜o 1.4.6 segue o resultado. Como vimos no corola´rio acima, dados o vetor −→AB e o ponto P , existe um u´nico ponto Q tal que −→AB ∼ −→PQ, onde Q = (B − A) + P . Diz-se que o vetor −→AB transportou o ponto P ate´ a posic¸a˜o Q. Alia´s, a palavra vetor prove´m do latim vehere, que significa transportar. AP Q=(B−A)+P B Figura 1.11: Transporte de ponto 19 Proposic¸a˜o 1.4.8. Treˆs pontos A = (a1, a2), B = (b1, b2) e C = (c1, c2) esta˜o alinhados (sa˜o colineares) se, somente se,∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. Um boa atividade para o aprendizado do leitor e´ tentar provar a proposic¸a˜o nos casos na˜o contemplados na demonstrac¸a˜o. Demonstrac¸a˜o. Vamos supor que a1 < b1 < c1 e a2 < b2 < c2 , os outros casos sa˜o tratados de modo ana´logo. Os pontos A = (a1, a2), B = (b1, b2) e C = (c1, c2) sa˜o colineares se, somente se, os triaˆngulos ∆ACE e ∆ABD sa˜o semelhantes, onde D = (b1, a2) e E = (c1, a2). Como os triaˆngulos ∆ACE e ∆ABD sa˜o retaˆngulos em E e D, res- pectivamente, temos que os mesmos sa˜o semelhantes se, somente se, AE AD = CE BD . A B C ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ ................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 1.12: Pontos colineares Observemos agora que, AE AD = CE BD ⇔ c1 − a1 b1 − a1 = c2 − a2 b2 − a2 ⇔ (c1 − a1)(b2 − a2) = (b1 − a1)(c2 − a2) ⇔ a1(b2 − c2)− b1(a2 − c2) + c1(a2 − b2) = 0 ⇔ a1 ∣∣∣∣∣∣ b2 1 c2 1 ∣∣∣∣∣∣− b1 ∣∣∣∣∣∣ c2 1 a2 1 ∣∣∣∣∣∣ + c1 ∣∣∣∣∣∣ b2 1 a2 1 ∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. 20 Sejam −→AB e −−→CD dois vetores paralelos ou colineares, enta˜o os vetores −−→ OP1 e −−→ OP2, onde P1 = B − A e P2 = D − C, sa˜o colineares. Donde concluı´mos que os pontos O, P1 e P2 esta˜o alinhados. Pela proposic¸a˜o acima, este fato ocorre somente quando existe λ ∈ R tal que B −A = λ(D − C). Consequeˆncia: Dois vetores −→AB e −−→CD sa˜o paralelos ou colineares se, somente se, existe λ ∈ R tal que B −A = λ(D − C). Considere A = (a, b), na˜o nulo, e λ ∈ R. Segue da proposic¸a˜o 1.4.8 que os vetores A e λA sa˜o colineares, isto e´, os pontos O = (0, 0), A = (a, b) e λA = (λa, λb) sa˜o colineares. Quanto a` orientac¸a˜o, se λ > 0 enta˜o λa e a teˆm mesmo sinal, assim como λb e b. Isto diz que os vetores A e λA esta˜o no mesmo quadrande, e por conseguinte, teˆm mesmo sentido. Se λ < 0, λa e a teˆm sinais contra´rios, assim como λb e b. Consequentemente, os vetores A e λA esta˜o em quadrandes opostos, e por conseguinte, teˆm sentidos contra´rios. A y .A Figura 1.13: Multiplicac¸a˜o por escalar A distaˆncia de A a` origem e´ igual a d(O,A) = √ a2 + b2. Por con- seguinte, a distaˆncia de λA = (λa, λb) a` origem e´ igual a : d(O, λA) = √ (λa)2 + (λb)2 = |λ| √ a2 + b2 = |λ|d(O,A). A ana´lise acima diz que λA e´ um vetor que tem a mesma direc¸a˜o de A e cujo comprimento e´ igual a |λ| vezes o comprimento de A. 21 Quanto a` orientac¸a˜o, tera´ a mesma se λ > 0 e tera´ sentido contra´rio se λ < 0. 1.5 Produto interno e aˆngulo entre vetores A fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos, dada em termos das coordenadas desses pontos, serve de partida para um grande nu´mero de resultados da Geometria Analı´tica. Vejamos um exemplo. Dados dois pontos P = (a1, a2) eQ = (b1, b2) obteremos a condic¸a˜o, emtermos dessas coordenadas, que assegura o perpendicularismo dos segmentos OP e OQ. Pelo Teorema de Pita´goras, os segmentos OP e OQ sa˜o perpen- diculares se, somente se , d2(P,Q) = d2(O,P ) + d2(O,Q). O P Q Figura 1.14: Segmentos perpendiculares ANOTE: ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ A fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos nos permite escrever esta equac¸a˜o como (b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 = a21 + a22 + b21 + b22. Simplificando a expressa˜o encontrada temos: a1b1 + a2b2 = 0. Esta e´ condic¸a˜o de perpendicularismo entre dois vetores. Conclusa˜o: Dois vetores P = (a1, a2) e Q = (b1, b2) sa˜o perpendicu- lares (notac¸a˜o P ⊥ Q) se, somente se, a1b1 + a2b2 = 0. De uma forma mais geral, dados os pontos A = (a, b), A′ = (a′, b′), C = (c, d) e C ′ = (c′, d′), com A 6= A′ e C 6= C ′, temos que os segmen- 22 tos AA′ e CC ′ sa˜o perpendiculares se, somente se, os segmentos OP e OQ tambe´m o sa˜o, onde P = (a′ − a, b′ − b) e Q = (c′ − c, d′ − d). Assim, a condic¸a˜o de perpendicularismno dos segmentos AA′ e CC ′, se exprime, em termos das coordenadas desses segmentos, como (a′ − a)(c′ − c) + (b′ − b)(d′ − d) = 0. A A’ C’ P C Q Figura 1.15: Segmentos sem extremidade comum Exemplo 1.5.1. Voltemos ao exemplo 1.3.2. SeA = (4, 5),B = (−2, 8) e C = (5, 7) enta˜o, os segmentos AB e AC sa˜o perpendiculares. De fato, (−2− 4)(5− 4) + (8− 5)(7− 5) = −6 · 1 + 3 · 2 = 0. Definic¸a˜o 1.5.1. Sejam A = (a1, a2) e B = (b1, b2). Definimos o pro- duto interno de A por B como sendo: 〈A,B〉 = a1b1 + a2b2. Deste modo, dois vetores A e B em R2 sa˜o perpendiculares se, somente se, 〈A,B〉 = 0. Exemplo 1.5.2. Dado o vetor (a, b), temos que o vetor (−b, a) e´ sem- pre perpendicular a ele, ou seja, 〈(a, b), (−b, a)〉 = a(−b) + ba = 0. As propriedades apresentadas abaixo resultam imediatamente da definic¸a˜o 1.5.1. 23 1. 〈u, v〉 = 〈v, u〉, para quaisquer u, v ∈ R2; 2. 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u, w〉, para quaisquer u, v, w ∈ R2; 3. 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉 para quaisquer u, v ∈ R2 e λ ∈ R; 4. 〈u, u〉 ≥ 0, para todo u ∈ R2. Definic¸a˜o 1.5.2. A norma de um vetor A = (a1, a2) e´ definida como |A| = √ 〈A,A〉 = √ a21 + a 2 2. Lema 1.5.1. Dados A ∈ R2 e λ ∈ R, temos que: 1. |A| ≥ 0; 2. |λA| = |λ| · |A|. Demonstrac¸a˜o. A prova do item (1) segue do fato que 〈A,A〉 ≥ 0. Agora veja que, |λA| =√〈λA, λA〉 =√λ2〈A,A〉 = |λ| · |A|. Dado um vetor A ∈ R2, na˜o nulo, o item (2) do lema acima nos fornece uma maneira de encontrarmos um vetor B com a mesma direc¸a˜o do vetor A e norma igual a |α|, para qualquer α ∈ R. De fato, escolhendo λ = α|A| temos que vetor B = λA satisfaz |B| = |λ| · |A| = |α||A| |A| = |α|. Exemplo 1.5.3. Acharemos um vetor com norma 2, mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao do vetor A = (1, 2). Tomando λ = − 2|A| = − 2√5 , o sinal negativo e´ devido a` exigeˆncia do sentido ser contra´rio, enta˜o o vetor B = λA = ( − 2√ 5 ,− 4√ 5 ) e´ o vetor procurado. Ja´ o item (1), do lema anterior, sera´ usado para provarmos uma ferramenta (teorema abaixo) muito u´til na resoluc¸a˜o de problemas matema´ticos. Augustin - Louis Cauchy (1789- 1857) deixou cerca de 800 trabalhos entre livros e arti- gos, cobrindo quase todos os ramos da matema´tica, um feito talvez so´ superado por Euler. Teorema 1.5.3 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Para quaisquer vetores A,B ∈ R2 vale a seguinte desigualdade |〈A,B〉| ≤ |A| · |B|. 24 Demonstrac¸a˜o. Pelo item (1) do lema 1.5.1, temos que 〈A+ tB,A+ tB〉 ≥ 0, ∀ t ∈ R. Segue que p(t) = |B|2 · t2+2〈A,B〉t+ |A|2 ≥ 0, para todo t ∈ R. Enta˜o, o discriminante da func¸a˜o quadra´tica p e´ na˜o positivo. Portanto, 4〈A,B〉2 − 4|A|2|B|2 ≤ 0⇒ |〈A,B〉| ≤ |A| · |B|. Corola´rio 1.5.1 (Desigualdade Triangular). |A + B| ≤ |A| + |B|, para quaisquer dois vetores A,B ∈ R2. Demonstrac¸a˜o. Primeiramente observe que |A + B| ≤ |A| + |B| ⇔ |A + B|2 ≤ (|A| + |B|)2. Enta˜o basta provar a segunda desigualdade. Assim, |A+B|2 = 〈A+B,A+B〉 = 〈A,A〉+ 2〈A,B〉+ 〈B,B〉 = |A|2 + 2〈A,B〉+ |B|2 ≤ |A|2 + 2|A| · |B|+ |B|2 = (|A|+ |B|)2. A condic¸a˜o de perpendicularismo e´ um caso particular da fo´rmula que da´ o cosseno do aˆngulo entre dois segmentos. Pelo que foi visto anteriormente, dois vetores sa˜o perpendiculares se, somente se, o produto interno deles e´ igual a zero. Levados por esta observac¸a˜o, vamos obter a fo´rmula do cosseno do aˆngulo entre dois segmentos. Sejam P = (a, b) e Q = (x, y) pontos distintos e α e β as medidas em radianos dos aˆngulos do eixo x com os segmentos OP e OQ, respectivamente. Enta˜o, os segmentos OP ′ e OQ′ tambe´m formam aˆngulos α e β, respectivamente, com o eixo x, onde P ′ e Q′ sa˜o dados abaixo: P ′ = ( a√ a2 + b2 , b√ a2 + b2 ); Q′ = ( x√ x2 + y2 , y√ x2 + y2 ). 25 1 Q P P’ Q’ 0 1 Figura 1.16: ˆAngulo entre segmentos Observe que o pontos P ′ e Q′ esta˜o situados a` distaˆncia 1 da origem O. Enta˜o, cosα = a√ a2+b2 , sinα = b√ a2+b2 , cosβ = x√ x2+y2 e sin β = y√ x2+y2 . Supondo β > α, temos que o aˆngulo do segmento OP ′ com o segmento OQ′ mede θ = β−α. Como se sabe da trigonometria, tem-se Caro leitor, e´ de fa´cil verificac¸a˜o (acon- selhamos que o fac¸a) que d(O,P ′) = d(O,Q′) = 1. Basta utilizar a fo´rmula encontrada que fornece a distaˆncia entre dois pontos em termos de suas coordenadas. cos θ = cos(β − α) = cos β cosα + sin β sinα. Portanto, cos θ = xa + yb√ x2 + y2 · √a2 + b2 = 〈P,Q〉 |P | · |Q| . Se tivermos dois segmentos de reta AA′ e CC ′, com extremidades distintas, e quisermos obter o cosseno do aˆngulo entre eles em func¸a˜o das coordenadas A = (a, b), A′ = (a′, b′), C = (c, d) e C ′ = (c′, d′), transladaremos esses segmentos de modo a fazerA e C caı´rem sobre a origem O, obtendo assim os segmentos OA′′ e OC ′′, onde A′′ = A′−A = (a′− a, b′− b) e C ′′ = C ′−C = (c′− c, d′− d). O aˆngulo entre AA′ e CC ′ sera´ o mesmo que entre OA′′ e OC ′′. Portanto, cos θ = (a′ − a)(c′ − c) + (b′ − b)(d′ − d)√ (a′ − a)2 + (b′ − b)2 ·√(c′ − c)2 + (d′ − d)2 = 〈−−→AA′,−−→CC ′〉 |−−→AA′| · |−−→CC ′| . Deve-se observar que os segmentos AA′ e CC ′ teˆm extremidades distintas, o aˆngulo entre eles so´ fica bem definido quando os orienta- mos, isto e´, quando especificamos em cada um deles qual e´ o ponto inicial e o ponto final. No argumento acima, a discussa˜o admitiu que 26 os pontos iniciais dos segmentos AA′ e CC ′ sa˜o A e C. Caso A′ fosse o ponto inicial do primeiro segmento e C o ponto inicial do segundo, o aˆngulo entre eles seria o suplemento de θ e o cosseno mudaria de sinal. Exemplo 1.5.4. Dados os pontos A = (1, 2), B = (1 + √ 3, 2 + √ 3) e C = (2+ √ 3, 3−√3). Veja que −→AB = (√3,√3) e −→AC = (1+√3, 1−√3), enta˜o o cosseno do aˆngulo formado pelos segmentos AB e AC e´ cos θ = √ 3(1 + √ 3) + √ 3(1−√3)√ ( √ 3)2 + ( √ 3)2 √ (1 + √ 3)2 + (1−√3)2 = 2 √ 3 4 √ 3 = 1 2 . Consequentemente, os segmentos AB e AC formam um aˆngulo de 60◦. 1.6 Equac¸a˜o da reta Sejam P um ponto e A um vetor na˜o nulo. Seja r a reta que passa por P e esta´ na direc¸a˜o de A, ou seja, e´ paralela ao vetor A. A P X Figura 1.17: Ponto da reta r Seja X um ponto em R2. Enta˜o X ∈ r se, somente se, o segmento PX e´ paralelo ao vetor A. Isto implica que X ∈ r se, somente se, existe t ∈ R tal que X − P = tA⇔ existe t ∈ R tal que X = P + tA. Assim sendo, o conjunto dos pontos X(t) tais que X(t) = P + tA, em que t ∈ R, e´ a reta que passa no ponto P na direc¸a˜o do vetor A. Chamaremos t de paraˆmetro e X(t) = P+tA de equac¸a˜o parame´trica da reta.27 Dados dois pontos A eB, consideremos a reta que passa por estes pontos. Enta˜o esta reta tem a direc¸a˜o do vetor v = −→AB, logo, sua equac¸a˜o parame´trica e´ X(t) = A + tv. Observe que X(0) = A e X(1) = B. Por isto, dizemos que X(t) = A+ tv, quando 0 ≤ t ≤ 1, e´ a equac¸a˜o parame´trica do segmento orientado AB, comec¸ando em A e terminando em B. Exemplo 1.6.1. A reta que passa pelos pontos A = (0, 1) e B = (2, 3) tem a mesma direc¸a˜o do vetor v = −→AB = B−A = (2, 3)−(0, 1) = (2, 2). Donde, sua equac¸a˜o parame´trica e´ X(t) = (0, 1)+ t(2, 2) = (2t, 1+2t). Mais geralmente, suponha que X = (x, y), P = (p1, p2) e A = (a, b). Enta˜o, a equac¸a˜o parame´trica da reta r que passa por P na direc¸a˜o A e´ (x, y) = (p1, p2) + t(a, b), o que equivale a: x = p1 + at y = p2 + bt . Zero Absoluto: o kelvin (sı´mbolo: ◦K) e´ o nome da unidade de base do Sistema Internacional de Unidades (SI) para a grandeza tempe- ratura. ´E sabido que a dependeˆncia fun- cional entre graus Celsius e graus Kelvin e´ linear, que 0◦C corresponde a 273, 15◦K e que 100◦C corresponde a 373, 15◦K. Chamamos de zero absoluto a tem- peratura de 0◦K. Qual temperatura, em graus Celsius, corresponde ao zero absoluto? Encontre a equac¸a˜o da reta que da´ a correspondeˆncia linear entre as duas grandezas e, com isto, responda a` pergunta. Estas sa˜o chamadas de equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P na direc¸a˜o A. Podemos, neste caso, a partir das equac¸o˜es parame´tricas, eliminar t e obter uma relac¸a˜o envolvendo x, y, p1, p2, a e b. Vejamos, multiplicando x = p1+at por −b, multiplicando y = p2+bt por a e somando as duas equac¸o˜es obtidas temos −b(x− p1) + a(y − p2) = 0. Sendo (−b, a) perpendicular a (a, b), e sabendo que (a, b) esta´ direc¸a˜o de r, segue que o vetor (−b, a) tambe´m e´ perpendicular a` reta r. Portanto, a equac¸a˜o obtida acima representa a reta que passa por P = (p1, p2) e e´ perpendicular ao vetor A = (−b, a). Mostraremos a seguir que a equac¸a˜o ax+ by = c, onde a2+ b2 6= 0, representa uma reta que e´ perpendicular ao vetor (a, b). Com efeito, suponhamos que a 6= 0, fazendo y = t obtemos ax+ bt = c. Donde, x = c a − b a t y = 0 + 1 · t . 28 Estas sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa no ponto ( c a , 0) e tem a direc¸a˜o do vetor (− b a , 1). Sendo (− b a , 1) perpendicular a (a, b), decorre que (a, b) e´ perpendicular a r. A equac¸a˜o ax + by = c, onde a2 + b2 6= 0, sera´ chamada simples- mente de equac¸a˜o de r e (a, b) sera´ chamado de vetor normal a r. Exemplo 1.6.2. Seja r a reta paralela ao eixo x e que passa pelo ponto P = (0, c). Sendo r paralela ao eixo x temos que o vetor (0, 1) e´ perpendicular a r, enta˜o sua equac¸a˜o e´ dada por: 0 · (x− 0) + 1 · (y − c) = 0 ⇒ y = c. Dada uma reta r e P 6∈ r, sabemos que existe uma u´nica reta s passando por P que e´ perpendicular a r. Seja projr(P ) o ponto de intersecc¸a˜o das retas r e s. Chamamos o ponto projr(P ) de projec¸a˜o ortogonal do ponto P sobre a reta r. Definic¸a˜o 1.6.1. Dados uma reta r e P 6∈ r, definimos a distaˆncia de P a` reta r, denotada por d(P, r), como d(P, r) = d(P, projr(P )). Sejam ax + by = c a equac¸a˜o da reta r e P = (x0, y0) um ponto fora de r. Como o vetor (a, b) e´ perpendicular a r, segue que s tem a mesma direc¸a˜o do vetor (a, b). Assim, a equac¸a˜o parame´trica de s e´ X(t) = (x0+ta, y0+tb). Seja t tal que X(t) ∈ s, isto e´, X(t) = projr(P ). Enta˜o, a(x0 + ta) + b(y0 + tb) = c. Desta igualdade decorre que t = c− ax0 − by0 a2 + b2 . Portanto, d(P, r) = d(P, projr(P )) = d(P,X(t)). Consequente- mente, d(P, r) = √ (ta)2 + (tb)2 = |t| · √ a2 + b2 = |ax0 + by0 − c|√ a2 + b2 . 29 Em suma, a distaˆncia do ponto P = (x0, y0) a` reta r de equac¸a˜o ax+ by = c e´ : d(P, r) = |ax0 + by0 − c|√ a2 + b2 . 1.7 Aplicac¸a˜o Ilha do tesouro Vamos usar vetores para resolver um problema interessante. Re- centemente foi descoberto um manuscrito do pirata Barba Negra, des- crevendo a localizac¸a˜o de um tesouro enterrado por ele em uma ilha do Caribe. O manuscrito identifica perfeitamente a ilha e da´ as seguin- tes instruc¸o˜es: ”...qualquer um que desembarque nesta ilha vera´ imediatamente dois grandes carvalhos, que chamarei deA eB, e tambe´m uma palmei- ra, que chamarei de C. Caminhe de C paraA contando seus passos. Chegando emA, vire para a esquerda e deˆ exatamente o mesmo nu´mero de passos para chegar ao ponto M . Volte ao ponto C. Caminhe de C para B contando seus passos. Chegando em B, vire para a direita e deˆ exatamente o mesmo nu´mero de passos para chegar ao ponto N . O ponto X esta´ na reta que liga M e N , e a` mesma distaˆncia desses dois pontos”. Figura 1.18: Mapa do tesouro 30 Com essas precisas informac¸o˜es, os exploradores chegaram a´ referida ilha, mas tiveram uma desagrada´vel surpresa. Os carvalhos estavam la´, mas a palmeira tinha desaparecido. O tesouro parecia perdido. Entretanto, fazia parte da comitiva um matema´tico que, apo´s breves ca´lculos, conseguiu descobrir o tesouro. Como ele fez? O matema´tico estabeleceu na ilha, que era plana, um sistema de coordenadas com origem em A e com o ponto B no eixo x. Ele mediu a distaˆncia de A ate´ B e encontrou 40 metros. Assim, ficou estabele- cido que A = (0, 0) e B = (40, 0). Para a palmeira desaparecida ele poˆs c = (x, y). Figura 1.19: Usando vetores para achar o tesouro Observe que os vetores −→AC = (x, y) e −−→AM sa˜o perpendiculares, enta˜o M = (y,−x). Do mesmo modo, sendo −−→BC = (x − 40, y) e −−→BN perpendiculares temos que −−→BN = (−y, x−40). Donde, N = B+−−→BN = (40− y, x− 40). 31 Sendo X o ponto me´dio de MN , suas coordenadas sa˜o dadas por X = M +N 2 = (y + 40− y 2 , −x+ x− 40 2 ) = (20,−20). Portanto, para encontrar o tesouro, bastava andar 20 metros na direc¸a˜o de A para B e depois virar a` direita e andar mais 20 metros. 1.8 Nota histo´rica Fermat e a Geometria Analı´tica Grandezas varia´veis como velocidade, acelerac¸a˜o e densidade, por exemplo, envolvendo a ide´ia intuitiva de intensidade, eram chamadas, no se´culo XIV, de ”formas”. Nicole de Oresme (1313-1382), considerado o mais importante matema´tico de sua e´poca, talvez inspirando-se na tradic¸a˜o grega de associar o contı´nuo a` geometria, teve a ide´ia de representar grafica- mente a variac¸a˜o de uma forma. Assim, no caso de um corpo que se move a partir do repouso com acelerac¸a˜o constante, marcou sobre uma reta horizontal os valores do tempo (longitudes) e representou as velocidades correspondentes por segmentos perpendiculares a´ reta (latitudes). Comprovou enta˜o que os segmentos formam um triaˆngulo retaˆngulo, posto que suas ex- tremidades superiores esta˜o alinhadas; e que a velocidade no instante me´dio e´ a metade da velocidade no instante final. Segundo tudo indica, parece ter sido essa a forma em que foi usa- da pela primeira vez a ide´ia de representac¸a˜o gra´fica de uma func¸a˜o mediante coordenadas. Mas tendo parado praticamente por aı´ nesse assunto, Oresme deve ser visto apenas como um precursor da ge- ometria analı´tica. Alia´s, a criac¸a˜o deste novo campo dependia de progressos matema´ticos (especialmente na a´lgebra) que ainda de- morariam cerca de dois se´culos. Dependia ainda da genialidade de algue´m: no caso, de Pierre de Fermat (1601-1665) e Rene´ Descartes (1596-1650), cada um a seu modo, em trabalhos independentes. 32 Franceˆs da cidadezinha de Beaumont-de-Lomagne, Fermat cur- sou Direito em Toulouse, em cujo parlamento comec¸ou a trabalhar em 1631 - primeiro como advogado, posteriormente como conselhei- ro. Pelo zelo com que se dedicava a`s suas atividades profissionais, dificilmente se poderia advinhar que sua verdadeira vocac¸a˜o era a matema´tica (cultivada, com grande talento,nas horas de lazer). Ningue´m como Fermat contribuiu tanto para o progresso da mate- ma´tica em sua e´poca. Participou com grande brilho da criac¸a˜o da geometria analı´tica, do ca´lculo diferencial e integral e da teoria das probabilidades; e foi, sem sombra de du´vida, o grande nome da fase inicial da moderna teoria dos nu´meros. Mas, parte por sua condic¸a˜o de amador, parte por sua grande mode´stia, recusava-se sistematica- mente a publicar seus trabalhos. E se estes sa˜o conhecidos hoje, e´ porque ficaram registros em margens de livros, folhas avulsas e car- tas. A geometria analı´tica de Fermat talvez seja um subproduto da tarefa que empreendeu a partir de 1629 de reconstruir o desapare- cido Lugares planos, de Apoloˆnio, mediante refereˆncias contidas na Colec¸a˜o matema´tica, de Papus. E e´ o assunto do pequeno tratado Introduc¸a˜o aos lugares planos e so´lidos , concluı´do no ma´ximo no ano de 1636, mas so´ publicado em 1679. Hygino H. Domingues Descartes, o primeiro filo´sofo moderno, e a geometria analı´tica Ao iniciar-se o se´culo XVII, a geometria ainda representava o grosso da matema´tica. E na geometria, a contribuic¸a˜o de Euclides, que na˜o ultrapassava as figuras envolvendo a reta e o cı´rculo, predominava soberanamente. Ale´m do mais, a geometria grega, carecendo de me´todos gerais, “so´ exercitava o entendimento ao custo de fatigar 33 enormemente a imaginac¸a˜o”, conforme palavras de Descartes. A e´poca pore´m era de profundas transformac¸o˜es cientı´ficas e tec- nolo´gicas, raza˜o pela qual impunha-se uma matema´tica mais integrada e operacional. O primeiro grande passo nesse sentido foi a associac¸a˜o da a´lgebra com a geometria, empreendida independentemente por Fermat e Descartes, embria˜o da atual geometria analı´tica. Rene´ Descartes (1596-1650) nasceu em La Have, pequena cidade a sudoeste e a cerca de 300km de Paris, provı´ncia de Touraine. Seu pai, membro da pequena nobreza da Franc¸a, decidiu desde logo inves- tir em sua educac¸a˜o: matriculou-o, aos 8 anos de idade, no cole´gio jesuı´ta da e´poca. Descartes, pore´m, sempre teve sau´de extrema- mente fa´gil, raza˜o pela qual na˜o lhe cobrava no cole´gio a regulari- dade da frequeˆncia a`s aulas; foi nessa e´poca que adquiriu o ha´bito de permanecer na cama de manha˜ depois de acordado, para leituras e meditac¸o˜es. Ao concluir seu curso em La Fle`che, Descartes ja´ se perguntava: ha´ algum ramo do conhecimento que realmente oferec¸a seguranc¸a? E na˜o vislumbrava como resposta sena˜o a matema´tica, com certeza oferecida pelas suas demonstrac¸o˜es. Desde muito jovem, as preocupac¸o˜es de ordem filoso´fica se manisfestavam nele. Aos 20 anos de idade, ja´ graduado em Direito pela Universidade de Poitiers, Descartes estabelece-se em Paris a fim de iniciar-se na vida mundana, como convinha a algue´m da sua posic¸a˜o. Mas reencontra- se com Mersenne, que conhecera em La Fle`che, e ei-lo em plena metro´pole dedicando-se a´ matema´tica com todas as suas forc¸as por um ou dois anos. Apo´s seguir carreira militar, em 1629 fixa-se na Holanda - um paı´s em que havia liberdade de pensamento - onde vivera os vinte anos seguintes. Nesse perı´odo veio a` luz sua geometia. A obra-prima de Descartes e´ o Discurso do me´todo, publicado em 1637, na qual expo˜e a esseˆncia de sua filosofia que, em suma, e´ uma defesa do me´todo matema´tico como modelo para a aquisic¸a˜o do conhecimento. Essa obra inclui treˆs apeˆndices, sendo um deles A geometria. 34 Ja´ no inı´cio de seu trabalho, introduz a notac¸a˜o alge´brica, hoje universalmente adotada: x, y, z, ... para as varia´veis e a, b, c, ... para as constantes. Descartes pensava nas letras como segmentos de retas. Mas rompeu com a tradic¸a˜o grega ao admitir que x2 e x3, por exemplo, podiam ser interpretados tambe´m como segmentos de reta e na˜o necessariamente como uma a´rea e um volume. Com isso foi-lhe possı´vel mostrar que as cinco operac¸o˜es aritme´ticas correspondem a construc¸o˜es elementares com re´gua e compasso. O Discurso do me´todo fez de Descartes um homem famoso ainda em vida. O fato de ter escrito essa obra em franceˆs (ao inve´s de latim, lı´ngua cientı´fica da e´poca) tornou mais fa´cil a difusa˜o de suas ide´ias filoso´ficas. Hygino H. Domingues 1.9 Exercı´cios resolvidos Q 1.1. Os pontos A = (1, 2), B = (7, 4) e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo ABC, retaˆngulo em A. O ve´rtice C pertence ao eixo das ordenadas. Determine as coordenadas de C. Soluc¸a˜o: Como o ponto C pertence ao eixo das ordenadas ele e´ da forma C = (0, y). Sendo ABC retaˆngulo em A, temos d2(B,C) = d2(A,B) + d2(A,C). Substituindo as coordenadas de cada ponto na igualdade acima temos [ √ (7− 0)2 + (4− y)2]2 = [ √ (7− 1)2 + (4− 2)2]2 + [ √ (1− 0)2 + (y − 2)2]2. Efetuando os ca´lculos concluı´mos que y = 5. Q 1.2. Determine as coordenadas do baricentro de um triaˆngulo ABC, sendo A = (a1, a2), B = (b1, b2) e A = (c1, c2). 35 Soluc¸a˜o: Lembremos que o baricentro e´ o ponto de encontro das medianas e que o mesmo esta´ situado a 2 3 da medida de cada uma delas, a partir do respectivo ve´rtice. Sendo G o baricentro e M1 e M2 os ponto me´dios dos lados BC e AC, respectivamente, temos que AG = 2 3 AM1 e BG = 23BM2. Sobre a semi-reta ⇀ AM1 marque um ponto P , fora do triaˆngulo ABC, de modo que GM1 = M1P . A B C G PM1M2 || Figura 1.20: Baricentro G Enta˜o, M1 = 12(P +G) e G = 1 2 (A+P ). Donde obtemos a seguinte igualdade, 3 2 G = M1+ 1 2 A. Utilizando que M1 = 12(B+C), encontramos G = 1 3 (A+B+C). Substituindo as coordenadas dos ve´rtices podemos concluir que G = (a1 + b1 + c1 3 , a2 + b2 + c2 3 ) . Q 1.3. Dados os pontos A = (8, 11), B = (−4,−5) e C = (−6, 9), obtenha o circuncentro do triaˆngulo ABC. Lembrete: circuncentro e´ o centro do cı´rculo circunscrito ao triaˆngulo. Soluc¸a˜o: O circuncentro e´ um ponto P = (x, y) equidistante dos ve´rtices do triaˆngulo. Enta˜o, d(A,P ) = d(B,P ) e d(B,P ) = d(C, P ). Substituindo as coordenadas de cada ponto temos d(A,P ) = d(B,P ) d(B,P ) = d(C, P ) ⇒ 3x + 4y = 18 x − 7y = −19 . Resolvendo o sistema acima encontramos P = (2, 3). Q 1.4. Prove que os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero de ve´rtices A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e D = (d1, d2) sa˜o ve´rtices, nesta ordem, de um paralelogramo. 36 Soluc¸a˜o: Sejam M1, M2, M3 e M4 os pontos me´dios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Enta˜o, M1 = (a1 + b1 2 , a2 + b2 2 ) , M2 = (b1 + c1 2 , b2 + c2 2 ) M3 = (c1 + d1 2 , c2 + d2 2 ) , M4 = (d1 + a1 2 , d2 + a2 2 ) . Provemos que as diagonais do quadrila´tero M1M2M3M4 se cortam ao meio, isto e´, os seus pontos me´dios sa˜o coincidentes. De fato, 1 2 (M1 +M3) = (a1 + b1 + c1 + d1 4 , a2 + b2 + c2 + d2 4 ) = 1 2 (M2 +M4). Q 1.5. Para quais valores de a os pontos A = (2, 1), B = (a + 1, 2) e C = (−3,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo ? Soluc¸a˜o: Para que os pontos A, B e C sejam ve´rtices de um triaˆngulo eles na˜o devem ser alinhados, ou seja, ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 1 a+ 1 2 1 −3 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0. Resolvendo o determinante encontramos que a 6= 7 2 . Q 1.6. Suponha que o vetor u = (a, b) satisfaz a igualdade 〈u, v〉 = 0, para todo vetor v = (x, y) ∈ R2. Mostre que a = b = 0. Soluc¸a˜o: Como a igualdade vale para todo vetor v = (x, y) ∈ R2, podemos ecolher v = (x, y) = (a, b). Enta˜o, 〈(a, b), (a, b)〉 = a2+ b2 = 0. Portanto, a = b = 0. Q 1.7. Sejam A = (a1, a2), B = (b1, b2) e C = (c1, c2) pontos na˜o colineares. Mostre que a a´rea do triaˆngulo ABC vale 1 2 |∆|, onde ∆ = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . 37 Soluc¸a˜o: Consideremos o vetor diretor da reta r que passa pelos pontosB e C: −−→BC = (c1−b1, c2−b2). Enta˜o, o vetor v = (−c2+b2, c1−b1) e´ perpendicular a` r. Assim, a equac¸a˜o de r e´ (−c2 + b2)(x− b1) + (c1 − b1)(y − b2) = 0. Simplificando: (−c2 + b2)x + (c1 − b1)y = b2c1 − b1c2. A medida da altura de ABC relativa ao lado BC e´ igual a` distaˆncia de A a` reta r. Calculemos d(A, r). d(A, r) = |a1(−c2 + b2) + a2(c1 − b1)− (b2c1 − b1c2)|√ (−c2 + b2)2 + (c1 − b1)2 = |(b1c2 − b2c1)− (a1c2 − a2c1) + (a1b2 − a2b1)|√ (c2 − b2)2 + (c1 − b1)2 = |(b1c2 − b2c1)− (a1c2 − a2c1) + (a1b2 − a2b1)| d(B,C) . Como a a´rea de ABC e´ dada por 1 2 d(A, r).d(B,C). Temos que, Area(ABC) = 1 2 |(b1c2 − b2c1)− (a1c2 − a2c1) + (a1b2 − a2b1)| = 1 2 |∆|. Q 1.8. Sejam r e s retas perpendiculares cujas equac¸o˜es sa˜o, respec- tivamente, y = m1x+ a e y = m2x+ b. Mostre que m1m2 = −1. Soluc¸a˜o: Reescrevendo a equac¸a˜o y = m1x+ a obtemos m1x− 1 · y = −a. A u´ltima igualdade diz que (m1,−1) e´ perpendicular a` reta r. Enta˜o, o vetor (1, m1) e´ paralelo a r. Analogamente, o vetor (m2,−1) e´ perpen- dicular a` reta s. Portanto, os vetores (1, m1) e (m2,−1) sa˜o paralelos. Logo, existe λ ∈ R tal que (1, m1) = λ(m2,−1). Segue que λm2 = 1 e λ = −m1. Donde, m1m2 = −1. Q 1.9. Mostre que as equac¸o˜es a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 re- presentam duas retas paralelas se, somente se, existe λ ∈ R tal que (a2, b2) = λ(a1, b1). Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 representam duas retas paralelas se, somente se, seus vetores normais (a1, b1) e (a2, b2) sa˜o paralelos, o que ocorre somente quando existe λ ∈ R tal que (a2, b2) = λ(a1, b1). 38 1.10 Exercı´cios propostos Q 1.10 (USJT-SP). Sabe-se que o ponto P = (4k− 1, 2k+3) pertence a` bissetriz dos quadrantes ı´mpares. Determine o valor de k. Q 1.11 (UECE-CE). Se (2, 5) e´ o ponto me´dio do segmento de ex- tremos (5, y) e (x, 7), determine x+ y. Q 1.12 (PUC-SP). Um lado de um paralelogramo tem extremidades nos pontos A = (−3, 5) eB = (1, 7). Sabendo queM = (1, 1) e´ o ponto me´dio das diagonais, determine os outros ve´rtices do paralelogramo. Q 1.13 (ITA-SP). Os pontos A = (0, 0), B = (b, 2b) e C = (5b, 0), com b > 0, sa˜o ve´rtices de um retaˆngulo. Determine o quarto ve´rtice do retaˆngulo. Q 1.14 (FUVEST-SP). Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triaˆngulo iso´sceles cujos ve´rtices sa˜o a origem e os pontos onde a reta intersecta os eixos. Se a a´rea desse triaˆngulo e´ 18, determine a equac¸a˜o da reta r. Q 1.15 (ESAM-RN). Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 0) e e´ perpendicular a´ reta de equac¸a˜o 2x− y = 7. Q 1.16 (FUNESP-SP). Seja A a intersecc¸a˜o das retas r e s, de equa- c¸o˜es y = 2x e y = 4x − 2, respectivamente. Se B e C sa˜o as intersecc¸o˜es das retas r e s com o eixo das abscissas. Determine a a´rea do triaˆngulo ABC. Q 1.17 (ITA). Qual o menor aˆngulo formado pelas retas de equac¸o˜es 3x− y = 10 e 2x+ y = 6. Q 1.18 (FURRN). Qual a soma dos valores de λ, tais que a reta de equac¸a˜o 3x−λy = 10 forma um aˆngulo de π 4 com a reta 2x+5y = 17? Q 1.19. Determine o aˆngulo formado pelas bissetrizes dos quadrantes pares e ı´mpares. Q 1.20. Qual a distaˆncia da origem a` reta y = −x+ 2 ? 39 Q 1.21 (UNIFOR-CE). As coordenadas de um ponto gene´rico de uma reta r sa˜o dados por x = 2t−1 3 e y = t+ 2, onde t e´ um paraˆmetro real. Determine a equac¸a˜o da reta. Q 1.22. Dados o ponto A = (1, 2) e a reta r de equac¸a˜o x − 2y = 3, resolva os itens abaixo. (a) Determine projr(A); (b) d(A, r); (c) O sime´trico de A em relac¸a˜o a r e´ o ponto A′ tal que projr(A) e´ ponto me´dio do segmento AA′. Determine A′. Q 1.23 (URRN). SejaM o ponto de intersecc¸a˜o das retas de equac¸o˜es x − y = 6 e 3x + y = 2. Obtenha a equac¸a˜o da reta paralela ao eixo das abscissas passando por M . Q 1.24. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ paralela a` reta de equac¸a˜o 8x− 2y = −1 e passa pelo ponto A = (3,−5). Q 1.25. Prove que o segmento, cujas extremidades sa˜o os pontos me´dios dos lados de um triaˆngulo, e´ paralelo ao terceiro lado e igual a´ metade deste. Q 1.26. Demonstre que a medida da mediana relativa a` hipotenusa e´ igual a` metade da medida da hipotenusa. Q 1.27 (UECE-CE). Sejam A eB os pontos de intersecc¸a˜o dos gra´ficos de f(x) = x2−3 e g(x) = x2+x 2 . Determine a medida do segmento AB. Q 1.28 (FATEC). Treˆs pontos A,B e C, pertencentes a` reta r de equa- c¸a˜o y− 3x− 1 = 0, teˆm suas abscissas em progressa˜o geome´trica. O ponto A e´ a intersecc¸a˜o de r com o eixo x, a ordenada de C e´ 8 e B localiza-se entre A e C. Determine o ponto B. Q 1.29 (CESGRANRIO). Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 1) e e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o x+ 3y = 5. 40 Q 1.30 (UFMG). Qual a relac¸a˜o existente entre m e n para que as retas de equac¸o˜es 2x−my+1 = 0 e nx+3y+5 = 0 sejam paralelas? Q 1.31 (UFRS). Sabendo que as retas y = ax + 2 e y = (5 + 2b)x− 1 sa˜o paralelas e, ambas, perpendiculares a` reta y = 2 b x + 3, calcule o valor a+ b. Q 1.32 (CESGRANRIO). Seja P o ponto de intersecc¸a˜o das retas r1 : y = −3x + 3 e r2 : y = −x2 + 2 e, A e B, os pontos de intersecc¸a˜o das retas r1 e r2 como o eixo x, respectivamente. Determine a a´rea do triaˆngulo ABP . Q 1.33 (UF-UBERL ˆANDIA). Determine o valor de m para que a reta de equac¸a˜o 2x + 3y + m = 0 forme com os eixos coordenados um triaˆngulo de a´rea igual a 5. Q 1.34. Prove que se os ve´rtices de um triaˆngulo sa˜o pontos cujas coordenadas sa˜o nu´meros racionais, enta˜o a a´rea deste triaˆngulo e´ um nu´mero racional. 41 1.11 Refereˆncias Bibliogra´ficas [1 ] BARSOTTI, L. Geometria analı´tica e vetores. 3a Ed. Local: Artes Gra´ficas e Editora Unificado, 1984. [2 ] BOYER, C. B. Histo´ria da Matema´tica. 3a Ed. Local: Editora da Universidade de Sa˜o Paulo, 1974. [3 ] CAMARGO, I. & BOULOS, P. Geometria Analı´tica - um trata- mento vetorial. 3a Ed. Local: Editora Prentice Hall Brasil, 2005. [4 ] CAROLI, A. J. de; CALLIOLI, C. A. & FEITOSA, M. O. Vetores, Geometria Analı´tica: teoria e exercı´cios. 6a Ed. Local: Editora Nobel, 1968. [5 ] CAROLI, A.; CALLIOLI, C. & FEITOSA, M. Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica. 17a Ed. Local: Editora Nobel, 1984. [6 ] IEZZI, G. Fundamentos de Matema´tica Elementar vol.7: geome- tria analı´tica. Local: Atual Editora, 2001. [7 ] LEHMANN, C. H. Geometria Analı´tica. 1a Ed. Local: Me´xico - UTEHA, 1953. [8 ] LIMA, E. L. Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear. Local: IMPA - Colec¸a˜o Matema´tica Universita´ria, 2001. [9 ] MIDDLEMIS, R. R. Analytic Geometry. 2a Ed. Local: Editora Mc Graw-Hill Book Company Inc, 1955. [10 ] MURDOCH, D. C. Geometria Analı´tica: uma introduc¸a˜o ao ca´l- culo vetorial e matrizes. 2aEd. Local: Editora Livros Te´cnicos e Cientı´ficos, 1971. [11 ] REIS, G. & SILVA, V. Geometria Analı´tica. 2a Ed. Local: Editora LTC, 1996. [12 ] SIMMONS, G. F. Ca´lculo com Geometria Analı´tica. 1a Ed. Lo- cal: Editora Mc Graw-Hill, 1987. 42 [13 ] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Geometria Analı´tica. 2a Ed. Local: Editora Makron, 1987. [14 ] VENTURI, J. Coˆnicas e Qua´dricas. 5a Ed. Local: www.geometria analitica.com.br, 2003. Web-Bibliografia [15 ]http://www.geometriaanalitica.com.br/index3.html [16 ]http://www.paulomarques.com.br/arq6.htm [17 ]http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/ganalitica /ganalitica.htm [18 ]http://www.ime.unicamp.br/ jardim/livro-GA.pdf [19 ]http://www.geometriaanalitica.com.br [20 ]www.mat.uc.pt/ picado/geomdif/ Unidade 1 A sociologia e a Sociologia da Educação A sociologia e a Sociologia da Educação Unidade 1 Resumo Nesta unidade, apresentamos a definição geométrica de cônicas e obtemos equações analíticas que as representam. As equações obtidas são equações do segundo grau a duas variáveis.Então surge o questionamento: qual cônica uma equação (geral) do segundo grau a duas variáveis representa? Nesta unidade, também apresentamos ferramentas necessarias para respondermos a esta pergunta. Finalizamos a unidade mostrando ao leitor situações cotidianas onde as cônica - elipse, parábola e hipérbole - aparecem naturalmente. O Cônicas Unidade 2 SUM ´ARIO (2.1) Introduc¸a˜o (2.2) Circunfereˆncia (2.3) Para´bola (2.4) Elipse (2.5) Hipe´rbole (2.6) Rotac¸a˜o de um conjunto (2.7) Aplicac¸a˜o (2.8) Nota histo´rica (2.9) Exercı´cios resolvidos (2.10) Exercı´cios propostos (2.11) Refereˆncias Bibliogra´ficas 2. Coˆnicas 2.1 Introduc¸a˜o Figura 2.1: As coˆnicas - ver refereˆncia [14] pag. 119 Originalmente, as coˆnicas sa˜o as curvas de intersecc¸a˜o de certos planos com a superfı´cie de um cone circular reto. Elas sa˜o: circun- fereˆncia, para´bola, elipse e hipe´rbole. A circunfereˆncia e´ a intersecc¸a˜o da superfı´cie do cone com um plano, que na˜o passa pelo ve´rtice e e´ 45 46 perpendicular a seu eixo. A para´bola e´ a intersecc¸a˜o da superfı´cie do cone com um plano paralelo a uma geratriz. A elipse e´ a intersecc¸a˜o da superfı´cie do cone com um plano oblı´quo a seu eixo, na˜o paralelo a uma geratriz. A hipe´rbole e´ a intersecc¸a˜o da superfı´cie do cone com um plano paralelo a seu eixo. Neste capı´tulo, obteremos uma representac¸a˜o analı´tica para cada coˆnica e apresentaremos um me´todo para identificar que coˆnica uma equac¸a˜o do segundo grau a duas varia´veis representa. 2.2 Circunfereˆncia A circunfereˆncia de centro P = (a, b) e raio r > 0 e´ o conjunto formado pelos A = (x, y) tais que d(A,P ) = r. Alguns autores de- nominam de cı´rculo, de centro P e raio r, o conjunto dos pontos A tais que d(A,P ) = r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... P r a b Figura 2.2: Circunfereˆncia Aplicando a fo´rmula da distaˆncia entre pontos temos que: um ponto A = (x, y) pertence a` circunfereˆncia de centro P = (a, b) e raio r se, somente se, (x− a)2 + (y − b)2 = r2. Desenvolvendo a igualdade encontramos x2 + y2 − 2ax− 2by + (a2 + b2 − r2) = 0. Mais geralmente, mostra-se que o conjunto dos pontos que sa- tisfazem a equac¸a˜o Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 e´ uma circunfereˆncia se, somente se, A = C 6= 0, B = 0 e D2 + E2 > 4AF . 47 Provaremos que a condic¸a˜o apresentada e´ suficiente. De fato, suponha que A = C 6= 0 (podemos considerar A = C > 0), B = 0 e D2 + E2 > 4AF . Enta˜o, Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 ⇒ x2 + y2 + D A x+ E A y + F A = 0. Completando quadrados temos, ( x+ D 2A )2 − D 2 4A2 + ( y + E 2A )2 − E 2 4A2 + F A = 0. Segue que, ( x+ D 2A )2 + ( y + E 2A )2 = (√D2 + E2 − 4AF 2A )2 . A igualdade encontrada representa a circunfereˆncia de centro e raio dados, respectivamente, por P = ( − D 2A ,− E 2A ) ; r = √ D2 + E2 − 4AF 2A . Exemplo 2.2.1. A equac¸a˜o 2x2+2y2−10x+6y−15 = 0 e´ a representa- c¸a˜o analı´tica de uma circunfereˆncia. De fato, A = C = 2, B = 0 e ANOTE: ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ √ D2 + E2 − 4AF = √ (−10)2 + 62 − 4 · 2 · (−15) = √ 100 + 36 + 120 = √ 256 = 16. Tambe´m segue de imediato que o centro da circunfereˆncia e´ ( 5 2 ,−3 2 ) e o raio e´ igual a 4. 2.3 Para´bola Sejam r uma reta e F = (m,n) 6∈ r um ponto. Chama-se para´bola de diretriz r e foco F o conjunto dos pontos X = (x, y) do plano que satisfazem a equac¸a˜o d(X,P ) = d(X, r), isto e´, o conjunto dos pontos do plano que sa˜o equidistantes do foco e da diretriz. 48 | * F diretriz − r foco X | Figura 2.3: Para´bola Chamaremos de eixo da para´bola a reta perpendicular a` diretriz passando no foco, e, de ve´rtice a intersecc¸a˜o do eixo com a para´bola. Note que o ve´rtice da para´bola esta´ no ponto me´dio do segmento de reta que une o foco a` intersecc¸a˜o do eixo com a diretriz. * F vértice eixo − − Figura 2.4: Elementos da Para´bola Vamos supor que a diretriz e´ paralela ao eixo x, ou seja, a reta r tem equac¸a˜o y = −d. Aplicando a fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos e a fo´rmula da distaˆncia de um ponto a uma reta, concluı´mos que: um ponto X = (x, y) pertence a` para´bola se, somente se, √ (x−m)2 + (y − n)2 = |y + d|√ 02 + 12 = |y + d|. Como F = (m,n) 6∈ r temos que n 6= −d, isto e´, n+d 6= 0. Podemos supor sem perda de generalidade que n > −d. Neste caso, obteremos uma para´bola com a concavidade para cima, se supormos n < −d obteremos uma para´bola com a concavidade para baixo. Desenvol- vendo a igualdade anterior obtemos, y = 1 2(n+ r) x2 − 2m 2(n+ r) x+ (m2 + n2 − d2) 2(n+ r) . Mais geralmente, para´bolas ocorrem como gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas. Uma func¸a˜o quadra´tica de uma varia´vel tem a forma 49 f(x) = ax2 + bx+ c. O gra´fico de f e´ o conjunto G(f) = {(x, y) ∈ R2 : y = ax2 + bx+ c}. Determinaremos, neste caso, o foco, o ve´rtice e a diretriz da para´bo- la. Suponha que a equac¸a˜o y = ax2 + bx+ c representa uma para´bola de foco F = (m,n) e diretriz y = −d. Segue que, a = 1 2(n+ d) ; b = − m n+ d ; c = m2 + n2 − d2 2(n+ d) . A primeira e a segunda igualdade implicam 2(n + d) = 1 a = −2m b . Logo, m = − b 2a . Pela terceira igualdade temos, c = m 2 · m n+ d + (n+ d)(n− d) 2(n+ d) = −bm 2 + n− d 2 . Portanto, 2(n− d) = 2bm+ 4c. Novamente utilizando que 2(n+ d) = 1 a obtemos 4d = 1 a − 2bm − 4c. Donde, d = 1+b2−4ac 4a . Segue de imediato que, n = 4ac−b2+1 4a . Isto diz que a diretriz da para´bola tem equac¸a˜o y = 4ac−b 2−1 4a e o foco e´ F = (− b 2a , 4ac−b 2+1 4a ). Como o ve´rtice esta´ no ponto me´dio do segmento de reta que une o foco a` intersecc¸a˜o do eixo com a diretriz concluı´mos que o ve´rtice e´ V = (− b 2a , n−d 2 ). Donde, V = ( − b 2a ,−b 2 − 4ac 4a ) . Exemplo 2.3.1. A para´bola y = x2−8x+15 tem foco no ponto (4,−3 4 ), a diretriz tem equac¸a˜o y = −5 4 e o ve´rtice e´ (4, 1). De fato, substi- tuindo os valores a = 1, b = −8 e c = 15 nas fo´rmulas obtidas acima encontramos o resultado desejado. Analogamente ao que vimos, se considerarmos a diretriz paralela ao eixo y temos que a equac¸a˜o da para´bola tem a forma geral Convidamos o leitor curioso a determinar as coordenadas do ve´rtice da para´bola de equac¸a˜o x = ay2 + by + c. x = ay2 + by + c. 2.4 Elipse Sejam F1 e F2 dois pontos distintos pertencentes a um plano e, a > 0, um nu´mero real maior que a metade da distaˆncia entre F1 e F2. 50 O conjunto dos pontos X tais que d(X,F1) + d(X,F2) = 2a chama-se elipse de focos F1 e F2. F F X 1 2 Figura 2.5: Elipse A reta que passa nos focos chamaremos de eixo focal, e, os pon- tos de intersecc¸a˜o do eixo focal com a elipse sera˜o chamados de ve´rtices da elipse. Note que a distaˆncia entre os ve´rtices e´ igual a 2a. Chamaremos a de semi-eixo focal da elipse. Denominaremos por centro da elipse o ponto me´dio do segmento de reta que une os focos; a mediatriz do segmento de reta que une os focos sera´ chamada de eixo normal da elipse. Seja b a metade da distaˆncia entre os pontos de intersecc¸a˜o da elipse com o eixo normal. Chamaremos b de semi-eixo normal. Se denotarmos por c a metade da distaˆncia entre os focos, enta˜o, utilizando o Teorema de Pita´goras, podemosconcluir que a2 = b2 + c2. eixo normal vértice eixo focal a c b F F1 2 Figura 2.6: Elementos da elipse Nesta secc¸a˜o, analisaremos o caso em que os focos pertencem a uma reta paralela ao eixo x. Ou seja, vamos supor que os focos sa˜o da forma F1 = (n1, m) e F2 = (n2, m), com n1 < n2. Neste caso, 51 o centro da elipse e´ (x0, y0) = (n1+n22 , m) e n2 − n1 = 2c. Donde, x0 − n1 = n2−n12 = c e n2 = 2x0 − n1 = x0 + c. Pela definic¸a˜o temos que um ponto P = (x, y) pertence a` elipse se, somente se, √ (x− n1)2 + (y −m)2 + √ (x− n2)2 + (y −m)2 = 2a. Portanto, √ (x− n1)2 + (y −m)2 = 2a− √ (x− n2)2 + (y −m)2. Elevando ao quadrado, (x−n1)2+(y−m)2 = 4a2−4a √ (x− n2)2 + (y −m)2+(x−n2)2+(y−m)2. Simplificando, a √ [(x− x0)− c]2 + (y − y0)2 = a2 − c(x− x0). Novamente elevando ao quadrado e simplificando obtemos (a2 − c2)(x− x0)2 + a2(y − y0)2 = a2(a2 − c2). A u´ltima igualdade implica (x− x0)2 a2 + (y − y0)2 b2 = 1. A rigor, provamos acima apenas que as coordenadas (x, y) de um ponto arbitra´rio da elipse satisfazem a equac¸a˜o encontrada. Mostra- se, reciprocamente, que todo ponto cujas coordenadas satisfazem esta equac¸a˜o pertence a` elipse cujos focos sa˜o os pontos F1 = (n1, y0) e F2 = (n2, y0), com x0 = n1+n22 e n2 > n1. Exemplo 2.4.1. A equac¸a˜o x2 25 + y 2 16 = 1 representa a elipse centrada na origem, de semi-eixo focal 5, semi-eixo normal 4 e focos nos pontos (±3, 0). Como estrate´gia de aprendizagem, o leitor deve re- produzir as contas, sem olhar as ante- riores, para o caso em que os focos pertencem a uma reta paralela ao eixo y. Analogamente ao que vimos, se considerarmos os focos perten- centes a uma reta paralela ao eixo y temos que a equac¸a˜o que repre- senta a elipse e´: (x− x0)2 b2 + (y − y0)2 a2 = 1. 52 Chamaremos de excentricidade da elipse a raza˜o entre c e a. Se denotarmos por e a excentricidade, enta˜o e = c a . Note que a excen- tricidade da elipse e´ um nu´mero situado entre zero e 1. No exemplo anterior, a elipse tem excentricidade igual a 3 5 . 2.5 Hipe´rbole Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e a um nu´mero real positivo. Chama-se de hipe´rbole de focos F1 e F2 ao conjunto dos pontos X cuja diferenc¸a das distaˆncias aos pontos F1 e F2 e´, em valor absoluto, igual a 2a. Assim, o ponto X pertence a essa hipe´rbole se, somente se, |d(X,F1)− d(X,F2)| = 2a. O subconjunto da hipe´rbole formado pelos pontos X que satis- fazem a igualdade d(X,F1) − d(X,F2) = 2a chamaremos de ramo da hipe´rbole segundo F2, e o subconjunto formado pelos pontos X tais que d(X,F1)− d(X,F2) = −2a chamaremos de ramo da hipe´rbole se- gundo F1. A reta que passa nos focos chamaremos de eixo focal e os pon- tos de intersecc¸a˜o do eixo focal com a hipe´rbole sera˜o chamados de ve´rtices da hipe´rbole. Note que a distaˆncia entre os ve´rtices e´ igual a 2a. Chamaremos a de semi-eixo focal da hipe´rbole. * * * * 1 2F F eixo focal eixo normal focos vértices * * * * 1 2 a b c F F Figura 2.7: Elementos da hipe´rbole Denominaremos por centro da hipe´rbole o ponto me´dio do seg- mento de reta que une os focos; a mediatriz do segmento de reta que 53 une os focos sera´ chamada de eixo normal da hipe´rbole. Se denotar- mos por c a metade da distaˆncia entre os focos, temos c > a. Seja b > 0 tal que c2 = a2 + b2. Vamos obter a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole quando os focos sa˜o da forma F1 = (n1, m) e F2 = (n2, m), com n1 < n2. Neste caso, o centro da hipe´rbole e´ (x0, y0) = (n1+n22 , m) e n2 − n1 = 2c. Donde, x0 − n1 = n2−n12 = c e n2 = 2x0 − n1 = x0 + c. A fim de determinar a equac¸a˜o do ramo da hipe´rbole segundo F2, escreveremos a equac¸a˜o d(X,F1)−d(X,F2) = 2a em termos de coor- denadas, o que nos da´ √ (x− n1)2 + (y −m)2 − √ (x− n2)2 + (y −m)2 = 2a. Portanto, √ (x− n1)2 + (y −m)2 = 2a+ √ (x− n2)2 + (y −m)2. Elevando ao quadrado, (x−n1)2+(y−m)2 = 4a2+4a √ (x− n2)2 + (y −m)2+(x−n2)2+(y−m)2. Simplificando, −a √ [(x− x0)− c]2 + (y − y0)2 = a2 − c(x− x0). Novamente elevando ao quadrado e simplificando obtemos, (a2 − c2)(x− x0)2 + a2(y − y0)2 = a2(a2 − c2). A u´ltima igualdade implica (x− x0)2 a2 − (y − y0) 2 b2 = 1. Ca´lculos ana´logos aos apresentados acima nos conduzem a` mes- ma equac¸a˜o para o ramo da hipe´rbole segundo F1. A rigor, provamos acima apenas que as coordenadas (x, y) de um ponto arbitra´rio da hipe´rbole satisfazem a equac¸a˜o encontrada. 54 Mostra-se, reciprocamente, que todo ponto cujas coordenadas satis- fazem esta equac¸a˜o pertence a` hipe´rbole cujos focos sa˜o F1 = (n1, y0) e F2 = (n2, y0), com x0 = n1+n22 e n2 > n1. Exemplo 2.5.1. A equac¸a˜o 2x2 − 3y2 = 5 equivale a x2 ( √ 5/2)2 − y 2 ( √ 3/2)2 = 1, que representa a hipe´rbole centrada na origem, de semi-eixo focal√ 5 2 , semi-eixo normal √ 3 2 e de focos nos pontos (±2, 0). ANOTE: ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ Analogamente ao que vimos, se considerarmos os focos perten- centes a uma reta paralela ao eixo y temos que a equac¸a˜o que repre- senta a hipe´rbole e´: −(x− x0) 2 b2 + (y − y0)2 a2 = 1. Chamaremos de excentricidade da hipe´rbole a raza˜o entre c e a. Se denotarmos por e a excentricidade, enta˜o e = c a . Note que a ex- centricidade da hipe´rbole e´ um nu´mero maior 1. No exemplo anterior, a hipe´rbole tem excentricidade igual a 2 √ 2 5 = √ 8 5 . * * * * 1 2F F assíntotas centro Figura 2.8: Assı´ntotas As retas y = ± b a (x − x0) + y0 sa˜o chamadas de assı´ntotas da hipe´rbole (x− x0)2 a2 − (y − y0) 2 b2 = 1. Exemplo 2.5.2. As retas y = ±4 3 x sa˜o as assı´ntotas da hipe´rbole x2 9 − y2 16 = 1. 55 2.6 Rotac¸a˜o de um conjunto Na secc¸a˜o anterior obtivemos equac¸o˜es que representam as coˆnicas, no caso em que os focos pertencem a uma reta paralela ao eixo x ou ao eixo y. Mas isso nem sempre ocorre. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 2.6.1. Seja P = (x, y) um ponto pertencente a` para´bola de foco F = (1, 1) e diretriz r : x+ y = 0. Enta˜o, d(P, F ) = d(P, r) ⇒ √ (x− 1)2 + (y − 1)2 = |x+ y|√ 1 + 1 . Desenvolvendo obtemos x2 − 2xy + y2 − 4x− 4y + 4 = 0. Exemplo 2.6.2. Considere a elipse de focos nos pontos (−3, 0) e (0, 4), cujo semi-eixo focal mede 7 2 . Enta˜o, um ponto (x, y) pertence a` elipse se, somente se, √ (x+ 3)2 + y2 + √ x2 + (y − 4)2 = 7. Efetuando ca´lculos, semelhantes aos apresentados para obtermos a equac¸a˜o da elipse, encontramos que 40x2 − 24xy + 33y2 + 168x− 168y − 200 = 0. Exemplo 2.6.3. Considere a hipe´rbole de focos nos pontos (−√2,√2) e ( √ 2,−√2), cujo semi-eixo focal mede √2. Enta˜o, um ponto (x, y) pertence a` hipe´rbole se, somente se, ∣∣∣ √ (x+ √ 2)2 + (y − √ 2)2 − √ (x− √ 2)2 + (y + √ 2)2 ∣∣∣ = 2√2. Efetuando os ca´lculos obtemos a seguinte equac¸a˜o xy = −1. Nos treˆs exemplos apresentados acima, as equac¸o˜es encontradas sa˜o da forma Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0. 56 Portanto, e´ natural questionar que coˆnica uma equac¸a˜o geral da formaAx2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa. Para res- pondermos a esta pergunta necessitamos de alguns fatos, os quais relembraremos a seguir. O plano xy esta´ em correspondeˆncia com o conjunto dos nu´meros complexos, a saber: todo ponto (x, y) do plano cartesiano pode ser visto como o nu´mero complexo x+ iy, e vice-versa. Utilizaremos esta correspondeˆncia para mostrarmos como rotacionar um conjunto em relac¸a˜o a` origem. O propo´sito de rotacionarmos um conjunto e´ trans- formarmos a equac¸a˜o geral Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 numa equac¸a˜o do tipo Ar2 +Ct2 +Dr+Et+F = 0, a qual possamos comparar com as equac¸o˜es reduzidas, obtidas nas secc¸o˜es 2.2, 2.3 e 2.4, que representam as coˆnicas. Necessitaremos de algumas propriedades dos nu´meros complexos. Relembremos: dado um nu´mero complexo z = x + iy seu mo´dulo e´ definido como |z| = √ x2 + y2. O argumento de z e´ o menor aˆngulo positivo θ tal que cos θ = x√ x2+y2 e sin θ = y√ x2+y2 . Usaremos a seguinte notac¸a˜o arg(z) = θ. Dados dois nu´meros complexos z1 = x1 + iy1 e z1 = x1 + iy1 as seguintes propriedades sa˜o va´lidas: 1. |z1 · z2| = |z1| · |z2|; 2. arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2); 3. Observe tambe´m que | cos θ + i sin θ| = 1. Das propriedades apresentadas acima concluı´mos que, para rotar- cionarmos, de um aˆngulo θ, um conjunto sem alterarmos suas pro- priedades basta multiplicarmos cada elemento deste conjunto pelo complexo cos θ+i sin θ. Ou seja: se um ponto (x, y) = x+iy pertence a um conjunto C, enta˜o o ponto (r, t) = r+it = (x+iy)(cos θ+i sin θ) per- tence a um conjunto C ′, com as mesmas propriedades de C, obtido 57 pela rotac¸a˜o de C, de um aˆngulo θ, no sentido anti-hora´rio em torno da origem. A grande maioria dos livros apresen- tam uma abodagem diferente da nossa. Os autores, em geral, trabalham com a mudanc¸a dos eixos coorde- nados, ao inve´s da rotac¸a˜o do con- junto. Tambe´m usaremos o me´todo da mudanc¸a dos eixos coordena- dos no capı´tulo 4, quando for- mos identificar as qua´dricas centrais. (0,0) (x,y) (r,t) 0 Figura 2.9: Rotac¸a˜o de um conjunto Agora considere um ponto (x, y) que satisfaz a equac¸a˜o geral do segundo grau Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Mostraremos como obter o aˆngulo θ que transforma esta equac¸a˜o em uma do tipo Ar2 +Ct2 +Dr+Et+ F = 0. Efetuando a multiplicac¸a˜o na igualdade r + it = (x+ iy)(cos θ + i sin θ) temos r = x cos θ − y sin θ t = x sin θ + y cos θ . Resolvendo o sistema encontrado obtemos as seguintes expresso˜es para x e y: x = r cos θ + t sin θ y = −r sin θ + t cos θ . Portanto, φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = A(r cos θ + t sin θ)2 + C(−r sin θ + t cos θ)2 + 2B(r cos θ + t sin θ)(−r sin θ + t cos θ) + D(r cos θ + t sin θ) + E(−r sin θ + t cos θ) + F. 58 Efetuando os ca´lculos, φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = r2[A cos2 θ + C sin2 θ − B sin(2θ)] + t2[A sin2 θ + C cos2 θ +B sin(2θ)] + rt[(A− C) sin(2θ) + 2B cos(2θ)] + r(D cos θ − E sin θ) + t(D sin θ + E cos θ) + F. Dados A e C nu´meros reais, com A 6= C, existe um aˆngulo θ tal que tan(2θ) = − 2B A−C . Donde, (A− C) sin(2θ) + 2B cos(2θ) = 0. Se A = C, escolhendo θ = π 4 tambe´m obtemos (A − C) sin(2θ) + 2B cos(2θ) = 0. Assim, sempre existe θ ∈ R tal que (A − C) sin(2θ) + 2B cos(2θ) = 0. Resulta que, φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = r2[A cos2 θ + C sin2 θ − B sin(2θ)] + t2[A sin2 θ + C cos2 θ +B sin(2θ)] + r(D cos θ − E sin θ) + t(D sin θ + E cos θ) + F. Consequentemente, a equac¸a˜o Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 e´ equivalente a ϕ(r, t) = r2[A cos2 θ + C sin2 θ −B sin(2θ)] + t2[A sin2 θ + C cos2 θ +B sin(2θ)] + r(D cos θ −E sin θ) + t(D sin θ + E cos θ) + F = 0. Perceba que a nova equac¸a˜o obtida na˜o envolve o termo rt. Com isto, podemos completar quadrados e compararmos ϕ(r, t) = 0 com as equac¸o˜es reduzidas que representam as coˆnicas. ANOTE: ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ Exemplo 2.6.4 (Para´bola). Na equac¸a˜o 2x2+12xy+18y2+x+y+1 = 0 temos A = 2, B = 6, C = 18 e D = E = F = 1. Seja θ tal que (A− C) sin(2θ) + 2B cos(2θ) = −16 sin(2θ) + 12 cos(2θ) = 0. 59 Portanto, 4 sin(2θ) = 3 cos(2θ). Pela relac¸a˜o fundamental da trigonome- tria, sin2(2θ) + cos2(2θ) = 1, obtemos sin(2θ) = 3 5 e cos(2θ) = 4 5 . Agora usando as identidades sin2 θ = 1−cos(2θ) 2 e sin2 θ = 1+cos(2θ) 2 , encon- tramos sin2 θ = 1 10 e cos2 θ = 9 10 . Donde, 0 = 2x2 + 12xy + 18y2 + x+ y + 1 = r2(2. 9 10 + 18. 1 10 − 6.3 5 ) + t2(2. 1 10 + 18. 9 10 + 6. 3 5 ) + r(1. 3√ 10 − 1. 1√ 10 ) + t(1. 3√ 10 + 1. 1√ 10 ) + 1. Segue que, r = −10√10t2 − 2t− √ 10 2 . A u´ltima equac¸a˜o obtida repre- senta uma para´bola. Exemplo 2.6.5 (Elipse). Dado F ∈ R, identificaremos que coˆnica a equac¸a˜o 5x2 +6xy+ y2 = F representa. Note que A = C = 5 e B = 3. Neste caso, θ = π 4 . Enta˜o, sin θ = cos θ = √ 2 2 e sin(2θ) = 1. Segue que, F = 5x2 + 6xy + y2 = r2(5. 1 2 + 5. 1 2 − 3.1) + t2(5.1 2 + 5. 1 2 + 3.1) = 2r2 + 8t2. Temos treˆs possibilidades a considerar. F < 0 : Nesta caso, a equac¸a˜o 2r2+8t2 = F representa um conjunto vazio, pois na˜o existem nu´meros maiores ou iguais a zero cuja soma seja um nu´mero negativo. F = 0 : Nesta possibilidade, a equac¸a˜o 2r2+8t2 = F representa o ponto (0, 0). F > 0 : Observe que a equac¸a˜o 2r2 + 8t2 = F e´ equivalente a r2(√ F 2 )2 + t 2(√ F 8 )2 = 1, que representa uma elipse centrada na origem e semi-eixo focal √ F 2 . No exemplo anterior foi observado que nem sempre uma equac¸a˜o geral Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 representa um coˆnica. A mesma pode representar um conjunto vazio, um ponto, uma reta ou um par de retas. Como saber? Fazendo a rotac¸a˜o, de um aˆngulo θ, de modo a eliminar o termo 2Bxy e completar quadrados. 60 Exemplo 2.6.6 (Hipe´rbole). Na equac¸a˜o xy = 1 temos A = C = 0, 2B = 1, D = E = 0 e F = −1. Sendo A = C temos θ = π 4 . Enta˜o, sin θ = cos θ = √ 2 2 e sin(2θ) = 1. Segue que, 1 = xy = −1 2 r2 + 1 2 t2 = − r 2 ( √ 2)2 + t2 ( √ 2)2 . A equac¸a˜o − r2 ( √ 2)2 + t 2 ( √ 2)2 = 1 representa uma hipe´rbole de focos nos pontos (0,±2). 2.7 Aplicac¸a˜o Para´bola Por que antenas que captam mais sinais do espac¸o sa˜o parabo´licas? Por que os espelhos dos telesco´pios astronoˆmicos sa˜o parabo´licos? Figura 2.10: Antena e Espelho parabo´licos Nos dois exemplos acima, os sinais que recebemos (ondas de ra´dio ou luz) sa˜o muito fracos. Por isso e´ necessa´rio capta´-los em um u´nico ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a superfı´cie da antena ( ou do espelho) deve ser tal que todos os sinais 61 recebidos de uma mesma direc¸a˜o sejam direcionados para um u´nico ponto apo´s a reflexa˜o. A para´bola possui exatamente esta propriedade e, por isso, as an- tenas e os espelhos precisam ser parabo´licos. Elipse A trajeto´ria dos planetas ao redor do Sol na˜o e´ circular e sim elı´ptica - o Sol fica sobre um dos focos da elipse. Foi Kepler (1571- 1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos sa˜o a = 153.493.000km e b = 153.454.000km. Donde podemos obter a excentricidade da o´rbita da Terra: e = c a = 0, 0167. O eixo maior apresenta dois pontos: o perie´lio (janeiro) e o afe´lio (julho), que correspondem a`s distaˆncias mı´nimas e ma´ximas da Terra ao Sol, respectivamente. Hipe´rbole O sistema LORAN (longe range navegation) de navegac¸a˜o ae´rea usa a hipe´rbole. Da Terra, concomitantemente
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