Mecânica I - Poli - P1 - 2002 - Reoferecimento

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA A – PME 2100 - Primeira Prova – 4 de abril de 2002
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
seminário ou exercício em classe ou lista de exercícios (1,0 ponto)
1ª Questão (3,0 pontos)
Dado o sistema de três forças (F) e o momento (M)
aplicado sobre o cubo de lado a e peso desprezível,
conforme mostrado na figura, pede-se:
a) calcular a resultante
b) calcular o momento do sistema
em relação ao pólo O
c) verificar se o sistema é
redutível a uma única força
d) reduzir o sistema a uma força
aplicada em A e um binário
2ª Questão (3,0 pontos)
Uma placa retangular de lados 2a e 2b, com massa
m, está articulada em A e sustentada pelo fio em B,
conforme mostrado na figura. Na aresta BD está
soldada uma barra homogênea de massa m/4. Pede-
se:
a) as coordenadas do baricentro do conjunto
placa e barra
b) reações no vínculo A e no fio (B)
c) o ângulo α que a aresta AB faz com a horizontal,
na posição de equilíbrio, supondo a ruptura do fio.
3ª Questão (3,0 pontos)
A placa semicircular homogênea de peso P, está
simplesmente apoiada com atrito em O e suportada
pelos fios AD e BC, conforme mostrado na figura.
Pede-se determinar em função de P:
a) o diagrama de corpo livre da placa
b) as tensões TA e TB nos fios
c) as forças de reação Fx, Fy e Fz no apoio O
d) o coeficiente de atrito µµµµ em O para que a placa
permaneça em equilíbrio
Y
Z
jÿ
k
ÿ
i
ÿO
X
A
a
a
akMM
ÿÿ
=
F
ÿ
F
ÿ
F
ÿ
M
ÿ
k
ÿ
i
ÿ
ÿ
2a
kgG
ÿÿ
=
2b
A B
DC
Z
O
X
Y
A
R
R
R
R
R
R
R
B
D
C
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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
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Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA A – PME 2100 - Primeira Prova – 4 de abril de 2002
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
seminário ou exercício em classe ou lista de exercícios (1,0 ponto)
Resolução da Prova
1ª Questão (3,0 pontos)
Dado o sistema de três forças (F) e o momento (M)
aplicado sobre o cubo de lado a e peso desprezível,
conforme mostrado na figura, pede-se:
a) calcular a resultante
b) calcular o momento do sistema
em relação ao pólo O
c) verificar se o sistema é
redutível a uma única força
d) reduzir o sistema a uma força
aplicada em A e um binário
Resolução:
a) ÿ= FR
ÿÿ
kFjFiFR
ÿÿÿÿ
++= )( kjiFR
ÿÿÿÿ
++= (0,5 ponto)
b) MFOPMO
ÿÿÿ
+∧−=ÿ )( kMkFjaiajFkaiFiaMO
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
+∧++∧+∧= )(
kMiaFjaFiaFMO
ÿÿÿÿÿ
++−−= 0 kMjaFMO
ÿÿÿ
+−= (0,5 ponto)
c) RMI O
�ÿ
⋅= )()( kjiFkMjaFI �ÿÿ
ÿ�
++⋅+−=
MFaFI +−= 2 se 0; ≠≠ IaFM o invariante escalar será diferente de zero e portanto o
sistema não poderá ser reduzido a uma única força (1,0 ponto)
d) Resultante aplicada no ponto A ),( AR
ÿ
RAOMM OA
ÿÿÿ
∧−+= )( )()()( kjiFjiakMjaFM A
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
++∧+−+−=
)()( jiaFkMjaFM A
ÿÿÿÿÿ
+−++−= kMiaFM A
ÿÿÿ
+−= (1,0 ponto)
Y
Z
jÿ
k
ÿ
i
ÿO
X
A
a
a
akMM
ÿÿ
=
F
ÿ
F
ÿ
F
ÿ
M
ÿ
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Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
2ª Questão (3,0 pontos)
Uma placa retangular de lados 2a e 2b, com massa m,
está articulada em A e sustentada pelo fio em B,
conforme mostrado na figura. Na aresta BD está
soldada uma barra homogênea de massa m/4. Pede-se:
a) as coordenadas do baricentro do conjunto
placa e barra
b) reações nos vínculos A e B (fio)
c) o ângulo α que a aresta AB faz com a horizontal, na
posição de equilíbrio, supondo a ruptura do fio.
Resolução:
a)
ÿ
ÿ
=
i
ii
G
m
xm
x )4/(
2)4/(
mm
bmmb
xG +
+
= bxG 5
6
=
m
zm
z iiG
ÿ
= )4/(
)4/(
mm
amma
zG +
+
= azG = (1,0 ponto)
b) 0
ÿÿÿ
==ÿFR 04
5
=++= mgRRR BAz 0=xR
0=⋅=ÿ dFMA
ÿÿ ( ) 02
5
6
4
5
=⋅+�
�
�
�
�
�
⋅ bRbmg B mgRB 4
3
−= mgRA 2
1
−= (1,0 ponto)
c) Equilíbrio: baricentro alinhado com articulação A
a
b
arc
5
6
tan=α (1,0 ponto)
k
ÿ
i
ÿ
ÿ
2a
kgG
ÿÿ
=
2b
A B
DC
k
ÿ
i
ÿ
2a
kgG
ÿÿ
=
2b
A
B
D
C
α
α
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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
3ª Questão (3,0 pontos)
A placa semicircular homogênea de peso P, está
simplesmente apoiada em O e suportada pelos fios
AD e BC, conforme mostrado na figura. Pede-se
determinar em função de P:
a) o diagrama de corpo livre da placa
b) as tensões TA e TB nos fios
c) as forças de reação Fx, Fy e Fz no apoio O
d) o coeficiente de atrito µ em O para a placa
permanecer em equilíbrio
Resolução:
a) diagrama de corpo livre (0,5 ponto)
b) direção dos fios:
3/)(3/)()(/)( 2 kjiRkRjRiRADAD
ÿÿÿÿÿÿ
+−=+−=−−
6/)2(6/)2()(/)( 2 kjiRkRjRiRBCBC
ÿÿÿÿÿÿ
+−−=+−−=−−
Tensões nos fios: ))(3/( kjiTT AA
ÿÿÿÿ
+−= )2)(6/( kjiTT BB
ÿÿÿÿ
+−−=
Momento em relação a O
0)()()()(
ÿÿÿÿÿ
=−∧−+∧−+∧−= kPOATOATOBM ABO
0)]()()()[( =⋅−∧−+∧−+∧−= ikPOATOATOBM ABx
ÿÿÿÿ
0)]())(3/()2)(6/(2[ =⋅−∧++−∧++−−∧= ikPjRkjiTjRkjiTjRM ABx
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
0]))(3/())(6/2[( =⋅−−++= iiRPkiRTkiRTM ABx
ÿÿÿÿÿÿ
0622 =−+ PTT AB (I)
0])()[( =⋅∧−+∧−= kTOATOBM ABz
ÿÿÿ
0)])(3/()2)(6/(2[ =⋅+−∧++−−∧= kkjiTjRkjiTjRM ABz
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
022 =− AB TT (II)
resultando de (I) e (II) : 2/3PTA = 4/6PTB = (1,0 ponto)
c) ÿ == 0
ÿÿ
FR 0=⋅+⋅+= iTiTFR BAxx
ÿÿÿÿ
0)2)(6/())(3/( =⋅+−−+⋅+−+ ikjiTikjiTF BAx
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
4/PFx −=
0=⋅+⋅+= jTjTFR BAyy
ÿÿÿÿ
PFy =
0=−⋅+⋅+= kPkTkTFR BAzz
ÿÿÿÿÿ
4/PFz = (1,0 ponto)
d) NT µ≤ 4/222 PFFT zx =+= PFN y == 4/2≥µ (0,5 ponto)
Z
O
X
Y
A
R
R
R
R
R
R
R
B
D
C
FX
P
A
B
TBTA
FY
FZ